Sphärische Trigonometrie

Die sphärische Trigonometrie ist ein Teilgebiet der sphärischen Geometrie und Trigonometrie , das sich mit den metrischen Beziehungen zwischen den Seiten und Winkeln sphärischer Dreiecke befasst, die traditionell mithilfe trigonometrischer Funktionen ausgedrückt werden . Auf der Kugeloberfläche sind Geodäten Großkreise . Die sphärische Trigonometrie ist von großer Bedeutung für Berechnungen in Astronomie , Geodäsie und Navigation .

Die Ursprünge der sphärischen Trigonometrie in der griechischen Mathematik und die wichtigsten Entwicklungen in der islamischen Mathematik werden ausführlich in „ Geschichte der Trigonometrie und Mathematik im mittelalterlichen Islam“ behandelt . Das Gebiet erlebte in der frühen Neuzeit mit bedeutenden Beiträgen von John Napier , Delambre und anderen seine Blütezeit. Seitdem waren die Anwendung von Vektormethoden, Quaternionenmethoden und numerischen Verfahren wesentliche Weiterentwicklungen.

Ein sphärisches Polygon ist ein Polygon auf der Oberfläche der Kugel. Seine Seiten sind Bögen von Großkreisen – das sphärische Geometrie-Äquivalent zu Liniensegmenten in der ebenen Geometrie .

Solche Polygone können beliebig viele Seiten größer als 1 haben. Zweiseitige sphärische Polygone – sogenannte Lunes , auch Digons oder Bi-Angles genannt – werden von zwei Großkreisbögen begrenzt: Ein bekanntes Beispiel ist die gekrümmte, nach außen gerichtete Oberfläche eines Orangensegments. Drei Bögen definieren ein sphärisches Dreieck, das Hauptthema dieses Artikels. Polygone mit mehr Seiten (vierseitige sphärische Vierecke, fünfseitige sphärische Fünfecke usw.) werden auf ähnliche Weise definiert. Analog zu ihren ebenen Pendants lassen sich sphärische Polygone mit mehr als 3 Seiten stets als Komposition sphärischer Dreiecke betrachten.

Ein sphärisches Polygon mit interessanten Eigenschaften ist das Pentagramma mirificum , ein 5-seitiges sphärisches Sternpolygon mit einem rechten Winkel an jeder Ecke.

Ab diesem Punkt im Artikel beschränkt sich die Diskussion auf sphärische Dreiecke, die im Folgenden einfach als Dreiecke bezeichnet werden .

• Sowohl die Eckpunkte als auch die Winkel an den Eckpunkten eines Dreiecks werden mit den gleichen Großbuchstaben A , B und C bezeichnet .
• Die Seitenlängen einer Kugel mit Einheitsradius werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet: a , b und c . Die Seitenlängen und Winkel (Kleinbuchstaben) sind äquivalent, wenn letztere im Bogenmaß gemessen werden (siehe Bogenlänge ). Konventionsgemäß sind die Seiten von echten sphärischen Dreiecken kleiner als π Radiant (Todhunter, ^{[ 1 ]} Art. 22, 32).$${\displaystyle 0<a+b+c<2\pi }$$
• Der Winkel A (bzw. B und C ) kann entweder als Diederwinkel zwischen den beiden Ebenen betrachtet werden, die die Kugel im Scheitelpunkt A schneiden , oder äquivalent dazu als Winkel zwischen den Tangenten der Großkreisbögen an ihrem Schnittpunkt im Scheitelpunkt. Die Winkel von echten sphärischen Dreiecken sind (konventionsgemäß) kleiner als π Radiant (Todhunter, ^{[ 1 ]} Art. 22, 32).$${\displaystyle \pi <A+B+C<3\pi }$$

Insbesondere ist die Winkelsumme eines sphärischen Dreiecks strikt größer als die Winkelsumme eines Dreiecks, das in der euklidischen Ebene definiert ist und immer genau π Radiant beträgt.

• Der Radius der Kugel wird als eins angenommen. Bei konkreten praktischen Problemen auf einer Kugel mit Radius R müssen die gemessenen Seitenlängen durch R geteilt werden , bevor die unten angegebenen Formeln angewendet werden. Ebenso müssen nach einer Berechnung auf der Einheitskugel die Seitenlängen a , b und c mit  R multipliziert werden .

Das zu einem Dreieck △ ABC gehörige Polardreieck ist wie folgt definiert: Man betrachtet den Großkreis, der die Seite  BC enthält . Dieser Großkreis entsteht durch den Schnitt einer diametralen Ebene mit der Fläche. Zeichnet man die Normale dieser Ebene durch ihren Mittelpunkt, so schneidet sie die Fläche in zwei Punkten. Der Punkt, der auf derselben Seite der Ebene wie A liegt , wird (üblicherweise) als Pol von A bezeichnet und mit A' notiert . Die Punkte B' und C' werden analog definiert.

