Periodischer Punkt

In der Mathematik , genauer gesagt in der Untersuchung iterierter Funktionen und dynamischer Systeme , ist ein periodischer Punkt einer Funktion ein Punkt, zu dem das System nach einer bestimmten Anzahl von Funktionsiterationen oder nach einer bestimmten Zeitspanne zurückkehrt.

Gegeben sei eine Abbildung f von einer Menge X in sich selbst,

${\displaystyle f:X\to X,}$

Ein Punkt x in X heißt periodischer Punkt, wenn es ein n > 0 gibt, sodass

${\displaystyle \ f_{n}(x)=x}$

Dabei ist f_{_n} die n -te Iteration von f . Die kleinste positive ganze Zahl n, die die obige Bedingung erfüllt, wird als Primperiode oder kleinste Periode des Punktes x bezeichnet . Wenn jeder Punkt in X ein periodischer Punkt mit derselben Periode n ist , dann heißt f periodisch mit Periode n (dies ist nicht mit dem Begriff einer periodischen Funktion zu verwechseln ).

Wenn es verschiedene n und m gibt, so dass

${\displaystyle f_{n}(x)=f_{m}(x)}$

Dann wird x als präperiodischer Punkt bezeichnet . Alle periodischen Punkte sind präperiodisch.

Wenn f ein Diffeomorphismus einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ist , sodass die Ableitung definiert ist, dann nennt man einen periodischen Punkt hyperbolisch , wenn ${\displaystyle f_{n}^{\prime }}$

${\displaystyle |f_{n}^{\prime }|\neq 1,}$

dass es attraktiv ist, wenn

${\displaystyle |f_{n}^{\prime }|<1,}$

und es ist abstoßend, wenn

${\displaystyle |f_{n}^{\prime }|>1.}$

Ist die Dimension der stabilen Mannigfaltigkeit eines periodischen Punktes oder Fixpunktes null, so wird der Punkt als Quelle bezeichnet ; ist die Dimension seiner instabilen Mannigfaltigkeit null, so wird er als Senke bezeichnet; und haben sowohl die stabile als auch die instabile Mannigfaltigkeit eine Dimension ungleich null, so wird er als Sattelpunkt bezeichnet .

Ein Punkt mit Periode eins wird als Fixpunkt bezeichnet .

Die Logistikkarte

$${\displaystyle x_{t+1}=rx_{t}(1-x_{t}),\qquad 0\leq x_{t}\leq 1,\qquad 0\leq r\leq 4}$$

Das System zeigt Periodizität für verschiedene Werte des Parameters r . Für r zwischen 0 und 1 ist 0 der einzige periodische Punkt mit Periode 1 (die Folge 0, 0, 0, …, die alle Orbits anzieht ). Für r zwischen 1 und 3 ist der Wert 0 zwar noch periodisch, aber nicht anziehend, während der Wert 0 ein anziehender periodischer Punkt mit Periode 1 ist. Für r größer als 3, aber kleiner als 4 , gibt es ein Paar von Punkten mit Periode 2, die zusammen eine anziehende Folge bilden, sowie die nicht anziehenden Punkte 0 und 0 mit Periode 1. Wenn der Wert des Parameters r in Richtung 4 steigt, entstehen Gruppen von periodischen Punkten mit beliebigen positiven ganzen Zahlen für die Periode; für einige Werte von r ist eine dieser sich wiederholenden Folgen anziehend, während für andere keine von ihnen anziehend ist (wobei fast alle Orbits chaotisch sind). ${\displaystyle {\tfrac {r-1}{r}}}$${\displaystyle 1+{\sqrt {6}},}$${\displaystyle {\tfrac {r-1}{r}}.}$

Gegeben sei ein reales globales dynamisches System mit ${\displaystyle (\mathbb {R} ,X,\Phi ),}$X als Phasenraum und Φ als Evolutionsfunktion ,

${\displaystyle \Phi :\mathbb {R} \times X\to X}$

Ein Punkt x in X heißt periodisch mit Periode T, wenn

${\displaystyle \Phi (T,x)=x\,}$

Das kleinste positive T mit dieser Eigenschaft heißt Primperiode des Punktes x .

• Gegeben sei ein periodischer Punkt x mit Periode T , dann gilt für alle t in ⁠ ⁠${\displaystyle \Phi (t,x)=\Phi (t+T,x)}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• Wenn es einen periodischen Punkt x gibt , dann sind alle Punkte auf der Bahn γ _x durch x periodisch mit der gleichen Primzahlperiode.

• Grenzzyklus
• Limit festgelegt
• Stabiles Set
• Satz von Scharkowsky
• Stationärer Punkt
• Periodische Punkte komplexer quadratischer Abbildungen

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