Halbierung

In der Geometrie bezeichnet Halbierung die Aufteilung eines Objekts in zwei gleich große oder kongruente Teile (mit gleicher Form und Größe). Üblicherweise geschieht dies durch eine Gerade , die auch Winkelhalbierende genannt wird . Die am häufigsten betrachteten Winkelhalbierenden sind die Streckenhalbierende , eine Gerade, die durch den Mittelpunkt einer gegebenen Strecke verläuft , und die Winkelhalbierende , eine Gerade, die durch den Scheitelpunkt eines Winkels verläuft und diesen in zwei gleich große Winkel teilt. Im dreidimensionalen Raum erfolgt die Halbierung üblicherweise durch eine Ebene , die ebenfalls Winkelhalbierende genannt wird .

• Die Mittelsenkrechte einer Strecke ist eine Gerade, die die Strecke in ihrem Mittelpunkt senkrecht schneidet.
• Die Mittelsenkrechte einer Strecke hat außerdem die Eigenschaft, dass jeder ihrer Punkte von den Endpunkten der Strecke AB den gleichen Abstand hat :${\displaystyle AB}$${\displaystyle X}$

(D) . ${\displaystyle \quad |XA|=|XB|}$

Der Beweis folgt aus dem Satz des Pythagoras : ${\displaystyle |MA|=|MB|}$

${\displaystyle |XA|^{2}=|XM|^{2}+|MA|^{2}=|XM|^{2}+|MB|^{2}=|XB|^{2}\;.}$

Eigenschaft (D) wird üblicherweise für die Konstruktion einer Mittelsenkrechten verwendet:

In der klassischen Geometrie ist die Halbierung eine einfache Konstruktion mit Zirkel und Lineal , deren Durchführbarkeit von der Fähigkeit abhängt, Kreisbögen mit gleichem Radius und unterschiedlichen Mittelpunkten zu zeichnen :

Die Strecke wird halbiert, indem man sich schneidende Kreise mit gleichem Radius zeichnet , deren Mittelpunkte die Endpunkte der Strecke sind. Die Gerade, die durch die Schnittpunkte der beiden Kreise entsteht, ist die Mittelsenkrechte der Strecke. Da die Konstruktion der Mittelsenkrechten ohne Kenntnis des Streckenmittelpunkts erfolgt , wird sie verwendet, um den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit der Strecke zu bestimmen. ${\displaystyle AB}$${\displaystyle r>{\tfrac {1}{2}}|AB|}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

Diese Konstruktion wird tatsächlich verwendet, wenn man eine Gerade senkrecht zu einer gegebenen Geraden an einem gegebenen Punkt konstruiert : Man zeichnet einen Kreis, dessen Mittelpunkt so gewählt ist , dass er die Gerade in zwei Punkten schneidet , und die zu konstruierende Senkrechte ist diejenige, die die Gerade halbiert . ${\displaystyle g}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle g}$${\displaystyle A,B}$${\displaystyle AB}$

Sind die Ortsvektoren zweier Punkte , so ist ihr Mittelpunkt und der Vektor ist der Normalenvektor der Mittelsenkrechten. Daher lautet ihre Vektorgleichung . Einsetzen und Ausmultiplizieren der Gleichung führt zur Vektorgleichung ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}}$${\displaystyle A,B}$${\displaystyle M:{\vec {m}}={\tfrac {{\vec {a}}+{\vec {b}}}{2}}}$${\displaystyle {\vec {a}}-{\vec {b}}}$${\displaystyle ({\vec {x}}-{\vec {m}})\cdot ({\vec {a}}-{\vec {b}})=0}$${\displaystyle {\vec {m}}=\cdots }$

(V)${\displaystyle \quad {\vec {x}}\cdot ({\vec {a}}-{\vec {b}})={\tfrac {1}{2}}({\vec {a}}^{2}-{\vec {b}}^{2}).}$

Damit erhält man die Gleichung in Koordinatenform: ${\displaystyle A=(a_{1},a_{2}),B=(b_{1},b_{2})}$

(C)${\displaystyle \quad (a_{1}-b_{1})x+(a_{2}-b_{2})y={\tfrac {1}{2}}(a_{1}^{2}-b_{1}^{2}+a_{2}^{2}-b_{2}^{2})\;.}$