Das Dreieck △ A'B'C' ist das Polardreieck, das dem Dreieck  △ ABC entspricht . Die Winkel und Seiten des Polardreiecks sind in (Todhunter, ^{[ 1 ]} Art. 27) angegeben . Wenn also eine Identität für △ ABC bewiesen ist, kann man durch Anwendung der ersten Identität auf das Polardreieck und Durchführung der oben genannten Substitutionen unmittelbar eine zweite Identität herleiten. So werden die ergänzenden Kosinusgleichungen aus den Kosinusgleichungen abgeleitet. Analog lassen sich die Identitäten für ein Viereckdreieck aus denen für ein rechtwinkliges Dreieck ableiten. Das Polardreieck eines Polardreiecks ist das ursprüngliche Dreieck. $${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}A'&=\pi -a,&\qquad B'&=\pi -b,&\qquad C'&=\pi -c,\\a'&=\pi -A,&b'&=\pi -B,&c'&=\pi -C.\end{alignedat}}}$$

Wenn die 3×3- Matrix M die Positionen A , B und C als Spalten hat, dann sind die Zeilen der inversen Matrix ^M⁻¹ , wenn sie auf Einheitslänge normiert wird, die Positionen A′ , B′ und C′ . Insbesondere gilt: Wenn △ A′B′C′ das Polardreieck von △ ABC ist , dann ist △ ABC das Polardreieck von △ A′B′C′ .

Der Kosinussatz ist die grundlegende Identität der sphärischen Trigonometrie: Alle anderen Identitäten, einschließlich des Sinussatzes, können aus dem Kosinussatz abgeleitet werden: $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos a&=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A,\\[2pt]\cos b&=\cos c\cos a+\sin c\sin a\cos B,\\[2pt]\cos c&=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C.\end{aligned}}}$$

Diese Identitäten verallgemeinern den Kosinussatz der ebenen Trigonometrie , zu dem sie im Grenzwert kleiner Innenwinkel asymptotisch äquivalent sind. (Auf der Einheitskugel, wenn man und usw. setzt ; siehe Kugelkosinussatz .) ${\displaystyle a,b,c\rightarrow 0}$${\displaystyle \sin a\approx a}$${\displaystyle \cos a\approx 1-{\frac {a^{2}}{2}}}$

Das sphärische Sinusgesetz lautet: Diese Formel approximiert den Sinussatz der ebenen Trigonometrie , wenn die Seiten viel kleiner als der Radius der Kugel sind. $${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.}$$

Die Formeln für den sphärischen Kosinus wurden ursprünglich mithilfe der elementaren Geometrie und des ebenen Kosinussatzes bewiesen (Todhunter, ^{[ 1 ]} Art. 37). Er gibt auch eine Herleitung unter Verwendung einfacher Koordinatengeometrie und des ebenen Kosinussatzes an (Art. 60). Der hier vorgestellte Ansatz verwendet einfachere Vektormethoden . (Diese Methoden werden auch im Abschnitt „Sphärische Kosinussätze“ erläutert .)

Betrachten wir drei Einheitsvektoren OA → , OB → , OC →, die vom Ursprung zu den Eckpunkten des Dreiecks (auf der Einheitskugel) verlaufen. Der Bogen BC schließt im Mittelpunkt einen Winkel der Größe α ein, daher gilt OB → · OC → = cos α . Wir führen eine kartesische Basis ein, in der OA → entlang der z -Achse und OB → in der xz -Ebene liegt und mit der z -Achse einen Winkel c bildet . Der Vektor OC → projiziert auf ON in der xy- Ebene, und der Winkel zwischen ON und der x -Achse ist A. Daher haben die drei Vektoren folgende Komponenten:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {OA}}:&\quad (0,\,0,\,1)\\{\vec {OB}}:&\quad (\sin c,\,0,\,\cos c)\\{\vec {OC}}:&\quad (\sin b\cos A,\,\sin b\sin A,\,\cos b).\end{aligned}}}$$

Das Skalarprodukt OB → · OC → in Abhängigkeit von den Komponenten ist: Durch Gleichsetzen der beiden Ausdrücke für das Skalarprodukt erhält man: Diese Gleichung kann umgeformt werden, um explizite Ausdrücke für den Winkel in Abhängigkeit von den Seiten zu erhalten: $${\displaystyle {\vec {OB}}\cdot {\vec {OC}}=\sin c\sin b\cos A+\cos c\cos b.}$$$${\displaystyle \cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A.}$$$${\displaystyle \cos A={\frac {\cos a-\cos b\cos c}{\sin b\sin c}}.}$$

Die übrigen Kosinusregeln erhält man durch zyklische Permutationen.

Diese Herleitung findet sich in Todhunter, ^{[ 1 ]} (Art. 40). Aus der Identität und dem oben angegebenen expliziten Ausdruck für cos A folgt unmittelbar die sphärische Sinusregel, da die rechte Seite unter einer zyklischen Permutation von a , b und c invariant ist.${\displaystyle \sin ^{2}A=1-\cos ^{2}A}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}A&=1-\left({\frac {\cos a-\cos b\cos c}{\sin b\sin c}}\right)^{2}\\[5pt]&={\frac {(1-\cos ^{2}b)(1-\cos ^{2}c)-(\cos a-\cos b\cos c)^{2}}{\sin ^{2}\!b\,\sin ^{2}\!c}}\\[5pt]{\frac {\sin A}{\sin a}}&={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\!a-\cos ^{2}\!b-\cos ^{2}\!c+2\cos a\cos b\cos c}}{\sin a\sin b\sin c}}.\end{aligned}}}$$

