Rhombisches Dodekaeder

In der Geometrie ist das Rhombendodekaeder ein konvexer Polyeder mit 12 kongruenten rhombischen Flächen . Es besitzt 24 Kanten und 14 Ecken zweier Typen. Als Catalanischer Körper ist es das duale Polyeder des Kuboktaeders . Als Paralleloeder kann das Rhombendodekaeder durch die Aneinanderreihung seiner Kopien im Raum eine rhombendodekaedrische Wabenstruktur bilden . Es gibt verschiedene Varianten des Rhombendodekaeders, darunter das Bilinski-Dodekaeder . Auch Sternförmige Darstellungen des Rhombendodekaeders sind bekannt, beispielsweise der Escher-Körper . Das Rhombendodekaeder findet sich auch in der Natur (z. B. im Granatkristall ), in architektonischen Konzepten, in praktischen Anwendungen und in Spielzeugen wieder.

Das Rhombendodekaeder ist ein Polyeder mit zwölf Rauten , deren lange Flächendiagonale jeweils genau das 1/2-fache der kurzen Flächendiagonale beträgt ^{[ 1 ]} und deren spitzer Winkel θ beträgt . Der Diederwinkel zwischen zwei Rauten beträgt 120°. ^{[ 2 ]}${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\textstyle \arccos(1/3)\approx 70.53^{\circ }}$

Das Rhombendodekaeder ist ein katalanischer Körper , d. h. das duale Polyeder des archimedischen Kuboktaeders ; beide besitzen dieselbe oktaedrische Symmetrie . ^{[ 2 ]} Es ist flächentransitiv , d. h. die Symmetriegruppe des Körpers wirkt transitiv auf seine Flächen. Vereinfacht ausgedrückt bedeutet dies , dass es für je zwei Flächen eine Drehung oder Spiegelung des Körpers gibt , die ihn im selben Raumbereich belässt, während eine Fläche auf eine andere verschoben wird. ^{[ 3 ]} Neben dem Rhombendrekaeder ist es einer von zwei katalanischen Körpern, deren Isometriegruppen jeweils kantentransitiv sind ; die anderen konvexen Polyederklassen sind die fünf platonischen Körper und die beiden anderen archimedischen Körper: sein duales Polyeder und das Ikosidodekaeder .

Bezeichnet man die Kantenlänge eines Rhombendodekaeders mit ,${\displaystyle a}$

• Der Radius der einbeschriebenen Kugel (einer Kugel, die jede der Flächen des Rhombendodekaeders tangiert) beträgt: ( OEIS :  A157697 )$${\displaystyle r_{\mathrm {i} }={\frac {\sqrt {6}}{3}}a\approx 0.817a,}$$
• Der Radius ihrer Mittelkugel beträgt: OEIS :  A179587 )$${\displaystyle r_{\mathrm {m} }={\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}a\approx 0.943a,}$$
• Der Radius der Kugel, die durch die sechs Eckpunkte vierter Ordnung, aber nicht durch die acht Eckpunkte dritter Ordnung verläuft, ist: ( OEIS :  A020832 )$${\displaystyle r_{\mathrm {o} }={\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}a\approx 1.155a,}$$
• Der Radius der Kugel, die durch die acht Eckpunkte dritter Ordnung verläuft, ist genau gleich der Länge ihrer Seiten:${\textstyle r_{\mathrm {t} }=a}$

Die Oberfläche und das Volumen eines rhombischen Dodekaeders mit Kantenlänge sind: ^{[ 4 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle V}$${\displaystyle a}$$${\displaystyle {\begin{aligned}A&=8{\sqrt {2}}a^{2}&\approx 11.314a^{2},\\V&={\frac {16{\sqrt {3}}}{9}}a^{3}&\approx 3.079a^{3}.\end{aligned}}}$$

Das Rhombendodekaeder kann als konvexe Hülle der Vereinigung der Eckpunkte eines Würfels und eines regulären Oktaeders betrachtet werden, wobei sich die Kanten senkrecht schneiden. Die sechs Eckpunkte, an denen jeweils vier Rhomben zusammentreffen, entsprechen den Eckpunkten des Oktaeders , während die acht Eckpunkte, an denen jeweils drei Rhomben zusammentreffen, den Eckpunkten des Würfels entsprechen .

