Thom-Raum

In der Mathematik ist der Thom-Raum, Thom-Komplex oder Pontryagin-Thom-Konstruktion (benannt nach René Thom und Lev Pontryagin ) der algebraischen Topologie und Differentialtopologie ein topologischer Raum , der einem Vektorbündel über einem beliebigen parakompakten Raum zugeordnet ist.

Eine Möglichkeit, diesen Raum zu konstruieren, ist folgende: Sei

${\displaystyle p\colon E\to B}$

Sei ein reelles Vektorbündel vom Rang n über dem parakompakten Raum B. Dann ist für jeden Punkt b in B die Faser ein n- dimensionaler reeller Vektorraum . Wir können ein n - Sphärenbündel bilden , indem wir die Einpunktkompaktifizierung jeder Faser nehmen und diese zum Gesamtraum zusammenfügen. Aus dem Gesamtraum erhalten wir schließlich den Thom-Raum als Quotient von nach B ; das heißt, indem wir alle neuen Punkte auf einen einzigen Punkt identifizieren , den wir als Basispunkt von wählen . Wenn B kompakt ist, dann ist die Einpunktkompaktifizierung von E.${\displaystyle E_{b}}$${\displaystyle \operatorname {Sph} (E)\to B}$${\displaystyle \operatorname {Sph} (E)}$${\displaystyle T(E)}$${\displaystyle \operatorname {Sph} (E)}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle T(E)}$${\displaystyle T(E)}$

Wenn beispielsweise E das triviale Bündel ist , dann ist und, wenn man für B mit einem disjunkten Basispunkt schreibt, ist das Smash-Produkt von und ; das heißt, die n -te reduzierte Suspension von . ${\displaystyle B\times \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \operatorname {Sph} (E)}$${\displaystyle B\times S^{n}}$${\displaystyle B_{+}}$${\displaystyle T(E)}$${\displaystyle B_{+}}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle B_{+}}$

Alternativ kann man, da B parakompakt ist, E eine euklidische Metrik geben und es dann als Quotient des Einheitskreiselbündels von E nach dem Einheitssphärenbündel von E definieren . ${\displaystyle T(E)}$${\displaystyle (n-1)}$

Die Bedeutung dieser Konstruktion beginnt mit dem folgenden Ergebnis, das zum Gebiet der Kohomologie von Faserbündeln gehört . (Wir haben das Ergebnis mithilfe von Koeffizienten formuliert , um Komplikationen aufgrund der Orientierbarkeit zu vermeiden ; siehe auch Orientierung eines Vektorbündels#Thom-Raum .) ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Sei ein reelles Vektorbündel vom Rang n . Dann gibt es einen Isomorphismus, der Thom-Isomorphismus genannt wird.${\displaystyle p:E\to B}$

${\displaystyle \Phi :H^{k}(B;\mathbb {Z} _{2})\to {\widetilde {H}}^{k+n}(T(E);\mathbb {Z} _{2}),}$

für alle k größer oder gleich 0, wobei die rechte Seite die reduzierte Kohomologie ist .

Dieser Satz wurde von René Thom in seiner berühmten Dissertation aus dem Jahr 1952 formuliert und bewiesen .

Wir können den Satz als globale Verallgemeinerung des Suspensionsisomorphismus auf lokalen Trivialisierungen interpretieren, da der Thom-Raum eines trivialen Bündels auf B vom Rang k isomorph zur k -ten Suspension von B mit einem hinzugefügten disjunkten Punkt ist (vgl. #Konstruktion des Thom-Raums ). Dies lässt sich leichter in der Formulierung des Satzes erkennen, die keinen Bezug auf den Thom-Raum nimmt: ${\displaystyle B_{+}}$

Kurz gesagt besagt der letzte Teil des Satzes, dass u als Rechtsmodul frei erzeugt . Die Klasse u wird üblicherweise als Thom-Klasse von E bezeichnet . Da der Pullback ein Ringisomorphismus ist , ist er durch die Gleichung gegeben: ${\displaystyle H^{*}(E,E\setminus B;\Lambda )}$${\displaystyle H^{*}(E;\Lambda )}$${\displaystyle p^{*}:H^{*}(B;\Lambda )\to H^{*}(E;\Lambda )}$${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \Phi (b)=p^{*}(b)\smile u.}$

