Satz von Sharkovskii

In der Mathematik ist der Satz von Scharkowski (auch Scharkowski- , Scharkowski- , Šarkowskii- oder Sarkovskii- Satz geschrieben ), benannt nach Oleksandr Mykolayovych Scharkowski , der ihn 1964 veröffentlichte, ein Ergebnis über diskrete dynamische Systeme . ^{[ 1 ]} Eine der Implikationen des Satzes ist, dass ein diskretes dynamisches System auf der reellen Zahlengeraden, das einen periodischen Punkt der Periode 3 besitzt , auch periodische Punkte jeder anderen Periode aufweisen muss.

Sei f eine stetige Funktion in einem Intervall . Die Zahl f heißt periodischer Punkt der Periode f , wenn f(f) = f(f) gilt , wobei f(f) die durch Komposition von Kopien von f(f ) erhaltene iterierte Funktion bezeichnet . Die Zahl f hat die kleinste Periode , wenn zusätzlich f(f) = f(f) für alle n gilt . Der Satz von Sharkovskii befasst sich mit den möglichen kleinsten Perioden periodischer Punkte von f. Betrachten wir die folgende Ordnung der positiven ganzen Zahlen , die manchmal als Sharkovskii-Ordnung bezeichnet wird: ^{[ 2 ]}${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$$${\displaystyle f:I\to I}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle m}$${\displaystyle f^{(m)}(x)=x}$${\displaystyle f^{(m)}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle m}$${\displaystyle f^{(k)}(x)\neq x}$${\displaystyle 0<k<m}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle {\begin{array}{cccccccc}3&5&7&9&11&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{0}&\ldots \\3\cdot 2&5\cdot 2&7\cdot 2&9\cdot 2&11\cdot 2&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{1}&\ldots \\3\cdot 2^{2}&5\cdot 2^{2}&7\cdot 2^{2}&9\cdot 2^{2}&11\cdot 2^{2}&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{2}&\ldots \\3\cdot 2^{3}&5\cdot 2^{3}&7\cdot 2^{3}&9\cdot 2^{3}&11\cdot 2^{3}&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{3}&\ldots \\&\vdots \\\ldots &2^{n}&\ldots &2^{4}&2^{3}&2^{2}&2&1\end{array}}}$$

Es besteht aus:

• die ungeraden Zahlen ausgenommen, in aufsteigender Reihenfolge,${\displaystyle 1}$${\displaystyle =(2n+1)\cdot 2^{0}}$
• Das Zweifache der ungeraden Zahlen in aufsteigender Reihenfolge,${\displaystyle =(2n+1)\cdot 2^{1}}$
• Das Vierfache der ungeraden Zahlen in aufsteigender Reihenfolge,${\displaystyle =(2n+1)\cdot 2^{2}}$
• das Achtfache der ungeraden Zahlen ,${\displaystyle =(2n+1)\cdot 2^{3}}$
• usw.${\displaystyle =(2n+1)\cdot 2^{m}}$
• Schließlich die Zweierpotenzen in absteigender Reihenfolge.${\displaystyle =2^{n}}$

Diese Ordnung ist eine Totalordnung : Jede positive ganze Zahl kommt genau einmal irgendwo in dieser Liste vor. Sie ist jedoch keine Wohlordnung . In einer Wohlordnung hätte jede Teilmenge ein frühestes Element, aber in dieser Ordnung gibt es keine früheste Zweierpotenz.

Der Satz von Sharkovskii besagt, dass, wenn ein periodischer Punkt der kleinsten Periode besitzt und in der obigen Reihenfolge vorangeht , auch einen periodischen Punkt der kleinsten Periode besitzt . ${\displaystyle f}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f}$${\displaystyle n}$

Eine Konsequenz daraus ist, dass, wenn ein System nur endlich viele periodische Punkte besitzt, diese alle Perioden haben müssen, die Zweierpotenzen sind. Außerdem gilt: Wenn es einen periodischen Punkt mit der Periode drei gibt, dann gibt es periodische Punkte mit allen anderen Perioden. ${\displaystyle f}$

Der Satz von Sharkovskii besagt nicht, dass es stabile Zyklen mit diesen Perioden gibt, sondern lediglich, dass Zyklen mit diesen Perioden existieren. Bei Systemen wie der logistischen Abbildung zeigt das Bifurkationsdiagramm einen Bereich von Parameterwerten, für den scheinbar nur ein Zyklus die Periode 3 aufweist. Tatsächlich müssen dort Zyklen mit allen Perioden existieren, diese sind jedoch nicht stabil und daher in der computergenerierten Darstellung nicht sichtbar.

