Richards-Gleichung

Die Richards-Gleichung beschreibt die Wasserbewegung in ungesättigten Böden und geht auf Lorenzo A. Richards zurück , der sie 1931 veröffentlichte. ^{[ 1 ]} Es handelt sich um eine quasilineare partielle Differentialgleichung ; ihre analytische Lösung ist oft auf bestimmte Anfangs- und Randbedingungen beschränkt. ^{[ 2 ]} Der Beweis für die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung wurde erst 1983 von Alt und Luckhaus erbracht . ^{[ 3 ]} Die Gleichung basiert auf dem Darcy-Buckingham-Gesetz ^{[ 1 ]} , das die Strömung in porösen Medien unter variabel gesättigten Bedingungen beschreibt.

${\displaystyle {\vec {q}}=-\mathbf {K} (\theta )(\nabla h+\nabla z),}$

Wo

${\displaystyle {\vec {q}}}$ist der Volumenstrom [L/T];

${\displaystyle \theta }$ist der volumetrische Wassergehalt [1];

${\displaystyle h}$ist der Flüssigkeitsdruckkopf , der bei ungesättigten porösen Medien negativ ist [L].

${\displaystyle \mathbf {K} (h)}$ist die ungesättigte hydraulische Leitfähigkeit [L/T];

${\displaystyle \nabla z}$ist der geodätische Kopfgradient, der wie bei dreidimensionalen Problemen angenommen wird.${\displaystyle \nabla z=\left({\begin{smallmatrix}0\\0\\1\end{smallmatrix}}\right)}$

Die Richards-Gleichung wird hergeleitet, indem man zunächst das Gesetz der Massenerhaltung für ein inkompressibles poröses Medium und eine konstante Flüssigkeitsdichte betrachtet, das wie folgt ausgedrückt wird:

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}+\nabla \cdot {\vec {q}}+S=0}$,

Wo

${\displaystyle S}$ist der Quell-/Senkenterm [T ], typischerweise die Wasseraufnahme durch die Wurzeln. ^{[ 4 ]} Durch Einsetzen der Flüsse in das Darcy-Buckingham-Gesetz erhält man die folgende Richards-Gleichung in gemischter Form:${\displaystyle ^{-1}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {K} (h)(\nabla h+\nabla z)-S}$Die

Für die Modellierung eindimensionaler Infiltration reduziert sich diese Divergenzform auf

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left(\mathbf {K} (\theta )\left({\frac {\partial h}{\partial z}}+1\right)\right)-S}$Die

Obwohl sie LA Richards zugeschrieben wird, wurde die Gleichung ursprünglich neun Jahre zuvor, im Jahr 1922, von Lewis Fry Richardson eingeführt. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

Die Richards-Gleichung findet sich in zahlreichen umweltwissenschaftlichen Publikationen, da sie die Strömung in der ungesättigten Zone zwischen Atmosphäre und Grundwasserleiter beschreibt . Sie wird auch in rein mathematischen Fachzeitschriften behandelt, da sie nicht-triviale Lösungen besitzt. Die oben genannte gemischte Formulierung beinhaltet zwei unbekannte Variablen: und . Diese lassen sich leicht durch Betrachtung der konstitutiven Beziehung lösen , die als Wasserrückhaltekurve bekannt ist . Mithilfe der Kettenregel kann die Richards-Gleichung entweder als -Form (druckbasiert) oder als -Form (sättigungsbasiert) umformuliert werden. ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle h}$${\displaystyle \theta (h)}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \theta }$

Die Anwendung der Kettenregel auf die zeitliche Ableitung führt zu

${\displaystyle {\frac {\partial \theta (h)}{\partial t}}={\frac {{\textrm {d}}\theta }{{\textrm {d}}h}}{\frac {\partial h}{\partial t}}}$,

Dabei wird als Wasserspeicherkapazität bezeichnet . Die Gleichung lautet dann: ${\displaystyle {\frac {{\textrm {d}}\theta }{{\textrm {d}}h}}}$${\displaystyle C(h)}$

${\displaystyle C(h){\frac {\partial h}{\partial t}}=\nabla \cdot \left(\mathbf {K} (h)\nabla h+\nabla z\right)-S}$Die

Die auf dem Kopf basierende Richards-Gleichung ist anfällig für folgendes Rechenproblem: Die diskretisierte zeitliche Ableitung unter Verwendung der impliziten Rothe- Methode liefert die folgende Näherung:

${\displaystyle {\frac {\Delta \theta }{\Delta t}}\approx C(h){\frac {\Delta h}{\Delta t}},\quad {\mbox{and so}}\quad {\frac {\Delta \theta }{\Delta t}}-C(h){\frac {\Delta h}{\Delta t}}=\varepsilon .}$