Insbesondere bildet der Thom-Isomorphismus das neutrale Element von auf u ab . Anmerkung: Damit diese Formel Sinn ergibt, wird u als Element von betrachtet (wir lassen den Ring weg ). ${\displaystyle H^{*}(B)}$${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle {\tilde {H}}^{n}(T(E))=H^{n}(\operatorname {Sph} (E),B)\simeq H^{n}(E,E\setminus B).}$^{[ 1 ]}

Als Standardwerk für den Thom-Isomorphismus gilt das Buch von Bott und Tu.

In seiner Arbeit von 1952 zeigte Thom, dass die Thom-Klasse, die Stiefel-Whitney-Klassen und die Steenrod-Operationen miteinander verwandt sind. Mit diesen Erkenntnissen bewies er 1954 in seiner Arbeit „ Quelques propriétés globales des variétés differentiables“ , dass die Kobordismengruppen als Homotopiegruppen bestimmter Thom-Räume MG ( n ) berechnet werden können . Der Beweis basiert auf den Transversalitätseigenschaften glatter Mannigfaltigkeiten und ist eng mit ihnen verknüpft (siehe Thomscher Transversalitätssatz) . Durch Umkehrung dieser Konstruktion konnten John Milnor und Sergei Novikov (neben vielen anderen) Fragen zur Existenz und Eindeutigkeit hochdimensionaler Mannigfaltigkeiten beantworten: Dies ist heute als Chirurgietheorie bekannt . Darüber hinaus lassen sich die Räume MG(n) zu Spektren MG zusammenfügen, die heute als Thom-Spektren bekannt sind , und die Kobordismengruppen sind tatsächlich stabil . Thoms Konstruktion vereint somit auch die Differentialtopologie und die Theorie der stabilen Homotopie und ist insbesondere für unser Wissen über die stabilen Homotopiegruppen von Sphären von grundlegender Bedeutung .

Sind die Steenrod-Operationen verfügbar, können wir sie und den Isomorphismus des Satzes verwenden, um die Stiefel-Whitney-Klassen zu konstruieren. Die Steenrod-Operationen (mod 2) sind natürliche Transformationen.

${\displaystyle Sq^{i}:H^{m}(-;\mathbb {Z} _{2})\to H^{m+i}(-;\mathbb {Z} _{2}),}$

definiert für alle nichtnegativen ganzen Zahlen m . Wenn , dann stimmt mit dem Cup-Quadrat überein. Wir können die i -te Stiefel-Whitney-Klasse des Vektorbündels wie folgt definieren: ${\displaystyle i=m}$${\displaystyle Sq^{i}}$${\displaystyle w_{i}(p)}$${\displaystyle p:E\to B}$

${\displaystyle w_{i}(p)=\Phi ^{-1}(Sq^{i}(\Phi (1)))=\Phi ^{-1}(Sq^{i}(u)).}$

Wenn wir das obige Bündel als Tangentialbündel einer glatten Mannigfaltigkeit betrachten, so nennt man die obige Aussage die Wu-Formel . Daraus ergibt sich folgende starke Konsequenz: Da die Steenrod-Operationen invariant unter Homotopieäquivalenz sind, schließen wir, dass auch die Stiefel-Whitney-Klassen einer Mannigfaltigkeit invariant sind. Dies ist ein außergewöhnliches Ergebnis, das sich nicht auf andere charakteristische Klassen verallgemeinern lässt. Ein ähnliches, bekanntes und schwieriges Ergebnis zur topologischen Invarianz rationaler Pontryagin-Klassen stammt von Sergei Novikov .

