Steinmetz-Festkörper

In der Geometrie ist ein Steinmetz-Körper der Körper, der durch den rechtwinkligen Schnitt zweier oder dreier Zylinder gleichen Radius entsteht . Jede der Schnittkurven zweier Zylinder ist eine Ellipse.

Der Schnitt zweier Zylinder wird als Bizylinder bezeichnet . Topologisch entspricht er einem quadratischen Hosoeder . Der Schnitt dreier Zylinder wird als Trizylinder bezeichnet . Ein halbierter Bizylinder wird als Gewölbe bezeichnet [ 1 ^{] , und} ein Klostergewölbe in der Architektur hat diese Form.

Steinmetz-Körper sind nach dem Mathematiker Charles Proteus Steinmetz benannt , ^{[ 2 ]} der das Problem der Volumenbestimmung des Schnittvolumens löste. Dasselbe Problem war jedoch bereits zuvor gelöst worden, und zwar von Archimedes in der Antike ^{[ 3 , 4 ] ,} Zu Chongzhi im alten China ^{[ 5 ]} und Piero della Francesca in der frühen italienischen Renaissance. ^{[ 3 ]} Sie spielen eine wichtige Rolle in den Skulpturen von Frank Smullin .

Ein Bizylinder, der aus zwei Zylindern mit Radius r besteht , hat das Volumen und die Oberfläche ^{[ 1 ] [ 6 ].}$${\displaystyle V={\frac {16}{3}}r^{3},}$$$${\displaystyle A=16r^{2}.}$$

Die obere Hälfte eines Doppelzylinders entspricht dem quadratischen Fall eines Kuppelgewölbes, eines kuppelförmigen Körpers, der auf einem beliebigen konvexen Polygon basiert, dessen Querschnitte spiegelbildliche Kopien des Polygons sind. Analoge Formeln zur Berechnung von Volumen und Oberfläche eines Kuppelgewölbes als rationales Vielfaches von Volumen und Oberfläche des umgebenden Prismas gelten allgemeiner. ^{[ 7 ]} In China ist der Doppelzylinder als „móu hé fāng gài“ (牟合方蓋), wörtlich „zwei quadratische Regenschirme“, bekannt ; er wurde vom Mathematiker Liu Hui aus dem 3. Jahrhundert beschrieben . ^{[ 8 ]}

Zur Herleitung der Volumenformel ist es zweckmäßig, die gängige Methode zur Berechnung des Kugelvolumens zu verwenden : das Aufteilen in dünne Zylinderscheiben. In diesem Fall handelt es sich bei den dünnen Scheiben um quadratische Quader (siehe Abbildung). Daraus ergibt sich , dass die Volumina eines geraden Kreiskegels, einer halben Kugel und eines geraden Kreiszylinders mit gleichem Radius und gleicher Höhe im Verhältnis 1 : 2 : 3 stehen . Für eine Hälfte eines Doppelzylinders gilt eine ähnliche Aussage: $${\displaystyle {\begin{aligned}V&=\int _{-r}^{r}(2x)^{2}\ \mathrm {d} z\\[2pt]&=4\cdot \int _{-r}^{r}x^{2}\ \mathrm {d} z\\[2pt]&=4\cdot \int _{-r}^{r}(r^{2}-z^{2})\ \mathrm {d} z\\[2pt]&={\frac {16}{3}}r^{3}.\end{aligned}}}$$

• Die Volumenverhältnisse der einbeschriebenen quadratischen Pyramide, des halben Doppelzylinders und des umgebenden quadratischen Quaders sind 1 : 2 : 3 :${\displaystyle (a=2r,\ h=r,\ V={\tfrac {4}{3}}r^{3}),}$${\displaystyle (V={\tfrac {8}{3}}r^{3})}$${\displaystyle (a=2r,\ h=r,\ V=4r^{3})}$$${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}{\frac {4}{3}}r^{3}&:&{\frac {8}{3}}r^{3}&:&4r^{3}\\[2pt]1&:&2&:&3\end{array}}}$$

Betrachten wir die Gleichungen der Zylinder:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+z^{2}&=r^{2}\\x^{2}+y^{2}&=r^{2}\end{aligned}}}$$

Das Volumen ergibt sich aus:

$${\displaystyle V=\iiint _{V}\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x}$$

Im Rahmen der Integrationsgrenzen:

$${\displaystyle {\begin{array}{rcccl}-{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}&\leqslant &z&\leqslant &{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\\[4pt]-{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}&\leqslant &y&\leqslant &{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\\[4pt]-r&\leqslant &x&\leqslant &r\end{array}}}$$

Durch Einsetzen erhalten wir:

$${\displaystyle {\begin{aligned}V&=\int _{-r}^{r}\int _{-{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}^{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\int _{-{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}^{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x\\[2pt]&=8r^{3}-{\frac {8r^{3}}{3}}\\[2pt]&={\frac {16r^{3}}{3}}\end{aligned}}}$$