Das Skelett eines Rhombendodekaeders wird als Rhombendodekaedergraph bezeichnet und besitzt 14 Knoten und 24 Kanten. Es handelt sich um den Levi-Graphen der Miquel-Konfiguration (8 ₃ 6 ₄ ). ^{[ 5 ]}

Bild des rhombischen Dodekaeders, gegeben durch die Punkte mit den Koordinaten (±1, ±1, ±1), (±2, 0, 0), (0, ±2, 0) und (0, 0, ±2).

Pyritoeder- Variationen zwischen einem Würfel und einem rhombischen Dodekaeder. Auf halbem Weg des Übergangs wird das Polyeder zu einem regulären Dodekaeder.

Konstruktion eines Rhombendodekaeders durch Umkehrung der Mittelflächenpyramiden eines Würfels

Bei einer Kantenlänge von √3 haben die acht Eckpunkte, an denen drei Flächen in stumpfen Winkeln aufeinandertreffen, die kartesischen Koordinaten (±1, ±1, ±1). Die Koordinaten der sechs Eckpunkte, an denen vier Flächen in spitzen Winkeln aufeinandertreffen, lauten (±2, 0, 0), (0, ±2, 0) und (0, 0, ±2).

Das rhombische Dodekaeder kann als entarteter Grenzfall eines Pyritoeders mit Permutation der Koordinaten (±1, ±1, ±1) und (0, 1 + h , 1 − h ² ) mit Parameter h  = 1 angesehen werden.

Diese Koordinaten veranschaulichen, dass ein Rhombendodekaeder als Würfel mit sechs quadratischen Pyramiden an jeder Fläche betrachtet werden kann, die sich zu einem Würfel zusammenfügen lassen. Daher hat das Rhombendodekaeder das doppelte Volumen des einbeschriebenen Würfels, dessen Kantenlängen den kurzen Diagonalen der Rauten entsprechen. ^{[ 6 ]} Alternativ kann das Rhombendodekaeder auch konstruiert werden, indem man sechs quadratische Pyramiden so umdreht, dass sich ihre Spitzen im Mittelpunkt des Würfels treffen. ^{[ 7 ]}

Das Rhombendodekaeder als Paralleloeder

Das Rhombendodekaeder kann den Raum durch translatorische Kopien von sich selbst lückenlos ausfüllen.

Ein Granatkristall​

Die Wabenstruktur lässt sich aus einer alternativen Würfelparkettierung ableiten, indem jede Fläche jedes Würfels mit einer Pyramide ergänzt wird.

Das Rhombendodekaeder ist ein raumfüllendes Polyeder , d. h. es kann zur Parkettierung des dreidimensionalen Raums verwendet werden: Es lässt sich raumfüllend aneinanderreihen, ähnlich wie Sechsecke eine Ebene ausfüllen. Es ist ein Paralleloeder , da es eine wabenförmige Struktur bilden kann , in der alle Kopien flächengleich aneinanderstoßen. ^{[ 8 ]} Allgemeiner ist jedes Paralleloeder ein Zonoeder , ein zentralsymmetrisches Polyeder mit zentralsymmetrischen Flächen . ^{[ 9 ]} Als Paralleloeder kann das Rhombendodekaeder aus vier Sätzen von je sechs parallelen Kanten konstruiert werden. ^{[ 8 ]}