Es gibt viele Wege, die fundamentalen Kosinus- und Sinussätze sowie die weiteren in den folgenden Abschnitten entwickelten Regeln herzuleiten. Todhunter ^{[ 1 ]} liefert beispielsweise zwei Beweise für den Kosinussatz (Artikel 37 und 60) und zwei Beweise für den Sinussatz (Artikel 40 und 42). Die Seite zum sphärischen Kosinussatz enthält vier verschiedene Beweise. Lehrbücher zur Geodäsie ^{[ 2 ]} und sphärischen Astronomie ^{[ 3 ]} bieten weitere Beweise, und die Online-Ressourcen von MathWorld ^{[ 4 ]} liefern noch zusätzliche. Es existieren sogar noch exotischere Herleitungen, wie etwa die von Banerjee ^{[ 5 ]} , der die Formeln mithilfe der linearen Algebra der Projektionsmatrizen herleitet und dabei auch Methoden der Differentialgeometrie und der Rotationsgruppentheorie heranzieht .

Die oben dargestellte Herleitung des Kosinussatzes zeichnet sich durch Einfachheit und Direktheit aus, und die Herleitung des Sinussatzes unterstreicht, dass außer dem Kosinussatz kein separater Beweis erforderlich ist. Die obige Geometrie kann jedoch für einen unabhängigen Beweis des Sinussatzes verwendet werden. Das skalare Tripelprodukt OA → · ( OB → × OC → ) ergibt in der dargestellten Basis sin b sin c sin A. Analog dazu ergibt in einer Basis, deren z -Achse entlang OB → orientiert ist , das Tripelprodukt OB → · ( OC → × OA → ) sin c sin a sin B. Daher folgt aus der Invarianz des Tripelprodukts unter zyklischen Permutationen sin b sin A = sin a sin B , was den ersten der Sinussätze darstellt. Details zu dieser Herleitung finden sich unter „Gekrümmte Variationen des Sinussatzes“ .

Sind drei der Differentiale da , db , dc , dA , dB , dC bekannt, können die folgenden Gleichungen, die durch Differenzieren der Kosinusregel und Anwendung der Sinusregel gefunden werden, verwendet werden, um die anderen drei durch Elimination zu berechnen: ^{[ 6 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}da=\cos C\ db+\cos B\ dc+\sin b\ \sin C\ dA,\\db=\cos A\ dc+\cos C\ da+\sin c\ \sin A\ dB,\\dc=\cos B\ da+\cos A\ db+\sin a\ \sin B\ dC.\\\end{aligned}}}$$

Die Anwendung der Kosinussätze auf das Polardreieck ergibt (Todhunter, ^{[ 1 ]} Art. 47), d. h. Ersetzen von A durch π − a , a durch π − A usw. $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos A&=-\cos B\,\cos C+\sin B\,\sin C\,\cos a,\\\cos B&=-\cos C\,\cos A+\sin C\,\sin A\,\cos b,\\\cos C&=-\cos A\,\cos B+\sin A\,\sin B\,\cos c.\end{aligned}}}$$

Die sechs Seiten eines Dreiecks lassen sich in zyklischer Reihenfolge als ( aCbAcB ) schreiben. Die Kotangensformel, auch Vier-Teile-Formel genannt, verknüpft jeweils zwei Seiten und zwei Winkel zu vier aufeinanderfolgenden Teilen des Dreiecks, beispielsweise ( aCbA ) oder ( BaCb ). In einer solchen Menge gibt es innere und äußere Teile: Im Beispiel ( BaCb ) ist der innere Winkel C , die innere Seite a , der äußere Winkel B und die äußere Seite b . Die Kotangensregel kann wie folgt geschrieben werden (Todhunter, ^{[ 1 ]} Art. 44) , und die sechs möglichen Gleichungen lauten (die relevante Menge ist rechts dargestellt): Um die erste Formel zu beweisen, beginnt man mit dem ersten Kosinussatz und setzt auf der rechten Seite cos c aus dem dritten Kosinussatz ein: Das Ergebnis ergibt sich durch Division durch sin a sin b . Ähnliche Verfahren mit den anderen beiden Kosinussätzen liefern CT3 und CT5. Die anderen drei Gleichungen ergeben sich durch Anwendung der Regeln 1, 3 und 5 auf das Polardreieck. $${\displaystyle \cos \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{inner}}\\{\text{side}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}\cos \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{inner}}\\{\text{angle}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}=\cot \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{outer}}\\{\text{side}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}\sin \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{inner}}\\{\text{side}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}-\cot \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{outer}}\\{\text{angle}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}\sin \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{inner}}\\{\text{angle}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )},}$$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}{\text{(CT1)}}&&\qquad \cos b\,\cos C&=\cot a\,\sin b-\cot A\,\sin C\qquad &&(aCbA)\\[0ex]{\text{(CT2)}}&&\cos b\,\cos A&=\cot c\,\sin b-\cot C\,\sin A&&(CbAc)\\[0ex]{\text{(CT3)}}&&\cos c\,\cos A&=\cot b\,\sin c-\cot B\,\sin A&&(bAcB)\\[0ex]{\text{(CT4)}}&&\cos c\,\cos B&=\cot a\,\sin c-\cot A\,\sin B&&(AcBa)\\[0ex]{\text{(CT5)}}&&\cos a\,\cos B&=\cot c\,\sin a-\cot C\,\sin B&&(cBaC)\\[0ex]{\text{(CT6)}}&&\cos a\,\cos C&=\cot b\,\sin a-\cot B\,\sin C&&(BaCb)\end{alignedat}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos a&=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A\\&=\cos b\ (\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C)+\sin b\sin C\sin a\cot A\\\cos a\sin ^{2}b&=\cos b\sin a\sin b\cos C+\sin b\sin C\sin a\cot A.\end{aligned}}}$$

