Shimura-Sorte

In der Zahlentheorie ist eine Shimura-Varietät ein höherdimensionales Analogon einer Modulkurve , die als Quotientenvarietät eines hermiteschen symmetrischen Raums durch eine Kongruenzuntergruppe einer über Q definierten reduktiven algebraischen Gruppe entsteht . Shimura - Varietäten sind keine algebraischen Varietäten , sondern Familien von algebraischen Varietäten. Shimura-Kurven sind die eindimensionalen Shimura-Varietäten. Hilbertsche Modulflächen und Siegelsche Modulvarietäten gehören zu den bekanntesten Klassen von Shimura-Varietäten.

Spezielle Shimura-Varietäten wurden ursprünglich von Goro Shimura im Zuge seiner Verallgemeinerung der komplexen Multiplikationstheorie eingeführt . Shimura zeigte, dass sie, obwohl sie zunächst analytisch definiert wurden, arithmetische Objekte sind, da sie Modelle über einem Zahlkörper , dem Reflexkörper der Shimura-Varietät, zulassen. In den 1970er Jahren schuf Pierre Deligne einen axiomatischen Rahmen für Shimuras Arbeit. 1979 bemerkte Robert Langlands , dass Shimura-Varietäten einen natürlichen Bereich von Beispielen bilden, an denen die im Langlands-Programm postulierte Äquivalenz zwischen motivischen und automorphen L -Funktionen getestet werden kann. Automorphe Formen, die in der Kohomologie einer Shimura-Varietät realisiert werden, sind leichter zu untersuchen als allgemeine automorphe Formen; insbesondere existiert eine Konstruktion, die ihnen Galois-Darstellungen zuordnet. ^{[ 1 ]}

Sei S = Res _{C / R} G _m die Weil-Restriktion der multiplikativen Gruppe von komplexen Zahlen auf reelle Zahlen . Sie ist eine reelle algebraische Gruppe , deren Gruppe der R -Punkte, S ( R ), C ^* und deren Gruppe der C -Punkte C ^* × C ^* ist . Ein Shimura-Datum ist ein Paar ( G , X ), bestehend aus einer (zusammenhängenden) reduktiven algebraischen Gruppe G, definiert über dem Körper Q der rationalen Zahlen , und einer G ( R ) -Konjugationsklasse X von Homomorphismen h : S → G _{R ,} die die folgenden Axiome erfüllen:

• Für jedes h in X dürfen in g _C nur die Gewichte (0,0), (1,−1), (−1,1) vorkommen , d. h. die komplexifizierte Lie-Algebra von G zerfällt in eine direkte Summe

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {C} ={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}^{+}\oplus {\mathfrak {p}}^{-},}$

wobei für jedes z ∈ S , h ( z ) trivial auf den ersten Summanden und via (bzw. ) auf den zweiten (bzw. dritten) Summanden wirkt.${\displaystyle z/{\bar {z}}}$${\displaystyle {\bar {z}}/z}$

• Die adjungierte Wirkung von h( i ) induziert eine Cartan-Involution auf der adjungierten Gruppe von G _R .
• Die adjungierte Gruppe von GR besitzt keinen über Q definierten Faktor H _, sodass die Projektion von h auf H trivial ist.

Aus diesen Axiomen folgt, dass X eine eindeutige Struktur einer komplexen Mannigfaltigkeit (möglicherweise unzusammenhängend) besitzt, sodass für jede Darstellung ρ : G _R → GL ( V ) die Familie ( V ,  ρ  ⋅  h ) eine holomorphe Familie von Hodge-Strukturen ist ; außerdem bildet sie eine Variation der Hodge-Struktur, und X ist eine endliche disjunkte Vereinigung von hermiteschen symmetrischen Bereichen .

Sei Aƒ der Ring der endlichen Adelen von Q. Für jede hinreichend kleine kompakte offene Untergruppe K von G ( Aƒ _{) ist} der Doppelnebenraum

${\displaystyle \operatorname {Sh} _{K}(G,X)=G(\mathbb {Q} )\backslash X\times G(\mathbb {A} _{f})/K}$

ist eine endliche disjunkte Vereinigung lokal symmetrischer Varietäten der Form , wobei der hochgestellte Index + eine Zusammenhangskomponente angibt . Die Varietäten Sh _K ( G , X ) sind komplexe algebraische Varietäten und bilden ein inverses System über allen hinreichend kleinen kompakten offenen Untergruppen K . Dieses inverse System ${\displaystyle \Gamma _{i}\backslash X^{+}}$

${\displaystyle (\operatorname {Sh} _{K}(G,X))_{K}}$

lässt eine natürliche Rechtswirkung von G ( A _ƒ ) zu. Sie wird als die mit dem Shimura-Datum ( G ,  X ) assoziierte Shimura-Varietät bezeichnet und mit Sh( G ,  X ) abgekürzt.

