Norm (Mathematik)

In der Mathematik ist eine Norm eine Funktion von einem reellen oder komplexen Vektorraum in die nichtnegativen reellen Zahlen, die sich in gewisser Weise wie der Abstand vom Ursprung verhält : Sie kommutiert mit der Skalierung, erfüllt eine Form der Dreiecksungleichung und ist nur im Ursprung null. Insbesondere ist der euklidische Abstand in einem euklidischen Raum durch eine Norm auf dem zugehörigen euklidischen Vektorraum definiert , die als euklidische Norm , 2-Norm oder auch als Betrag oder Länge des Vektors bezeichnet wird. Diese Norm kann als Quadratwurzel des Skalarprodukts eines Vektors mit sich selbst definiert werden .

Eine Halbnorm erfüllt die ersten beiden Eigenschaften einer Norm, kann aber für Vektoren außer dem Ursprung null sein. ^{[ 1 ]} Ein Vektorraum mit einer vorgegebenen Norm wird als normierter Vektorraum bezeichnet . Analog dazu wird ein Vektorraum mit einer Halbnorm als seminormierter Vektorraum bezeichnet .

Der Begriff Pseudonorm wird für verschiedene verwandte Bedeutungen verwendet. Er kann ein Synonym für „Seminorm“ sein. ^{[ 1 ]} Er kann sich auch auf eine Norm beziehen, die unendlich viele Werte annehmen kann ^{[ 2 ]} oder auf bestimmte Funktionen, die durch eine gerichtete Menge parametrisiert werden . ^{[ 3 ]}

Gegeben sei ein Vektorraum über einem Teilkörper der komplexen Zahlen. Eine Norm auf ist eine reellwertige Funktion mit den folgenden Eigenschaften, wobei den üblichen Absolutbetrag eines Skalars bezeichnet : ^{[ 4 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle |s|}$${\displaystyle s}$

1. Subadditivität / Dreiecksungleichung : für alle${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y)}$${\displaystyle x,y\in X.}$
2. Absolute Homogenität : für alle und alle Skalare${\displaystyle p(sx)=|s|p(x)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle s.}$
3. Positive Definitheit / Positivität ^{[ 5 ]} /Punkttrennung :für allewenndann${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle p(x)=0,}$${\displaystyle x=0.}$
   • Da Eigenschaft (2.) impliziert, ersetzen einige Autoren Eigenschaft (3.) durch die äquivalente Bedingung: für jedes genau dann, wenn${\displaystyle p(0)=0,}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle p(x)=0}$${\displaystyle x=0.}$

Eine Halbnorm auf ist eine Funktion mit den Eigenschaften (1.) und (2.) ^{[ 6 ]} , sodass insbesondere jede Norm auch eine Halbnorm (und somit auch ein sublineares Funktional ) ist. Es gibt jedoch Halbnormen, die keine Normen sind. Die Eigenschaften (1.) und (2.) implizieren, dass, wenn eine Norm (oder allgemeiner eine Halbnorm) ist, dann und dass auch die folgende Eigenschaft besitzt: ${\displaystyle X}$${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle p(0)=0}$${\displaystyle p}$

4. Nichtnegativität : ^{[ 5 ]} für alle${\displaystyle p(x)\geq 0}$${\displaystyle x\in X.}$

Manche Autoren beziehen die Nichtnegativität in die Definition von „Norm“ ein, obwohl dies nicht notwendig ist. Obwohl in diesem Artikel „ positiv “ als Synonym für „positiv definit“ definiert wird, definieren andere Autoren „ positiv “ stattdessen als Synonym für „nichtnegativ“; ^{[ 7 ]} diese Definitionen sind nicht gleichwertig.

