Kardioide

In der Geometrie ist eine Kardioide (vom griechischen καρδιά (kardiá) „ Herz “ ) eine ebene Kurve, die von einem Punkt auf dem Umfang eines Kreises beschrieben wird, der auf einem festen Kreis mit demselben Radius abrollt. Sie kann auch als Epizykloide mit einer einzigen Spitze definiert werden . Darüber hinaus ist sie eine Art Sinusspirale und eine Umkehrkurve der Parabel , deren Brennpunkt im Umkehrpunkt liegt. ^{[ 1 ]} Sie kann auch als die Menge der Spiegelpunkte eines festen Punktes an einem Kreis an allen Tangenten an den Kreis definiert werden. ^{[ 2 ]}

Giovanni Salvemini prägte 1741 den Namen „kardioid“ ^{[ 3 ]} , doch die Kardioide war bereits Jahrzehnte zuvor Gegenstand von Studien gewesen ^{[ 4 ]} . Obwohl sie aufgrund ihrer Ähnlichkeit mit einer herkömmlichen herzförmigen Gestalt so benannt wurde , ähnelt ihre Form eher dem Querschnitt eines runden Apfels ohne Stiel ^{[ 5 ] .}

Ein Mikrofon mit Nierencharakteristik weist ein akustisches Richtdiagramm auf, das in zwei Dimensionen einer Niere ähnelt (jede 2D-Ebene, die die 3D-Gerade des Mikrofongehäuses enthält). Dreidimensional betrachtet, ähnelt die Nierencharakteristik einem Apfel, dessen Mittelpunkt das Mikrofon bildet, welches den Stiel des Apfels darstellt.

Sei der gemeinsame Radius der beiden erzeugenden Kreise mit Mittelpunkten , dem Rollwinkel und dem Ursprung als Startpunkt (siehe Abbildung). Man erhält ${\displaystyle a}$${\displaystyle (-a,0),(a,0)}$${\displaystyle \varphi }$

• parametrische Darstellung : und daraus die Darstellung in$${\displaystyle {\begin{aligned}x(\varphi )&=2a(1-\cos \varphi )\cdot \cos \varphi \ ,\\y(\varphi )&=2a(1-\cos \varphi )\cdot \sin \varphi \ ,\qquad 0\leq \varphi <2\pi \end{aligned}}}$$
• Polarkoordinaten :$${\displaystyle r(\varphi )=2a(1-\cos \varphi ).}$$
• Führt man die Substitutionen ein und entfernt die Quadratwurzel, erhält man die implizite Darstellung in kartesischen Koordinaten :${\displaystyle \cos \varphi =x/r}$${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$$${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}+4ax\left(x^{2}+y^{2}\right)-4a^{2}y^{2}=0.}$$

Ein Beweis lässt sich mithilfe komplexer Zahlen und ihrer üblichen Beschreibung als komplexe Ebene erbringen . Die Rollbewegung des schwarzen Kreises auf dem blauen Kreis kann in zwei Rotationen zerlegt werden. In der komplexen Ebene kann eine Rotation um einen Punkt (den Ursprung) um einen Winkel durchgeführt werden, indem man einen Punkt ( eine komplexe Zahl ) mit multipliziert . Daher ${\displaystyle 0}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle z}$${\displaystyle e^{i\varphi }}$

Die Rotation um den Punkt beträgt${\displaystyle \Phi _{+}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle :z\mapsto a+(za)e^{i\varphi }}$

Die Rotation um den Punkt ist: .${\displaystyle \Phi _{-}}$${\displaystyle -a}$${\displaystyle z\mapsto -a+(z+a)e^{i\varphi }}$

