Nachfolgerfunktion

In der Mathematik bildet die Nachfolgerfunktion ( oder Nachfolgeroperation) eine natürliche Zahl auf die nächste ab. Die Nachfolgerfunktion wird mit f(x) bezeichnet , also f(x) = 0. Zum Beispiel: f(x) = 0 und f(x ) = 0. Die Nachfolgerfunktion ist eine der grundlegenden Komponenten zum Aufbau einer primitiv-rekursiven Funktion . ${\displaystyle S}$${\displaystyle S(n)=n+1}$${\displaystyle S(1)=2}$${\displaystyle S(2)=3}$

Nachfolgeroperationen werden im Kontext einer nullten Hyperoperation auch als Zeration bezeichnet . In diesem Kontext ist die Erweiterung der Zeration die Addition , die als wiederholte Sukzession definiert ist.

Die Nachfolgerfunktion ist Teil der formalen Sprache, die zur Formulierung der Peano-Axiome verwendet wird , welche die Struktur der natürlichen Zahlen formalisieren. In dieser Formalisierung ist die Nachfolgerfunktion eine primitive Operation auf den natürlichen Zahlen, mit der die Standardzahlen und die Addition definiert werden. ^{[ 1 ]} 1 ist definiert als , 2 ist , usw.; und die Addition natürlicher Zahlen ist rekursiv definiert durch: ${\displaystyle S(0)}$${\displaystyle S(1)}$

${\displaystyle m+0=m}$

${\displaystyle m+S(n)=S(m+n)}$

Damit lässt sich die Addition zweier beliebiger natürlicher Zahlen berechnen. Zum Beispiel:

${\displaystyle 5+2}$

${\displaystyle =5+S(1)}$

${\displaystyle =5+S(S(0))}$

${\displaystyle =S(5+S(0))}$

${\displaystyle =S(S(5+0))}$

${\displaystyle =S(S(5))}$

${\displaystyle =S(6)}$

${\displaystyle =7}$Die

Es wurden verschiedene Konstruktionen der natürlichen Zahlen innerhalb der Mengenlehre vorgeschlagen. So konstruierte John von Neumann die Zahl 0 als die leere Menge und den Nachfolger von 0 als die Menge ℝ . Das Unendlichkeitsaxiom garantiert dann die Existenz einer Menge, die 0 enthält und bezüglich ℝ abgeschlossen ist . Die kleinste solche Menge wird mit ℝ bezeichnet , und ihre Elemente heißen natürliche Zahlen . ^{[ 2 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle n\cup \{n\}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {N} }$

Die Nachfolgerfunktion ist die Ebene-0-Grundlage der unendlichen Grzegorczyk-Hierarchie der Hyperoperationen , die zum Aufbau von Addition , Multiplikation , Potenzierung , Tetration usw. verwendet wird. Sie wurde 1986 in einer Untersuchung zur Verallgemeinerung des Musters für Hyperoperationen untersucht. ^{[ 3 ]}

Sie ist außerdem eine der primitiven Funktionen, die bei der Charakterisierung der Berechenbarkeit durch rekursive Funktionen verwendet werden .

• Nachfolger-Ordinalzahl
• Nachfolger Kardinal
• Inkrement- und Dekrementoperatoren
• Sequenz

• Paul R. Halmos (1968). Naive Mengenlehre . Nostrand.