Mit und${\displaystyle 2s=(a+b+c)}$${\displaystyle 2S=(A+B+C),}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\sin {\tfrac {1}{2}}A&={\sqrt {\frac {\sin(s-b)\sin(s-c)}{\sin b\sin c}}}&\qquad \qquad \sin {\tfrac {1}{2}}a&={\sqrt {\frac {-\cos S\cos(S-A)}{\sin B\sin C}}}\\[2ex]\cos {\tfrac {1}{2}}A&={\sqrt {\frac {\sin s\sin(s-a)}{\sin b\sin c}}}&\cos {\tfrac {1}{2}}a&={\sqrt {\frac {\cos(S-B)\cos(S-C)}{\sin B\sin C}}}\\[2ex]\tan {\tfrac {1}{2}}A&={\sqrt {\frac {\sin(s-b)\sin(s-c)}{\sin s\sin(s-a)}}}&\tan {\tfrac {1}{2}}a&={\sqrt {\frac {-\cos S\cos(S-A)}{\cos(S-B)\cos(S-C)}}}\end{alignedat}}}$$

Durch zyklische Permutation ergeben sich weitere zwölf Identitäten.

Todhunter ^{[ 7 ]} (Art. 45) leitet die Halbwinkelformeln für Winkel und Seiten in Abhängigkeit von den Seiten bzw. Winkeln her. Sein Buch ist als E-Book im Public Domain über Project Gutenberg verfügbar . Die erste Gleichung lässt sich beweisen, indem man den Kosinussatz für Seite a in Abhängigkeit von den Seiten b und c sowie dem Winkel A anwendet, die entsprechende Identität nutzt und das Produkt zweier Sinusfunktionen als die Hälfte der Differenz der Kosinuswerte ihrer Winkeldifferenz minus dem Kosinuswert ihrer Winkelsumme ausdrückt (siehe Summen-Produkt-Identitäten ). Im Detail: ${\displaystyle 2\sin ^{2}\!{\tfrac {A}{2}}=1-\cos A,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}2\,\sin(s-b)\,\sin(s-c)&=\cos((s-b)-(s-c))-\cos((s-b)+(s-c))\\&=\cos(c-b)-\cos(a)\\&=\cos(b)\cos(c)+\sin(b)\sin(c)-(\cos(b)\cos(c)+\sin(b)\sin(c)\cos(A))\\&=\sin(b)\sin(c)(1-\cos(A))\\&=\sin(b)\sin(c)\,{\bigg (}2\,\sin ^{2}{\bigg (}{\frac {A}{2}}{\bigg )}{\bigg )}\end{aligned}}}$$

Die zweite Formel verwendet die Identität, die dritte ist ein Quotient und der Rest folgt durch Anwendung der Ergebnisse auf das Polardreieck. ${\displaystyle 2\cos ^{2}\!{\tfrac {A}{2}}=1+\cos A,}$

Die Delambre-Analogien (auch Gauß-Analogien genannt) wurden 1807–1809 unabhängig voneinander von Delambre, Gauß und Mollweide veröffentlicht. ^{[ 8 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(A+B)}{\cos {\tfrac {1}{2}}C}}={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\cos {\tfrac {1}{2}}c}}&\qquad \qquad &{\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\cos {\tfrac {1}{2}}C}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\sin {\tfrac {1}{2}}c}}\\[2ex]{\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(A+B)}{\sin {\tfrac {1}{2}}C}}={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(a+b)}{\cos {\tfrac {1}{2}}c}}&\qquad &{\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\sin {\tfrac {1}{2}}C}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(a+b)}{\sin {\tfrac {1}{2}}c}}\end{aligned}}}$$ Durch zyklische Permutation ergeben sich weitere acht Identitäten.

Der Beweis erfolgte durch Ausmultiplizieren der Zähler und Anwendung der Halbwinkelformeln. (Todhunter, ^{[ 1 ]} Art. 54 und Delambre ^{[ 9 ]} )

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\tfrac {1}{2}}(A+B)={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\cos {\tfrac {1}{2}}(a+b)}}\cot {\tfrac {1}{2}}C&\qquad &\tan {\tfrac {1}{2}}(a+b)={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\cos {\tfrac {1}{2}}(A+B)}}\tan {\tfrac {1}{2}}c\\[2ex]\tan {\tfrac {1}{2}}(A-B)={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\sin {\tfrac {1}{2}}(a+b)}}\cot {\tfrac {1}{2}}C&\qquad &\tan {\tfrac {1}{2}}(a-b)={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\sin {\tfrac {1}{2}}(A+B)}}\tan {\tfrac {1}{2}}c\end{aligned}}}$$

Durch zyklische Permutation ergeben sich weitere acht Identitäten.

