Zeitwert des Geldes

Der Zeitwert des Geldes beschreibt die Vorstellung, dass es im Allgemeinen vorteilhafter ist, einen Geldbetrag jetzt zu erhalten als denselben Betrag später. Er kann als Folge des später entwickelten Konzepts der Zeitpräferenz betrachtet werden .

Der Zeitwert des Geldes beruht auf der Erkenntnis, dass es vorteilhafter ist, Geld früher als später zu erhalten. Geld, das man heute besitzt, kann investiert werden, um eine positive Rendite zu erzielen und so morgen mehr Geld zu erwirtschaften. Daher ist ein Dollar heute mehr wert als ein Dollar in der Zukunft. ^{[ 1 ]}

Der Zeitwert des Geldes ist einer der Faktoren, die bei der Abwägung der Opportunitätskosten von Konsum gegenüber Sparen oder Investieren berücksichtigt werden . Er ist somit einer der Gründe, warum Zinsen gezahlt oder verdient werden: Zinsen, ob auf Bankeinlagen oder Schulden , entschädigen den Einleger bzw. Kreditgeber für den vorübergehenden Nutzungsausfall seines Geldes. Anleger sind nur dann bereit, auf Konsum zu verzichten, wenn sie in der Zukunft eine positive Nettorendite erwarten, die hoch genug ist, um sowohl die Präferenz für sofortige Ausgaben als auch die Inflation (sofern vorhanden) auszugleichen; siehe auch: geforderte Rendite .

Der Zeitwert des Geldes vergleicht Zahlungsströme, die zu unterschiedlichen Zeitpunkten anfallen, indem er sie auf einen einzigen Bewertungsstichtag (oft als „Zeitpunkt 0“ bezeichnet) umrechnet. In einem einfachen diskreten Zeitmodell wird die Zeit in gleich langen Perioden gemessen und ein konstanter effektiver Zinssatz einmal pro Periode angewendet. ^{[ 2 ] [ 3 ]}${\displaystyle t=0,1,2,\dots }$${\displaystyle i}$

Wird ein Betrag zum Zeitpunkt 0 investiert, so ist sein Wert nach Perioden (der zukünftige Wert) gegeben durch . Durch Diskontierung kehrt sich dieses Verhältnis um, sodass der Barwert eines zum Zeitpunkt fälligen, sicheren Betrags gegeben ist durch . Der Faktor ist der Akkumulationsfaktor über Perioden und der entsprechende Diskontierungsfaktor. ^{[ 3 ] [ 2 ]}${\displaystyle \mathrm {PV} }$${\displaystyle n}$$${\displaystyle \mathrm {FV} =\mathrm {PV} (1+i)^{n}.}$$${\displaystyle \mathrm {FV} }$${\displaystyle n}$$${\displaystyle \mathrm {PV} =\mathrm {FV} (1+i)^{-n}={\frac {\mathrm {FV} }{(1+i)^{n}}}.}$$${\displaystyle (1+i)^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (1+i)^{-n}}$

Bei einer Reihe von terminierten Zahlungsströmen (positiv für Einnahmen, negativ für Ausgaben) entspricht der Barwert der abgezinsten Summe jedes Zahlungsstroms. Diese abgezinste Summenformel bildet die Grundlage für die Berechnung des Nettobarwerts, die in der Unternehmensbewertung und Investitionsrechnung Anwendung findet. ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 3 ]}${\displaystyle \mathrm {CF} _{t}}$$${\displaystyle \mathrm {PV} =\sum _{t=0}^{n}{\frac {\mathrm {CF} _{t}}{(1+i)^{t}}}.}$$

Nominale und reale Analysen müssen konsistent durchgeführt werden. Nominale Zahlungsströme werden mit nominalen Zinssätzen diskontiert, während reale Zahlungsströme (bereinigt um die allgemeine Inflation) mit realen Zinssätzen diskontiert werden; die Vermischung von Konventionen führt mechanisch zu veränderten Ergebnissen, selbst wenn die zugrunde liegenden ökonomischen Gegebenheiten unverändert bleiben. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