Oder explizit: (E) , wobei , , und . ${\displaystyle \quad y=m(x-x_{0})+y_{0}}$${\displaystyle \;m=-{\tfrac {b_{1}-a_{1}}{b_{2}-a_{2}}}}$${\displaystyle \;x_{0}={\tfrac {1}{2}}(a_{1}+b_{1})\;}$${\displaystyle \;y_{0}={\tfrac {1}{2}}(a_{2}+b_{2})\;}$

Mittelsenkrechte wurden zur Lösung verschiedener geometrischer Probleme verwendet:

1. Konstruktion des Mittelpunkts eines Thales- Kreises
2. Konstruktion des Mittelpunkts des Ankreises eines Dreiecks,
3. Die Grenzen eines Voronoi-Diagramms bestehen aus Segmenten solcher Linien oder Ebenen.

• Die Mittelsenkrechte einer Strecke ist eine Ebene , die die Strecke in ihrem Mittelpunkt senkrecht schneidet.

Ihre Vektorgleichung ist buchstäblich dieselbe wie im ebenen Fall:

(V)${\displaystyle \quad {\vec {x}}\cdot ({\vec {a}}-{\vec {b}})={\tfrac {1}{2}}({\vec {a}}^{2}-{\vec {b}}^{2}).}$

Damit erhält man die Gleichung in Koordinatenform: ${\displaystyle A=(a_{1},a_{2},a_{3}),B=(b_{1},b_{2},b_{3})}$

(C3)${\displaystyle \quad (a_{1}-b_{1})x+(a_{2}-b_{2})y+(a_{3}-b_{3})z={\tfrac {1}{2}}(a_{1}^{2}-b_{1}^{2}+a_{2}^{2}-b_{2}^{2}+a_{3}^{2}-b_{3}^{2})\;.}$

Eigenschaft (D) (siehe oben) gilt auch im wörtlichen Sinne im Raum: (D) Die Mittelsenkrechte einer Strecke hat für jeden Punkt die Eigenschaft: . ${\displaystyle AB}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \;|XA|=|XB|}$

Eine Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei gleich große Winkel. Jeder Winkel hat genau eine Winkelhalbierende. Jeder Punkt einer Winkelhalbierenden hat denselben Abstand zu den Schenkeln des Winkels.

Um einen Winkel mit Zirkel und Lineal zu halbieren , zeichnet man einen Kreis, dessen Mittelpunkt der Scheitelpunkt ist. Der Kreis schneidet den Winkel in zwei Punkten: je einem auf jedem Schenkel. Um jeden dieser Punkte als Mittelpunkt zu verwenden, zeichnet man zwei gleich große Kreise. Der Schnittpunkt der beiden Kreise (die beiden Punkte) ist die Winkelhalbierende.

Der Beweis für die Korrektheit dieser Konstruktion ist recht intuitiv und beruht auf der Symmetrie des Problems. Formale Beweise beziehen sich auf grundlegende Eigenschaften der Raute und kongruenter Dreiecke . Die Drittelung eines Winkels (seine Aufteilung in drei gleiche Teile) ist nicht allein mit Zirkel und Lineal möglich (dies wurde erstmals von Pierre Wantzel bewiesen ).

Die innere Winkelhalbierende ist die Gerade, Halbgerade oder Strecke, die einen Winkel von weniger als 180° in zwei gleich große Winkel teilt. Die äußere Winkelhalbierende ist die Gerade, die den Nebenwinkel (180° minus dem ursprünglichen Winkel), der durch die eine Seite des ursprünglichen Winkels und die Verlängerung der anderen Seite gebildet wird, in zwei gleich große Winkel teilt. ^{[ 1 ]}

Die innere und äußere Winkelhalbierende eines Winkels stehen senkrecht aufeinander . Wenn der Winkel durch die beiden algebraisch gegebenen Geraden gebildet wird als und , dann sind die innere und äußere Winkelhalbierende durch die beiden Gleichungen gegeben ^{[ 2 ] : S. 15 .} ${\displaystyle l_{1}x+m_{1}y+n_{1}=0}$${\displaystyle l_{2}x+m_{2}y+n_{2}=0,}$

