Die Rigorous Coupled-Wave Analysis ( RCWA ), auch bekannt als Fourier-Modal-Methode ( FMM ) [ 1 ] , ist eine semi-analytische Methode der numerischen Elektromagnetik , die typischerweise zur Lösung von Streuprozessen an periodischen dielektrischen Strukturen eingesetzt wird. Da es sich um eine Methode im Fourier-Raum handelt, werden Bauelemente und Felder als Summe räumlicher Harmonischer dargestellt.
Beschreibung
Das Verfahren basiert auf dem Floquet-Theorem , wonach sich die Lösungen periodischer Differentialgleichungen mit Floquet-Funktionen (auch Bloch-Wellen genannt , insbesondere in der Festkörperphysik ) darstellen lassen. Ein Bauelement wird in Schichten unterteilt, die jeweils in z-Richtung homogen sind. Für gekrümmte Bauelemente mit Eigenschaften wie einer entlang der z-Richtung variierenden Dielektrizitätskonstante ist eine Treppenapproximation erforderlich.
Die elektromagnetischen Moden jeder Schicht werden berechnet und analytisch durch die Schichten propagiert. Das Gesamtproblem wird gelöst, indem die Randbedingungen an jeder Grenzfläche zwischen den Schichten mithilfe einer Methode wie Streumatrizen angepasst werden. Um die elektromagnetischen Moden zu bestimmen, die durch den Wellenvektor der einfallenden ebenen Welle in einem periodischen dielektrischen Medium festgelegt werden, werden die Maxwell-Gleichungen (in partieller Differentialform) sowie die Randbedingungen mithilfe von Floquet-Funktionen im Fourier-Raum entwickelt. Diese Methode transformiert die partielle Differentialgleichung in eine matrixwertige gewöhnliche Differentialgleichung als Funktion der Höhe über dem periodischen Medium. Die endliche Darstellung dieser Floquet-Funktionen im Fourier-Raum führt zu endlichen Matrizen, wodurch die Methode rechnerisch lösbar wird.
Fourier-Faktorisierung
Da es sich um eine Methode im Fourierraum handelt, weist sie einige Nachteile auf. Das Gibbs-Phänomen ist besonders ausgeprägt bei Bauelementen mit hohem dielektrischem Kontrast. Die Begrenzung der Anzahl räumlicher Harmonischer kann die Konvergenz verlangsamen, weshalb Verfahren wie die schnelle Fourier-Faktorisierung (FFF) eingesetzt werden sollten. FFF [ 2 ] ist für eindimensionale Gitter einfach zu implementieren, jedoch wird weiterhin an einem unkomplizierten Ansatz für gekreuzte Gitter gearbeitet. Die Schwierigkeit bei der Anwendung von FFF auf gekreuzte Gitter besteht darin, dass das Feld an allen Grenzflächen in parallele und senkrechte Komponenten zerlegt werden muss. Dies ist für beliebig geformte Bauelemente keine einfache Berechnung.
Da die RCWA-Methode üblicherweise die Faltung unstetiger Funktionen im Fourierraum erfordert, muss der Behandlung dieser Unstetigkeiten bei der Formulierung der Maxwell-Gleichungen im Fourierraum besondere Aufmerksamkeit gewidmet werden. [ 3 ] Einen wesentlichen Beitrag leistete Lifeng Li mit seinem Verständnis der Eigenschaften der Faltung der Fouriertransformierten zweier Funktionen mit übereinstimmenden Unstetigkeiten, die dennoch eine stetige Funktion bilden. Dies führte zu einer Neuformulierung der RCWA mit einer signifikanten Verbesserung der Konvergenz bei Verwendung abgeschnittener Fourierreihen. [ 4 ]
Randbedingungen
An den Schnittstellen zwischen allen Schichten müssen Randbedingungen erfüllt werden. Bei einer großen Anzahl von Schichten ist dies nicht simultan zu lösen. RCWA greift daher auf die Netzwerktheorie zurück und berechnet Streumatrizen. Dadurch können die Randbedingungen Schicht für Schicht gelöst werden. Die für RCWA implementierten Streumatrizen sind jedoch fast ausnahmslos ineffizient und entsprechen nicht den etablierten Konventionen hinsichtlich der Definition von S11, S12, S21 und S22. [ 5 ] Es existieren weitere Methoden, wie z. B. die erweiterten Transmittanzmatrizen (ETM), R-Matrizen und H-Matrizen. ETM ist beispielsweise deutlich schneller, benötigt aber weniger Speicherplatz.