Das Berechnen oder Zahlen von Zinsen, das Aufzinsen von Guthaben im Laufe der Zeit und der Vergleich von Zahlungen zu verschiedenen Zeitpunkten reichen weit vor die moderne Terminologie zurück. Historische Berichte über die versicherungsmathematische Praxis beschreiben die Verwendung von Zinseszinsen in Geschäftstransaktionen vom Mittelalter an, wobei sich systematische mathematische Behandlungen von lebensabhängigen Zahlungen erst später parallel zur Wahrscheinlichkeitstheorie und Sterblichkeitsdaten entwickelten. ^{[ 8 ]}

Die Preisgestaltung von Renten und anderen langfristigen Verträgen bildete einen wichtigen Kontext für die Entwicklung formaler Barwertverfahren. Neuere historische Arbeiten zur Finanzökonomie führen wichtige Fortschritte auf die Bewertung von Leibrenten mithilfe von Methoden des diskontierten Erwartungswerts zurück und setzen diese Entwicklungen mit dem Aufkommen von Sterbetafeln und mit Berechnungsmethoden zur Diskontierung bedingter Zahlungsströme in Verbindung. ^{[ 9 ]}

Poitras erörtert Beiträge aus dem 17. Jahrhundert, die mit Johan de Witt und Edmond Halley in Verbindung stehen, und Lewin ordnet sie in den Kontext der Versicherungsmathematik ein: De Witts Korrespondenz mit Jan Hudde (1671) befasste sich mit der Bewertung von Leibrenten, und Halleys Arbeit von 1693 zeigte, wie eine Sterbetafel zur Rentenberechnung unter Verwendung empirischer Sterblichkeitsdaten angewendet werden konnte. ^{[ 9 ] [ 8 ]}

Frühe ökonomische Überlegungen zu Kreditvergabe, Wucher und der Kaufkraft des Geldes bilden einen Teil des Hintergrunds für spätere Theorien zu Diskontierung und Zinsen. Im 16. und frühen 17. Jahrhundert diskutierten Gelehrte der Universität Salamanca die sich verändernde Kaufkraft des Geldes sowie den moralischen und rechtlichen Status des Kredits innerhalb einer scholastischen Tradition, die sich neben Theologie und Recht auch mit monetären und wirtschaftlichen Fragen befasste. ^{[ 10 ]}

Einige moderne Darstellungen deuten Martín de Azpilcuetas Ausführungen zu Geld und Tausch als Vorwegnahme von Elementen der späteren Zinstheorie, doch die Fachliteratur warnt davor, sein Werk als frühe Formulierung der modernen Zeitpräferenztheorie zu betrachten, und weist darauf hin, dass er Wucher im Allgemeinen weiterhin verurteilte. ^{[ 11 ]}

In der Volkswirtschaftslehre formalisierte Irving Fishers „ The Theory of Interest “ (1930) eine Theorie der intertemporalen Bewertung, die Zinsen mit Ungeduld (Zeitpräferenz) und Investitionsmöglichkeiten verknüpft und spätere Behandlungen von Diskontierung und Barwert in der Wirtschaftsanalyse und im Finanzwesen beeinflusste. ^{[ 12 ]}

Bei Problemen des Zeitwerts des Geldes geht es um den Nettowert von Zahlungsströmen zu verschiedenen Zeitpunkten.

In einem typischen Fall könnten die Variablen Folgendes sein: ein Saldo (der reale oder nominale Wert einer Schuld oder eines Finanzvermögens in Geldeinheiten), ein periodischer Zinssatz, die Anzahl der Perioden und eine Reihe von Zahlungsströmen. (Bei einer Schuld sind Zahlungsströme Tilgungs- und Zinszahlungen; bei einem Finanzvermögen sind es Ein- oder Auszahlungen auf den Saldo.) Allgemeiner können die Zahlungsströme auch nicht periodisch, sondern einzeln angegeben werden. Jede dieser Variablen kann die unabhängige Variable (die gesuchte Antwort) in einem gegebenen Problem sein. Beispielsweise könnte bekannt sein: Der Zinssatz beträgt 0,5 % pro Periode (z. B. pro Monat); die Anzahl der Perioden beträgt 60 (Monate); der Anfangssaldo (der Schuld in diesem Fall) beträgt 25.000 Einheiten; und der Endsaldo beträgt 0 Einheiten. Die unbekannte Variable könnte die monatliche Rate sein, die der Kreditnehmer zahlen muss.

