Seiberg-Witten-Invarianten

In der Mathematik, und insbesondere in der Eichtheorie , sind Seiberg-Witten-Invarianten Invarianten kompakter glatter orientierter 4-Mannigfaltigkeiten , die von Edward Witten  ( 1994 ) unter Verwendung der Seiberg-Witten-Theorie eingeführt wurden, welche von Nathan Seiberg und Witten  ( 1994a , 1994b ) im Rahmen ihrer Untersuchungen zur Seiberg-Witten-Eichtheorie erforscht wurde .

Seiberg-Witten-Invarianten ähneln Donaldson-Invarianten und können verwendet werden, um ähnliche (manchmal aber etwas stärkere) Ergebnisse über glatte 4-Mannigfaltigkeiten zu beweisen. Sie sind technisch wesentlich einfacher zu handhaben als Donaldson-Invarianten; beispielsweise ist der Seiberg-Witten-Modulraum der Lösungen der Seiberg-Witten-Gleichungen bis auf eine Eichung tendenziell kompakt, sodass man die schwierigen Probleme der Kompaktifizierung des Yang-Mills-Modulraums der Lösungen der Yang-Mills-Gleichungen bis auf eine Eichung in der Donaldson-Theorie umgeht .

Detaillierte Beschreibungen der Seiberg-Witten-Invarianten finden sich in ( Donaldson 1996 ), ( Moore 2001 ), ( Morgan 1996 ), ( Nicolaescu 2000 ) und ( Scorpan 2005 , Kapitel 10). Zum Zusammenhang mit symplektischen Mannigfaltigkeiten und Gromov-Witten-Invarianten siehe ( Taubes 2000 ). Zur frühen Geschichte siehe ( Jackson 1995 ).

Die vierte Spin- ^c- Gruppe ist

${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(4)=(\operatorname {Spin} (4)\times \operatorname {U} (1))/\mathbb {Z} _{2}\cong \operatorname {U} (2)\times _{\operatorname {U} (1)}\operatorname {U} (2)}$

wobei das als Vorzeichen auf beide Faktoren wirkt. Die Gruppe besitzt einen natürlichen Homomorphismus zu SO(4) = Spin(4)/±1 . ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Gegeben sei eine kompakte, orientierte 4-Mannigfaltigkeit. Wir wählen eine glatte Riemannsche Metrik mit Levi-Civita-Zusammenhang . Dies reduziert die Strukturgruppe von der Zusammenhangskomponente GL(4) ₊ auf SO(4) und ist aus homotopischer Sicht unschädlich. Eine Spin ^-c- Struktur oder komplexe Spin-Struktur auf M ist eine Reduktion der Strukturgruppe auf Spin ^c , d. h. eine Liftung der SO(4)-Struktur auf dem Tangentialbündel zur Gruppe Spin ^c . Nach einem Satz von Hirzebruch und Hopf besitzt jede glatte, orientierte, kompakte 4-Mannigfaltigkeit eine Spin- ^c- Struktur. ^{[ 1 ]} Die Existenz einer Spin- ^c- Struktur ist äquivalent zur Existenz einer Liftung der zweiten Stiefel-Whitney-Klasse auf eine Klasse. Umgekehrt bestimmt eine solche Liftung die Spin- ^c- Struktur bis auf 2 Torsion in . Eine eigentliche Spin-Struktur erfordert die restriktivere${\displaystyle g}$${\displaystyle \nabla ^{g}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle w_{2}(M)\in H^{2}(M,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$${\displaystyle K\in H^{2}(M,\mathbb {Z} ).}$${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} ).}$${\displaystyle w_{2}(M)=0.}$