Diese Identitäten ergeben sich durch Teilung der Delambre-Formeln. (Todhunter, ^{[ 1 ]} Art. 52)

Insbesondere sind die erste und zweite Napier-Formel hilfreich bei der Lösung eines sphärischen Dreiecks, wenn drei der Seiten ab AB gegeben sind, c oder C jedoch nicht. Diese beiden Formeln liefern den Ausdruck in Abhängigkeit von ab AB. Dieses sphärische Dreieck lässt sich nicht direkt mit dem Kosinus- und Sinussatz lösen. ${\displaystyle \cot {\tfrac {1}{2}}C}$

Durch Quotientenbildung dieser Ausdrücke erhält man das Tangentengesetz , das erstmals vom persischen Mathematiker Nasir al-Din al-Tusi (1201–1274) formuliert wurde.

$${\displaystyle {\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\tan {\tfrac {1}{2}}(A+B)}}={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\tan {\tfrac {1}{2}}(a+b)}}}$$

Wenn einer der Winkel, beispielsweise C , eines sphärischen Dreiecks gleich π /2 ist, vereinfachen sich die oben genannten Identitäten erheblich. Es gibt zehn Identitäten, die drei Elemente aus der Menge a , b , c , A und B miteinander verknüpfen .

Napier ^{[ 10 ]} lieferte eine elegante Merkhilfe für die zehn unabhängigen Gleichungen: die Merkhilfe wird Napier-Kreis oder Napier-Pentagon genannt (wenn der Kreis in der obigen Abbildung rechts durch ein Pentagon ersetzt wird).

Zuerst notiert man die sechs Teile des Dreiecks (drei Scheitelwinkel, drei Bogenwinkel der Seiten) in der Reihenfolge, in der sie auf einem beliebigen Kreis des Dreiecks vorkommen: Im Uhrzeigersinn, beginnend mit a, ergibt sich für das oben links abgebildete Dreieck aCbAcB . Anschließend ersetzt man die Teile, die nicht an C angrenzen (also A , c und B ), durch ihre Komplementärwinkel und streicht dann den Winkel C aus der Liste. Die verbleibenden Teile lassen sich nun als fünf geordnete, gleich große Segmente eines Pentagramms oder Kreises darstellen, wie in der Abbildung oben (rechts) gezeigt. Bei jeder Wahl von drei aneinandergrenzenden Segmenten liegt eines (das mittlere Segment) an zwei Segmenten an und den anderen beiden gegenüber. Die zehn Napierschen Regeln lauten:

• Sinus des mittleren Abschnitts = Produkt der Tangenten der angrenzenden Abschnitte
• Sinus des mittleren Teils = Produkt der Kosinus der gegenüberliegenden Teile

Der Schlüssel, um sich zu merken, welche trigonometrische Funktion zu welchem ​​Teil gehört, liegt darin, den ersten Vokal der Art des Teils zu betrachten: Mittlere Teile erhalten den Sinus, benachbarte Teile den Tangens und gegenüberliegende Teile den Kosinus. Zum Beispiel, beginnend mit dem Sektor, der a enthält : Die vollständigen Regeln für das rechtwinklige sphärische Dreieck sind (Todhunter, ^{[ 1 ]} Art.62) $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin a&=\tan({\tfrac {\pi }{2}}-B)\,\tan b\\[2pt]&=\cos({\tfrac {\pi }{2}}-c)\,\cos({\tfrac {\pi }{2}}-A)\\[2pt]&=\cot B\,\tan b\\[4pt]&=\sin c\,\sin A.\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&{\text{(R1)}}&\qquad \cos c&=\cos a\,\cos b,&\qquad \qquad &{\text{(R6)}}&\qquad \tan b&=\cos A\,\tan c,\\&{\text{(R2)}}&\sin a&=\sin A\,\sin c,&&{\text{(R7)}}&\tan a&=\cos B\,\tan c,\\&{\text{(R3)}}&\sin b&=\sin B\,\sin c,&&{\text{(R8)}}&\cos A&=\sin B\,\cos a,\\&{\text{(R4)}}&\tan a&=\tan A\,\sin b,&&{\text{(R9)}}&\cos B&=\sin A\,\cos b,\\&{\text{(R5)}}&\tan b&=\tan B\,\sin a,&&{\text{(R10)}}&\cos c&=\cot A\,\cot B.\end{alignedat}}}$$