Die Annahme der Stetigkeit ist wichtig. Ohne diese Annahme wäre die unstetige, stückweise lineare Funktion, die wie folgt definiert ist: , für die jeder Wert die Periode 3 hat, ein Gegenbeispiel. Ebenso wesentlich ist die Annahme, dass die Funktion auf einem Intervall definiert ist. Andernfalls wäre die Funktion, die auf den reellen Zahlen außer der einen definiert ist: , für die jeder von Null verschiedene Wert die Periode 3 hat, ein Gegenbeispiel. ${\displaystyle f:[0,3)\to [0,3)}$$${\displaystyle f:x\mapsto {\begin{cases}x+1&\mathrm {for\ } 0\leq x<2\\x-2&\mathrm {for\ } 2\leq x<3\end{cases}}}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle f:x\mapsto (1-x)^{-1}}$${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{1\},}$

Sharkovskii bewies auch den Umkehrsatz: Jede obere Menge der obigen Ordnung ist die Menge der Perioden einer stetigen Funktion von einem Intervall in sich selbst. Tatsächlich werden alle solchen Periodenmengen durch die Funktionenfamilie für erreicht , mit Ausnahme der leeren Periodenmenge, die durch erreicht wird . ^{[ 3 ] [ 4 ]}${\displaystyle T_{h}:[0,1]\to [0,1]}$${\displaystyle x\mapsto \min(h,1-2|x-1/2|)}$${\displaystyle h\in [0,1]}$${\displaystyle T:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle x\mapsto x+1}$

Andererseits kann ein Punkt der Periode n mit zusätzlichen Informationen über die kombinatorische Struktur der Intervallabbildung, die auf die Punkte einer periodischen Bahn wirkt, die Periode 3 (und damit alle Perioden) erzwingen. Genauer gesagt: Besitzt der Bahntyp (die durch die Abbildung erzeugte zyklische Permutation der Punkte der periodischen Bahn) ein sogenanntes Streckungspaar, so impliziert dies die Existenz eines periodischen Punktes der Periode 3. Es lässt sich (asymptotisch) zeigen, dass fast alle zyklischen Permutationen mindestens ein Streckungspaar besitzen und somit fast alle Bahntypen die Periode 3 implizieren. ^{[ 5 ]}

Tien-Yien Li und James A. Yorke zeigten 1975, dass die Existenz eines Perioden-3-Zyklus nicht nur die Existenz von Zyklen aller Perioden impliziert, sondern darüber hinaus auch die Existenz einer überabzählbaren Unendlichkeit von Punkten, die niemals auf einen Zyklus abgebildet werden können ( chaotische Punkte ) – eine Eigenschaft, die als Periode drei impliziert Chaos bekannt ist . ^{[ 6 ]}

Der Satz von Sharkovskii ist nicht unmittelbar auf dynamische Systeme auf anderen topologischen Räumen anwendbar. Es ist leicht, eine Kreisabbildung mit periodischen Punkten der Periode 3 zu finden: Man betrachte beispielsweise eine Drehung um 120 Grad. Es sind jedoch Verallgemeinerungen möglich, die typischerweise die Abbildungsklassengruppe des Raumes abzüglich einer periodischen Bahn betreffen. Peter Kloeden zeigte beispielsweise, dass der Satz von Sharkovskii für Dreiecksabbildungen gilt, d. h. für Abbildungen, deren Komponente f _{_i} nur von den ersten i Komponenten x _₁ , ..., x_{_i} abhängt . ^{[ 7 ]}

• Weisstein, Eric W. „Satz von Sharkovsky“ . MathWorld .
• Satz von Sharkovskii bei PlanetMath .
• Teschl, Gerald (2012). Gewöhnliche Differentialgleichungen und dynamische Systeme . Providence : American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-8328-0Die
• Misiurewicz, Michal (November 1997). „Bemerkungen zum Satz von Scharkowsky“. The American Mathematical Monthly . 104 (9): 846–847 . doi : 10.1080/00029890.1997.11990727 .
• Keith Burns und Boris Hasselblatt, Der Satz von Sharkovsky: ein natürlicher direkter Beweis
• Scholarpedia: Sharkovsky-Ordnung von Alexander Nikolajewitsch Sharkovsky