Ein Punkt der Kardioide entsteht durch Rotation des Ursprungs um den Punkt und anschließende Rotation um denselben Winkel : Daraus ergibt sich die obige parametrische Darstellung: (Die trigonometrischen Identitäten und wurden verwendet.) ${\displaystyle p(\varphi )}$${\displaystyle a}$${\displaystyle -a}$${\displaystyle \varphi }$$${\displaystyle p(\varphi )=\Phi _{-}(\Phi _{+}(0))=\Phi _{-}\left(a-ae^{i\varphi }\right)=-a+\left(a-ae^{i\varphi }+a\right)e^{i\varphi }=a\;\left(-e^{i2\varphi }+2e^{i\varphi }-1\right).}$$$${\displaystyle {\begin{array}{cclcccc}x(\varphi )&=&a\;(-\cos(2\varphi )+2\cos \varphi -1)&=&2a(1-\cos \varphi )\cdot \cos \varphi &&\\y(\varphi )&=&a\;(-\sin(2\varphi )+2\sin \varphi )&=&2a(1-\cos \varphi )\cdot \sin \varphi &.&\end{array}}}$$${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,\ (\cos \varphi )^{2}+(\sin \varphi )^{2}=1,}$${\displaystyle \cos(2\varphi )=(\cos \varphi )^{2}-(\sin \varphi )^{2},}$${\displaystyle \sin(2\varphi )=2\sin \varphi \cos \varphi }$

Für die oben definierte Kardioide gelten die folgenden Formeln:

• Bereich ,${\displaystyle A=6\pi a^{2}}$
• Bogenlänge und${\displaystyle L=16a}$
• Krümmungsradius${\displaystyle \rho (\varphi )={\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\,.}$

Die Beweise dieser Aussagen verwenden in beiden Fällen die Polardarstellung der Kardioide. Geeignete Formeln finden sich unter Polarkoordinatensystem (Bogenlänge) und Polarkoordinatensystem (Fläche).

C1

Die Sehnen durch die Spitze der Kardioide haben die gleiche Länge.${\displaystyle 4a}$

C2

Die Mittelpunkte der Sehnen durch die Spitze liegen auf dem Umfang des festen Erzeugendenkreises (siehe Abbildung).

Die Punkte liegen auf einer Sehne durch den Scheitelpunkt (=Ursprung). Daher${\displaystyle P:p(\varphi ),\;Q:p(\varphi +\pi )}$$${\displaystyle {\begin{aligned}|PQ|&=r(\varphi )+r(\varphi +\pi )\\&=2a(1-\cos \varphi )+2a(1-\cos(\varphi +\pi ))=\cdots =4a\end{aligned}}.}$$

Für den Beweis wird die Darstellung in der komplexen Ebene (siehe oben) verwendet. Für die Punkte und$${\displaystyle P:\ p(\varphi )=a\,\left(-e^{i2\varphi }+2e^{i\varphi }-1\right)}$$$${\displaystyle Q:\ p(\varphi +\pi )=a\,\left(-e^{i2(\varphi +\pi )}+2e^{i(\varphi +\pi )}-1\right)=a\,\left(-e^{i2\varphi }-2e^{i\varphi }-1\right),}$$

Der Mittelpunkt der Sehne liegt auf dem Umfang des Kreises mit Mittelpunkt und Radius (siehe Abbildung). ${\displaystyle PQ}$$${\displaystyle M:\ {\tfrac {1}{2}}(p(\varphi )+p(\varphi +\pi ))=\cdots =-a-ae^{i2\varphi }}$$${\displaystyle -a}$${\displaystyle a}$

Eine Kardioide ist die Umkehrkurve einer Parabel mit ihrem Brennpunkt im Umkehrpunkt (siehe Grafik).

Im dargestellten Beispiel haben die Generatorkreise den Radius . Daher besitzt die Kardioide die Polardarstellung und ihre Umkehrkurve , eine Parabel (siehe Parabel in Polarkoordinaten ), mit der Gleichung in kartesischen Koordinaten. ${\textstyle a={\frac {1}{2}}}$$${\displaystyle r(\varphi )=1-\cos \varphi }$$$${\displaystyle r(\varphi )={\frac {1}{1-\cos \varphi }},}$$${\textstyle x={\tfrac {1}{2}}\left(y^{2}-1\right)}$

Anmerkung: Nicht jede Umkehrkurve einer Parabel ist eine Kardioide. Wird beispielsweise eine Parabel an einem Kreis umgekehrt, dessen Mittelpunkt im Scheitelpunkt der Parabel liegt, so erhält man eine Diokles-Zischseide .