Ist eine Norm auf einem Vektorraum gegeben, so wird die Norm eines Vektors üblicherweise durch doppelte vertikale Striche dargestellt: , wie Stefan Banach in seiner Dissertation von 1920 vorschlug . Diese Notation wird mitunter auch verwendet, wenn es sich nur um eine Halbnorm handelt. Für die Länge eines Vektors im euklidischen Raum (ein Beispiel für eine Norm, wie weiter unten erläutert ) ist die Notation mit einfachen vertikalen Strichen ebenfalls weit verbreitet. ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X,}$${\displaystyle z\in X}$${\displaystyle \|z\|=p(z)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle |x|}$

Jeder Vektorraum (reell oder komplex) besitzt eine Norm: Wenn eine Hamel-Basis für einen Vektorraum ist , dann ist die reellwertige Abbildung, die (wobei alle Skalare bis auf endlich viele ) auf abbildet , eine Norm auf ^{[ 8 ].} Es gibt auch eine große Anzahl von Normen, die zusätzliche Eigenschaften aufweisen, die sie für bestimmte Probleme nützlich machen. ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x=\sum _{i\in I}s_{i}x_{i}\in X}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \sum _{i\in I}\left|s_{i}\right|}$${\displaystyle X.}$

Der Absolutbetrag ist eine Norm auf dem Vektorraum, der von den reellen oder komplexen Zahlen aufgespannt wird . Die komplexen Zahlen bilden einen eindimensionalen Vektorraum über sich selbst und einen zweidimensionalen Vektorraum über den reellen Zahlen; der Absolutbetrag ist eine Norm für diese beiden Strukturen. ${\displaystyle |x|}$

Jede Norm auf einem eindimensionalen Vektorraum ist (bis auf Skalierung) äquivalent zur Absolutbetragsnorm, was bedeutet, dass es einen normerhaltenden Isomorphismus von Vektorräumen gibt, wobei entweder oder ist, und normerhaltend bedeutet, dass . Dieser Isomorphismus wird gegeben, indem man auf einen Vektor mit der Norm abbildet , der existiert, da ein solcher Vektor durch Multiplikation eines beliebigen von Null verschiedenen Vektors mit der Inversen seiner Norm erhalten wird. ${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:\mathbb {F} \to X,}$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle |x|=p(f(x)).}$${\displaystyle 1\in \mathbb {F} }$${\displaystyle 1,}$

Im -dimensionalen euklidischen Raum wird der intuitive Begriff der Länge des Vektors durch die Formel ^{[ 9 ]} erfasst.${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)}$$${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|_{2}:={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$$

Dies ist die euklidische Norm , die den gewöhnlichen Abstand vom Ursprung zum Punkt X angibt – eine Folge des Satzes von Pythagoras . Diese Operation kann auch als „SRSS“ bezeichnet werden, ein Akronym für die Quadratwurzel der Summe von Quadraten . ^{[ 10 ]}

Die euklidische Norm ist die mit Abstand am häufigsten verwendete Norm auf ^{[ 9 ]} , aber es gibt, wie im Folgenden gezeigt wird, auch andere Normen auf diesem Vektorraum. Alle diese Normen sind jedoch insofern äquivalent, als sie alle dieselbe Topologie auf endlichdimensionalen Räumen definieren. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

Das Skalarprodukt zweier Vektoren eines euklidischen Vektorraums ist das Skalarprodukt ihrer Koordinatenvektoren über einer orthonormalen Basis . Daher lässt sich die euklidische Norm koordinatenfrei schreiben als $${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}.}$$

Die euklidische Norm wird auch quadratische Norm , Norm , ^{[ 11 ]} Norm , 2-Norm oder Quadratnorm genannt ; siehe Raum . Sie definiert eine Abstandsfunktion, die als euklidische Länge , Abstand oder Distanz bezeichnet wird . ${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle \ell ^{2}}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle \ell ^{2}}$

Die Menge der Vektoren, deren euklidische Norm eine gegebene positive Konstante ist, bildet eine -Sphäre . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$${\displaystyle n}$

Die euklidische Norm einer komplexen Zahl ist ihr Betrag (auch Modul genannt ), wenn die komplexe Ebene mit der euklidischen Ebene identifiziert wird. Diese Identifizierung der komplexen Zahl als Vektor in der euklidischen Ebene führt dazu, dass die Größe (wie zuerst von Euler vorgeschlagen) die euklidische Norm der komplexen Zahl ist. Für kann die Norm auch als geschrieben werden, wobei die komplex Konjugierte von ist.${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$${\displaystyle x+iy}$${\textstyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$${\displaystyle z=x+iy}$${\displaystyle {\sqrt {{\bar {z}}z}}}$${\displaystyle {\bar {z}}}$${\displaystyle z\,.}$