Diese Näherung führt zu einem Fehler , der die Massenerhaltung der numerischen Lösung beeinträchtigt, weshalb spezielle Strategien für die Behandlung zeitlicher Ableitungen erforderlich sind. ^{[ 7 ]}${\displaystyle \varepsilon }$

Die Anwendung der Kettenregel auf die räumliche Ableitung führt zu

${\displaystyle \mathbf {K} (h)\nabla h=\mathbf {K} (h){\frac {{\textrm {d}}h}{{\textrm {d}}\theta }}\nabla \theta ,}$

Dabei ist , was sich weiter formulieren lässt als , die sogenannte Bodenwasserdiffusivität . Die Gleichung lautet dann: ${\displaystyle \mathbf {K} (h){\frac {{\textrm {d}}h}{{\textrm {d}}\theta }}}$${\displaystyle {\frac {\mathbf {K} (\theta )}{C(\theta )}}}$${\displaystyle \mathbf {D} (\theta )}$

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {D} (\theta )\nabla \theta -S.}$

Die auf der Sättigung basierende Richards-Gleichung ist anfällig für folgende Rechenprobleme. Da die Grenzwerte und , wobei der gesättigte (maximale) Wassergehalt und der Restwassergehalt (minimale) ist, ist eine erfolgreiche numerische Lösung nur für Wassergehaltsbereiche zufriedenstellend unterhalb der vollständigen Sättigung (die Sättigung sollte sogar unter dem Lufteintrittswert liegen ) sowie oberhalb des Restwassergehalts zufriedenstellend. ^{[ 8 ]}${\displaystyle \lim _{\theta \to \theta _{s}}||\mathbf {D} (\theta )||=\infty }$${\displaystyle \lim _{\theta \to \theta _{r}}||\mathbf {D} (\theta )||=\infty }$${\displaystyle \theta _{s}}$${\displaystyle \theta _{r}}$

Die Richards-Gleichung in all ihren Formen beinhaltet die hydraulischen Bodeneigenschaften, die durch fünf Parameter repräsentiert werden . Diese umfassen typischerweise die Parameter der Wasserrückhaltekurve nach van Genuchten ^{[ 9 ]} ( ), wobei der Kehrwert des Lufteintrittswerts [L⁻¹ ^] , der Parameter der Porengrößenverteilung [-] und üblicherweise als angenommen wird . Zusätzlich muss die gesättigte hydraulische Leitfähigkeit (die in nicht -isotropen Umgebungen ein Tensor zweiter Ordnung ist ) angegeben werden. Die Bestimmung dieser Parameter ist oft komplex und war Gegenstand zahlreicher Veröffentlichungen über mehrere Jahrzehnte. ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]}${\displaystyle \alpha ,\,n,\,m,\,\theta _{s},\theta _{r}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m=1-{\frac {1}{n}}}$${\displaystyle \mathbf {K} _{s}}$

Die numerische Lösung der Richards-Gleichung zählt zu den anspruchsvollsten Problemen der Geowissenschaften. ^{[ 16 ]} Die Richards-Gleichung wurde aufgrund ihres hohen Rechenaufwands und ihrer Unvorhersehbarkeit kritisiert ^{[ 17 , 18 ]} , da die Konvergenz eines Lösungsverfahrens für bestimmte Bodenmodellgleichungen nicht garantiert ist. Um diese Schwierigkeit zu überwinden, sind daher fortgeschrittene Rechen- und Softwarelösungen erforderlich. Die Methode wurde außerdem dafür kritisiert, die Rolle der Kapillarität zu stark zu betonen ^{[ 19 ] und} in mancher Hinsicht zu simplistisch zu sein ^{[ 20 ].} In eindimensionalen Simulationen der Regenwasserinfiltration in trockene Böden ist eine feine räumliche Diskretisierung von weniger als einem Zentimeter nahe der Erdoberfläche erforderlich ^{[ 21 ].} Dies ist auf die geringe Größe des repräsentativen Elementarvolumens für die Mehrphasenströmung in porösen Medien zurückzuführen. In dreidimensionalen Anwendungen unterliegt die numerische Lösung der Richards-Gleichung Aspektverhältnisbeschränkungen , wobei das Verhältnis der horizontalen zur vertikalen Auflösung im Lösungsbereich kleiner als etwa 7 sein sollte.

• Infiltration (Hydrologie)
• Wasserretentionskurve
• Methode der Strömung in der ungesättigten Zone bei endlichem Wassergehalt
• Bodenfeuchtegeschwindigkeitsgleichung