Beispielsweise sind 100 £, die für ein Jahr angelegt werden und 5 % Zinsen bringen, nach einem Jahr 105 £ wert. Daher haben 100 £, die jetzt gezahlt werden, und 105 £, die genau ein Jahr später gezahlt werden, für einen Empfänger, der 5 % Zinsen erwartet und eine Inflation von null Prozent annimmt, denselben Wert. Das heißt, 100 £, die für ein Jahr zu 5 % Zinsen angelegt werden, haben unter der Annahme einer Inflation von null Prozent einen zukünftigen Wert von 105 £. ^{[ 13 ]}

Dieses Prinzip ermöglicht die Bewertung eines voraussichtlichen zukünftigen Einkommensstroms, indem die jährlichen Einkünfte diskontiert und anschließend addiert werden. So ergibt sich der Barwert des gesamten Einkommensstroms. Alle Standardberechnungen zum Zeitwert des Geldes basieren auf dem einfachsten algebraischen Ausdruck für den Barwert einer zukünftigen Summe, die mit dem Zeitwert des Geldes auf den heutigen Wert diskontiert wird. Beispielsweise wird die in einem Jahr fällige Summe mit dem Zinssatz diskontiert, um den Barwert zu erhalten .${\displaystyle FV}$${\displaystyle r}$${\displaystyle PV}$

${\displaystyle PV={\frac {FV}{(1+r)}}}$

Einige Standardberechnungen, die auf dem Zeitwert des Geldes basieren, sind:

• Barwert : Der heutige Wert einer zukünftigen Geldsumme oder eines zukünftigen Zahlungsstroms , gegeben einen bestimmten Zinssatz . Zukünftige Zahlungsströme werden mit dem Diskontsatz abgezinst; je höher der Diskontsatz, desto niedriger der Barwert der zukünftigen Zahlungsströme. Die Bestimmung des angemessenen Diskontsatzes ist entscheidend für die korrekte Bewertung zukünftiger Zahlungsströme, seien es Erträge oder Verbindlichkeiten. ^{[ 14 ]}
• Barwert einer Annuität : Eine Annuität ist eine Reihe gleich hoher Zahlungen oder Einnahmen in regelmäßigen Abständen. Beispiele hierfür sind Leasing- und Mietzahlungen. Bei einer nachschüssigen Annuität erfolgen die Zahlungen oder Einnahmen jeweils am Ende der Periode, bei einer vorschüssigen Annuität hingegen jeweils am Anfang.

Der Barwert einer ewigen Rente ist ein unendlicher und konstanter Strom identischer Zahlungsströme. ^{[ 15 ]}

• Zukünftiger Wert : Der Wert eines Vermögenswerts oder von Bargeld zu einem bestimmten zukünftigen Zeitpunkt, basierend auf dem Wert dieses Vermögenswerts in der Gegenwart. ^{[ 16 ]}
• Zukünftiger Wert einer Annuität (FVA) : Der zukünftige Wert einer Zahlungsreihe (Annuität), unter der Annahme, dass die Zahlungen zu einem bestimmten Zinssatz angelegt werden.

