Brachistochronenkurve

In der Physik und Mathematik bezeichnet man als Brachistochrone (vom altgriechischen βράχιστος χρόνος (brákhistos khrónos) „ kürzeste Zeit “ ) ^{[ 1 ]} oder Kurve des schnellsten Abstiegs diejenige Kurve in der Ebene zwischen einem Punkt A und einem tiefer liegenden Punkt B , wobei B nicht direkt unter A liegt . Auf dieser Kurve gleitet eine Perle aus der Ruhe unter dem Einfluss eines homogenen Gravitationsfeldes reibungsfrei in kürzester Zeit zu einem vorgegebenen Endpunkt. Das Problem wurde 1696 von Johann Bernoulli formuliert und 1697 von Isaac Newton in einer einzigen Nacht gelöst , obwohl Bernoulli und einige andere bereits Monate zuvor eigene Lösungsansätze gefunden hatten.

Die Brachistochrone hat dieselbe Form wie die Tautochrone ; beide sind Zykloiden . Der jeweils genutzte Abschnitt der Zykloide variiert jedoch. Genauer gesagt: Die Brachistochrone kann bis zu einer vollständigen Umdrehung der Zykloide nutzen (im Grenzfall, wenn A und B auf gleicher Höhe liegen), beginnt aber stets an einer Spitze , während die Tautochrone nur bis zur ersten halben Umdrehung nutzen kann und immer in der Horizontalen endet. ^{[ 2 ]} Das Problem lässt sich mithilfe von Methoden der Variationsrechnung ^{[ 3 ]} und der optimalen Steuerung lösen . ^{[ 4 ]}

Die Kurve ist unabhängig von der Masse des Testkörpers und der lokalen Schwerkraft. Es wird lediglich ein Parameter so gewählt, dass die Kurve den Startpunkt A und den Endpunkt B beschreibt . ^{[ 5 ]} Wird dem Körper in A eine Anfangsgeschwindigkeit gegeben oder die Reibung berücksichtigt, so unterscheidet sich die Kurve, die die Zeit minimiert, von der Tautochronenkurve .

Im Jahr 1638 versuchte Galileo Galilei in seinen „Zwei neuen Wissenschaften“ ein ähnliches Problem für den schnellsten Abstieg von einem Punkt zu einer Wand zu lösen . Er kommt zu dem Schluss, dass der Bogen eines Kreises schneller ist als jede beliebige Anzahl seiner Sehnen. ^{[ 6 ]}

Aus dem Vorhergehenden lässt sich schließen, dass der schnellste Weg von allen [lationem omnium velocissimam] von einem Punkt zum anderen nicht der kürzeste Weg, nämlich eine gerade Linie, sondern der Bogen eines Kreises ist.

...

Folglich verkürzt sich die Zeit für den Abstieg von A nach C umso mehr, je mehr sich das einbeschriebene Polygon einem Kreis annähert. Was für den Quadranten bewiesen wurde, gilt auch für kleinere Kreisbögen; die Argumentation ist dieselbe.

Unmittelbar nach Satz 6 der „ Zwei neuen Wissenschaften“ warnt Galilei vor möglichen Irrtümern und der Notwendigkeit einer „höheren Wissenschaft“. In diesem Dialog reflektiert er seine eigene Arbeit. Galilei untersuchte die Zykloide und gab ihr ihren Namen, doch der Zusammenhang zwischen ihr und seinem Problem musste auf Fortschritte in der Mathematik warten.

Galileis Vermutung lautet: „Die kürzeste Zeit von allen [für einen beweglichen Körper] ist diejenige seines Falls entlang des Bogens ADB [eines Viertelkreises], und ähnliche Eigenschaften sind auch für alle kleineren Bögen zu verstehen, die von der untersten Grenze B nach oben gezogen werden.“

In Abb. 1 aus dem „Dialog über die zwei Weltsysteme“ behauptet Galilei, dass ein Körper, der auf einem Viertelkreisbogen von A nach B gleitet, B in kürzerer Zeit erreicht als auf jedem anderen Weg von A nach B. In Abb. 2 behauptet er analog, dass die Zeit entlang des kürzeren Bogens DB von jedem Punkt D auf dem Bogen AB aus kürzer ist als auf jedem anderen Weg von D nach B. Tatsächlich ist der kürzeste Weg von A nach B bzw. von D nach B, die Brachistochrone, ein Zykloidenbogen. Dieser ist in Abb. 3 für den Weg von A nach B und in Abb. 4 für den Weg von D nach B jeweils dem entsprechenden Kreisbogen überlagert dargestellt. ^{[ 7 ]}