${\displaystyle {\frac {l_{1}x+m_{1}y+n_{1}}{\sqrt {l_{1}^{2}+m_{1}^{2}}}}=\pm {\frac {l_{2}x+m_{2}y+n_{2}}{\sqrt {l_{2}^{2}+m_{2}^{2}}}}.}$

Die Winkelhalbierenden zweier Außenwinkel und die Winkelhalbierende des dritten Innenwinkels schneiden sich in einem Punkt. ^{[ 3 ] : S. 149}

Drei Schnittpunkte, die jeweils eine Winkelhalbierende mit der gegenüberliegenden Verlängerung einer Außenwinkelachse bilden , liegen auf einer Geraden. ^{[ 3 ] : S. 149}

Drei Schnittpunkte, zwei davon zwischen einer Innenwinkelhalbierenden und der gegenüberliegenden Seite sowie der dritte zwischen der anderen Außenwinkelhalbierenden und der verlängerten gegenüberliegenden Seite, liegen auf einer Geraden. ^{[ 3 ] : S. 149}

Der Winkelhalbierendensatz befasst sich mit den relativen Längen der beiden Strecken, in die eine Dreiecksseite durch eine Gerade, die den gegenüberliegenden Winkel halbiert, geteilt wird. Er setzt deren relative Längen mit den relativen Längen der beiden anderen Dreiecksseiten gleich.

Sind die Seitenlängen eines Dreiecks , der halbe Umfang und A der Winkel gegenüber der Seite , dann ist die Länge der inneren Winkelhalbierenden des Winkels A ^{[ 3 ] : S. 70} ${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle s=(a+b+c)/2,}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {bcs(sa)}}}{b+c}},}$

oder, in trigonometrischen Begriffen ausgedrückt, ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\frac {2bc}{b+c}}\cos {\frac {A}{2}}.}$

Wenn die innere Winkelhalbierende des Winkels A im Dreieck ABC die Länge m hat und diese Winkelhalbierende die Seite gegenüber von A in Segmente der Längen m und n teilt , dann ^{[ 3 ] : S. 70} ${\displaystyle t_{a}}$

${\displaystyle t_{a}^{2}+mn=bc}$

wobei b und c die Seitenlängen gegenüber den Eckpunkten B und C sind; und die Seite gegenüber von A im Verhältnis b : c geteilt wird .

Wenn die inneren Winkelhalbierenden der Winkel A, B und C die Längen und haben , dann ^{[ 5 ]}${\displaystyle t_{a},t_{b},}$${\displaystyle t_{c}}$

${\displaystyle {\frac {(b+c)^{2}}{bc}}t_{a}^{2}+{\frac {(c+a)^{2}}{ca}}t_{b}^{2}+{\frac {(a+b)^{2}}{ab}}t_{c}^{2}=(a+b+c)^{2}.}$

Keine zwei nicht-kongruenten Dreiecke haben die gleichen drei Winkelhalbierenden. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

Es gibt Dreiecke mit ganzzahligen Zahlen, deren Winkelhalbierende rational ist .

Die Winkelhalbierenden eines konvexen Vierecks bilden entweder ein Sehnenviereck (d. h., die vier Schnittpunkte benachbarter Winkelhalbieren liegen auf einem gemeinsamen Kreis ) ^{[ 8 ]} oder sie schneiden sich in einem Punkt . Im letzteren Fall handelt es sich um ein Tangentialviereck .

Jede Diagonale einer Raute halbiert gegenüberliegende Winkel.

Der Exzenter eines extangentialen Vierecks liegt im Schnittpunkt von sechs Winkelhalbierenden. Dies sind die inneren Winkelhalbierenden an zwei gegenüberliegenden Eckwinkeln, die äußeren Winkelhalbierenden (ergänzende Winkelhalbierende) an den beiden anderen Eckwinkeln und die äußeren Winkelhalbierenden an den Winkeln, die durch den Schnittpunkt der Verlängerungen gegenüberliegender Seiten entstehen .

Die Tangente an eine Parabel in einem beliebigen Punkt halbiert den Winkel zwischen der Geraden, die den Punkt mit dem Brennpunkt verbindet, und der Geraden, die vom Punkt ausgeht und senkrecht zur Leitlinie steht.