Die rhombische Dodekaeder-Wabe (oder Dodekaedrille ) ist ein Beispiel für eine Wabe, die durch Ausfüllen aller rhombischen Dodekaeder konstruiert wird. Sie ist dual zur Tetraktaedrille oder halbkubischen Wabe und wird durch zwei Coxeter-Diagramme beschrieben :UndMit D3d _- Symmetrie kann es als gestrecktes trigonales Trapezoid betrachtet werden . Es kann als Voronoi-Tessellation des flächenzentrierten kubischen Gitters angesehen werden . Es ist die Brillouin-Zone von raumzentrierten kubischen (krz) Kristallen. Einige Mineralien wie Granat bilden einen rhombischen Dodekaeder- Kristallhabitus . Wie Johannes Kepler in seinem 1611 erschienenen Buch über Schneeflocken ( Strena seu de Nive Sexangula ) bemerkte, nutzen Honigbienen die Geometrie von Rhombendodekaedern, um Waben aus einer Tessellation von Zellen zu bilden, wobei jede Zelle ein hexagonales Prisma ist, das mit einem halben Rhombendodekaeder überkappt ist. Das Rhombendodekaeder findet sich auch in den Elementarzellen von Diamant und Diamantoiden . In diesen Fällen fehlen vier Ecken (alternierend dreizählige), aber die chemischen Bindungen liegen auf den verbleibenden Kanten. ^{[ 10 ]}

Zerlegung des Rhombendodekaeders analog zur Zerlegung des Hexagons

Ein Rhombendodekaeder lässt sich in vier kongruente, stumpfwinklige trigonale Trapezoeder um seinen Mittelpunkt zerlegen . Diese Rhomboeder bilden die Zellen einer trigonalen Trapezoiden-Wabe . Analog dazu lässt sich ein regelmäßiges Sechseck in drei Rauten um seinen Mittelpunkt zerlegen . Diese Rauten bilden die Kacheln einer Rhombille .

Bei der Anordnung von Reaktionsrädern in Raumfahrzeugen wird üblicherweise eine tetraedrische Konfiguration aus vier Rädern verwendet. Für Räder, die in beiden Drehrichtungen und über alle vier Räder hinweg (hinsichtlich maximalem Drehmoment und maximalem Drehimpuls) die gleiche Leistung erbringen, ergeben sich die maximalen Drehmoment- und Impulskurven für das 3-Achsen- Lageregelungssystem (unter Berücksichtigung idealisierter Aktuatoren) durch die Projektion des Tesserakts , der die Grenzen des Drehmoments bzw. des Impulses jedes Rades repräsentiert, in den dreidimensionalen Raum mithilfe der 3×4-Matrix der Radachsen. Das resultierende 3D-Polyeder ist ein Rhombendodekaeder. ^{[ 11 ]} Eine solche Anordnung von Reaktionsrädern ist nicht die einzige mögliche Konfiguration (eine einfachere Anordnung besteht aus drei Rädern, die um orthogonale Achsen rotieren), bietet aber den Vorteil der Redundanz, um den Ausfall eines der vier Räder abzufedern (wobei die verbleibenden drei aktiven Räder eine reduzierte Gesamtleistung erbringen), und liefert eine konvexere Kurve als ein Würfel. Dies führt zu einer geringeren Abhängigkeit der Agilität von der Achsenrichtung (aus Sicht der Aktuatoren/Anlage). Die Masseneigenschaften des Raumfahrzeugs beeinflussen den Gesamtimpuls und die Beweglichkeit des Systems. Daher führt eine geringere Varianz der Hüllkurvenbegrenzung nicht zwangsläufig zu einer größeren Gleichmäßigkeit der bevorzugten Achsenabweichungen (das heißt, selbst bei einer perfekt verteilten Leistungsgrenze innerhalb des Aktuator-Teilsystems sind die bevorzugten Rotationsachsen auf Systemebene nicht unbedingt willkürlich).