Es gibt genau vier euklidische Hurwitz-Algebren über den reellen Zahlen . Dies sind die reellen Zahlen, die komplexen Zahlen , die Quaternionen und schließlich die Oktonionen, wobei die Dimensionen dieser Räume über den reellen Zahlen jeweils gegeben sind. Die kanonischen Normen auf und sind, wie bereits erwähnt, ihre Betragsfunktionen . ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle \mathbb {H} ,}$${\displaystyle \mathbb {O} ,}$${\displaystyle 1,2,4,{\text{ and }}8,}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Die kanonische Norm der Quaternionen auf ist definiert durch für jedes Quaternion in . Dies entspricht der euklidischen Norm auf , betrachtet als Vektorraum . Analog dazu ist die kanonische Norm der Oktonionen einfach die euklidische Norm auf .${\displaystyle \mathbb {H} }$$${\displaystyle \lVert q\rVert ={\sqrt {\,qq^{*}~}}={\sqrt {\,q^{*}q~}}={\sqrt {\,a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}~}}}$$${\displaystyle q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} }$${\displaystyle \mathbb {H} .}$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}.}$

Auf einem -dimensionalen komplexen Raum ist die gebräuchlichste Norm die ${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$$${\displaystyle \|{\boldsymbol {z}}\|:={\sqrt {\left|z_{1}\right|^{2}+\cdots +\left|z_{n}\right|^{2}}}={\sqrt {z_{1}{\bar {z}}_{1}+\cdots +z_{n}{\bar {z}}_{n}}}.}$$

In diesem Fall kann die Norm als Quadratwurzel des Skalarprodukts des Vektors mit sich selbst ausgedrückt werden: wobei als Spaltenvektor dargestellt wird und seine konjugiert Transponierte bezeichnet . $${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}^{H}~{\boldsymbol {x}}}},}$$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{n}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{H}}$

Diese Formel gilt für jeden Skalarproduktraum , einschließlich euklidischer und komplexer Räume. In komplexen Räumen ist das Skalarprodukt äquivalent zum komplexen Punktprodukt . Daher kann die Formel in diesem Fall auch mit der folgenden Notation geschrieben werden: $${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}.}$$

$${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|_{1}:=\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|.}$$Die Bezeichnung bezieht sich auf die Strecke, die ein Taxi in einem rechteckigen Straßenraster (wie dem des New Yorker Stadtteils Manhattan ) zurücklegen muss, um vom Ausgangspunkt zum Ziel zu gelangen.${\displaystyle x.}$

Die Menge der Vektoren, deren 1-Norm eine gegebene Konstante ist, bildet die Oberfläche eines Kreuzpolytops , dessen Dimension der Dimension des Vektorraums minus 1 entspricht. Die Taxicab-Norm wird auch als 1- Norm bezeichnet . Der aus dieser Norm abgeleitete Abstand heißt Manhattan-Abstand oder 1-Abstand . ${\displaystyle \ell ^{1}}$${\displaystyle \ell ^{1}}$

Die 1-Norm ist einfach die Summe der Absolutwerte der Spalten.

Im Gegensatz dazu ist dies keine Norm, da es zu negativen Ergebnissen führen kann. $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}}$$

Sei eine reelle Zahl. Die -Norm (auch -Norm genannt) des Vektors ist ^{[ 9 ].} Für erhalten wir die Taxinorm , für erhalten wir die euklidische Norm , und wenn sich nähert, nähert sich die -Norm der Unendlichnorm oder Maximumnorm an : Die -Norm ist mit dem verallgemeinerten Mittelwert oder Potenzmittelwert verwandt. ${\displaystyle p\geq 1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \ell ^{p}}$${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})}$$${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{p}:={\biggl (}\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|^{p}{\biggr )}^{1/p}.}$$${\displaystyle p=1,}$${\displaystyle p=2}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle p}$$${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\max _{i}\left|x_{i}\right|.}$$${\displaystyle p}$