Im vorherigen Abschnitt erhielt man durch zusätzliches Invertieren der Tangenten an die Parabel ein Kreisbüschel durch den Inversionsmittelpunkt (Ursprung). Eine detaillierte Betrachtung zeigt: Die Mittelpunkte der Kreise liegen auf dem Umfang des festen Erzeugendenkreises. (Der Erzeugendekreis ist die Umkehrkurve der Leitlinie der Parabel.)

Diese Eigenschaft führt zu folgender einfacher Methode zum Zeichnen einer Kardioide:

1. Wähle einen Kreis und einen Punkt auf seinem Umfang.${\displaystyle c}$${\displaystyle O}$
2. Zeichne Kreise, die den Punkt enthalten , mit Mittelpunkt auf und${\displaystyle O}$${\displaystyle c}$
3. Zeichne die Hülle dieser Kreise.

Eine ähnliche und einfache Methode zum Zeichnen einer Kardioide verwendet einen Linienstift . Sie geht auf L. Cremona zurück :

1. Zeichne einen Kreis, teile seinen Umfang mit Punkten in gleich große Abschnitte (siehe Abbildung) und nummeriere diese fortlaufend.${\displaystyle 2N}$
2. Zeichne die Sehnen ein: . (Das heißt, der zweite Punkt wird mit doppelter Geschwindigkeit bewegt.)${\displaystyle (1,2),(2,4),\dots ,(n,2n),\dots ,(N,2N),(N+1,2),(N+2,4),\dots }$
3. Die Hüllkurve dieser Akkorde ist eine Niere.

Die folgende Betrachtung verwendet trigonometrische Formeln für , , , , und . Um die Berechnungen zu vereinfachen, wird der Beweis für die Kardioide mit Polardarstellung geführt ( § Kardioiden in verschiedenen Lagen ). ${\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta }$${\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta }$${\displaystyle 1+\cos 2\alpha }$${\displaystyle \cos 2\alpha }$${\displaystyle \sin 2\alpha }$${\displaystyle r=2(1\mathbin {\color {red}+} \cos \varphi )}$

Aus der parametrischen Darstellung $${\displaystyle {\begin{aligned}x(\varphi )&=2(1+\cos \varphi )\cos \varphi ,\\y(\varphi )&=2(1+\cos \varphi )\sin \varphi \end{aligned}}}$$

Man erhält den Normalenvektor . Die Gleichung der Tangente lautet: ${\displaystyle {\vec {n}}=\left({\dot {y}},-{\dot {x}}\right)^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle {\dot {y}}(\varphi )\cdot (x-x(\varphi ))-{\dot {x}}(\varphi )\cdot (y-y(\varphi ))=0}$$${\displaystyle (\cos 2\varphi +\cos \varphi )\cdot x+(\sin 2\varphi +\sin \varphi )\cdot y=2(1+\cos \varphi )^{2}\,.}$$

Mithilfe trigonometrischer Formeln und anschließender Division durch lässt sich die Gleichung der Tangente wie folgt umschreiben: ${\textstyle \cos {\frac {1}{2}}\varphi }$$${\displaystyle \cos({\tfrac {3}{2}}\varphi )\cdot x+\sin \left({\tfrac {3}{2}}\varphi \right)\cdot y=4\left(\cos {\tfrac {1}{2}}\varphi \right)^{3}\quad 0<\varphi <2\pi ,\ \varphi \neq \pi .}$$

Die Gleichung der Sekante, die durch die beiden Punkte verläuft, lautet: ${\displaystyle (1+3\cos \theta ,3\sin \theta ),\ (1+3\cos {\color {red}2}\theta ,3\sin {\color {red}2}\theta ))}$$${\displaystyle (\sin \theta -\sin 2\theta )x+(\cos 2\theta -\sin \theta )y=-2\cos \theta -\sin(2\theta )\,.}$$

Mithilfe trigonometrischer Formeln und der anschließenden Division durch die Gleichung der Sekante lässt sich diese wie folgt umschreiben: ${\textstyle \sin {\frac {1}{2}}\theta }$$${\displaystyle \cos \left({\tfrac {3}{2}}\theta \right)\cdot x+\sin \left({\tfrac {3}{2}}\theta \right)\cdot y=4\left(\cos {\tfrac {1}{2}}\theta \right)^{3}\quad 0<\theta <2\pi .}$$

Obwohl die beiden Winkel unterschiedliche Bedeutungen haben (siehe Abbildung), erhält man für dieselbe Gerade dasselbe Ergebnis. Daher ist jede Sekante des oben definierten Kreises auch eine Tangente der Kardioide: ${\displaystyle \varphi ,\theta }$${\displaystyle \varphi =\theta }$

Die Kardioide ist die Einhüllende der Sehnen eines Kreises.