Johann Bernoulli stellte den Lesern der Acta Eruditorum im Juni 1696 das Problem der Brachistochrone. ^{[ 8 ] [ 9 ]} Er sagte:

Ich, Johann Bernoulli, wende mich an die brillantesten Mathematiker der Welt. Nichts reizt intelligente Menschen mehr als ein ehrliches, anspruchsvolles Problem, dessen mögliche Lösung Ruhm einbringt und ein bleibendes Denkmal darstellt. Dem Beispiel von Pascal, Fermat und anderen folgend, hoffe ich, die Dankbarkeit der gesamten wissenschaftlichen Gemeinschaft zu gewinnen, indem ich den besten Mathematikern unserer Zeit ein Problem präsentiere, das ihre Methoden und ihre intellektuelle Stärke auf die Probe stellen wird. Sollte mir jemand die Lösung des gestellten Problems mitteilen, werde ich ihn öffentlich des Lobes würdig erklären.

Bernoulli formulierte die Problemstellung wie folgt:

Gegeben seien zwei Punkte A und B in einer vertikalen Ebene. Welche Kurve beschreibt ein Punkt, auf den nur die Schwerkraft wirkt, wenn er bei A beginnt und in kürzester Zeit B erreicht?

Johann und sein Bruder Jakob Bernoulli leiteten dieselbe Lösung her, doch Johanns Herleitung war fehlerhaft, und er versuchte, Jakobs Lösung als seine eigene auszugeben. ^{[ 10 ]} Johann veröffentlichte die Lösung im Mai 1697 in der Zeitschrift und bemerkte, dass die Lösung dieselbe Kurve wie Huygens’ Tautochrone sei . Nachdem er die Differentialgleichung für die Kurve mit der unten beschriebenen Methode hergeleitet hatte, zeigte er, dass sie tatsächlich eine Zykloide ergibt, ^{[ 11 ] [ 12 ]} doch sein Beweis ist dadurch beeinträchtigt, dass er anstelle der drei Konstanten v _{_m} , 2g und D nur eine einzige Konstante verwendete .

Bernoulli gewährte sechs Monate Zeit für Lösungen, doch innerhalb dieser Frist ging keine ein. Auf Leibniz’ Bitte hin wurde die Frist öffentlich um anderthalb Jahre verlängert. ^{[ 13 ]} Am 29. Januar 1697, um 16 Uhr, fand Isaac Newton , als er von der Royal Mint nach Hause kam , die Herausforderung in einem Brief von Johann Bernoulli. ^{[ 14 ]} Newton blieb die ganze Nacht wach, um sie zu lösen, und schickte die Lösung anonym mit der nächsten Post ab. Beim Lesen der Lösung erkannte Bernoulli sofort ihren Verfasser und rief aus, er erkenne „einen Löwen an seiner Krallenabdruck“. Dies verdeutlicht das Ausmaß von Newtons außergewöhnlichem Wissen, Intellekt und Können, da Bernoulli selbst zwei Wochen für die Lösung benötigte ^{[ 5 ] [ 15 ]} und viele der größten Mathematiker Europas Monate dafür brauchten. ^{[ 16 ]} Newton schrieb außerdem: „Ich lasse mich von Ausländern nicht gern wegen mathematischer Dinge tadeln und necken“ und hatte bereits Newtons Problem des minimalen Widerstands gelöst, das als erstes seiner Art in der Variationsrechnung gilt . Bernoulli hatte zwar das Prinzip der kürzesten Zeit zur Herleitung seiner Lösung verwendet, jedoch nicht die Variationsrechnung – Newton hatte beides angewendet und leistete durch seine Arbeit an den beiden Problemen Pionierarbeit auf diesem Gebiet. ^{[ 17 ]}

Schließlich lieferten fünf Mathematiker Lösungen: Newton, Jakob Bernoulli, Gottfried Leibniz , Ehrenfried Walther von Tschirnhaus und Guillaume de l’Hôpital . Vier dieser Lösungen (ohne die von L’Hôpital) wurden in derselben Ausgabe der Zeitschrift wie Bernoullis Lösung veröffentlicht. In seiner Arbeit gab Jakob Bernoulli einen Beweis für die Bedingung der kürzesten Zeit, ähnlich dem untenstehenden, bevor er zeigte, dass deren Lösung eine Zykloide ist. ^{[ 11 ]} Laut dem Newton-Forscher Tom Whiteside schuf Jakob Bernoulli, um seinen Bruder zu übertreffen, eine schwierigere Version des Brachistochronenproblems. Bei dessen Lösung entwickelte er neue Methoden, die Leonhard Euler zur sogenannten Variationsrechnung (1766) verfeinerte . Joseph-Louis Lagrange leistete weitere Arbeiten, die zur modernen Infinitesimalrechnung führten .