Die -Norm wird sogar durch ein kanonisches Skalarprodukt induziert, was bedeutet, dass für alle Vektoren gilt: Dieses Skalarprodukt lässt sich mithilfe der Polarisationsidentität durch die Norm ausdrücken . Auf diesem Skalarprodukt basiert die Norm .${\displaystyle p=2,}$${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{2}}$${\displaystyle \langle \,\cdot ,\,\cdot \rangle ,}$${\textstyle \|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}}$${\displaystyle \mathbf {x} .}$${\displaystyle \ell ^{2},}$Das euklidische Skalarprodukt ist definiert durch , während für den Raum,der zu einemMaßraum, der aus allenquadratintegrierbaren Funktionen, dieses Skalarprodukt lautet: $${\displaystyle \langle \left(x_{n}\right)_{n},\left(y_{n}\right)_{n}\rangle _{\ell ^{2}}~=~\sum _{n}{\overline {x_{n}}}y_{n}}$$${\displaystyle L^{2}(X,\mu )}$${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu ),}$$${\displaystyle \langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int _{X}{\overline {f(x)}}g(x)\,\mathrm {d} x.}$$

Diese Definition ist zwar weiterhin von Interesse, die resultierende Funktion definiert jedoch keine Norm ^{[ 12 ]} , da sie die Dreiecksungleichung verletzt . Auch im messbaren Analogon gilt, dass die entsprechende Klasse ein Vektorraum ist und dass die Funktion (ohne -te Wurzel) einen Abstand definiert, der zu einem vollständigen metrischen topologischen Vektorraum wird . Diese Räume sind von großem Interesse in der Funktionalanalysis , der Wahrscheinlichkeitstheorie und der harmonischen Analysis . Abgesehen von trivialen Fällen ist dieser topologische Vektorraum jedoch nicht lokal konvex und besitzt keine stetigen linearen Formen ungleich null. Daher enthält der topologische Dualraum nur das Nullfunktional. ${\displaystyle 0<p<1,}$${\displaystyle 0<p<1,}$${\displaystyle L^{p}}$$${\displaystyle \int _{X}|f(x)-g(x)|^{p}~\mathrm {d} \mu }$$${\displaystyle p}$${\displaystyle L^{p}(X)}$

Die partielle Ableitung der -Norm ist gegeben durch ${\displaystyle p}$$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\|\mathbf {x} \|_{p}={\frac {x_{k}\left|x_{k}\right|^{p-2}}{\|\mathbf {x} \|_{p}^{p-1}}}.}$$

Die Ableitung nach ist daher , wobei das Hadamard-Produkt bezeichnet und für den Absolutbetrag jeder Komponente des Vektors verwendet wird. ${\displaystyle x,}$$${\displaystyle {\frac {\partial \|\mathbf {x} \|_{p}}{\partial \mathbf {x} }}=\left({\frac {\mathbf {x} \circ |\mathbf {x} |^{p-2}}{\|\mathbf {x} \|_{p}^{p-1}}}\right)^{\top }.}$$${\displaystyle \circ }$${\displaystyle |\cdot |}$

Im Sonderfall wird dies zu oder ${\displaystyle p=2,}$$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\|\mathbf {x} \|_{2}={\frac {x_{k}}{\|\mathbf {x} \|_{2}}},}$$$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} }}\|\mathbf {x} \|_{2}=\left({\frac {\mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|_{2}}}\right)^{\top }.}$$

Wenn es einen Vektor gibt, sodass dann: ${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),}$$${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\max \left(\left|x_{1}\right|,\ldots ,\left|x_{n}\right|\right).}$$

Die Menge der Vektoren, deren Unendlichnorm eine gegebene Konstante ist, bildet die Oberfläche eines Hyperwürfels mit Kantenlänge${\displaystyle c,}$${\displaystyle 2c.}$

Die Energienorm ^{[ 13 ]} eines Vektors ist mithilfe einer symmetrischen positiv definiten Matrix definiert als ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle {\|{\boldsymbol {x}}\|}_{A}:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}^{T}\cdot A\cdot {\boldsymbol {x}}}}.}$$