Das Polyeder bildet auch die Grundlage für das HEALPix- Gitter, das in der Kosmologie zum Speichern und Bearbeiten von Karten der kosmischen Mikrowellenhintergrundstrahlung und in der Computergrafik zum Speichern von Umgebungskarten verwendet wird .

Die Sammlungen des Louvre umfassen einen Würfel in Form eines rhombischen Dodekaeders aus dem ptolemäischen Ägypten . Die Flächen sind mit griechischen Buchstaben beschriftet, die die Zahlen 1 bis 12 darstellen: Α Β Γ Δ Ε Ϛ Z Η Θ Ι ΙΑ ΙΒ. Die Funktion des Würfels ist unbekannt. ^{[ 12 ]}

Ein rhombisches Dodekaeder mit quadratischen und rhombischen Flächen

Das Bilinski-Dodekaeder

Andere Symmetriekonstruktionen des Rhombendodekaeders sind ebenfalls raumfüllend und ähneln als Parallelotopen Varianten raumfüllender abgestumpfter Oktaeder . ^{[ 13 ]} Beispielsweise kann ein Rhombendodekaeder mit vier quadratischen Flächen, 60°-Rhombenflächen und D4h _- Diedersymmetrie der Ordnung 16 als Kuboktaeder mit angesetzten quadratischen Pyramiden an Ober- und Unterseite betrachtet werden.

1960 entdeckte Stanko Bilinski ein zweites Rhombendodekaeder mit 12 kongruenten Rautenflächen, das Bilinski-Dodekaeder . Es besitzt dieselbe Topologie, aber eine andere Geometrie. Die Rautenflächen dieser Form weisen den Goldenen Schnitt auf . ^{[ 14 ] [ 15 ]}

Zeichnung und Kristallmodell eines deltoidalen Dodekaeders

Das deltoidale Dodekaeder ist eine weitere topologische Äquivalenzform des rhombischen Dodekaeders. ^{[ 16 ]} Es ist isohedrisch mit tetraedrischer Symmetrieordnung 24 und verzerrt rhombische Flächen zu Drachenvierecken (Deltoiden). Es besitzt 8 Eckpunkte, die abwechselnd in Vierergruppen nach innen oder außen verschoben sind, wobei der Grenzfall eine tetraedrische Hülle bildet. Variationen lassen sich durch ( a , b ) parametrisieren, wobei b und a voneinander abhängen, sodass das durch die vier Eckpunkte einer Fläche definierte Tetraeder das Volumen Null hat, d. h. eine ebene Fläche ist. (1,1) ist die rhombische Lösung. Wenn a sich ⁠1/2⁠ , b strebt gegen unendlich. Es gilt stets, dass ⁠1/A+​​1/B= 2 , mit a , b >1/2.​

(±2, 0, 0), (0, ±2, 0), (0, 0, ±2)

( a , a , a ), (− a , − a , a ), (− a , a , − a ), ( a , − a , − a )

(− b , − b , − b ), (− b , b , b ), ( b , − b , b ), ( b , b , − b )

(1,1)	( ⁠7/8,​​7/6)​	( ⁠3/4,​​3/2)​	( ⁠2/3⁠ ,2)	( ⁠5/8,​​5/2)​	( ⁠9/16,​​9/2)​

Einige sternförmige rhombische Dodekaeder

Wie viele konvexe Polyeder lässt sich auch das Rhombendodekaeder durch Verlängerung seiner Flächen oder Kanten zu einem neuen Polyeder erweitern . Dorman Luke beschrieb mehrere solcher Erweiterungen. ^{[ 17 ]} Die erste Erweiterung, oft als sternförmiges Rhombendodekaeder bezeichnet , kann als Rhombendodekaeder betrachtet werden, dessen Flächen durch das Anbringen einer rhombischen Pyramide erweitert wurden. Die Pyramidenhöhe ist so gewählt, dass die Seitenkanten in den Flächenebenen der benachbarten Flächen liegen. Luke beschreibt vier weitere Erweiterungen: die zweite und dritte (nach außen expandierende), eine durch Entfernen der zweiten von der dritten und eine weitere durch Hinzufügen des ursprünglichen Rhombendodekaeders zum vorherigen.