Ein sphärisches Dreieck mit Quadranten ist definiert als ein sphärisches Dreieck, dessen eine Seite im Mittelpunkt der Kugel einen Winkel von π /2 Radiant einschließt: Auf der Einheitskugel hat diese Seite die Länge π /2. Falls die Seite c auf der Einheitskugel die Länge π /2 hat, lassen sich die Gleichungen für die übrigen Seiten und Winkel durch Anwendung der Regeln für das rechtwinklige sphärische Dreieck aus dem vorherigen Abschnitt auf das Polardreieck △ A'B'C' mit den Seiten a', b', c' und den Längen A' = π − a , a' = π − A usw. herleiten. Die Ergebnisse lauten: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&{\text{(Q1)}}&\qquad \cos C&=-\cos A\,\cos B,&\qquad \qquad &{\text{(Q6)}}&\qquad \tan B&=-\cos a\,\tan C,\\&{\text{(Q2)}}&\sin A&=\sin a\,\sin C,&&{\text{(Q7)}}&\tan A&=-\cos b\,\tan C,\\&{\text{(Q3)}}&\sin B&=\sin b\,\sin C,&&{\text{(Q8)}}&\cos a&=\sin b\,\cos A,\\&{\text{(Q4)}}&\tan A&=\tan a\,\sin B,&&{\text{(Q9)}}&\cos b&=\sin a\,\cos B,\\&{\text{(Q5)}}&\tan B&=\tan b\,\sin A,&&{\text{(Q10)}}&\cos C&=-\cot a\,\cot b.\end{alignedat}}}$$

Setzt man die zweite Kosinusregel in die erste ein und vereinfacht, erhält man: Durch Kürzen des Faktors sin c ergibt sich $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos a&=(\cos a\,\cos c+\sin a\,\sin c\,\cos B)\cos c+\sin b\,\sin c\,\cos A\\[4pt]\cos a\,\sin ^{2}c&=\sin a\,\cos c\,\sin c\,\cos B+\sin b\,\sin c\,\cos A\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \cos a\sin c=\sin a\,\cos c\,\cos B+\sin b\,\cos A}$$

Ähnliche Substitutionen in den anderen Kosinus- und Hilfskosinusformeln ergeben eine Vielzahl von fünfteiligen Regeln. Sie werden selten verwendet.

Multipliziert man den ersten Kosinussatz mit cos A, erhält man … Multipliziert man analog den ersten ergänzenden Kosinussatz mit cos a, so ergibt sich … Subtrahiert man die beiden und beachtet, dass dies aus den Sinussätzen folgt, so erhält man die Cagnoli-Gleichung , welche eine Beziehung zwischen den sechs Teilen des sphärischen Dreiecks darstellt. ^{[ 11 ]}$${\displaystyle \cos a\cos A=\cos b\,\cos c\,\cos A+\sin b\,\sin c-\sin b\,\sin c\,\sin ^{2}A.}$$$${\displaystyle \cos a\cos A=-\cos B\,\cos C\,\cos a+\sin B\,\sin C-\sin B\,\sin C\,\sin ^{2}a.}$$${\displaystyle \sin b\,\sin c\,\sin ^{2}A=\sin B\,\sin C\,\sin ^{2}a}$$${\displaystyle \sin b\,\sin c+\cos b\,\cos c\,\cos A=\sin B\,\sin C-\cos B\,\cos C\,\cos a}$$

Die Lösung von Dreiecken ist die Hauptaufgabe der sphärischen Trigonometrie: Gegeben drei, vier oder fünf Elemente eines Dreiecks, sollen die übrigen bestimmt werden. Der Fall mit fünf gegebenen Elementen ist trivial und erfordert nur die Anwendung des Sinussatzes. Bei vier gegebenen Elementen gibt es einen nicht-trivialen Fall, der weiter unten erläutert wird. Bei drei gegebenen Elementen ergeben sich sechs Fälle: drei Seiten, zwei Seiten und ein eingeschlossener Winkel, zwei Seiten und ein gegenüberliegender Winkel, zwei Winkel und eine eingeschlossene Seite, zwei Winkel und eine gegenüberliegende Seite oder drei Winkel. (Der letzte Fall hat kein Äquivalent in der planaren Trigonometrie.) Die Abbildung unten zeigt die sieben nicht-trivialen Fälle: In jedem Fall sind die gegebenen Seiten mit einem Querstrich und die gegebenen Winkel mit einem Bogen markiert. (Die gegebenen Elemente sind auch unterhalb des Dreiecks aufgeführt.) In der hier verwendeten Kurzschreibweise wie z. B. WSW bezeichnet A einen gegebenen Winkel und S eine gegebene Seite. Die Reihenfolge der Winkel A und S in der Schreibweise entspricht der entsprechenden Reihenfolge im Dreieck.

• Fall 1: Drei Seiten sind gegeben (SSS). Die Winkel A , B und C können mithilfe des Kosinussatzes berechnet werden, jedoch sind zur Vermeidung von Mehrdeutigkeiten die Formeln für halbe Winkel vorzuziehen.
• Fall 2: Zwei Seiten und ein eingeschlossener Winkel sind gegeben (SWS). Der Kosinussatz liefert a, und wir sind wieder bei Fall 1.
• Fall 3: Zwei Seiten und ein gegenüberliegender Winkel sind gegeben (SWS). Der Sinussatz liefert C , und wir haben dann Fall 7. Es gibt entweder eine oder zwei Lösungen.
• Fall 4: Zwei Winkel und eine eingeschlossene Seite sind gegeben (WSW). Die viergliedrigen Kotangensformeln für die Mengen ( cBaC ) und ( BaCb ) liefern c und b , dann folgt A aus dem Sinussatz.
• Fall 5: Zwei Winkel und eine gegenüberliegende Seite sind gegeben (WWS). Der Sinussatz liefert b , und wir erhalten Fall 7 (gedreht). Es gibt entweder eine oder zwei Lösungen.
• Fall 6: Drei Winkel gegeben (AAA). Die ergänzende Kosinusregel kann verwendet werden, um die Seiten a , b und c zu bestimmen , aber um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden, sind die Halbseitenformeln vorzuziehen.
• Fall 7: Zwei Winkel und zwei gegenüberliegende Seiten sind gegeben (SSAA). Verwenden Sie Napiers Analogien für a und A ; alternativ Fall 3 (SSA) oder Fall 5 (AAS).