Es ist klar, dass diese Norm der euklidischen Norm entspricht, wenn die Einheitsmatrix ist . Ist die Matrix diagonal, wird diese Norm auch als gewichtete Norm bezeichnet . Die Energienorm wird durch das Skalarprodukt induziert, das für gegeben ist durch . ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}\rangle _{A}:={\boldsymbol {x}}^{T}\cdot A\cdot {\boldsymbol {y}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}\in \mathbb {R} ^{n}}$

Im Allgemeinen hängt der Wert der Norm vom Spektrum von ab : Für einen Vektor mit der euklidischen Norm eins ist der Wert von nach unten und oben durch den kleinsten bzw. größten absoluten Eigenwert von beschränkt , wobei die Grenzen erreicht werden, wenn mit den entsprechenden (normierten) Eigenvektoren übereinstimmt. Basierend auf der symmetrischen Matrixwurzel lässt sich die Energienorm eines Vektors mithilfe der Standard-Euklidischen Norm wie folgt ausdrücken: ${\displaystyle A}$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$${\displaystyle {\|{\boldsymbol {x}}\|}_{A}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$${\displaystyle A^{1/2}}$

$${\displaystyle {\|{\boldsymbol {x}}\|}_{A}={\|A^{1/2}{\boldsymbol {x}}\|}_{2}.}$$

In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Funktionalanalysis induziert die Nullnorm eine vollständige metrische Topologie für den Raum der messbaren Funktionen und für den F-Raum der Folgen mit F-Norm ^{[ 14 ].} Hier bezeichnen wir mit F-Norm eine reellwertige Funktion auf einem F-Raum mit Abstand , sodass . Die oben beschriebene F -Norm ist keine Norm im üblichen Sinne, da ihr die erforderliche Homogenitätseigenschaft fehlt. ${\textstyle (x_{n})\mapsto \sum _{n}{2^{-n}x_{n}/(1+x_{n})}.}$${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$${\displaystyle d,}$${\displaystyle \lVert x\rVert =d(x,0).}$

In der metrischen Geometrie nimmt die diskrete Metrik für verschiedene Punkte den Wert eins und ansonsten null an. Angewendet auf die Elemente eines Vektorraums, definiert der diskrete Abstand die Hamming-Distanz , die in der Codierung und Informationstheorie von Bedeutung ist . Im Bereich der reellen oder komplexen Zahlen ist der Abstand der diskreten Metrik von null an den von null verschiedenen Punkten nicht homogen; er bleibt vielmehr eins, wenn sich das Argument des von null verschiedenen Elements null annähert. Der diskrete Abstand einer Zahl von null erfüllt jedoch die anderen Eigenschaften einer Norm, nämlich die Dreiecksungleichung und die positive Definitheit. Komponentenweise auf Vektoren angewendet, verhält sich der diskrete Abstand von null wie eine inhomogene „Norm“, die die Anzahl der von null verschiedenen Komponenten in ihrem Vektorargument zählt; auch diese inhomogene „Norm“ ist unstetig.

In der Signalverarbeitung und Statistik verwendete David Donoho den Begriff „ Nullnorm “ in Anführungszeichen. Gemäß Donohos Notation ist die Nullnorm einfach die Anzahl der von Null verschiedenen Koordinaten von oder der Hamming-Abstand des Vektors von Null. Wenn diese Norm auf eine beschränkte Menge beschränkt ist, entspricht sie dem Grenzwert der -Normen für gegen Null strebende Werte von . Die Nullnorm ist jedoch keine echte Norm, da sie nicht positiv homogen ist . Sie ist nicht einmal eine F-Norm im oben beschriebenen Sinne, da sie sowohl hinsichtlich des Skalar-Vektor-Arguments als auch hinsichtlich ihres Vektor-Arguments unstetig ist. Manche Ingenieure verwenden fälschlicherweise die Anführungszeichen Donohos und bezeichnen die Anzahl der von Null verschiedenen Koordinaten als Norm, analog zur Notation im Lebesgue-Raum messbarer Funktionen . ${\displaystyle x}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle L^{0}}$