Jede der drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks ist eine Strecke, die durch einen Eckpunkt und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verläuft und diese somit halbiert (allerdings im Allgemeinen nicht senkrecht). Die drei Seitenhalbierenden schneiden sich in einem Punkt, dem sogenannten Schwerpunkt des Dreiecks. Dieser ist, bei gleichmäßiger Dichte, dessen Massenmittelpunkt . Daher halbiert jede Gerade, die durch den Schwerpunkt eines Dreiecks und einen seiner Eckpunkte verläuft, die gegenüberliegende Seite. Der Schwerpunkt liegt doppelt so nah am Mittelpunkt einer Seite wie am gegenüberliegenden Eckpunkt.

Die innere Mittelsenkrechte einer Dreiecksseite ist diejenige Strecke der Geraden, die vollständig innerhalb des Dreiecks liegt und diese Seite senkrecht halbiert. Die drei Mittelsenkrechten der drei Dreiecksseiten schneiden sich im Umkreismittelpunkt (dem Mittelpunkt des Kreises durch die drei Eckpunkte). Daher halbiert jede Gerade, die durch den Umkreismittelpunkt eines Dreiecks verläuft und senkrecht auf einer Seite steht, diese Seite.

In einem spitzwinkligen Dreieck teilt der Umkreismittelpunkt die inneren Mittelsenkrechten der beiden kürzesten Seiten im gleichen Verhältnis. In einem stumpfwinkligen Dreieck werden die Mittelsenkrechten der beiden kürzesten Seiten (verlängert über die gegenüberliegenden Dreiecksseiten hinaus bis zum Umkreismittelpunkt) durch die jeweiligen sich schneidenden Dreiecksseiten im gleichen Verhältnis geteilt. ^{[ 9 ] : Folgerungen 5 und 6}

Für jedes Dreieck sind die inneren Mittelsenkrechten gegeben durch und , wobei die Seiten und die Fläche sind ^{[ 9 ] : Satz 2} ${\displaystyle p_{a}={\tfrac {2aT}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},}$${\displaystyle p_{b}={\tfrac {2bT}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},}$${\displaystyle p_{c}={\tfrac {2cT}{a^{2}-b^{2}+c^{2}}},}$${\displaystyle a\geq b\geq c}$${\displaystyle T.}$

Die beiden Bimedianen eines konvexen Vierecks sind die Strecken, die die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten verbinden und somit jeweils zwei Seiten halbieren. Die beiden Bimedianen und die Strecke, die die Mittelpunkte der Diagonalen verbindet, schneiden sich in einem Punkt, dem sogenannten Eckpunkt, und werden alle von diesem Punkt halbiert. ^{[ 10 ] : S. 125}

Die vier Höhenlinien eines konvexen Vierecks sind die Lote auf eine Seite durch den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite und halbieren diese somit. Ist das Viereck ein Sehnenviereck (liegt es in einem Kreis), so schneiden sich diese Höhenlinien in einem gemeinsamen Punkt, dem sogenannten Antizentrum.

Der Satz von Brahmagupta besagt, dass, wenn ein Sehnenviereck orthodiagonal ist (d. h. senkrechte Diagonalen hat ), die Senkrechte auf eine Seite vom Schnittpunkt der Diagonalen immer die gegenüberliegende Seite halbiert.

Die Mittelsenkrechtenkonstruktion bildet ein Viereck aus den Mittelsenkrechten der Seiten eines anderen Vierecks.