Anmerkung: Der Beweis kann mithilfe der Einhüllendenbedingungen (siehe vorheriger Abschnitt) eines impliziten Kurvenbüschels durchgeführt werden: $${\displaystyle F(x,y,t)=\cos \left({\tfrac {3}{2}}t\right)x+\sin \left({\tfrac {3}{2}}t\right)y-4\left(\cos {\tfrac {1}{2}}t\right)^{3}=0}$$

ist die Sekantenlinie eines Kreises (siehe oben) und $${\displaystyle F_{t}(x,y,t)=-{\tfrac {3}{2}}\sin \left({\tfrac {3}{2}}t\right)x+{\tfrac {3}{2}}\cos \left({\tfrac {3}{2}}t\right)y+3\cos \left({\tfrac {1}{2}}t\right)\sin t=0\,.}$$

Für einen festen Parameter t stellen beide Gleichungen Geraden dar. Ihr Schnittpunkt ist $${\displaystyle x(t)=2(1+\cos t)\cos t,\quad y(t)=2(1+\cos t)\sin t,}$$

das ist ein Punkt der Kardioide mit Polargleichung${\displaystyle r=2(1+\cos t).}$

Die im vorangegangenen Abschnitt gemachten Überlegungen liefern einen Beweis dafür, dass die Kaustik eines Kreises mit einer Lichtquelle auf dem Umfang des Kreises eine Kardioide ist.

Wenn sich in der Ebene an einem Punkt auf dem Umfang eines Kreises eine Lichtquelle befindet , die jeden beliebigen Strahl reflektiert, dann sind die reflektierten Strahlen innerhalb des Kreises Tangenten einer Kardioide.${\displaystyle Z}$

Anmerkung: Bei solchen Betrachtungen werden Mehrfachreflexionen am Kreis üblicherweise vernachlässigt.

Die Cremona-Generation einer Kardioide sollte nicht mit der folgenden Generation verwechselt werden:

Sei ein Kreis und ein Punkt auf dem Umfang dieses Kreises. Folgendes gilt: ${\displaystyle k}$${\displaystyle O}$

Die Fußpunkte der Lote von Punkten auf den Tangenten des Kreises sind Punkte einer Kardioide.${\displaystyle O}$${\displaystyle k}$

Eine Kardioide ist also eine spezielle Fußkurve eines Kreises.

In einem kartesischen Koordinatensystem hat ein Kreis einen Mittelpunkt und einen Radius . Die Tangente im Kreispunkt hat die Gleichung . Der Fußpunkt des Lotes vom Punkt auf die Tangente ist der Punkt mit dem noch unbekannten Abstand zum Ursprung . Setzt man den Punkt in die Gleichung der Tangente ein, erhält man , die Polargleichung einer Kardioide. Ein geometrischer Beweis lässt sich durch Spiegelung an der Tangente erbringen. Das Bild von , nennen wir es , liegt genau dort, wo sich auf dem gespiegelten Kreis beim Abrollen befinden würde. Daher ist der geometrische Ort von eine Kardioide. Eine Streckung um liefert dann die gewünschte Kardioide. Anmerkung: Liegt der Punkt nicht auf dem Umfang des Kreises , erhält man eine Limaçon von Pascal . ${\displaystyle k}$${\displaystyle (2a,0)}$${\displaystyle 2a}$${\displaystyle (2a+2a\cos \varphi ,2a\sin \varphi )}$$${\displaystyle (x-2a)\cdot \cos \varphi +y\cdot \sin \varphi =2a\,.}$$${\displaystyle O}$${\displaystyle (r\cos \varphi ,r\sin \varphi )}$${\displaystyle r}$${\displaystyle O}$$${\displaystyle (r\cos \varphi -2a)\cos \varphi +r\sin ^{2}\varphi =2a\quad \rightarrow \quad r=2a(1+\cos \varphi )}$$${\displaystyle k}$${\displaystyle O}$${\displaystyle O'}$${\displaystyle O}$${\displaystyle O'}$${\displaystyle 0.5\times }$${\displaystyle O}$${\displaystyle O}$${\displaystyle k}$