Für spezielle Typen hermitescher symmetrischer Bereiche und Kongruenzuntergruppen Γ wurden in einer Reihe von Arbeiten von Goro Shimura in den 1960er Jahren algebraische Varietäten der Form Γ \  X = Sh _K ( G , X ) und deren Kompaktifizierungen eingeführt . Shimuras Ansatz, der später in seiner Monographie dargestellt wurde, war im Wesentlichen phänomenologisch und verfolgte die weitestgehenden Verallgemeinerungen der Reziprozitätsgesetz-Formulierung der komplexen Multiplikationstheorie . Im Nachhinein wurde der Name „Shimura-Varietät“ von Deligne eingeführt , der die abstrakten Merkmale isolierte, die in Shimuras Theorie eine Rolle spielten. In Delignes Formulierung sind Shimura-Varietäten Parameterräume bestimmter Hodge-Strukturen . Somit bilden sie eine natürliche höherdimensionale Verallgemeinerung von Modulkurven , die als Modulräume elliptischer Kurven mit Niveaustruktur betrachtet werden. In vielen Fällen wurden die Modulprobleme, zu denen Shimura-Varietäten Lösungen sind, ebenfalls identifiziert.

Sei F ein total reeller Zahlkörper und D eine Quaternionen -Divisionsalgebra über F. Die multiplikative Gruppe D ^× induziert eine kanonische Shimura-Varietät. Ihre Dimension d ist die Anzahl der unendlichen Stellen, in die D zerfällt. Insbesondere erhält man, wenn d  = 1 (zum Beispiel wenn F =  Q und D  ⊗  R ≅ M² ₍ R ) ), durch Fixieren einer hinreichend kleinen arithmetischen Untergruppe von D ^× eine Shimura-Kurve, und Kurven, die aus dieser Konstruktion entstehen, sind bereits kompakt (d . h. projektiv ).

Einige Beispiele für Shimura-Kurven mit explizit bekannten Gleichungen sind die Hurwitz-Kurven niedrigen Geschlechts:

• Klein quartisch (Gattung 3)
• Macbeath-Oberfläche (Gattung 7)
• Erstes Hurwitz-Triplett (Gattung 14)

und durch die Fermat-Kurve 7. Grades. ^{[ 2 ]}

Weitere Beispiele für Shimura-Varietäten sind Picard-Modulflächen und Hilbert-Modulflächen , die auch als Hilbert-Blumenthal-Varietäten bekannt sind.

Jede Shimura-Varietät lässt sich über einem kanonischen Zahlkörper E , dem sogenannten Reflexkörper , definieren . Dieses wichtige Ergebnis Shimuras zeigt, dass Shimura-Varietäten, die a priori nur komplexe Mannigfaltigkeiten sind, einen algebraischen Definitionskörper und somit arithmetische Bedeutung besitzen. Es bildet den Ausgangspunkt für seine Formulierung des Reziprozitätsgesetzes, in dem bestimmte arithmetisch definierte Spezialpunkte eine wichtige Rolle spielen .

Die qualitative Natur des Zariski-Abschlusses von Mengen spezieller Punkte auf einer Shimura-Mannigfaltigkeit wird durch die André-Oort-Vermutung beschrieben . Bedingte Ergebnisse wurden zu dieser Vermutung unter der Annahme einer verallgemeinerten Riemannschen Vermutung erzielt . ^{[ 3 ]}

Shimura-Varietäten spielen eine herausragende Rolle im Langlands-Programm . Der prototypische Satz, die Eichler-Shimura-Kongruenzrelation , besagt, dass die Hasse-Weil-Zetafunktion einer Modulkurve ein Produkt von L-Funktionen ist, die explizit bestimmten Modulformen vom Gewicht 2 zugeordnet sind _. Tatsächlich führte Goro Shimura im Zuge der Verallgemeinerung dieses Satzes seine Varietäten ein und bewies sein Reziprozitätsgesetz. Zetafunktionen von Shimura-Varietäten, die mit der Gruppe GL₂ über anderen Zahlkörpern und ihren inneren Formen (d. h. multiplikativen Gruppen von Quaternionenalgebren) assoziiert sind, wurden von Eichler, Shimura, Kuga, Sato und Ihara untersucht. Auf der Grundlage ihrer Ergebnisse sagte Robert Langlands voraus, dass die Hasse-Weil-Zetafunktion einer beliebigen algebraischen Varietät W über einem Zahlkörper ein Produkt positiver und negativer Potenzen automorpher L-Funktionen sein würde, d. h. sie sollte aus einer Menge automorpher Darstellungen hervorgehen . ^{[ 1 ]} So philosophisch naheliegend eine solche Beschreibung auch sein mag, Aussagen dieser Art konnten bisher nur bewiesen werden, wenn W eine Shimura-Varietät ist. ^{[ 4 ]} Langlands formuliert es so:

Der Beweis, dass alle zu Shimura-Varietäten – und damit zu jedem durch eine Shimura-Varietät definierten Motiv – assoziierten L-Funktionen durch die automorphen L-Funktionen aus [seiner Arbeit von 1970] ausgedrückt werden können, ist schwächer, sogar wesentlich schwächer, als der Beweis, dass alle motivischen L-Funktionen mit solchen L-Funktionen übereinstimmen. Obwohl die stärkere Aussage voraussichtlich gültig ist, gibt es meines Wissens keinen überzeugenden Grund anzunehmen, dass alle motivischen L-Funktionen zu Shimura-Varietäten gehören. ^{[ 5 ]}