Es gibt unendlich viele Geraden, die die Fläche eines Dreiecks halbieren . Drei davon sind die Seitenhalbierenden (sie verbinden die Mittelpunkte der Seiten mit den gegenüberliegenden Eckpunkten) und schneiden sich im Schwerpunkt des Dreiecks ; sie sind sogar die einzigen Flächenhalbierenden, die durch den Schwerpunkt verlaufen. Drei weitere Flächenhalbierende verlaufen parallel zu den Dreiecksseiten; jede dieser Halbierenden schneidet die beiden anderen Seiten so, dass sie diese in Strecken im Verhältnis 1/2 teilen . ^{[ 11 ]} Diese sechs Geraden schneiden sich jeweils zu dritt: Zusätzlich zu den drei Seitenhalbierenden schneidet sich jede Seitenhalbierende mit zwei der seitenparallelen Flächenhalbierenden. ${\displaystyle {\sqrt {2}}+1:1}$

Die Einhüllende der unendlichen Flächenhalbierenden ist ein Delta (allgemein definiert als eine Figur mit drei Eckpunkten, die durch Kurven verbunden sind, die nach außen konkav sind, sodass die inneren Punkte eine nicht-konvexe Menge bilden). ^{[ 11 ]} Die Eckpunkte des Deltas liegen in den Mittelpunkten der Seitenhalbierenden; alle Punkte innerhalb des Deltas liegen auf drei verschiedenen Flächenhalbierenden, während alle Punkte außerhalb auf genau einer liegen. [ 1 ] Die Seiten des Deltas sind Hyperbelbögen , die asymptotisch zu den verlängerten Seiten des Dreiecks verlaufen. ^{[ 11 ]} Das Verhältnis der Fläche der Einhüllenden der Flächenhalbierenden zur Fläche des Dreiecks ist für alle Dreiecke invariant und beträgt z. B. 0,019860… oder weniger als 2 %. ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\log _{e}(2)-{\tfrac {1}{2}},}$

Eine Dreieckshalbierende ist eine Strecke, die den Umfang des Dreiecks halbiert und deren Endpunkt im Mittelpunkt einer der drei Seiten liegt. Die drei Halbierenden schneiden sich im Mittelpunkt des Spieker-Kreises , dem Inkreis des medialen Dreiecks . Sie verlaufen parallel zu den Winkelhalbierenden.

Ein Dreiecksteiler ist eine Strecke, die mit einem Endpunkt in einem der drei Eckpunkte des Dreiecks liegt und den Umfang halbiert. Die drei Teiler schneiden sich im Nagel-Punkt des Dreiecks.

Jede Gerade durch ein Dreieck, die sowohl dessen Fläche als auch dessen Umfang halbiert, verläuft durch den Inkreismittelpunkt (den Mittelpunkt des Inkreises ). Für jedes Dreieck gibt es entweder einen, zwei oder drei solcher Inkreismittelpunkte. Eine Gerade durch den Inkreismittelpunkt halbiert genau dann entweder die Fläche oder den Umfang, wenn sie auch den jeweils anderen halbiert. ^{[ 12 ]}

Jede Gerade durch den Mittelpunkt eines Parallelogramms halbiert die Fläche ^{[ 11 ]} und den Umfang.

Alle Flächen- und Umfangshalbierenden eines Kreises oder einer anderen Ellipse verlaufen durch den Mittelpunkt , und alle Sehnen durch den Mittelpunkt halbieren sowohl die Fläche als auch den Umfang. Im Falle eines Kreises sind dies die Durchmesser des Kreises.

Die Diagonalen eines Parallelogramms halbieren einander.

Wenn eine Strecke, die die Diagonalen eines Vierecks verbindet, beide Diagonalen halbiert, dann wird diese Strecke (die Newtonsche Gerade ) selbst vom Schwerpunkt eines Eckpunkts halbiert.

Eine Ebene, die zwei gegenüberliegende Kanten eines Tetraeders in einem bestimmten Verhältnis teilt, teilt auch das Volumen des Tetraeders im gleichen Verhältnis. Somit halbiert jede Ebene, die eine Bimedian (Verbindungslinie der Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten) eines Tetraeders enthält, dessen Volumen ^{[ 13 ] [ 14 ] : S. 89–90}

• Selbst machen – Winkelhalbierende
• Die Winkelhalbierende beim Knotendurchtrennen
• Definition der Winkelhalbierenden. Math Open Reference mit interaktivem Applet.
• Definition der Linienhalbierenden. Math Open Reference mit interaktivem Applet.
• Mittelsenkrechte. Mit interaktivem Applet.
• Animierte Anleitung zum Halbieren eines Winkels und einer Geraden mithilfe von Zirkel und Lineal
• Weisstein, Eric W. „Geradenhalbierende“ . MathWorld .

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