Es gibt mehrere grundlegende Gleichungen, die die oben genannten Gleichungen darstellen. Die Lösungen lassen sich (in den meisten Fällen) mithilfe der Formeln, eines Finanzrechners oder einer Tabellenkalkulation finden . Die Formeln sind in den meisten Finanzrechnern und verschiedenen Tabellenkalkulationsfunktionen (wie PV, FV, RATE, NPER und PMT) implementiert. ^{[ 17 ]}

Für jede der folgenden Gleichungen kann die Formel auch umgestellt werden, um eine der anderen Unbekannten zu bestimmen. Im Fall der Standard-Annuitätenformel gibt es keine geschlossene algebraische Lösung für den Zinssatz (obwohl Finanzrechner und Tabellenkalkulationsprogramme Lösungen durch schnelles Ausprobieren ermitteln können).

Diese Gleichungen werden häufig für bestimmte Zwecke kombiniert. Beispielsweise lassen sich Anleihen mithilfe dieser Gleichungen leicht bewerten. Eine typische Kuponanleihe besteht aus zwei Zahlungsarten: einer Reihe von Kuponzahlungen, ähnlich einer Annuität, und einer Kapitalrückzahlung am Ende der Laufzeit – also einer zukünftigen Zahlung. Die beiden Formeln können kombiniert werden, um den Barwert der Anleihe zu ermitteln.

Wichtig ist, dass der Zinssatz i der Zinssatz für den jeweiligen Zeitraum ist. Bei einer Annuität mit einer jährlichen Zahlung entspricht i dem Jahreszinssatz. Bei einer Einkommens- oder Zahlungsreihe mit einem anderen Zahlungsrhythmus muss der Zinssatz in den entsprechenden periodischen Zinssatz umgerechnet werden. Beispielsweise muss bei einem monatlichen Zinssatz für eine Hypothek mit monatlichen Zahlungen der Zinssatz durch 12 geteilt werden (siehe Beispiel unten). Weitere Informationen zur Umrechnung zwischen verschiedenen periodischen Zinssätzen finden Sie unter Zinseszins .

Die Rendite in den Berechnungen kann entweder die zu berechnende Variable sein oder eine vordefinierte Variable, die beispielsweise einen Diskontsatz, Zinsen, Inflation, Eigenkapitalkosten, Fremdkapitalkosten oder ähnliche Konzepte misst. Die Wahl des geeigneten Zinssatzes ist entscheidend für die Berechnung, da die Verwendung eines falschen Diskontsatzes die Ergebnisse wertlos macht.

Bei Berechnungen mit Annuitäten muss entschieden werden, ob die Zahlungen am Ende jeder Periode (nachschüssige Annuität) oder am Anfang jeder Periode (vorschüssige Annuität) erfolgen. Finanzrechner und Tabellenkalkulationsprogramme können in der Regel beide Berechnungsarten einstellen. Die folgenden Formeln gelten für nachschüssige Annuitäten. Um den Barwert einer vorschüssigen Annuität zu berechnen, multipliziert man den Barwert einer nachschüssigen Annuität mit (1 + i ).

Die folgende Formel verwendet diese gemeinsamen Variablen:

• Der Barwert (PV) ist der Wert zum Zeitpunkt null (Barwert).
• FV ist der Wert zum Zeitpunkt n (zukünftiger Wert).
• A ist der Wert der einzelnen Zahlungen in jeder Zinsperiode
• n ist die Anzahl der Perioden (nicht notwendigerweise eine ganze Zahl).
• i ist der Zinssatz, zu dem der Betrag in jeder Periode verzinst wird.
• g ist die Wachstumsrate der Zahlungen in jedem Zeitraum.

Die Formel für den zukünftigen Wert ( FV ) ist ähnlich und verwendet die gleichen Variablen.

${\displaystyle FV\ =\ PV\cdot (1+i)^{n}}$

Die Barwertformel ist die Kernformel für den Zeitwert des Geldes; alle anderen Formeln leiten sich von ihr ab. Beispielsweise ist die Annuitätenformel die Summe einer Reihe von Barwertberechnungen.

