Stufenfunktion

In der Mathematik wird eine Funktion auf den reellen Zahlen als Treppenfunktion bezeichnet, wenn sie als endliche Linearkombination von Indikatorfunktionen von Intervallen dargestellt werden kann . Umgangssprachlich ist eine Treppenfunktion eine abschnittsweise konstante Funktion mit nur endlich vielen Abschnitten.

Eine Funktion heißt Treppenfunktion , wenn sie sich wie folgt schreiben lässt: ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x)=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}(x)}$, für alle reellen Zahlen${\displaystyle x}$

wobei und reelle Zahlen sind, Intervalle sind und die Indikatorfunktion von ist : ${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle \chi _{A_{i}}}$${\displaystyle A_{i}}$

${\displaystyle \chi _{A_{i}}(x)={\begin{cases}1&{\text{falls }}x\in A_{i}\\0&{\text{falls }}x\notin A_{i}\\\end{cases}}}$

In dieser Definition kann angenommen werden, dass die Intervalle die folgenden beiden Eigenschaften besitzen: ${\displaystyle A_{i}}$

1. Die Intervalle sind paarweise disjunkt : für${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\emptyset }$${\displaystyle i\neq j}$
2. Die Vereinigung der Intervalle ergibt die gesamte reelle Zahlengerade:${\displaystyle \bigcup _{i=0}^{n}A_{i}=\mathbb {R} .}$

Sollte dies nicht der Fall sein, kann man eine andere Menge von Intervallen wählen, für die diese Annahmen gelten. Zum Beispiel die Stufenfunktion

${\displaystyle f=4\chi _{[-5,1)}+3\chi _{(0,6)}}$

kann geschrieben werden als

${\displaystyle f=0\chi _{(-\infty ,-5)}+4\chi _{[-5,0]}+7\chi _{(0,1)}+3\chi _{[1,6)}+0\chi _{[6,\infty )}.}$

Manchmal müssen die Intervalle rechtsoffen sein ^{[ 1 ]} oder dürfen einelementig sein. ^{[ 2 ]} Die Bedingung, dass die Menge der Intervalle endlich sein muss, wird oft fallen gelassen, insbesondere in der Schulmathematik, ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} obwohl sie weiterhin lokal endlich sein muss , was zur Definition stückweise konstanter Funktionen führt.

• Eine konstante Funktion ist ein triviales Beispiel für eine Treppenfunktion. Dann gibt es nur ein Intervall.${\displaystyle A_{0}=\mathbb {R} .}$
• Die Vorzeichenfunktion sgn( x ) ist -1 für negative Zahlen und +1 für positive Zahlen und ist die einfachste nichtkonstante Stufenfunktion.
• Die Heaviside-Funktion H ( x ) , die für negative Zahlen 0 und für positive Zahlen 1 ist, entspricht bis auf eine Verschiebung und Skalierung des Wertebereichs der Vorzeichenfunktion . Sie ist das mathematische Konzept hinter einigen Testsignalen , wie sie beispielsweise zur Bestimmung der Sprungantwort eines dynamischen Systems verwendet werden .${\displaystyle H=(\operatorname {sgn} +1)/2}$

• Zur Modellierung eines Einheitsimpulses wird die Rechteckfunktion , die normalisierte Boxcar-Funktion , verwendet.

• Die Funktion des ganzzahligen Anteils ist gemäß der Definition dieses Artikels keine Treppenfunktion, da sie unendlich viele Intervalle besitzt. Allerdings definieren einige Autoren auch Treppenfunktionen mit unendlich vielen Intervallen. ^{[ 6 ]}

• Die Summe und das Produkt zweier Treppenfunktionen ergeben wieder eine Treppenfunktion. Auch das Produkt einer Treppenfunktion mit einer Zahl ist wieder eine Treppenfunktion. Somit bilden die Treppenfunktionen eine Algebra über den reellen Zahlen.
• Eine Treppenfunktion nimmt nur endlich viele Werte an. Sind die Intervalle in der obigen Definition der Treppenfunktion disjunkt und ihre Vereinigung die reelle Zahlengerade, dann gilt für alle${\displaystyle A_{i},}$${\displaystyle i=0,1,\dots ,n}$${\displaystyle f(x)=\alpha _{i}}$${\displaystyle x\in A_{i}.}$
• Das bestimmte Integral einer Stufenfunktion ist eine stückweise lineare Funktion .
• Das Lebesgue-Integral einer Stufenfunktion ist gegeben durch , wobei die Länge des Intervalls ist , und hier wird angenommen, dass alle Intervalle endliche Länge haben. Tatsächlich kann diese Gleichung (als Definition betrachtet) der erste Schritt zur Konstruktion des Lebesgue-Integrals sein. ^{[ 7 ]}${\displaystyle \textstyle f=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}}$${\displaystyle \textstyle \int f\,dx=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}\ell (A_{i}),}$${\displaystyle \ell (A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A_{i}}$
• Eine diskrete Zufallsvariable wird mitunter als eine Zufallsvariable definiert, deren kumulative Verteilungsfunktion abschnittsweise konstant ist. ^{[ 8 ]} In diesem Fall ist sie lokal eine Treppenfunktion (global kann sie unendlich viele Stufen aufweisen). Üblicherweise wird jedoch jede Zufallsvariable mit nur abzählbar vielen möglichen Werten als diskrete Zufallsvariable bezeichnet. In diesem Fall ist ihre kumulative Verteilungsfunktion nicht notwendigerweise lokal eine Treppenfunktion, da sich unendlich viele Intervalle in einem endlichen Bereich ansammeln können.

• Crenel-Funktion
• Stückweise
• Sigmoidfunktion
• Einfache Funktion
• Schritterkennung
• Heaviside-Sprungfunktion
• Stückweise konstante Bewertung