Graphen werden als Stäbe dargestellt , die durch Drehgelenke verbunden sind. Der als Quadrat dargestellte Kreisgraph C4 kann durch die blaue Kraft zu einem Parallelogramm gekippt werden und ist daher ein flexibler Graph. K3 , dargestellt als Dreieck, kann durch keine einwirkende Kraft verändert werden und ist daher ein starrer Graph.

In der diskreten Geometrie und Mechanik ist die strukturelle Steifigkeit eine kombinatorische Theorie zur Vorhersage der Flexibilität von Ensembles, die aus starren Körpern bestehen , welche durch flexible Verbindungen oder Gelenke miteinander verbunden sind .

Definitionen

Steifigkeit ist die Eigenschaft einer Struktur, sich unter Krafteinwirkung nicht zu biegen oder zu verformen. Das Gegenteil von Steifigkeit ist Flexibilität . In der Theorie der Struktursteifigkeit bestehen Strukturen aus Ansammlungen von Objekten, die selbst starre Körper sind und oft einfache geometrische Formen wie gerade Stäbe (Liniensegmente) aufweisen. Diese Objekte sind paarweise durch flexible Gelenke verbunden. Eine Struktur ist starr, wenn sie sich nicht verformen kann; das heißt, wenn keine kontinuierliche Bewegung der Struktur möglich ist, die die Form ihrer starren Komponenten und die Anordnung ihrer Verbindungen an den Gelenken beibehält.

Es gibt zwei grundlegend verschiedene Arten von Steifigkeit. Endliche oder makroskopische Steifigkeit bedeutet, dass sich eine Struktur nicht biegt, faltet oder verformt. Infinitesimale Steifigkeit bedeutet, dass sich die Struktur selbst theoretisch nicht verformt. (Technisch ausgedrückt: Bestimmte Differentialgleichungen besitzen keine von null verschiedenen Lösungen.) Die Bedeutung endlicher Steifigkeit ist offensichtlich, aber auch infinitesimale Steifigkeit ist entscheidend, da infinitesimale Flexibilität in der Theorie einer minimalen Verformung in der Realität und der daraus resultierenden Beschädigung der Struktur entspricht.

Ein starrer Graph ist eine strukturell starre Einbettung eines Graphen in den euklidischen Raum . [ 1 ] Das heißt, ein Graph ist starr, wenn die Struktur, die durch Ersetzen der Kanten durch starre Stäbe und der Knoten durch flexible Gelenke entsteht, starr ist. Ein nicht starrer Graph wird als flexibel bezeichnet . Formaler ausgedrückt: Eine Grapheinbettung ist flexibel, wenn die Knoten stetig verschoben werden können, wobei die Abstände zwischen benachbarten Knoten erhalten bleiben und sich die Abstände zwischen einigen nicht benachbarten Knoten ändern. [ 2 ] Diese Bedingung schließt euklidische Kongruenzen wie einfache Translation und Rotation aus.

Man kann auch Starrheitsprobleme für Graphen betrachten, in denen einige Kanten Kompressionselemente (die sich dehnen, aber nicht zusammenziehen lassen) und andere Kanten Zugelemente (die sich zusammenziehen, aber nicht dehnen lassen) darstellen. Ein starrer Graph mit solchen Kanten bildet ein mathematisches Modell einer Tensegrity- Struktur.

Darüber hinaus lässt sich Starrheit auch über Innenwinkelbeschränkungen zwischen Kanten anstatt über Kantenabstände definieren – eine Eigenschaft, die als Winkelstarrheit bekannt ist . In der Ebene werden minimal und dreieckig winkelstarre Strukturen durch L-Trigraphen charakterisiert , die eine Sparsitätsbedingung erfüllen, welche besagt, dass die Anzahl der Dreiecke genau zwei kleiner sein muss als die Anzahl der Knoten. Zudem weisen alle induzierten Teilstrukturen eine analoge Vererbungseigenschaft auf. Die L-Trigraph-Bedingung ist von der Laman-Graph-Bedingung inspiriert, die eine ähnliche Rolle bei der Winkel- bzw. Abstandsstarrheit spielt. [ 3 ]

Mathematik der Starrheit

Die Moser-Spindel , ein starrer Graph und ein Beispiel für einen Laman-Graphen .

Das grundlegende Problem besteht darin, die Steifigkeit einer Struktur durch theoretische Analyse vorherzusagen, ohne sie bauen zu müssen. Zu den wichtigsten Ergebnissen auf diesem Gebiet gehören die folgenden:

In vielen anderen einfachen Situationen ist es jedoch trotz des Vorhandenseins einer umfangreichen mathematischen Theorie noch nicht immer bekannt, wie die Starrheit einer Struktur mathematisch analysiert werden kann.

Geschichte

Einer der Begründer der mathematischen Theorie der Struktursteifigkeit war der Physiker James Clerk Maxwell . Im späten 20. Jahrhundert erlebte die mathematische Theorie der Steifigkeit eine Blütezeit, die sich bis ins 21. Jahrhundert fortsetzt.

Eine Theorie des Gleichgewichts und der Durchbiegungen von Systemen unter Krafteinwirkung basiert auf der Härte von Werkstoffen. In Fällen, in denen das System durch zusätzliche Verbindungselemente verstärkt wird, ergeben sich im dreidimensionalen Raum nach der üblichen Methode der Kräftegleichungen für jeden Punkt drei Gleichungen zur Bestimmung seines Gleichgewichts. Dies führt zu 3s Gleichungen zwischen e unbekannten Größen, wobei s die Anzahl der Punkte und e die Anzahl der Verbindungen ist. Aufgrund der Gleichheit von Wirkung und Reaktion in jedem Element müssen jedoch sechs Gleichgewichtsbedingungen des Systems von den Kräften erfüllt werden. Ist e  = 3s  − 6, so ist die Wirkung einer äußeren Kraft hinsichtlich der in den verschiedenen Elementen erzeugten Spannungen oder Drücke bestimmt; ist e  > 3s  − 6, so sind diese Kräfte unbestimmt. [ 6 ]

Siehe auch

Anmerkungen

  1. ^ Weisstein, Eric W. „Starrer Graph“ . MathWorld .
  2. ^ Weisstein, Eric W. „Flexibler Graph“ . MathWorld .
  3. ^ Chen, L. (2022), „Dreieckswinkelsteifigkeit für verteilte Lokalisierung in 2D“, Automatica , 143 110414, doi : 10.1016/j.automatica.2022.110414
  4. ^ Baglivo, Jenny A.; Graver, Jack E. (1983), „3.10 Aussteifungskonstruktionen“, Incidence and Symmetry in Design and Architecture , Cambridge Urban and Architectural Studies, Cambridge, UK: Cambridge University Press, S.  76–87 , ISBN 978-0-521-29784-4
  5. ^ Graver, Jack E. (2001), Counting on Frameworks: Mathematics to Aid the Design of Rigid Structures , The Dolciani Mathematical Expositions, Bd. 25, Washington, DC: Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-331-0, MR  1843781Siehe insbesondere die Abschnitte 1.2 („Das Gitterverstrebungsproblem“, S. 4–12), 1.5 („Mehr zum Gitterproblem“, S. 19–22), 2.6 („Die Lösung des Gitterproblems“, S. 50–55) und 4.4 („Tensegrity: Zugverstrebungen“, insbesondere S. 158–161).
  6. ^ Maxwell 1864 .

Referenzen