Die Formel für den Barwert ( PV ) enthält vier Variablen, die jeweils numerisch berechnet werden können :

${\displaystyle PV\ =\ {\frac {FV}{(1+i)^{n}}}}$

Der kumulierte Barwert zukünftiger Zahlungsströme kann berechnet werden, indem die Beiträge von FV _t , dem Wert des Zahlungsstroms zum Zeitpunkt t, addiert werden :

${\displaystyle PV\ =\ \sum _{t=1}^{n}{\frac {FV_{t}}{(1+i)^{t}}}}$

Man beachte, dass diese Reihe für einen gegebenen Wert von n oder für n = ∞ summiert werden kann . ^{[ 18 ]} Dies ist eine sehr allgemeine Formel, die zu mehreren wichtigen Spezialfällen führt, die im Folgenden aufgeführt werden.

In diesem Fall bleiben die Cashflow-Werte über die n Perioden hinweg gleich. Die Formel für den Barwert einer Annuität (PVA) enthält vier Variablen, die jeweils numerisch berechnet werden können:

${\displaystyle PV(A)\,=\,{\frac {A}{i}}\cdot \left[{1-{\frac {1}{\left(1+i\right)^{n}}}}\right]}$

Um den Barwert einer vorschüssigen Rente zu erhalten , multiplizieren Sie die obige Gleichung mit (1 + i ).

In diesem Fall wächst jeder Zahlungsstrom um den Faktor (1 + g ). Ähnlich wie bei der Formel für eine Annuität verwendet der Barwert einer wachsenden Annuität (PVGA) dieselben Variablen, ergänzt um g als Wachstumsrate der Annuität (A ist die Annuitätenzahlung in der ersten Periode). Diese Berechnung wird von Finanzrechnern selten angeboten.

Wobei i ≠ g  :

${\displaystyle PV(A)\,=\,{A \over (ig)}\left[1-\left({1+g \over 1+i}\right)^{n}\right]}$

Wobei i = g  :

${\displaystyle PV(A)\,=\,{A\times n \over 1+i}}$

Um den Barwert einer wachsenden vorschüssigen Rente zu erhalten , multiplizieren Sie die obige Gleichung mit (1 + i ).

So berechnen Sie den Barwert der Anpassung an die Lebenshaltungskosten, die Sie Ihrer festen Rentenzahlung hinzufügen. Der Wachstumsfaktor (1+g) gilt sowohl für die Zahlungsströme als auch für die feste Rentenzahlung F. A ist die erste Zahlung.

${\displaystyle PV(A)\,=\,{A+F \over ig}\left[1-\left({1+g \over 1+i}\right)^{n}\right]-{F \over i}\left[1-{1 \over (1+i)^{n}}\right]}$

Um den Barwert (BW) zu ermitteln, der für eine Anpassung der Rente an die Lebenshaltungskosten erforderlich ist, setzen Sie A = 0, sodass:

• Im ersten Jahr wird nichts bezahlt.
• Im zweiten Jahr wird ein Betrag in Höhe von${\displaystyle F\times g}$
• Das dritte Jahr zahlt sich aus${\displaystyle F(1+g)^{2}{\text{ minus }}F}$
• Im vierten Jahr zahlt es sich aus , und so weiter.${\displaystyle F(1+g)^{3}{\text{ minus }}F}$

Ist der Barwert höher als der benötigte Betrag, wird der Überschuss auf zukünftige Zahlungen verteilt und erhöht sich jährlich um den Faktor (1+g), was einer wachsenden Rente entspricht. Ist der Barwert zu niedrig, wird die Zahlung negativ, was bedeutet, dass die Rente um diesen Betrag gekürzt werden muss, um den Inflationsausgleich zu berücksichtigen.

Eine ewige Rente sind regelmäßige Zahlungen eines festgelegten Geldbetrags, die unbegrenzt fortgesetzt werden. Für n → ∞ vereinfacht sich die Formel zur Berechnung des Barwerts einer ewigen Rente (einer ewigen Annuität) zu einer einfachen Division.