Die Evolute einer Kurve ist der geometrische Ort ihrer Krümmungsmittelpunkte. Genauer gesagt: Für eine Kurve mit Krümmungsradius hat die Evolute die Darstellung mit der geeignet orientierten Einheitsnormalen. ${\displaystyle {\vec {x}}(s)={\vec {c}}(s)}$${\displaystyle \rho (s)}$$${\displaystyle {\vec {X}}(s)={\vec {c}}(s)+\rho (s){\vec {n}}(s).}$$${\displaystyle {\vec {n}}(s)}$

Bei einer Nierencharakteristik erhält man:

Die Evolute einer Kardioide ist eine weitere Kardioide, die ein Drittel so groß ist und in die entgegengesetzte Richtung zeigt (siehe Abbildung).

Bei der Kardioide mit parametrischer Darstellung ist die Einheitsnormale und der Krümmungsradius . Daher lauten die parametrischen Gleichungen der Evolute: Diese Gleichungen beschreiben eine Kardioide, die ein Drittel so groß ist, um 180 Grad gedreht und entlang der x-Achse um verschoben ist . $${\displaystyle x(\varphi )=2a(1-\cos \varphi )\cos \varphi =4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi \,,}$$$${\displaystyle y(\varphi )=2a(1-\cos \varphi )\sin \varphi =4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi }$$$${\displaystyle {\vec {n}}(\varphi )=(-\sin {\tfrac {3}{2}}\varphi ,\cos {\tfrac {3}{2}}\varphi )}$$$${\displaystyle \rho (\varphi )={\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\,.}$$$${\displaystyle X(\varphi )=4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi -{\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\cdot \sin {\tfrac {3}{2}}\varphi =\cdots ={\tfrac {4}{3}}a\cos ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi -{\tfrac {4}{3}}a\,,}$$$${\displaystyle Y(\varphi )=4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi +{\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\cdot \cos {\tfrac {3}{2}}\varphi =\cdots ={\tfrac {4}{3}}a\cos ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi \,.}$$${\displaystyle -{\tfrac {4}{3}}a}$

(Es wurden trigonometrische Formeln verwendet: ) ${\displaystyle \sin {\tfrac {3}{2}}\varphi =\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi +\cos {\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi \ ,\ \cos {\tfrac {3}{2}}\varphi =\cdots ,\ \sin \varphi =2\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\cos {\tfrac {\varphi }{2}},\ \cos \varphi =\cdots \ .}$

Eine orthogonale Trajektorie eines Kurvenbüschels ist eine Kurve, die jede beliebige Kurve des Büschels orthogonal schneidet. Für Kardioiden gilt Folgendes:

Die orthogonalen Trajektorien des Kardioidenbüschels mit Gleichungen sind die Kardioiden mit Gleichungen$${\displaystyle r=2a(1-\cos \varphi )\ ,\;a>0\ ,\ }$$$${\displaystyle r=2b(1+\cos \varphi )\ ,\;b>0\ .}$$

(Der zweite Bleistift kann als Spiegelung des ersten an der y-Achse betrachtet werden. Siehe Diagramm.)

Für eine in Polarkoordinaten durch eine Funktion gegebene Kurve gilt folgender Zusammenhang zu kartesischen Koordinaten: ${\displaystyle r(\varphi )}$$${\displaystyle {\begin{aligned}x(\varphi )&=r(\varphi )\cos \varphi \,,\\y(\varphi )&=r(\varphi )\sin \varphi \end{aligned}}}$$

und für die Ableitungen $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{d\varphi }}&=r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi \,,\\{\frac {dy}{d\varphi }}&=r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi \,.\end{aligned}}}$$

Teilt man die zweite Gleichung durch die erste, erhält man die kartesische Steigung der Tangente an die Kurve im Punkt : ${\displaystyle (r(\varphi ),\varphi )}$$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi }{r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi }}.}$$