In einem Brief an L'Hôpital (21.12.1696) schrieb Bernoulli, dass er bei der Betrachtung des Problems der Kurve des schnellsten Abstiegs zunächst eine merkwürdige Verwandtschaft oder Verbindung mit einem anderen, nicht weniger bemerkenswerten Problem bemerkte, was zu einer „indirekten Methode“ der Lösung führte, und dass er kurz darauf eine „direkte Methode“ entdeckte. ^{[ 18 ]}

In einem Brief an Henri Basnage vom 30. März 1697, der in der Universitätsbibliothek Basel aufbewahrt wird , schrieb Bernoulli, er habe zwei Methoden (die er stets als „direkt“ und „indirekt“ bezeichnete) gefunden, um zu zeigen, dass die Brachistochrone die „gewöhnliche Zykloide“, auch „Roulette“ genannt, sei. Auf Leibniz’ Rat hin nahm er in die Acta Eruditorum Lipsidae vom Mai 1697 nur die indirekte Methode auf. Er schrieb, dies liege zum einen daran, dass er sie für ausreichend halte, um jeden Zweifler von der Schlussfolgerung zu überzeugen, und zum anderen daran, dass sie auch zwei berühmte Probleme der Optik löse, die „der verstorbene Herr Huygens“ in seiner Abhandlung über das Licht aufgeworfen hatte . Im selben Brief kritisierte er Newton dafür, seine Methode verschwiegen zu haben.

Zusätzlich zu seiner indirekten Methode veröffentlichte er die fünf anderen Antworten, die er auf das Problem erhalten hatte.

Bernoullis direkte Methode ist historisch bedeutsam, da sie beweist, dass die Brachistochrone eine Zykloide ist. Die Methode besteht darin, die Krümmung der Kurve in jedem Punkt zu bestimmen. Alle anderen Beweise, einschließlich Newtons (der damals noch nicht bekannt war), basieren auf der Berechnung der Steigung in jedem Punkt.

1718 erläuterte Bernoulli seine Lösung des Brachistochronenproblems mithilfe seiner direkten Methode. ^{[ 19 ] [ 20 ]} Er gab an, sie 1697 aus Gründen, die 1718 nicht mehr zutrafen, nicht veröffentlicht zu haben. Diese Arbeit blieb weitgehend unbeachtet, bis Constantin Carathéodory 1904 die Tragweite der Methode erkannte und erklärte, sie zeige, dass die Zykloide die einzig mögliche Kurve des kürzesten Abstiegs sei. Seiner Ansicht nach implizierten die anderen Lösungen zwar, dass die Abstiegszeit für die Zykloide stationär sei, aber nicht notwendigerweise minimal.

Ein Körper gleitet entlang eines beliebigen kleinen Kreisbogens Ce zwischen den Radien KC und Ke, wobei der Mittelpunkt K fest ist. Der erste Schritt des Beweises besteht darin, den Kreisbogen Mm zu finden, den der Körper in kürzester Zeit durchläuft.

Die Gerade KNC schneidet AL in N, und die Gerade Kne schneidet AL in n. Sie bilden in K einen kleinen Winkel CKe. Sei NK = a, und definiere einen variablen Punkt C auf der Verlängerung von KN. Von allen möglichen Kreisbögen Ce soll derjenige Bogen Mm gefunden werden, der die kürzeste Gleitzeit zwischen den beiden Radien KM und Km benötigt. Bernoulli argumentiert wie folgt, um Mm zu finden.

Sei MN = x. Er definiert m so, dass MD = mx, und n so, dass Mm = nx + na. Er bemerkt, dass x die einzige Variable ist und dass m endlich und n unendlich klein ist. Die Zeit, die benötigt wird, um den Bogen Mm zu durchqueren , ist minimal (un plus petit). Er erklärt nicht, dass die Geschwindigkeit entlang des Bogens Mm aufgrund seiner geringen Größe als die Geschwindigkeit in M ​​angenommen werden kann, die der Quadratwurzel aus MD entspricht, dem vertikalen Abstand von M unterhalb der horizontalen Linie AL. Außerdem gilt MD = mx nach dem Satz des Pythagoras. ${\displaystyle {\frac {Mm}{MD^{\frac {1}{2}}}}={\frac {n(x+a)}{(mx)^{\frac {1}{2}}}}}$

Daraus folgt, dass dies, wenn es differenziert wird, ergeben muss

${\displaystyle {\frac {(xa)dx}{2x^{\frac {3}{2}}}}=0}$so dass x = a.

