Äquivariante Kohomologie

In der Mathematik ist die äquivariante Kohomologie (oder Borel-Kohomologie ) eine Kohomologietheorie aus der algebraischen Topologie , die auf topologische Räume mit einer Gruppenwirkung anwendbar ist . Sie kann als allgemeine Verallgemeinerung der Gruppenkohomologie und einer gewöhnlichen Kohomologietheorie betrachtet werden .

Wenn frei wirkt, dann ist der äquivariante Kohomologiering genau der singuläre Kohomologiering des Quotientenraums . Insbesondere ist der äquivariante Kohomologiering der gewöhnliche Kohomologiering von , falls die triviale Gruppe ist . Falls zusammenziehbar ist , reduziert sich der Kohomologiering auf den Kohomologiering des klassifizierenden Raums (d. h. die Gruppenkohomologie von , falls endlich ist). ${\displaystyle G}$${\displaystyle X/G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle BG}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

Sei ein topologischer Raum mit einer (linken) Wirkung einer Gruppe . Sei ein zusammenziehbarer Raum mit einer freien (rechten) Wirkung derselben Gruppe. Wir definieren als den Quotientenraum , wobei die Äquivalenzrelation mit für alle identifiziert . Der äquivariante Kohomologiering von (bezüglich der Gruppe ) ist dann der singuläre Kohomologiering dieses Raumes: ^{[ 1 ]} Der Raum ist als Borel-Konstruktion oder Homotopiequotient bekannt . Die Projektion auf den ersten Faktor liefert die Struktur eines Faserbündels über dem klassifizierenden Raum . Dies ist das zugehörige -Bündel, das aus der Wirkung von auf und dem Hauptbündel entsteht . Das Bündel wird als Borel-Faserung bezeichnet. ${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle EG}$${\displaystyle EG\times _{G}X}$${\displaystyle (EG\times X)/{\sim }}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle (e\cdot g,x)}$${\displaystyle (e,g\cdot x)}$${\displaystyle e\in EG,x\in X,g\in G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$$${\displaystyle H_{G}^{*}(X):=H^{*}(EG\times _{G}X).}$$${\displaystyle EG\times _{G}X}$${\displaystyle BG}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle EG\to BG}$${\displaystyle X\to EG\times _{G}X\to BG}$

Der Gruppenkohomologiering von kann wiederhergestellt werden, indem man als Punkt wählt, da in diesem Fall der Homotopiequotient genau der klassifizierende Raum von ist . Wenn frei auf wirkt , dann ist die kanonische Abbildung eine Homotopieäquivalenz, und man erhält${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle EG\times _{G}X\to X/G}$${\textstyle H_{G}^{*}(X)=H^{*}(X/G).}$

Es ist auch möglich, die äquivariante Kohomologie mit Koeffizienten in einem -Modul A zu definieren ; dies sind abelsche Gruppen . Diese Konstruktion ist das Analogon zur Kohomologie mit lokalen Koeffizienten. ${\displaystyle H_{G}^{*}(X;A)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$

Ist X eine Mannigfaltigkeit , G eine kompakte Lie-Gruppe und werden die Koeffizienten im Körper der reellen Zahlen oder im Körper der komplexen Zahlen gewählt (der typischste Fall), so kann die obige Kohomologie mithilfe des sogenannten Cartan-Modells berechnet werden (siehe äquivariante Differentialformen ).

Die Konstruktion sollte nicht mit anderen Kohomologietheorien verwechselt werden, wie etwa der Bredon-Kohomologie oder der Kohomologie invarianter Differentialformen : Wenn G eine kompakte Lie-Gruppe ist, dann kann durch das Mittelungsargument jede Form invariant gemacht werden; daher liefert die Kohomologie invarianter Differentialformen keine neuen Informationen.

Es ist bekannt, dass die Koszul-Dualität zwischen äquivarianter und gewöhnlicher Kohomologie gilt.

Die äquivariante Kohomologie einer glatten Mannigfaltigkeit ^{[ 2 ]} ist ein Spezialfall der Gruppoidkohomologie eines Lie-Gruppoids. Dies liegt daran, dass zu jedem Ω-Raum einer kompakten Lie-Gruppe Ω ein zugehöriges Gruppoid Ω existiert.${\displaystyle {\mathfrak {X}}=[X_{1}\rightrightarrows X_{0}]}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\mathfrak {X}}_{G}=[G\times X\rightrightarrows X]}$

deren äquivariante Kohomologiegruppen mithilfe des Cartan-Komplexes berechnet werden können, der die Totalisierung des de-Rham-Doppelkomplexes des Gruppoids darstellt. Die Terme im Cartan-Komplex sind${\displaystyle \Omega _{G}^{\bullet }(X)}$

${\displaystyle \Omega _{G}^{n}(X)=\bigoplus _{2k+i=n}({\text{Sym}}^{k}({\mathfrak {g}}^{\vee })\otimes \Omega ^{i}(X))^{G}}$

Dabei ist die symmetrische Algebra der dualen Lie-Algebra der Lie-Gruppe , und entspricht den -invarianten Formen. Dies ist ein besonders nützliches Werkzeug zur Berechnung der Kohomologie von für eine kompakte Lie-Gruppe, da diese als Kohomologie von berechnet werden kann.${\displaystyle {\text{Sym}}^{\bullet }({\mathfrak {g}}^{\vee })}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (-)^{G}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle BG}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle [G\rightrightarrows *]}$

wenn die Handlung in Bezug auf einen Punkt trivial ist. Dann

${\displaystyle H_{dR}^{*}(BG)=\bigoplus _{k\geq 0}{\text{Sym}}^{2k}({\mathfrak {g}}^{\vee })^{G}}$

Zum Beispiel,

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{dR}^{*}(BU(1))&=\bigoplus _{k=0}{\text{Sym}}^{2k}(\mathbb {R} ^{\vee })\\&\cong \mathbb {R} [t]\\&{\text{ wobei }}\deg(t)=2\end{aligned}}}$

da die -Wirkung auf der dualen Lie-Algebra trivial ist. ${\displaystyle U(1)}$

Das folgende Beispiel ist Proposition 1 aus [1] .