Die Oberfläche besteht aus zwei roten und zwei blauen zylindrischen Doppelwinkeln. Ein roter Doppelwinkel wird durch die yz -Ebene halbiert und so in die Ebene abgewickelt, dass ein Halbkreis (Schnittpunkt mit der yz -Ebene) auf die positive ξ- Achse abgewickelt wird und die Abwicklung des Doppelwinkels nach oben durch den Sinusbogen begrenzt wird. Daher beträgt die Fläche dieser Abwicklung ${\displaystyle \eta =r\sin {\tfrac {\xi }{r}},\ 0\leq \xi \leq \pi r.}$

$${\displaystyle B=\int _{0}^{\pi r}r\sin {\frac {\xi }{r}}\ \mathrm {d} \xi =r^{2}\cos {0}-r^{2}\cos {\pi }=2r^{2}}$$ und die Gesamtoberfläche beträgt: $${\displaystyle A=8B=16r^{2}.}$$

Um das Volumen eines Doppelzylinders (weiß) zu bestimmen, kann man ihn in einen Würfel (rot) einschließen. Schneidet eine Ebene, die parallel zu den Achsen der Zylinder verläuft, den Doppelzylinder, entsteht ein Quadrat. Der Schnittpunkt dieser Ebene mit dem Würfel ergibt ein größeres Quadrat. Die Flächendifferenz dieser beiden Quadrate entspricht vier kleineren Quadraten (blau). Beim Durchlaufen der Körper durch die Ebene bilden diese blauen Quadrate quadratische Pyramiden mit gleichschenkligen Flächen an den Ecken des Würfels. Die Spitzen dieser Pyramiden liegen in den Mittelpunkten der vier Würfelkanten. Durchlaufen des gesamten Doppelzylinders mit der Ebene entstehen insgesamt acht Pyramiden.

• 
  Zu Chongzhis Methode (ähnlich dem Prinzip von Cavalieri ) zur Berechnung des Volumens einer Kugel beinhaltet die Berechnung des Volumens eines Doppelzylinders.
• 
  Verhältnis der Fläche eines Doppelzylinderquerschnitts zu der eines Würfelquerschnitts

Das Volumen des Würfels (rot) abzüglich des Volumens der acht Pyramiden (blau) ergibt das Volumen des Doppelzylinders (weiß). Das Volumen der acht Pyramiden beträgt: und daraus lässt sich das Volumen des Doppelzylinders berechnen. $${\displaystyle 8\times {\frac {1}{3}}r^{2}\times r={\frac {8}{3}}r^{3},}$$$${\displaystyle (2r)^{3}-{\frac {8}{3}}r^{3}={\frac {16}{3}}r^{3}.}$$

Die Schnittmenge dreier Zylinder mit senkrecht zueinander verlaufenden Achsen erzeugt eine Oberfläche eines Körpers mit Eckpunkten, an denen jeweils drei Kanten aufeinandertreffen, und solchen, an denen jeweils vier Kanten aufeinandertreffen. Diese Eckpunkte können als Kanten eines Rhombendodekaeders betrachtet werden . Entscheidend für die Bestimmung von Volumen und Oberfläche ist die Erkenntnis, dass der Dreizylinder durch einen Würfel mit Eckpunkten, an denen jeweils drei Kanten aufeinandertreffen (siehe Abbildung), und sechs gekrümmte Pyramiden (die Dreiecke sind Teile der Zylinderoberflächen) dargestellt werden kann. Analog lassen sich Volumen und Oberfläche der gekrümmten Dreiecke bestimmen, wie es zuvor beim Zweizylinder der Fall war. ^{[ 1 ] [ 6 ]}

Das Volumen eines Dreizylinders beträgt und die Oberfläche beträgt $${\displaystyle V=8(2-{\sqrt {2}})r^{3}}$$$${\displaystyle A=24(2-{\sqrt {2}})r^{2}.}$$

Bei vier Zylindern, deren Achsen die Eckpunkte eines Tetraeders mit den entsprechenden Punkten auf der anderen Seite des Körpers verbinden, beträgt das Volumen ^{[ 1 ] [ 6 ].}

$${\displaystyle V_{4}=12\left(2{\sqrt {2}}-{\sqrt {6}}\right)r^{3}\,}$$

Bei sechs Zylindern, deren Achsen parallel zu den Diagonalen der Flächen eines Würfels verlaufen , beträgt das Volumen: ^{[ 1 ] [ 6 ]}

$${\displaystyle V_{6}={\frac {16}{3}}\left(3+2{\sqrt {3}}-4{\sqrt {2}}\right)r^{3}\,}$$

• Ungula

• Ein 3D-Modell des Steinmetz-Körpers im Google 3D Warehouse