Diese Bedingung definiert die Kurve, entlang der der Körper in kürzester Zeit gleitet. In jedem Punkt M auf der Kurve wird der Krümmungsradius MK durch die Achse AL in zwei gleiche Teile geteilt. Diese Eigenschaft, die laut Bernoulli schon lange bekannt war, ist einzigartig für die Zykloide.

Schließlich betrachtet er den allgemeineren Fall, in dem die Geschwindigkeit eine beliebige Funktion X(x) ist, sodass die zu minimierende Zeit gegeben ist durch . Die Minimalbedingung lautet dann , was er als schreibt: und woraus sich MN (=x) als Funktion von NK (= a) ergibt. Daraus ließe sich die Gleichung der Kurve mithilfe der Integralrechnung ableiten, obwohl er dies nicht beweist. ${\displaystyle {\frac {(x+a)}{X}}}$${\displaystyle X={\frac {(x+a)dX}{dx}}}$${\displaystyle X=(x+a)\Delta x}$

Anschließend präsentiert er seine sogenannte Synthetische Lösung, einen klassischen geometrischen Beweis dafür, dass es nur eine einzige Kurve gibt, auf der ein Körper in kürzester Zeit gleiten kann, und dass diese Kurve die Zykloide ist.

„Der Grund für den synthetischen Beweis nach Art der Alten ist, Herrn de la Hire zu überzeugen . Er hat wenig Verständnis für unsere neue Analyse und bezeichnet sie als falsch (Er behauptet, drei Wege gefunden zu haben, um zu beweisen, dass die Kurve eine kubische Parabel ist)“ – Brief von Johan Bernoulli an Pierre Varignon vom 27. Juli 1697. ^{[ 21 ]}

Angenommen, AMmB ist der Teil der Zykloide, der A und B verbindet und auf dem der Körper in kürzester Zeit gleitet. ICcJ sei Teil einer anderen Kurve, die A und B verbindet und näher an AL liegen kann als AMmB. Wenn der Bogen Mm in seinem Krümmungsmittelpunkt K den Winkel MKm einschließt, sei der Bogen auf IJ, der denselben Winkel einschließt, Cc. Der Kreisbogen durch C mit Mittelpunkt K ist Ce. Punkt D auf AL liegt senkrecht über M. Verbindet man K mit D, so ist Punkt H der Schnittpunkt von CG mit KD (gegebenenfalls verlängert).

Seien und t die Zeiten, die der Körper benötigt, um entlang Mm bzw. Ce zu fallen. ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau \propto {\frac {Mm}{MD^{\frac {1}{2}}}}}$, ,${\displaystyle t\propto {\frac {Ce}{CG^{\frac {1}{2}}}}}$

Verlängere CG bis zum Punkt F, wo und da , folgt daraus, dass ${\displaystyle CF={\frac {CH^{2}}{MD}}}$${\displaystyle {\frac {Mm}{Ce}}={\frac {MD}{CH}}}$

${\displaystyle {\frac {\tau }{t}}={\frac {Mm}{Ce}}.\left({\frac {CG}{MD}}\right)^{\frac {1}{2}}=\left({\frac {CG}{CF}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

Da MN = NK gilt, für die Zykloide:

${\displaystyle GH={\frac {MD.HD}{DK}}={\frac {MD.CM}{MK}}}$, , Und${\displaystyle CH={\frac {MD.CK}{MK}}={\frac {MD.(MK+CM)}{MK}}}$${\displaystyle CG=CH+GH={\frac {MD.(MK+2CM)}{MK}}}$

Wenn Ce näher an K als an Mm liegt, dann

${\displaystyle CH={\frac {MD.(MK-CM)}{MK}}}$Und${\displaystyle CG=CH-GH={\frac {MD.(MK-2CM)}{MK}}}$

In beiden Fällen,

${\displaystyle CF={\frac {CH^{2}}{MD}}>CG}$, und daraus folgt, dass${\displaystyle \tau <t}$

Wenn der Bogen Cc, der vom infinitesimalen Winkel MKm auf IJ eingeschlossen wird, nicht kreisförmig ist, muss er größer als Ce sein, da Cec im Grenzwert, wenn der Winkel MKm gegen Null strebt, zu einem rechtwinkligen Dreieck wird.