Die Verallgemeinerung der obigen Normen auf eine unendliche Anzahl von Komponenten führt zu und Räumen für mit Normen ${\displaystyle \ell ^{p}}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle p\geq 1\,,}$

$${\displaystyle \|x\|_{p}={\bigg (}\sum _{i\in \mathbb {N} }\left|x_{i}\right|^{p}{\bigg )}^{1/p}{\text{ and }}\ \|f\|_{p,X}={\bigg (}\int _{X}|f(x)|^{p}~\mathrm {d} x{\bigg )}^{1/p}}$$

Für komplexwertige Folgen bzw. Funktionen auf , die weiter verallgemeinert werden können (siehe Haar-Maß ), gelten diese Normen auch im Grenzwert für , was eine Supremumsnorm ergibt. Sie werden als und bezeichnet .${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle p\rightarrow +\infty }$${\displaystyle \ell ^{\infty }}$${\displaystyle L^{\infty }\,.}$

Jedes innere Produkt induziert auf natürliche Weise die Norm${\textstyle \|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.}$

Weitere Beispiele für unendlichdimensionale normierte Vektorräume finden sich im Artikel über Banachräume .

Im Allgemeinen führen diese Normen nicht zu denselben Topologien. Beispielsweise liefert ein unendlichdimensionaler Raum eine streng feinere Topologie als ein unendlichdimensionaler Raum, wenn${\displaystyle \ell ^{p}}$${\displaystyle \ell ^{q}}$${\displaystyle p<q\,.}$

Weitere Normen können durch Kombination der obigen konstruiert werden; beispielsweise ist eine Norm über${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle \|x\|:=2\left|x_{1}\right|+{\sqrt {3\left|x_{2}\right|^{2}+\max(\left|x_{3}\right|,2\left|x_{4}\right|)^{2}}}}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$

Für jede Norm und jede injektive lineare Transformation lässt sich eine neue Norm definieren, die gleich ist. In 2D führt eine Drehung um 45° und eine geeignete Skalierung dazu, dass die Taxinorm in die Maximalnorm übergeht. Jede dieser Transformationen, angewendet auf die Taxinorm (bis auf Inversion und Achsenvertauschung), ergibt eine andere Einheitskugel: ein Parallelogramm mit bestimmter Form, Größe und Orientierung. ${\displaystyle A}$${\displaystyle x,}$$${\displaystyle \|Ax\|.}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

Im 3D-Raum ist dies ähnlich, jedoch unterschiedlich für die 1-Norm ( Oktaeder ) und die Maximumsnorm ( Prismen mit parallelogrammförmiger Grundfläche).

Es gibt Beispiele für Normen, die nicht durch „einstiegsweise“ Formeln definiert sind. Beispielsweise definiert das Minkowski-Funktional eines zentralsymmetrischen konvexen Körpers in (mit Zentrum bei Null) eine Norm auf (siehe § Klassifizierung von Halbnormen: absolut konvexe absorbierende Mengen weiter unten). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Alle oben genannten Formeln liefern ohne Modifikation auch Normen für . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Es gibt auch Normen auf Räumen von Matrizen (mit reellen oder komplexen Einträgen), die sogenannten Matrixnormen .

Sei eine endliche Erweiterung eines Körpers vom Grad , und sei algebraisch abgeschlossen. Sind die verschiedenen Einbettungen von , dann ist die galoistheoretische Norm eines Elements der Wert . Da diese Funktion homogen vom Grad ist , ist die galoistheoretische Norm keine Norm im Sinne dieses Artikels. Die -te Wurzel der Norm (vorausgesetzt, dieser Begriff ist sinnvoll) ist jedoch eine Norm. ^{[ 15 ]}${\displaystyle E}$${\displaystyle k}$${\displaystyle p^{\mu },}$${\displaystyle k}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \left\{\sigma _{j}\right\}_{j},}$${\displaystyle \alpha \in E}$${\textstyle \left(\prod _{j}{\sigma _{k}(\alpha )}\right)^{p^{\mu }}.}$${\displaystyle [E:k]}$${\displaystyle [E:k]}$