Eine Spin ^-c- Struktur bestimmt (und wird bestimmt durch) ein Spinorbündel, das aus der zweidimensionalen komplexen positiven und negativen Spinordarstellung von Spin(4) stammt, auf der U(1) durch Multiplikation wirkt. Es gilt . Das Spinorbündel besitzt eine graduierte Clifford-Algebra- Bündeldarstellung, d. h. eine Abbildung, sodass für jede 1-Form gilt: und . Es existiert eine eindeutige hermitesche Metrik auf st, die für reelle 1-Formen schiefhermitesch ist . Sie liefert eine induzierte Wirkung der Formen durch Antisymmetrisierung. Insbesondere liefert dies einen Isomorphismus der selbstdualen 2-Formen mit den spurlosen schiefhermiteschen Endomorphismen von , die dann identifiziert werden. ${\displaystyle W=W^{+}\oplus W^{-}}$${\displaystyle K=c_{1}(W^{+})=c_{1}(W^{-})}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \gamma :\mathrm {Cliff} (M,g)\to {\mathcal {E}}{\mathit {nd}}(W)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \gamma (a):W^{\pm }\to W^{\mp }}$${\displaystyle \gamma (a)^{2}=-g(a,a)}$${\displaystyle h}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \gamma (a)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \wedge ^{*}M}$${\displaystyle \wedge ^{+}M\cong {\mathcal {E}}{\mathit {nd}}_{0}^{sh}(W^{+})}$${\displaystyle W^{+}}$

Sei das Determinantenbündel mit . Für jeden Zusammenhang mit auf existiert ein eindeutiger Spinorzusammenhang auf , d. h. ein Zusammenhang, sodass für jede 1-Form und jedes Vektorfeld gilt. Der Clifford-Zusammenhang definiert dann einen Dirac-Operator auf . Die Gruppe der Abbildungen wirkt als Eichgruppe auf der Menge aller Zusammenhänge auf . Die Wirkung von kann z. B. durch die Bedingung „eichfixiert“ werden , wodurch eine effektive Parametrisierung des Raums aller solcher Zusammenhänge von mit einer residualen Eichgruppenwirkung verbleibt. ${\displaystyle L=\det(W^{+})\equiv \det(W^{-})}$${\displaystyle c_{1}(L)=K}$${\displaystyle \nabla _{A}=\nabla _{0}+A}$${\displaystyle A\in iA_{\mathbb {R} }^{1}(M)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \nabla ^{A}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \nabla _{X}^{A}(\gamma (a)):=[\nabla _{X}^{A},\gamma (a)]=\gamma (\nabla _{X}^{g}a)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle X}$${\displaystyle D^{A}=\gamma \otimes 1\circ \nabla ^{A}=\gamma (dx^{\mu })\nabla _{\mu }^{A}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle {\mathcal {G}}=\{u:M\to U(1)\}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle d^{*}A=0}$${\displaystyle H^{1}(M,\mathbb {R} )^{\mathrm {harm} }/H^{1}(M,\mathbb {Z} )\oplus d^{*}A_{\mathbb {R} }^{+}(M)}$${\displaystyle U(1)}$

Wir schreiben für ein Spinorfeld positiver Chiralität, d. h. einen Schnitt von . Die Seiberg-Witten-Gleichungen für lauten nun ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle W^{+}}$${\displaystyle (\phi ,\nabla ^{A})}$

$${\displaystyle D^{A}\phi =0}$$$${\displaystyle F_{A}^{+}=\sigma (\phi )+i\omega }$$

Hierbei ist die geschlossene Krümmungs-2-Form von , ihr selbstdualer Anteil und σ die Quadrierungsabbildung von nach , ein spurloser hermitescher Endomorphismus von , identifiziert mit einer imaginären selbstdualen 2-Form, und eine reelle selbstduale 2-Form, die oft als Null oder harmonisch angenommen wird. Die Eichgruppe wirkt auf dem Lösungsraum. Nach Hinzufügen der Eichfixierungsbedingung wirkt das Residuum U(1) frei, außer für „reduzierbare Lösungen“ mit . Aus technischen Gründen sind die Gleichungen in geeigneten Sobolev-Räumen mit ausreichend hoher Regularität definiert .${\displaystyle F^{A}\in iA_{\mathbb {R} }^{2}(M)}$${\displaystyle \nabla ^{A}}$${\displaystyle F_{A}^{+}}$${\displaystyle \phi \mapsto \left(\phi h(\phi ,-)-{\tfrac {1}{2}}h(\phi ,\phi )1_{W^{+}}\right)}$${\displaystyle W^{+}}$${\displaystyle W^{+}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle d^{*}A=0}$${\displaystyle \phi =0}$