Für die Kardioiden mit den Gleichungen bzw. erhält man: und${\displaystyle r=2a(1-\cos \varphi )\;}$${\displaystyle r=2b(1+\cos \varphi )\ }$$${\displaystyle {\frac {dy_{a}}{dx}}={\frac {\cos(\varphi )-\cos(2\varphi )}{\sin(2\varphi )-\sin(\varphi )}}}$$$${\displaystyle {\frac {dy_{b}}{dx}}=-{\frac {\cos(\varphi )+\cos(2\varphi )}{\sin(2\varphi )+\sin(\varphi )}}\ .}$$

(Die Steigung einer Kurve hängt nur von ab, nicht aber von den Parametern oder !) ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

Das bedeutet also : Jede Kurve des ersten Bleistifts schneidet jede Kurve des zweiten Bleistifts orthogonal. $${\displaystyle {\frac {dy_{a}}{dx}}\cdot {\frac {dy_{b}}{dx}}=\cdots =-{\frac {\cos ^{2}\varphi -\cos ^{2}(2\varphi )}{\sin ^{2}(2\varphi )-\sin ^{2}\varphi }}=-{\frac {-1+\cos ^{2}\varphi +1-\cos ^{2}2\varphi }{\sin ^{2}(2\varphi )-\sin ^{2}(\varphi )}}=-1\,.}$$

Die Wahl anderer Positionen der Kardioide innerhalb des Koordinatensystems führt zu anderen Gleichungen. Die Abbildung zeigt die vier gebräuchlichsten Positionen einer Kardioide und ihre Polargleichungen.

In der komplexen Analysis ist das Bild eines beliebigen Kreises durch den Ursprung unter der Abbildung eine Kardioide. Eine Anwendung dieses Ergebnisses ist, dass der Rand der zentralen periodischen Komponente der Mandelbrotmenge eine Kardioide ist, die durch die Gleichung gegeben ist.${\displaystyle z\to z^{2}}$$${\displaystyle c\,=\,{\frac {1-\left(e^{it}-1\right)^{2}}{4}}.}$$

Die Mandelbrotmenge enthält unendlich viele leicht verzerrte Kopien von sich selbst, und der zentrale Kolben jeder dieser kleineren Kopien ist annähernd eine Kardioide.

Bestimmte Kaustiken können die Form von Kardioiden annehmen. Die Katakaustik eines Kreises bezüglich eines Punktes auf dem Umfang ist eine Kardioide. Ebenso ist die Katakaustik eines Kegels bezüglich Strahlen, die parallel zu einer Erzeugenden verlaufen, eine Fläche, deren Querschnitt eine Kardioide ist. Dies lässt sich, wie im Foto rechts zu sehen, an einem teilweise mit Flüssigkeit gefüllten Kegelbecher beobachten, wenn Licht aus der Ferne und unter einem Winkel, der dem Öffnungswinkel des Kegels entspricht, einfällt. ^{[ 6 ]} Die Form der Kurve am Boden eines zylindrischen Bechers ist die Hälfte eines Nephroids , das diesem sehr ähnlich sieht.

• Limaçon
• Nephroid
• Deltamuskel
• Wittgensteins Stab
• Nierenförmiges Mikrofon
• Lemniskate von Bernoulli
• Rahmenantenne
• Funkpeiler
• Funkpeilung
• Yagi-Antenne
• Giovanni Salvemini

• RC Yates (1952). „Kardioide“. Ein Handbuch über Kurven und ihre Eigenschaften . Ann Arbor, MI: JW Edwards. S. 4 ff.
• Wells D (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry . New York: Penguin Books. S.  24–25 . ISBN 0-14-011813-6Die

• „Kardioide“ . Enzyklopädie der Mathematik . EMS Press . 2001 [1994].
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. „Kardioide“ . MacTutor History of Mathematics Archive . Universität St Andrews .
• Herzhaftes Knabbern an Cardioiden bei cut-the-knot
• Weisstein, Eric W. „Kardioide“ . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Epicycloid--1-Cusped" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. „Herzkurve“ . MathWorld .
• Xah Lee, Cardioid (1998) (Diese Website bietet eine Reihe alternativer Konstruktionen) .
• Jan Wassenaar, Niere , (2005)