Bernoulli beweist übrigens, dass CF > CG mit einem ähnlichen, aber anderen Argument.

Daraus schließt er, dass ein Körper die Zykloide AMB in kürzerer Zeit durchläuft als jede andere Kurve ACB.

Nach dem Fermatschen Prinzip ist der Weg, den ein Lichtstrahl zwischen zwei Punkten zurücklegt (und der dem Snelliusschen Brechungsgesetz gehorcht ), derjenige, der die kürzeste Laufzeit benötigt. 1697 nutzte Bernoulli dieses Prinzip, um die Brachistochrone herzuleiten, indem er die Bahn eines Lichtstrahls in einem Medium betrachtete, in dem die Lichtgeschwindigkeit einer konstanten vertikalen Beschleunigung (der Erdbeschleunigung g ) folgt. ^{[ 22 ]}

Aufgrund des Energieerhaltungssatzes ergibt sich die Momentangeschwindigkeit v eines Körpers nach dem Fall aus der Höhe y in einem homogenen Gravitationsfeld zu:

${\displaystyle v={\sqrt {2gy}}}$,

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers entlang einer beliebigen Kurve hängt nicht von der horizontalen Verschiebung ab.

Bernoulli stellte fest, dass das Snellius'sche Brechungsgesetz eine Bewegungskonstante für einen Lichtstrahl in einem Medium mit variabler Dichte liefert:

${\displaystyle {\frac {\sin {\theta }}{v}}={\frac {1}{v}}{\frac {dx}{ds}}={\frac {1}{v_{m}}}}$,

wobei v _m die Konstante ist und den Winkel der Flugbahn in Bezug auf die Vertikale darstellt. ${\displaystyle \theta }$

Aus den obigen Gleichungen lassen sich zwei Schlussfolgerungen ziehen:

1. Zu Beginn muss der Winkel null sein, wenn die Teilchengeschwindigkeit null ist. Daher ist die Brachistochrone tangential zur Vertikalen im Ursprung.
2. Die Geschwindigkeit erreicht ihren Maximalwert, wenn die Flugbahn horizontal wird und der Winkel θ = 90° beträgt.

Vereinfachend wird angenommen, dass das Teilchen (oder der Strahl) mit den Koordinaten (x,y) vom Punkt (0,0) ausgeht und nach einem Fall über eine vertikale Strecke D seine maximale Geschwindigkeit erreicht :

${\displaystyle v_{m}={\sqrt {2gD}}}$Die

Durch Umstellen der Terme im Brechungsgesetz und Quadrieren erhält man:

${\displaystyle v_{m}^{2}dx^{2}=v^{2}ds^{2}=v^{2}(dx^{2}+dy^{2})}$

welche sich nach dx in Abhängigkeit von dy auflösen lässt :

${\displaystyle dx={\frac {v\,dy}{\sqrt {v_{m}^{2}-v^{2}}}}}$Die

Durch Einsetzen der obigen Ausdrücke für v und v _{m ergibt sich:}

${\displaystyle dx={\sqrt {\frac {y}{Dy}}}\,dy\,,}$

Dies ist die Differentialgleichung einer umgekehrten Zykloide, die von einem Kreis mit Durchmesser D=2r erzeugt wird und deren Parametergleichung lautet:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(\varphi -\sin \varphi )\\y&=r(1-\cos \varphi ).\end{aligned}}}$

wobei φ ein reeller Parameter ist , der dem Drehwinkel des rollenden Kreises entspricht. Für ein gegebenes φ liegt der Mittelpunkt des Kreises bei ( x , y ) = ( rφ , r ) .

Beim Brachistochronenproblem wird die Bewegung des Körpers durch die zeitliche Entwicklung des Parameters beschrieben:

${\displaystyle \varphi (t)=\omega t\,,\quad \omega ={\sqrt {\frac {g}{r}}}}$

wobei t die Zeit seit dem Loslassen des Körpers vom Punkt (0,0) ist.