Sei X eine komplexe projektive algebraische Kurve . Wir identifizieren X als topologischen Raum mit der Menge der komplexen Punkte , welche eine kompakte Riemannsche Fläche ist . Sei G eine komplexe, einfach zusammenhängende, halbeinfache Lie-Gruppe. Dann ist jedes Haupt- G -Bündel auf X isomorph zu einem trivialen Bündel, da der klassifizierende Raum 2-zusammenhängend ist und X die reelle Dimension 2 hat. Sei ein glattes G -Bündel auf X gegeben . Dann ist jedes Haupt- G -Bündel auf X isomorph zu . Anders ausgedrückt: Die Menge aller Isomorphieklassen von Paaren, bestehend aus einem Haupt- G -Bündel auf X und einer komplex-analytischen Struktur darauf, kann mit der Menge der komplex-analytischen Strukturen auf X oder äquivalent mit der Menge der holomorphen Zusammenhänge auf X identifiziert werden (da Zusammenhänge aus Dimensionsgründen integrierbar sind). ist ein unendlichdimensionaler komplexer affiner Raum und daher zusammenziehbar. ${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$${\displaystyle BG}$${\displaystyle P_{\text{sm}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P_{\text{sm}}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle P_{\text{sm}}}$${\displaystyle \Omega }$

Sei die Gruppe aller Automorphismen von (d. h. die Eichgruppe ). Dann klassifiziert der Homotopiequotient von durch komplex-analytische (oder äquivalent algebraische) Haupt -G -Bündel auf X ; d. h., er ist genau der klassifizierende Raum der diskreten Gruppe . ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle P_{\text{sm}}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle B{\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Man kann den Modulstapel der Hauptbündel als Quotientenstapel definieren , und dann ist der Homotopiequotient per Definition der Homotopietyp von . ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$${\displaystyle [\Omega /{\mathcal {G}}]}$${\displaystyle B{\mathcal {G}}}$${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$

Sei E ein äquivariantes Vektorbündel auf einer G- Mannigfaltigkeit M. Es induziert ein Vektorbündel auf dem Homotopiequotienten , das auf das Bündel über zurückgezogen wird . Eine äquivariante charakteristische Klasse von E ist dann eine gewöhnliche charakteristische Klasse von , welche ein Element der Vervollständigung des Kohomologierings ist . (Um die Chern-Weil-Theorie anzuwenden , verwendet man eine endlichdimensionale Approximation von EG .) ${\displaystyle {\widetilde {E}}}$${\displaystyle EG\times _{G}M}$${\displaystyle {\widetilde {E}}=EG\times E}$${\displaystyle EG\times M}$${\displaystyle {\widetilde {E}}}$${\displaystyle H^{*}(EG\times _{G}M)=H_{G}^{*}(M)}$

Alternativ kann man zunächst eine äquivariante Chern-Klasse definieren und dann, wie im üblichen Fall, weitere charakteristische Klassen als invariante Polynome von Chern-Klassen definieren; beispielsweise ist die äquivariante Todd-Klasse eines äquivarianten Geradenbündels die Todd-Funktion, ausgewertet an der äquivarianten ersten Chern-Klasse des Bündels. (Eine äquivariante Todd-Klasse eines Geradenbündels ist eine Potenzreihe (kein Polynom wie im nicht-äquivarianten Fall) in der äquivarianten ersten Chern-Klasse; daher gehört sie zur Vervollständigung des äquivarianten Kohomologierings.)

Im nicht-äquivarianten Fall kann die erste Chern-Klasse als Bijektion zwischen der Menge aller Isomorphieklassen komplexer Geradenbündel auf einer Mannigfaltigkeit M und ^{[ 3 ]} betrachtet werden . Im äquivarianten Fall bedeutet dies: Die äquivariante erste Chern-Klasse liefert eine Bijektion zwischen der Menge aller Isomorphieklassen äquivarianter komplexer Geradenbündel und . ${\displaystyle H^{2}(M;\mathbb {Z} ).}$${\displaystyle H_{G}^{2}(M;\mathbb {Z} )}$

Der Lokalisierungssatz ist eines der mächtigsten Werkzeuge in der äquivarianten Kohomologie.

• Äquivariante Differentialform
• Kirwan-Karte
• Lokalisierungsformel für äquivariante Kohomologie
• GKM-Sorte
• Bredon-Kohomologie

• Atiyah, Michael ; Bott, Raoul (1984), „Die Momentenabbildung und äquivariante Kohomologie“, Topology , 23 : 1–28 , doi : 10.1016/0040-9383(84)90021-1
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• „Äquivariante Kohomologie“ , Enzyklopädie der Mathematik , EMS Press , 2001 [1994]
• Young-Hoon Kiem (2008). „Einführung in die äquivariante Kohomologietheorie“ (PDF) . Seoul National University.
• Was ist die äquivariante Kohomologie einer Gruppe, die durch Konjugation auf sich selbst wirkt?