Es gibt zwei Möglichkeiten, über Bordismus nachzudenken: die eine, indem man zwei -Mannigfaltigkeiten als kobordant betrachtet, wenn es eine -Mannigfaltigkeit mit Rand gibt, so dass ${\displaystyle n}$${\displaystyle M,M'}$${\displaystyle (n+1)}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle \partial W=M\coprod M'}$

Eine weitere Technik zur Kodierung dieser Art von Informationen besteht darin, eine Einbettung zu verwenden und das normale Bündel zu betrachten. ${\displaystyle M\hookrightarrow \mathbb {R} ^{N+n}}$

${\displaystyle \nu :N_{\mathbb {R} ^{N+n}/M}\to M}$

Die eingebettete Mannigfaltigkeit kodiert zusammen mit der Isomorphieklasse des Normalenbündels dieselbe Information wie die Kobordismusklasse . Dies lässt sich zeigen ^{[ 2 ]} , indem man einen Kobordismus verwendet und eine Einbettung in einen bestimmten Raum findet , die eine Homotopieklasse von Abbildungen in den unten definierten Thom-Raum liefert. Der Isomorphismus von ${\displaystyle [M]}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{N_{W}+n}\times [0,1]}$${\displaystyle MO(n)}$

${\displaystyle \pi _{n}MO\cong \Omega _{n}^{O}}$

erfordert etwas mehr Arbeit. ^{[ 3 ]}

Per Definition ist das Thom-Spektrum ^{[ 4 ]} eine Folge von Thom-Räumen

${\displaystyle MO(n)=T(\gamma ^{n})}$

Wir schrieben für das universelle Vektorbündel vom Rang n . Die Folge bildet ein Spektrum . ^{[ 5 ]} Ein Satz von Thom besagt, dass der unorientierte Kobordismenring ist ; ^{[ 6 ]} der Beweis dieses Satzes beruht entscheidend auf Thoms Transversalitätssatz . ^{[ 7 ]} Die fehlende Transversalität erfordert alternative Methoden zur Berechnung von Kobordismenringen, beispielsweise topologischer Mannigfaltigkeiten, aus Thom-Spektren. ${\displaystyle \gamma ^{n}\to BO(n)}$${\displaystyle \pi _{*}(MO)}$

• Kobordismus
• Kohomologie-Operation
• Lenkstangenproblem
• Satz von Hattori-Strong

• Sullivan, Dennis (2004). „René Thoms Arbeit über geometrische Homologie und Bordismus“ . Bulletin of the American Mathematical Society . 41 (3): 341–350 . doi : 10.1090/S0273-0979-04-01026-2 .
• Bott, Raoul ; Tu, Loring (1982). Differentialformen in der algebraischen Topologie . New York: Springer. ISBN 0-387-90613-4DieEin Standardwerk zur Differentialtopologie , das unter anderem den Zusammenhang mit der Poincaré-Dualität , der Euler-Klasse der Sphärenbündel , Thom-Klassen und dem Thom-Isomorphismus behandelt.
• Milnor, John . Charakteristische Klassen .ist ein weiteres Standardwerk zur Thom-Klasse und zum Thom-Isomorphismus. Siehe insbesondere Absatz 18.
• May, J. Peter (1999). Ein kurzer Kurs in algebraischer Topologie . University of Chicago Press . S.  183–198 . ISBN 0-226-51182-0DieDieses Lehrbuch liefert eine detaillierte Konstruktion der Thom-Klasse für triviale Vektorbündel und formuliert den Satz auch für den Fall beliebiger Vektorbündel.
• Stong, Robert E. (1968). Anmerkungen zur Kobordismustheorie . Princeton University Press .
• Thom, René (1954). „ Quelques proprietés globales des variétés différentiables “. Commentarii Mathematici Helvetici . 28 : 17–86 . doi : 10.1007/BF02566923 . S2CID  120243638 .
• Ando, ​​Matthew; Blumberg, Andrew J.; Gepner, David J.; Hopkins, Michael J .; Rezk, Charles (2014). „Einheiten von Ringspektren und Thom-Spektren“. Journal of Topology . 7 (4): 1077–1117 . arXiv : 0810.4535 . doi : 10.1112/jtopol/jtu009 . MR 0286898. S2CID 119613530 .  

• http://ncatlab.org/nlab/show/Thom+spectrum
• „Thom-Raum“ , Enzyklopädie der Mathematik , EMS Press , 2001 [1994]