Eine Anwendung der Weitzenböck-Formel

$${\displaystyle {\nabla ^{A}}^{*}\nabla ^{A}\phi =\left(D^{A}\right)^{2}\phi -\left({\tfrac {1}{2}}\gamma {\left(F_{A}^{+}\right)}+s\right)\phi }$$

und die Identität

$${\displaystyle \Delta _{g}\left|\phi \right|_{h}^{2}=2h{\left({\nabla ^{A}}^{*}\nabla ^{A}\phi ,\phi \right)}-2\left|\nabla ^{A}\phi \right|_{g\otimes h}}$$

Die Lösungen der Gleichungen ergeben eine Gleichung

$${\displaystyle \Delta \left|\phi \right|^{2}+\left|\nabla ^{A}\phi \right|^{2}+{\tfrac {1}{4}}\left|\phi \right|^{4}=(-s)\left|\phi \right|^{2}-{\tfrac {1}{2}}h(\phi ,\gamma (\omega )\phi ).}$$

Wenn maximal ist , zeigt dies, dass für jede Lösung die Supremumsnorm a priori beschränkt ist , wobei die Schranke nur von der Skalarkrümmung von und der selbstdualen Form abhängt . Nach Hinzufügen der Eichfixierungsbedingung zeigt die elliptische Regularität der Dirac-Gleichung , dass die Lösungen tatsächlich a priori in Sobolev-Normen beliebiger Regularität beschränkt sind, was beweist, dass alle Lösungen glatt sind und der Raum aller Lösungen bis auf Eichäquivalenz kompakt ist. ${\displaystyle |\phi |^{2}}$${\displaystyle \Delta |\phi |^{2}\geq 0}$${\displaystyle \|\phi \|_{\infty }}$${\displaystyle s}$${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle \omega }$

Die Lösungen der Seiberg-Witten-Gleichungen werden Monopole genannt , da es sich bei diesen Gleichungen um die Feldgleichungen masseloser magnetischer Monopole auf der Mannigfaltigkeit handelt . ${\displaystyle (\phi ,\nabla ^{A})}$${\displaystyle M}$

Der Lösungsraum wird von der Eichgruppe bearbeitet, und der Quotient dieser Bearbeitung wird Modulraum der Monopole genannt.

Der Modulraum ist üblicherweise eine Mannigfaltigkeit. Für generische Metriken schneiden die Gleichungen nach der Eichfixierung den Lösungsraum transversal aus und definieren somit eine glatte Mannigfaltigkeit. Die residuale U(1)-„eichfixierte“ Eichgruppe U(1) wirkt frei, außer an reduziblen Monopolen, d. h. Lösungen mit . Nach dem Atiyah-Singer-Indexsatz ist der Modulraum endlichdimensional und besitzt eine „virtuelle Dimension“. ${\displaystyle \phi =0}$

${\displaystyle (K^{2}-2\chi _{\mathrm {top} }(M)-3\operatorname {sign} (M))/4}$

Bei generischen Metriken entspricht dies der tatsächlichen Dimension abseits der Reduzierbaren. Das bedeutet, dass der Modulraum im Allgemeinen leer ist, wenn die virtuelle Dimension negativ ist.

Für eine selbstduale 2-Form haben die reduzierbaren Lösungen , und sind daher durch Zusammenhänge auf bestimmt , sodass für eine anti-selbstduale 2-Form gilt . Nach der Hodge-Zerlegung ist aufgrund der Abgeschlossenheit von die einzige Hürde für die Lösung dieser Gleichung für gegebene und der harmonische Anteil von und sowie der harmonische Anteil, oder äquivalent dazu, die (de Rham)-Kohomologieklasse der Krümmungsform , d . h. . Da die notwendige und hinreichende Bedingung für eine reduzierbare Lösung lautet, ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \phi =0}$${\displaystyle \nabla _{A}=\nabla _{0}+A}$${\displaystyle L}$${\displaystyle F_{0}+dA=i(\alpha +\omega )}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle F_{0}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle [F_{0}]=F_{0}^{\mathrm {harm} }=i(\omega ^{\mathrm {harm} }+\alpha ^{\mathrm {harm} })\in H^{2}(M,\mathbb {R} )}$${\displaystyle [{\tfrac {1}{2\pi i}}F_{0}]=K}$