Die hier aufgeführten Lösungsmethoden sind nicht die einzigen Möglichkeiten; es gibt viele weitere. Im Allgemeinen ist es ratsam, Methoden zu wählen, die die Berechnung des Arkussinus vermeiden, da es zu einer möglichen Mehrdeutigkeit zwischen einem Winkel und seinem Nebenwinkel kommen kann. Die Verwendung von Halbwinkelformeln ist oft empfehlenswert, da Halbwinkel kleiner als π /2 und somit eindeutig sind. Eine ausführliche Erläuterung findet sich bei Todhunter. Der Artikel „ Lösung von Dreiecken #Lösung sphärischer Dreiecke“ stellt Varianten dieser Methoden mit leicht abweichender Notation vor.

Eine ausführliche Diskussion zur Lösung schiefwinkliger Dreiecke findet sich bei Todhunter ^{[ 1 ] : Kap. VI.} Siehe auch die Diskussion bei Ross ^{[ 12 ]} . Nasir al-Din al-Tusi listete als Erster die sechs verschiedenen Fälle (2–7 in der Abbildung) eines rechtwinkligen Dreiecks in der sphärischen Trigonometrie auf. ^{[ 13 ]}

Ein anderer Ansatz besteht darin, das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke zu zerlegen. Betrachten wir beispielsweise Fall 3, in dem b , c und B gegeben sind. Konstruieren Sie den Großkreis von A aus, der die Seite BC im Punkt D senkrecht schneidet . Lösen Sie das Dreieck △ ABD mithilfe der Napier'schen Regeln : Verwenden Sie c und B, um die Seiten AD und BD sowie den Winkel ∠BAD zu bestimmen . Lösen Sie anschließend das Dreieck △ ACD mithilfe der Napier'schen Regeln : Verwenden Sie AD und b , um die Seite DC sowie die Winkel C und ∠DAC zu bestimmen . Winkel A und Seite a ergeben sich durch Addition .

Nicht alle der hergeleiteten Regeln sind in Extremfällen numerisch robust, beispielsweise wenn ein Winkel gegen null oder  π strebt . Probleme und Lösungen müssen daher sorgfältig geprüft werden, insbesondere beim Schreiben von Code zur Lösung beliebiger Dreiecke.

Betrachten wir ein N -seitiges sphärisches Polygon und bezeichnen wir den n -ten Innenwinkel mit A _{_n} . Die Fläche eines solchen Polygons ist gegeben durch (Todhunter, ^{[ 1 ]} Art. 99) $${\displaystyle {{\text{Area of polygon}} \atop {\text{(on the unit sphere)}}}\equiv E_{N}={\biggl (}\sum _{n=1}^{N}A_{n}{\biggr )}-(N-2)\pi .}$$

Durch Triangulierung des sphärischen Polygons lässt sich der Beweis dieses Theorems auf einen Beweis für ein sphärisches Dreieck reduzieren. Für ein sphärisches Dreieck mit den Winkeln A , B und C gilt der Satz von Girard, wobei E der Betrag ist, um den die Winkelsumme π Radiant übersteigt; dies wird als sphärischer Überschuss des Dreiecks bezeichnet. Der Satz ist nach seinem Begründer Albert Girard benannt . ^{[ 14 ]} Ein früherer Beweis wurde 1603 von dem englischen Mathematiker Thomas Harriot hergeleitet, aber nicht veröffentlicht. ^{[ 15 ]} Auf einer Kugel mit Radius R werden beide obigen Flächenausdrücke mit R² multipliziert ^. Die Definition des Überschusses ist unabhängig vom Radius der Kugel. $${\displaystyle {{\text{Area of triangle}} \atop {\text{(on the unit sphere)}}}\equiv E=E_{3}=A+B+C-\pi ,}$$

Das umgekehrte Ergebnis lässt sich wie folgt schreiben:

$${\displaystyle A+B+C=\pi +{\frac {4\pi \times {\text{Area of triangle}}}{\text{Area of the sphere}}}.}$$

Da die Fläche eines Dreiecks nicht negativ sein kann, ist der sphärische Exzess stets positiv. Er ist nicht notwendigerweise klein, da die Winkelsumme 5π erreichen kann ( 3π bei rechten Winkeln ). Beispielsweise ist ein Oktant einer Kugel ein sphärisches Dreieck mit drei rechten Winkeln, sodass der Exzess π /2 beträgt. In praktischen Anwendungen ist er oft klein: So weisen beispielsweise die Dreiecke geodätischer Vermessungen typischerweise einen sphärischen Exzess von deutlich weniger als 1 Bogenminute auf. ^{[ 16 ]} Auf der Erde beträgt der Exzess eines gleichseitigen Dreiecks mit einer Seitenlänge von 21,3 km (und einer Fläche von 393 km² ⁾ ungefähr 1 Bogensekunde.