RCWA kann bei geeigneter Verwendung perfekt angepasster Schichten auch auf aperiodische Strukturen angewendet werden . [ 1 ]
Anwendungen
Die RCWA-Analyse, angewendet auf polarisierte Breitbandreflektometrie , dient in der Halbleiterindustrie als Messtechnik zur detaillierten Profilierung periodischer Grabenstrukturen. Mit dieser Technik lassen sich Grabentiefen und kritische Abmessungen (CD) bestimmen, die mit Querschnitts- Rasterelektronenmikroskopie vergleichbar sind . Sie bietet zudem den Vorteil eines hohen Durchsatzes und einer zerstörungsfreien Messung.
Um die kritischen Abmessungen einer Grabenstruktur (Tiefe, CD und Seitenwandwinkel) zu bestimmen, müssen die gemessenen polarisierten Reflexionsdaten einen ausreichend großen Wellenlängenbereich aufweisen und mit einem physikalisch validen Modell analysiert werden (z. B. RCWA in Kombination mit den Forouhi-Bloomer-Dispersionsrelationen für n und k ). Studien haben gezeigt, dass der begrenzte Wellenlängenbereich eines Standardreflektometers (375–750 nm) nicht die erforderliche Empfindlichkeit bietet, um Grabenstrukturen mit kleinen CD-Werten (unter 200 nm) präzise zu messen. Mit einem Reflektometer, dessen Wellenlängenbereich auf 190–1000 nm erweitert ist, lassen sich diese kleineren Strukturen jedoch genau vermessen. [ 6 ]
RCWA wird auch zur Verbesserung diffraktiver Strukturen für hocheffiziente Solarzellen eingesetzt . Für die Simulation der gesamten Solarzelle oder des Solarmoduls lässt sich RCWA effizient mit dem OPTOS-Formalismus kombinieren .
Siehe auch
Referenzen
- ^ a b Hugonin, Jean Paul; Lalanne, Philippe ( 2005). „Perfectly matched layers as nonlinear coordinate transforms: a generalized formalization“ ( PDF) . Journal of the Optical Society of America A. 22 ( 9): 1844–1849 . Bibcode : 2005JOSAA..22.1844H . doi : 10.1364/JOSAA.22.001844 . PMID 16211811. S2CID 8001894 .
- ^ Popov, Evgeny (2001). „Maxwell-Gleichungen im Fourier-Raum: Schnell konvergierende Formulierung für die Beugung an beliebig geformten, periodischen, anisotropen Medien“. Journal of the Optical Society of America A. 18 ( 11): 2886–94 . Bibcode : 2001JOSAA..18.2886P . doi : 10.1364/JOSAA.18.002886 . PMID 11688878 .
- ^ Hench, John; Strakoš, Zdeněk (2008). „Die RCWA-Methode – Eine Fallstudie mit offenen Fragen und Perspektiven algebraischer Berechnungen“ (PDF) . Electronic Transactions on Numerical Analysis . 39 : 331–357 .
- ^ Li, Lifeng (1996). „Anwendung von Fourierreihen in der Analyse diskontinuierlicher periodischer Strukturen“. J. Opt. Soc. Am. A . 31 (9): 1870–187 . Bibcode : 1996JOSAA..13.1870L . doi : 10.1364/JOSAA.13.001870 .
- ^ Rumpf, Raymond C. (2011). „Verbesserte Formulierung von Streumatrizen für semi-analytische Methoden, die mit der Konvention übereinstimmt“ . Progress in Electromagnetics Research B. 35 : 241–261 . doi : 10.2528 /PIERB11083107 . ISSN 1937-6472 .
- Heider , F.; Roberts, J.; Huang, J.; Lam, J.; Forouhi, AR (Juli 2013). „Einfluss des gemessenen Spektralbereichs auf die Genauigkeit und Wiederholbarkeit der OCD-Analyse“. Solid State Technology . 56 (5): 21.
- Moharam, MG; Gaylord, TK (1981). „Strenge Analyse der Beugung an planaren Gittern mittels gekoppelter Wellen“. Journal of the Optical Society of America . 71 (7): 811. Bibcode : 1981JOSA...71..811M . doi : 10.1364/JOSA.71.000811 .
- Siehe Kapitel 6 in „Design und Optimierung nanooptischer Elemente durch Kopplung von Fertigung und optischem Verhalten“.