Der Normbegriff in Kompositionsalgebren weist nicht die üblichen Eigenschaften einer Norm auf, da Nullvektoren zulässig sind. Eine Kompositionsalgebra besteht aus einer Algebra über einem Körper, einer Involution und einer quadratischen Form, die als „Norm“ bezeichnet wird. ${\displaystyle N(z)}$${\displaystyle (A,{}^{*},N)}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle {}^{*},}$${\displaystyle N(z)=zz^{*}}$

Charakteristisch für Kompositionsalgebren ist die Homomorphieeigenschaft : Für das Produkt zweier Elemente der Kompositionsalgebra gilt: Die Norm von zwei Elementen der Kompositionsalgebra erfüllt die Bedingung . Bei Divisionsalgebren und der Kompositionsalgebra ist die Norm das Quadrat der oben diskutierten Norm. In diesen Fällen ist die Norm eine definite quadratische Form . Bei Zerfallsalgebren ist die Norm eine isotrope quadratische Form . ${\displaystyle N}$${\displaystyle wz}$${\displaystyle w}$${\displaystyle z}$${\displaystyle N(wz)=N(w)N(z).}$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle \mathbb {H} ,}$${\displaystyle \mathbb {O} }$

Für jede Norm auf einem Vektorraum gilt die umgekehrte Dreiecksungleichung : Wenn eine stetige lineare Abbildung zwischen normierten Räumen ist, dann sind die Norm von und die Norm der Transponierten von gleich. ^{[ 16 ]}${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X,}$$${\displaystyle p(x\pm y)\geq |p(x)-p(y)|{\text{ for all }}x,y\in X.}$$${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u}$

Für die Normen gilt die Hölder-Ungleichung ^{[ 17 ].} Ein Spezialfall davon ist die Cauchy-Schwarz-Ungleichung : ^{[ 17 ].}${\displaystyle L^{p}}$$${\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|_{p}\|y\|_{q}\qquad {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.}$$$${\displaystyle \left|\langle x,y\rangle \right|\leq \|x\|_{2}\|y\|_{2}.}$$

Jede Norm ist eine Halbnorm und erfüllt somit alle Eigenschaften der Halbnorm . Jede Halbnorm ist wiederum eine sublineare Funktion und erfüllt somit alle Eigenschaften der Sublinearität . Insbesondere ist jede Norm eine konvexe Funktion .

Der Begriff des Einheitskreises (die Menge aller Vektoren mit Norm 1) ist je nach Norm unterschiedlich: Für die 1-Norm ist der Einheitskreis ein rautenförmig orientiertes Quadrat ; für die 2-Norm (euklidische Norm) ist er der bekannte Einheitskreis ; für die Unendlichnorm ist er ein achsenparalleles Quadrat. Für jede -Norm ist er eine Superellipse mit kongruenten Achsen (siehe Abbildung). Aufgrund der Definition der Norm muss der Einheitskreis konvex und zentralsymmetrisch sein (daher kann beispielsweise die Einheitskugel ein Rechteck, aber kein Dreieck sein, und für eine -Norm gilt: ${\displaystyle p}$${\displaystyle p\geq 1}$${\displaystyle p}$

Im Vektorraum definiert die Halbnorm eine Topologie auf dem Raum. Diese Topologie ist genau dann eine Hausdorff -Topologie, wenn die Halbnorm zwischen verschiedenen Vektoren unterscheiden kann, was wiederum äquivalent dazu ist, dass die Halbnorm eine Norm ist. Die so definierte Topologie (entweder durch eine Norm oder eine Halbnorm) kann entweder durch Folgen oder offene Mengen verstanden werden. Eine Folge von Vektoren konvergiert in ihrer Norm gegen , wenn . Äquivalent dazu besteht die Topologie aus allen Mengen, die als Vereinigung offener Kugeln dargestellt werden können . Ist ein normierter Raum, dann ^{[ 18 ]}${\displaystyle \{v_{n}\}}$${\displaystyle v,}$${\displaystyle \left\|v_{n}-v\right\|\to 0}$${\displaystyle n\to \infty .}$${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$${\displaystyle \|x-y\|=\|x-z\|+\|z-y\|{\text{ for all }}x,y\in X{\text{ and }}z\in [x,y].}$