^{Es gibt zahlreiche Formeln zur Berechnung des Exzesses. Todhunter [ 1 ]} (Art. 101–103) führt beispielsweise zehn Beispiele an, darunter das von L’Huilier : wobei . Diese Formel erinnert an Herons Formel für ebene Dreiecke. $${\displaystyle \tan {\tfrac {1}{4}}E={\sqrt {\tan {\tfrac {1}{2}}s\,\tan {\tfrac {1}{2}}(s-a)\,\tan {\tfrac {1}{2}}(s-b)\,\tan {\tfrac {1}{2}}(s-c)}}}$$${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$

Da manche Dreiecke durch ihre Kanten nur ungenau charakterisiert werden können (z. B. wenn ), ist es oft besser, die Formel für den Überschuss in Abhängigkeit von zwei Kanten und dem eingeschlossenen Winkel zu verwenden. ${\textstyle a=b\approx {\frac {1}{2}}c}$$${\displaystyle \tan {\tfrac {1}{2}}E={\frac {\tan {\frac {1}{2}}a\tan {\frac {1}{2}}b\sin C}{1+\tan {\frac {1}{2}}a\tan {\frac {1}{2}}b\cos C}}.}$$

Wenn das Dreieck △ ABC ein rechtwinkliges Dreieck mit rechtem Winkel bei C ist , dann ist cos C = 0 und sin C = 1 , also vereinfacht sich dies zu $${\displaystyle \tan {\tfrac {1}{2}}E=\tan {\tfrac {1}{2}}a\tan {\tfrac {1}{2}}b.}$$

Das Winkeldefizit ist in der hyperbolischen Geometrie analog definiert .

Der sphärische Exzess eines sphärischen Vierecks, das vom Äquator, den beiden Längengraden und dem Großkreisbogen zwischen zwei Punkten mit Längengrad und Breitengrad begrenzt wird , ist ${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2},}$${\displaystyle (\lambda _{1},\varphi _{1})}$${\displaystyle (\lambda _{2},\varphi _{2})}$$${\displaystyle \tan {\tfrac {1}{2}}E_{4}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\varphi _{2}+\varphi _{1})}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\varphi _{2}-\varphi _{1})}}\tan {\tfrac {1}{2}}(\lambda _{2}-\lambda _{1}).}$$

Dieses Ergebnis erhält man aus einer Analogie von Napier. Im Grenzfall, dass alle klein sind, reduziert sich dies auf die bekannte trapezförmige Fläche, . ${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2},\lambda _{2}-\lambda _{1}}$${\textstyle E_{4}\approx {\frac {1}{2}}(\varphi _{2}+\varphi _{1})(\lambda _{2}-\lambda _{1})}$

Die Fläche eines Polygons lässt sich aus einzelnen Vierecken des oben genannten Typs, (analog) aus einzelnen Dreiecken, die von einer Polygonstrecke und zwei Meridianen begrenzt werden, ^{[ 17 ] mittels eines Linienintegrals mit dem Satz von Green [ 18 ] oder} durch eine flächentreue Projektion , ^{wie sie} in GIS üblich ist, berechnen. Die anderen Algorithmen können weiterhin verwendet werden, wobei die Seitenlängen mithilfe der Großkreisdistanzformel berechnet werden .

• Luftfahrt
• Himmelsnavigation
• Ellipsoidale Trigonometrie
• Großkreisdistanz oder sphärische Distanz
• Hyperbolisches Dreieck
• Lenart-Kugel
• Schwarzsches Dreieck
• Sphärische Geometrie
• Sphärisches Polyeder
• Triangulation (Vermessung)

• Weisstein, Eric W. „Sphärische Trigonometrie“ . MathWorld .eine ausführlichere Liste von Identitäten mit einigen Ableitungen
• Weisstein, Eric W. „Sphärisches Dreieck“ . MathWorld .eine ausführlichere Liste von Identitäten mit einigen Ableitungen
• TriSph ist eine kostenlose Software zur Lösung sphärischer Dreiecke, konfigurierbar für verschiedene praktische Anwendungen und konfiguriert für gnomonische Berechnungen.
• „Eine Neubetrachtung der sphärischen Trigonometrie mit orthogonalen Projektoren“ von Sudipto Banerjee. Die Arbeit leitet den sphärischen Kosinussatz und den Sinussatz mithilfe elementarer linearer Algebra und Projektionsmatrizen her.
• „Ein visueller Beweis des Satzes von Girard“ . Wolfram Demonstrations Project .von Okay Arik
• „Das Buch der Unterweisung über abweichende und einfache Ebenen“ , ein arabisches Manuskript aus dem Jahr 1740, das die sphärische Trigonometrie mit Diagrammen behandelt.
• Einige Algorithmen für Polygone auf einer Kugel, Robert G. Chamberlain, William H. Duquette, Jet Propulsion Laboratory. Die Arbeit entwickelt und erläutert viele nützliche Formeln, möglicherweise mit einem Schwerpunkt auf Navigation und Kartographie.
• Online-Berechnung sphärischer Dreiecke