Mittlere quadratische Abweichung

Die mittlere quadratische Abweichung ( RMSD ) bzw. der mittlere quadratische Fehler ( RMSE ) ist ein häufig verwendetes Maß für die Abweichung zwischen tatsächlich beobachteten Werten und deren Schätzung (z. B. zwischen wahren und vorhergesagten Werten in Regressionsaufgaben des maschinellen Lernens ). Die Abweichung entspricht typischerweise der Differenz von Skalaren ; sie kann aber auch auf die Vektorlängen einer Verschiebung verallgemeinert werden , wie im bioinformatischen Konzept der mittleren quadratischen Abweichung von Atompositionen .

Der RMSD-Wert einer Stichprobe ist das quadratische Mittel der Differenzen zwischen den beobachteten und den vorhergesagten Werten. Diese Abweichungen werden als Residuen bezeichnet , wenn die Berechnungen anhand der für die Schätzung verwendeten Stichprobe durchgeführt werden (und beziehen sich daher immer auf eine Schätzung). Werden sie außerhalb der Stichprobe berechnet (d. h. am vollständigen Datensatz, bezogen auf einen wahren Wert und nicht auf eine Schätzung), werden sie als Fehler (oder Vorhersagefehler) bezeichnet. Der RMSD-Wert dient dazu, die Größenordnungen der Vorhersagefehler für verschiedene Datenpunkte zu einem einzigen Maß für die Vorhersagekraft zusammenzufassen. Der RMSD-Wert ist ein Genauigkeitsmaß , das zum Vergleich von Vorhersagefehlern verschiedener Modelle für einen bestimmten Datensatz und nicht zwischen verschiedenen Datensätzen verwendet wird, da er skalenabhängig ist. ^{[ 1 ]}

Der RMSD-Wert ist immer nicht negativ, und ein Wert von 0 (in der Praxis nahezu nie erreicht) würde eine perfekte Anpassung an die Daten bedeuten. Im Allgemeinen ist ein niedrigerer RMSD-Wert besser als ein höherer. Vergleiche zwischen verschiedenen Datentypen sind jedoch ungültig, da das Maß von der Skala der verwendeten Zahlen abhängt.

Der RMSD-Wert ist die Quadratwurzel aus dem Mittelwert der quadrierten Fehler. Der Einfluss jedes Fehlers auf den RMSD-Wert ist proportional zur Größe des quadrierten Fehlers; daher haben größere Fehler einen überproportional großen Einfluss auf den RMSD-Wert. Folglich reagiert der RMSD-Wert empfindlich auf Ausreißer . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Der RMSD eines Schätzers in Bezug auf einen geschätzten Parameter ist definiert als die Quadratwurzel des mittleren quadratischen Fehlers : ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$${\displaystyle \theta }$$${\displaystyle \operatorname {RMSD} ({\hat {\theta }})={\sqrt {\operatorname {MSE} ({\hat {\theta }})}}={\sqrt {\operatorname {E} {\big (}({\hat {\theta }}-\theta )^{2}{\big )}}}.}$$

Bei einem erwartungstreuen Schätzer ist der RMSD die Quadratwurzel der Varianz , die als Standardabweichung bekannt ist .

Wenn X₁ _, ..., Xₙ eine Stichprobe einer Grundgesamtheit mit _dem wahren Mittelwert ist , dann ist die RMSD der Stichprobe ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle \operatorname {RMSD} ={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-x_{0})^{2}}}}$Die

Der RMSD der vorhergesagten Werte für die Zeitpunkte t einer Regression mit über T Zeitpunkte beobachteten Variablen wird für T verschiedene Vorhersagen als Quadratwurzel des Mittelwerts der Quadrate der Abweichungen berechnet :${\displaystyle {\hat {y}}_{t}}$${\displaystyle y_{t},}$

${\displaystyle \operatorname {RMSD} ={\sqrt {\frac {\sum _{t=1}^{T}(y_{t}-{\hat {y}}_{t})^{2}}{T}}}.}$

(Bei Regressionen auf Basis von Querschnittsdaten wird der Index t durch i und T durch n ersetzt .)

In einigen Disziplinen wird der RMSD verwendet, um Unterschiede zwischen zwei Größen zu vergleichen, die variieren können, wobei keine der beiden als „Standard“ gilt. Beispielsweise lautet die Formel zur Messung der durchschnittlichen Differenz zwischen zwei Zeitreihen :${\displaystyle x_{1,t}}$${\displaystyle x_{2,t}}$

${\displaystyle \operatorname {RMSD} ={\sqrt {\frac {\sum _{t=1}^{T}(x_{1,t}-x_{2,t})^{2}}{T}}}.}$

Die Normalisierung des RMSD erleichtert den Vergleich zwischen Datensätzen oder Modellen mit unterschiedlichen Skalen. Obwohl es in der Literatur keine einheitliche Methode zur Normalisierung gibt, werden häufig der Mittelwert oder die Spannweite (definiert als Maximalwert minus Minimalwert) der Messdaten verwendet: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \mathrm {NRMSD} ={\frac {\mathrm {RMSD} }{y_{\max }-y_{\min }}}}$oder .${\displaystyle \mathrm {NRMSD} ={\frac {\mathrm {RMSD} }{\bar {y}}}}$

Dieser Wert wird üblicherweise als normalisierte mittlere quadratische Abweichung ( NRMSD oder NRMSE) bezeichnet und oft in Prozent angegeben, wobei niedrigere Werte eine geringere Restvarianz bedeuten. Er wird auch Variationskoeffizient oder prozentualer RMS-Wert genannt . In vielen Fällen, insbesondere bei kleineren Stichproben, kann die Stichprobengröße die Spannweite beeinflussen, was Vergleiche erschwert.