Johanns Bruder Jakob zeigte, wie man mithilfe von Differentialen zweiten Grades die Bedingung für die kürzeste Zeit herleiten kann. Eine modernisierte Version des Beweises lautet wie folgt: Weicht man vernachlässigbar vom Pfad der kürzesten Zeit ab, so gilt für das Differentialdreieck, das durch die Verschiebung entlang des Pfades sowie die horizontale und vertikale Verschiebung gebildet wird:

${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}}$Die

Durch Differentiation bei fixiertem dy erhalten wir:

${\displaystyle 2ds\ d^{2}s=2dx\ d^{2}x}$Die

Und schließlich ergibt eine Umstellung der Terme:

${\displaystyle {\frac {dx}{ds}}d^{2}x=d^{2}s=v\ d^{2}t}$

Der letzte Teil ist die Verschiebung bei gegebener Zeitänderung für zweite Differentiale. Betrachten wir nun die Änderungen entlang der beiden benachbarten Pfade in der untenstehenden Abbildung, wobei der horizontale Abstand zwischen den Pfaden entlang der Mittellinie d²x beträgt ( ^gleich für die oberen und unteren Differentialdreiecke). Entlang der alten und neuen Pfade unterscheiden sich folgende Teile:

${\displaystyle d^{2}t_{1}={\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}d^{2}x}$

${\displaystyle d^{2}t_{2}={\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}d^{2}x}$

Für den Weg mit den wenigsten Zeiten sind diese Zeiten gleich, daher erhalten wir für ihre Differenz:

${\displaystyle d^{2}t_{2}-d^{2}t_{1}=0={\bigg (}{\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}-{\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}{\bigg )}d^{2}x}$

Und die Bedingung für die kürzeste Zeit ist:

${\displaystyle {\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}={\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}}$

was mit Johanns Annahme auf der Grundlage des Brechungsgesetzes übereinstimmt .

Im Juni 1696 stellte Johann Bernoulli in den Acta Eruditorum Lipsidae der internationalen Mathematikergemeinschaft eine Herausforderung: die Form der Kurve zu finden, die zwei feste Punkte verbindet, sodass eine Masse allein durch die Schwerkraft in kürzester Zeit entlang dieser Kurve gleitet. Die Lösung sollte ursprünglich innerhalb von sechs Monaten eingereicht werden. Auf Anregung von Leibniz verlängerte Bernoulli die Frist bis Ostern 1697 mit einem gedruckten Text namens „Programma“, der in Groningen ( Niederlande) veröffentlicht wurde.

Das Programm ist auf den 1. Januar 1697 nach dem Gregorianischen Kalender datiert . Dies entsprach dem 22. Dezember 1696 nach dem in Großbritannien gebräuchlichen Julianischen Kalender. Laut Newtons Nichte Catherine Conduitt erfuhr Newton am 29. Januar um 16 Uhr von der Herausforderung und hatte sie bis 4 Uhr am nächsten Morgen gelöst. Seine Lösung, die er der Royal Society mitteilte , ist auf den 30. Januar datiert. Diese Lösung, die später anonym in den Philosophical Transactions veröffentlicht wurde , ist korrekt, gibt aber nicht an, wie Newton zu ihr gelangte. Bernoulli schrieb im März 1697 an Henri Basnage, dass die Lösung, obwohl ihr Autor „aus übertriebener Bescheidenheit“ seinen Namen nicht preisgegeben habe, selbst anhand der wenigen überlieferten Details als Newtons Werk erkennbar sei, „wie der Löwe an seiner Klaue“ (lateinisch: ex ungue Leonem ).

D. T. Whiteside merkt an, dass dem französischen Brief „ ex ungue Leonem“ mit dem französischen Wort „comme“ vorangestellt ist . Die viel zitierte Version „tanquam ex ungue Leonem“ geht auf David Brewsters Buch von 1855 über Newtons Leben und Werk zurück. Bernoullis Absicht war es, so Whiteside, lediglich zu zeigen, dass er die anonyme Lösung als Newtons erkennen konnte, so wie man ein Tier anhand seiner Kralle als Löwen identifizieren kann; es sollte nicht andeuten, dass Bernoulli Newton für den Löwen unter den Mathematikern hielt, wie es später interpretiert wurde. ^{[ 23 ]}