Zwei Normen und auf einem Vektorraum werden genannt${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$${\displaystyle X}$äquivalent, wenn sie die gleiche Topologie induzieren, ^{[ 19 ]} was genau dann der Fall ist, wenn es positive reelle Zahlenundsodass für alle gilt. Zum Beispiel, wennauf gilt,dann ^{[ 20 ].}${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle x\in X}$$${\displaystyle C\|x\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\beta }\leq D\|x\|_{\alpha }.}$$${\displaystyle p>r\geq 1}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$$${\displaystyle \|x\|_{p}\leq \|x\|_{r}\leq n^{(1/r-1/p)}\|x\|_{p}.}$$

Insbesondere gilt: Ist der Vektorraum ein endlichdimensionaler reeller oder komplexer Vektorraum, so sind alle Normen äquivalent. Im Fall unendlichdimensionaler Vektorräume hingegen sind nicht alle Normen äquivalent. $${\displaystyle \|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}}$$$${\displaystyle \|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{2}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{\infty }}$$$${\displaystyle \|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{1}\leq n\|x\|_{\infty },}$$$${\displaystyle \|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}\leq n\|x\|_{\infty }.}$$

Äquivalente Normen definieren dieselben Begriffe von Stetigkeit und Konvergenz und müssen für viele Zwecke nicht unterschieden werden. Genauer gesagt ist die durch äquivalente Normen auf dem Vektorraum definierte einheitliche Struktur gleichmäßig isomorph . Diese Form der Äquivalenz sollte jedoch nicht fälschlicherweise als Implikation verstanden werden, dass Normen stets austauschbar sind. Im Kontext der Modellanpassung können beispielsweise unterschiedliche Normen zu unterschiedlichen Anpassungen und unterschiedlicher algorithmischer Effizienz führen.

Alle Halbnormen auf einem Vektorraum können mithilfe absolut konvexer absorbierender Teilmengen klassifiziert werden . Zu jeder solchen Teilmenge gehört eine Halbnorm, die als Eichung von bezeichnet wird und definiert ist als , wobei das Infimum ist , mit der Eigenschaft, dass . Umgekehrt: ${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle p_{A}}$${\displaystyle A,}$$${\displaystyle p_{A}(x):=\inf\{r\in \mathbb {R} :r>0,x\in rA\}}$$${\displaystyle \inf _{}}$$${\displaystyle \left\{x\in X:p_{A}(x)<1\right\}~\subseteq ~A~\subseteq ~\left\{x\in X:p_{A}(x)\leq 1\right\}.}$$

Jeder lokalkonvexe topologische Vektorraum besitzt eine lokale Basis aus absolutkonvexen Mengen. Eine gängige Methode zur Konstruktion einer solchen Basis ist die Verwendung einer Familie von Halbnormen , die Punkte trennt : Die Menge aller endlichen Schnittmengen von Mengen macht den Raum zu einem lokalkonvexen topologischen Vektorraum, sodass jedes p stetig ist . ${\displaystyle (p)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \{p<1/n\}}$

Eine solche Methode wird verwendet, um schwache und schwache* Topologien zu entwerfen .

Normfall:

Angenommen, enthält genau ein , da trennt , ist eine Norm und ist ihre offene Einheitskugel . Dann ist eine absolut konvexe beschränkte Umgebung von 0 und stetig.${\displaystyle (p)}$${\displaystyle p:}$${\displaystyle (p)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle A=\{p<1\}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle p=p_{A}}$

Die Umkehrung geht auf Andrej Kolmogorov zurück : Jeder lokal konvexe und lokal beschränkte topologische Vektorraum ist normierbar . Genauer gesagt:

Wenn es sich um eine absolut konvexe beschränkte Umgebung von 0 handelt, dann ist die Eichung (sodass eine Norm ist).${\displaystyle X}$${\displaystyle g_{X}}$${\displaystyle X=\{g_{X}<1\}}$

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• Seminorm  – Mathematische Funktion
• Sublineare Funktion  – Funktionstyp in der linearen Algebra

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