Das Rhombendodekaeder bildet die Hülle der Eckpunktprojektion eines Tesserakts auf drei Dimensionen. Es gibt genau zwei Möglichkeiten, ein Rhombendodekaeder in vier kongruente Rhomboeder zu zerlegen , wodurch sich acht mögliche Rhomboeder als Projektionen der acht kubischen Zellen des Tesserakts ergeben. Ein Satz von Projektionsvektoren lautet: u = (1,1,−1,−1), v = (−1,1,−1,1), w = (1,−1,−1,1).

Das Rhombendodekaeder bildet den maximalen Querschnitt eines 24-Zellen -Systems und gleichzeitig die Hülle seiner eckenorientierten Parallelprojektion in den dreidimensionalen Raum. Es lässt sich in sechs kongruente (aber nicht reguläre) quadratische Dipyramiden zerlegen , die sich in einem gemeinsamen Eckpunkt im Zentrum treffen. Diese bilden die Bilder von sechs Paaren der Oktaederzellen des 24-Zellen-Systems. Die verbleibenden zwölf Oktaederzellen werden auf die Flächen des Rhombendodekaeders projiziert. Die Nichtregularität dieser Bilder ist auf die projektive Verzerrung zurückzuführen; die Flächen des 24-Zellen-Systems sind reguläre Oktaeder im vierdimensionalen Raum.

Diese Zerlegung liefert eine interessante Methode zur Konstruktion des Rhombendodekaeders: Man zerlegt einen Würfel in sechs kongruente quadratische Pyramiden und setzt diese an die Flächen eines zweiten Würfels an. Die Dreiecksflächen je zweier benachbarter Pyramiden liegen in derselben Ebene und verschmelzen so zu Rhomben. Das 24-Zellen-Element lässt sich analog mithilfe zweier Tesserakte konstruieren . ^{[ 18 ]}

• Archimedische Konstruktionssysteme
• Trapez-Rhombisches Dodekaeder
• abgestumpftes rhombisches Dodekaeder

• Williams, Robert (1979), Die geometrischen Grundlagen natürlicher Strukturen: Ein Quellenbuch des Designs , Dover Publications, Inc., ISBN 0-486-23729-X

(Abschnitt 3-9) 

• Wenninger, Magnus (1983), Duale Modelle , Cambridge University Press, doi : 10.1017/CBO9780511569371 , ISBN 978-0-521-54325-5, MR  0730208(Die dreizehn halbregulären konvexen Polyeder und ihre Duale, Seite 19, Rhombendodekaeder)
• Die Symmetrien der Dinge 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, ISBN 978-1-56881-220-5(Kapitel 21, Benennung der archimedischen und katalanischen Polyeder und Parkettierungen, S. 285, Rhombendodekaeder)

• Weisstein, Eric W. , „Rhombisches Dodekaeder“ , MathWorld
• Polyeder in der virtuellen Realität – Die Enzyklopädie der Polyeder

• Beziehung zwischen einem rhombischen Triakontaeder und einem rhombischen Dodekaeder , rhombischer Dodekaeder 5-Verbindung und rhombischer Dodekaeder 5-Verbindung von Sándor Kabai, The Wolfram Demonstrations Project .

• Rhombischer Dodekaeder-Kalender – einen rhombischen Dodekaeder-Kalender ohne Klebstoff herstellen
• Ein weiterer Kalender in Form eines Rhombendodekaeders, archiviert am 1. Juli 2012 in der Wayback Machine – hergestellt durch das Flechten von Papierstreifen.

• Archimede-Institut Beispiele realer Wohnbauprojekte, die diese Geometrie verwenden