John Wallis , damals 80 Jahre alt, erfuhr im September 1696 von Bernoullis jüngstem Bruder Hieronymus von dem Problem und versuchte drei Monate lang, es zu lösen, bevor er es im Dezember an David Gregory weitergab , der es ebenfalls nicht lösen konnte. Nachdem Newton seine Lösung eingereicht hatte, bat Gregory ihn um die Details und fertigte Notizen zu ihrem Gespräch an. Diese befinden sich in der Universitätsbibliothek von Edinburgh , Manuskript A , datiert vom 7. März 1697. Entweder verstand Gregory Newtons Argumentation nicht, oder Newtons Erklärung war sehr kurz gefasst. Es ist jedoch mit hoher Wahrscheinlichkeit möglich, Newtons Beweis anhand von Gregorys Notizen zu rekonstruieren, analog zu seiner Methode zur Bestimmung des Körpers mit dem geringsten Widerstand (Principia, Buch 2, Proposition 34, Scholium 2). Eine detaillierte Beschreibung seiner Lösung dieses letztgenannten Problems findet sich im Entwurf eines Briefes an Gregory aus dem Jahr 1694. ^{[ 24 ]} Neben dem Problem der minimalen Zeitkurve löste Newton gleichzeitig ein zweites Problem. Beide Lösungen erschienen anonym in den Philosophical Transactions of the Royal Society vom Januar 1697. ${\displaystyle 78^{1}}$

Abb. 1 zeigt Gregorys Diagramm (mit Ausnahme der fehlenden Linie IF und des hinzugefügten Startpunkts Z). Die Kurve ZVA ist eine Zykloide, und CHV ist ihr Erzeugungskreis. Da sich der Körper scheinbar von e nach E nach oben bewegt, muss angenommen werden, dass ein kleiner Körper von Z losgelassen wird und unter dem Einfluss der Schwerkraft reibungsfrei entlang der Kurve nach A gleitet.

Betrachten wir einen kleinen Bogen eE, den der Körper hinaufsteigt. Nehmen wir an, dass er anstelle des Bogens eE die Gerade eL zum Punkt L schneidet, der horizontal um einen kleinen Abstand o von E versetzt ist. Beachten Sie, dass eL nicht die Tangente in e ist und dass o negativ ist, wenn L zwischen B und E liegt. Zeichnen Sie die Gerade durch E parallel zu CH, die eL in n schneidet. Aufgrund einer Eigenschaft der Zykloide ist En die Normale zur Tangente in E, und analog dazu ist die Tangente in E parallel zu VH.

Da die Verschiebung EL klein ist, weicht sie in ihrer Richtung nur geringfügig von der Tangente in E ab, sodass der Winkel EnL nahezu ein rechter Winkel ist. Im Grenzfall, wenn der Bogen eE gegen null strebt, wird eL parallel zu VH, vorausgesetzt, o ist klein im Vergleich zu eE, sodass die Dreiecke EnL und CHV ähnlich sind.

Außerdem nähert sich en der Länge der Sehne eE an, und die Zunahme der Länge, , wobei Terme in und höher ignoriert werden, die den Fehler aufgrund der Näherung darstellen, dass eL und VH parallel sind. ${\displaystyle eL-eE=nL={\frac {o.CH}{CV}}}$${\displaystyle o^{2}}$

Die Geschwindigkeit entlang eE oder eL kann als die in E angenommen werden, proportional zu , was CH entspricht, da${\displaystyle {\sqrt {CB}}}$${\displaystyle CH={\sqrt {CB.CV}}}$

Dies scheint der gesamte Inhalt von Gregorys Notiz zu sein.

Sei t die zusätzliche Zeit, um L zu erreichen,

${\displaystyle t\propto {\frac {nL}{\sqrt {CB}}}={\frac {o.CH}{CV.{\sqrt {CB}}}}={\frac {o}{\sqrt {CV}}}}$

Daher hängt die Zeitverlängerung für das Durchlaufen eines kleinen, an einem Endpunkt verschobenen Kreisbogens ausschließlich von der Verschiebung an diesem Endpunkt ab und ist unabhängig von der Position des Bogens. Nach Newtons Verfahren ist dies genau die Bedingung, die für die kürzeste Durchlaufzeit der Kurve erforderlich ist. Daraus schließt er, dass die kürzeste Kurve die Zykloide sein muss.

Er argumentiert wie folgt.