Eine weitere Möglichkeit, den RMSD als Vergleichsmaßstab aussagekräftiger zu gestalten, besteht darin, den RMSD durch den Interquartilsabstand (IQR) zu teilen. Durch die Division des RMSD durch den IQR wird der normalisierte Wert weniger empfindlich gegenüber Extremwerten der Zielvariablen.

${\displaystyle \mathrm {RMSDIQR} ={\frac {\mathrm {RMSD} }{IQR}}}$ Wo${\displaystyle IQR=Q_{3}-Q_{1}}$

mit und wobei CDF ^{−1 die} Quantilfunktion ist . ${\displaystyle Q_{1}={\text{CDF}}^{-1}(0.25)}$${\displaystyle Q_{3}={\text{CDF}}^{-1}(0.75),}$

Bei der Normierung anhand des Mittelwerts der Messwerte kann zur Vermeidung von Mehrdeutigkeiten der Begriff Variationskoeffizient des RMSD, CV(RMSD), verwendet werden. ^{[ 5 ]} Dies ist analog zum Variationskoeffizienten, wobei der RMSD anstelle der Standardabweichung steht .

${\displaystyle \mathrm {CV(RMSD)} ={\frac {\mathrm {RMSD} }{\bar {y}}}.}$

• In der Meteorologie , um zu sehen, wie effektiv ein mathematisches Modell das Verhalten der Atmosphäre vorhersagt .
• In der Bioinformatik ist die mittlere quadratische Abweichung der Atompositionen das Maß für den durchschnittlichen Abstand zwischen den Atomen übereinanderliegender Proteine .
• Beim strukturorientierten Wirkstoffdesign ist der RMSD ein Maß für die Differenz zwischen einer Kristallkonformation der Ligandenkonformation und einer Docking- Vorhersage.
• In der Wirtschaftswissenschaft wird der RMSD verwendet, um zu bestimmen, ob ein ökonomisches Modell zu ökonomischen Indikatoren passt . ^{[ 6 ]}
• In der experimentellen Psychologie wird der RMSD verwendet, um zu beurteilen, wie gut mathematische oder computergestützte Verhaltensmodelle das empirisch beobachtete Verhalten erklären.
• In GIS ist der RMSD ein Maß, das zur Beurteilung der Genauigkeit von räumlichen Analysen und Fernerkundungsdaten verwendet wird .
• In der Hydrogeologie werden RMSD und NRMSD zur Bewertung der Kalibrierung eines Grundwassermodells verwendet. ^{[ 7 ]}
• In der Bildwissenschaft ist der RMSD-Wert Teil des Signal-Rausch-Verhältnisses , eines Maßes, das verwendet wird, um zu beurteilen, wie gut eine Methode zur Rekonstruktion eines Bildes im Vergleich zum Originalbild funktioniert.
• In der Computerneurowissenschaft wird der RMSD-Wert verwendet, um zu beurteilen, wie gut ein System ein bestimmtes Modell lernt. ^{[ 8 ]}
• In der Kernspinresonanzspektroskopie von Proteinen wird der RMSD-Wert als Maß für die Qualität des erhaltenen Strukturbündels verwendet.
• Die für den Netflix-Preis eingereichten Beiträge wurden anhand des RMSD-Werts der nicht offengelegten „wahren“ Werte des Testdatensatzes bewertet.
• Bei der Simulation des Energieverbrauchs von Gebäuden werden RMSE und CV(RMSE) verwendet, um Modelle an die gemessene Gebäudeleistung anzupassen . ^{[ 9 ]}
• In der Röntgenkristallographie wird RMSD (und RMSZ) verwendet, um die Abweichung der molekularen internen Koordinaten von den Werten der Restriktionsbibliothek zu messen.
• In der Regelungstechnik wird der RMSE als Qualitätsmaß zur Bewertung der Leistungsfähigkeit eines Zustandsbeobachters verwendet . ^{[ 10 ]}
• In der Fluiddynamik werden die normalisierte mittlere quadratische Abweichung (NRMSD), der Variationskoeffizient (CV) und der prozentuale Effektivwert verwendet, um die Gleichmäßigkeit des Strömungsverhaltens, wie z. B. Geschwindigkeitsprofil, Temperaturverteilung oder Gaskonzentration, zu quantifizieren. Die Werte werden mit Industriestandards verglichen, um die Auslegung von Strömungs- und Wärmeanlagen sowie -prozessen zu optimieren.

• Quadratischer Mittelwert
• Mittlerer absoluter Fehler
• Mittlere absolute Abweichung
• Mittlere Abweichung
• Mittlere quadratische Abweichung
• Quadrierte Abweichungen
• Fehler und Residuen in der Statistik
• Variationskoeffizient
• Quadrat des normalisierten Schätzfehlers