${\displaystyle \omega ^{\mathrm {harm} }\in 2\pi K+{\mathcal {H}}^{-}\in H^{2}(X,\mathbb {R} )}$

Hierbei ist der Raum der harmonischen anti-selbstdualen 2-Formen. Eine 2-Form ist -zulässig, wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, und Lösungen sind notwendigerweise irreduzibel. Insbesondere ist für der Modulraum eine (möglicherweise leere) kompakte Mannigfaltigkeit für generische Metriken und zulässige . Beachten Sie, dass der Raum der -zulässigen 2-Formen zusammenhängend ist, wenn er zwei Zusammenhangskomponenten (Kammern) besitzt. Dem Modulraum kann eine natürliche Orientierung durch eine Orientierung auf dem Raum der positiven harmonischen 2-Formen und der ersten Kohomologie gegeben werden. ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{-}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle K}$${\displaystyle b^{+}\geq 1}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle b_{+}\geq 2}$${\displaystyle K}$${\displaystyle b_{+}=1}$

Die a priori- Schranke für die Lösungen liefert auch a priori -Schranken für . Daher gibt es (für festes ) nur endlich viele und somit nur endlich viele Spin- ^c- Strukturen mit einem nichtleeren Modulraum. ${\displaystyle F^{\mathrm {harm} }}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle K\in H^{2}(M,\mathbb {Z} )}$

^Die Seiberg-Witten-Invariante einer vierdimensionalen Mannigfaltigkeit _M mit b²⁺ ( M ) ≥ 2 ist eine Abbildung von den Spin- ^c- Strukturen auf M nach Z. Der Wert der Invariante auf einer Spin- ^c- Struktur lässt sich am einfachsten definieren, wenn der Seiberg-Witten-Modulraum (für eine generische Metrik) nulldimensional ist. In diesem Fall entspricht der Wert der Anzahl der Elemente des Modulraums, wobei die Vorzeichen berücksichtigt werden.

Die Seiberg-Witten-Invariante kann auch dann definiert werden, wenn b ₂ ⁺ ( M ) = 1, dann hängt sie jedoch von der Wahl der Kammer ab.

Eine Mannigfaltigkeit M heißt vom einfachen Typ , wenn die Seiberg-Witten-Invariante verschwindet, sobald die erwartete Dimension des Modulraums ungleich null ist. Die Vermutung über einfache Typen besagt, dass eine einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeit M _mit b² ⁺ ( M ) ≥ 2 vom einfachen Typ ist. Dies gilt für symplektische Mannigfaltigkeiten.

Besitzt die Mannigfaltigkeit M eine Metrik positiver Skalarkrümmung und _{gilt b²⁺} ( M ) ≥ 2 ^, so verschwinden alle Seiberg-Witten-Invarianten von M. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Wenn die Mannigfaltigkeit M die zusammenhängende Summe zweier Mannigfaltigkeiten ist , die beide b ₂ ⁺ ≥ 1 haben, dann verschwinden  alle Seiberg–Witten-Invarianten von M.

Ist die Mannigfaltigkeit M einfach zusammenhängend und symplektisch und gilt b ₂ ⁺ ( M ) ≥ 2, so besitzt sie eine Spin- ^c- Struktur s, auf der die Seiberg-Witten-Invariante 1 ist. Insbesondere kann sie nicht als zusammenhängende Summe von Mannigfaltigkeiten mit b ₂ ⁺  ≥ 1 zerlegt werden .

• Seiberg-Witten-Fluss

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• Seiberg-Witten-Gleichungen und Seiberg-Witten-Invariante bei n Labor