Angenommen, Abb. 1 ist die noch nicht bestimmte Minimalkurve mit der vertikalen Achse CV und dem entfernten Kreis CHV, und Abb. 2 zeigt einen Teil der Kurve zwischen dem infinitesimalen Bogen eE und einem weiteren infinitesimalen Bogen Ff in endlicher Entfernung entlang der Kurve. Die zusätzliche Zeit t zum Durchlaufen von eL (anstatt eE) ist nL geteilt durch die Geschwindigkeit in E (proportional zu ), wobei Terme in und höher vernachlässigt werden: ${\displaystyle {\sqrt {CB}}}$${\displaystyle o^{2}}$

${\displaystyle t\propto {\frac {o.DE}{eE.{\sqrt {CB}}}}}$,

Bei L setzt das Teilchen seine Bewegung entlang eines Pfades LM fort, der parallel zur ursprünglichen Kurve EF verläuft, bis zu einem beliebigen Punkt M. Da es bei L dieselbe Geschwindigkeit wie bei E besitzt, ist die Zeit, die es zum Durchlaufen von LM benötigt hätte, dieselbe wie entlang der ursprünglichen Kurve EF. Bei M kehrt es im Punkt f auf den ursprünglichen Pfad zurück. Aus demselben Grund ist die Zeitersparnis T, um von M aus f anstatt von F aus zu erreichen, gleich

${\displaystyle T\propto {\frac {o.FG}{Ff.{\sqrt {CI}}}}}$

Die Differenz (t – T) ist die zusätzliche Zeit, die entlang des Pfades eLMf im Vergleich zum ursprünglichen Pfad eEFf benötigt wird:

${\displaystyle (tT)\propto \left({\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}-{\frac {FG}{Ff{\sqrt {CI}}}}\right).o}$plus Terme in und höher (1) ${\displaystyle o^{2}}$

Da eEFf die Minimumkurve ist, muss (t – T) größer als null sein, unabhängig davon, ob o positiv oder negativ ist. Daraus folgt, dass der Koeffizient von o in (1) null sein muss:

${\displaystyle {\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}={\frac {FG}{Ff{\sqrt {CI}}}}}$ (2) im Grenzwert, wenn eE und fF gegen Null streben. Da eEFf die Minimumkurve ist, muss angenommen werden, dass der Koeffizient größer als Null ist. ${\displaystyle o^{2}}$

Offensichtlich müssen zwei gleich große und entgegengesetzte Verschiebungen vorliegen, sonst würde der Körper nicht zum Endpunkt A der Kurve zurückkehren.

Wenn e fest ist und f als variabler Punkt weiter oben auf der Kurve betrachtet wird, dann ist f für alle diese Punkte konstant (gleich ). Indem man f festhält und e variabel macht, wird deutlich, dass auch konstant ist. ${\displaystyle {\frac {FG}{Ff{\sqrt {CI}}}}}$${\displaystyle {\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}}$${\displaystyle {\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}}$

Da die Punkte e und f beliebig sind, kann Gleichung (2) nur dann erfüllt sein , wenn überall gilt, und diese Bedingung charakterisiert die gesuchte Kurve. Dies ist die gleiche Technik, die er verwendet, um die Form des Körpers des geringsten Widerstands zu finden. ${\displaystyle {\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}={\text{Konstante}}}$

Für die Zykloide gilt , sodass , was oben als konstant gezeigt wurde, und die Brachistochrone ist die Zykloide. ${\displaystyle {\frac {DE}{eE}}={\frac {BH}{VH}}={\frac {CH}{CV}}}$${\displaystyle {\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}={\frac {CH}{CV.{\sqrt {CB}}}}}$

Newton gibt keinen Hinweis darauf, wie er herausfand, dass die Zykloide diese letzte Beziehung erfüllte. Möglicherweise geschah dies durch Ausprobieren, oder er erkannte sofort, dass die Kurve somit eine Zykloide war.

• Aristoteles' Radparadoxon
• Beltrami-Identität
• Variationsrechnung
• Kettenlinie
• Newtons Problem des minimalen Widerstands
• Trochoide
• gleichmäßig beschleunigte Bewegung

• „Brachistochrone“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. „Brachistochrone-Problem“ . MathWorld .
• Brachistochronen (bei MathCurve, mit hervorragenden animierten Beispielen)
• Die Brachistochrone , Whistler Alley Mathematik.
• Tabelle IV aus Bernoullis Artikel in Acta Eruditorum 1697
• Brachistochronen von Michael Trott und Brachistochronenproblem von Okay Arik, Wolfram Demonstrations Project .
• Das Brachistochronenproblem bei MacTutor
• Geodäten neu betrachtet — Einführung in die Geodäten einschließlich zweier Herleitungswege für die Gleichung der Geodäte, wobei die Brachistochrone ein Spezialfall einer Geodäte ist.
• Optimale Steuerungslösung für das Brachistochronenproblem in Python.
• Die Gerade, die Kettenlinie, die Brachistochrone, der Kreis und Fermat: Ein einheitlicher Ansatz für einige Geodäten.