${\displaystyle PV(P)\ =\ {A \over i}}$

Wenn die Zahlung der ewigen Rente mit einer festen Rate ( g , mit g < i ) wächst, wird der Wert nach der folgenden Formel bestimmt, die man erhält, indem man n in der vorherigen Formel für eine wachsende ewige Rente gegen unendlich setzt:

${\displaystyle PV(A)\,=\,{A \over ig}}$

In der Praxis gibt es nur wenige Wertpapiere mit präzisen Merkmalen, und die Anwendung dieses Bewertungsansatzes unterliegt verschiedenen Einschränkungen und Modifikationen. Vor allem ist es selten, eine wachsende ewige Rente mit festen Wachstumsraten und tatsächlich ewigem Cashflow zu finden. Trotz dieser Einschränkungen kann der allgemeine Ansatz zur Bewertung von Immobilien, Aktien und anderen Vermögenswerten verwendet werden.

Dies ist das bekannte Gordon-Wachstumsmodell, das zur Aktienbewertung verwendet wird .

Die Formel für den Endwert (nach n Perioden) einer Annuität (FVA) enthält vier Variablen, die jeweils numerisch berechnet werden können:

${\displaystyle FV(A)\,=\,A\cdot {\frac {\left(1+i\right)^{n}-1}{i}}}$

Um den Endwert einer vorschüssigen Rente zu erhalten, multiplizieren Sie die obige Gleichung mit (1 + i ).

Die Formel für den Endwert (nach n Perioden) einer wachsenden Annuität (FVA) enthält fünf Variablen, die jeweils numerisch berechnet werden können:

Wo i ≠ g :

${\displaystyle FV(A)\,=\,A\cdot {\frac {\left(1+i\right)^{n}-\left(1+g\right)^{n}}{ig}}}$

Wobei i = g :

${\displaystyle FV(A)\,=\,A\cdot n(1+i)^{n-1}}$

Die folgende Tabelle fasst die verschiedenen Formeln zusammen, die üblicherweise zur Berechnung des Zeitwerts des Geldes verwendet werden. ^{[ 19 ]} Diese Werte werden oft in Tabellen angezeigt, in denen der Zinssatz und die Laufzeit angegeben sind.

Finden	Gegeben	Formel
Zukünftiger Wert (F)	Barwert (P)	${\displaystyle F=P\cdot (1+i)^{n}}$
Barwert (P)	Zukünftiger Wert (F)	${\displaystyle P=F\cdot (1+i)^{-n}}$
Wiederholte Zahlung (A)	Zukünftiger Wert (F)	${\displaystyle A=F\cdot {\frac {i}{(1+i)^{n}-1}}}$
Wiederholte Zahlung (A)	Barwert (P)	${\displaystyle A=P\cdot {\frac {i(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}}}$
Zukünftiger Wert (F)	Wiederholte Zahlung (A)	${\displaystyle F=A\cdot {\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}}$
Barwert (P)	Wiederholte Zahlung (A)	${\displaystyle P=A\cdot {\frac {(1+i)^{n}-1}{i(1+i)^{n}}}}$
Zukünftiger Wert (F)	Anfangszahlung für Gradienten (G)	${\displaystyle F=G\cdot {\frac {(1+i)^{n}-in-1}{i^{2}}}}$
Barwert (P)	Anfangszahlung für Gradienten (G)	${\displaystyle P=G\cdot {\frac {(1+i)^{n}-in-1}{i^{2}(1+i)^{n}}}}$
Feste Zahlung (A)	Anfangszahlung für Gradienten (G)	${\displaystyle A=G\cdot \left[{\frac {1}{i}}-{\frac {n}{(1+i)^{n}-1}}\right]}$
Zukünftiger Wert (F)	Anfangs exponentiell steigende Zahlung (D) Zunehmender Prozentsatz (g)	${\displaystyle F=D\cdot {\frac {(1+g)^{n}-(1+i)^{n}}{g-i}}}$   (für i ≠ g ) ${\displaystyle F=D\cdot {\frac {n(1+i)^{n}}{1+g}}}$   (für i = g )
Barwert (P)	Anfangs exponentiell steigende Zahlung (D) Zunehmender Prozentsatz (g)	${\displaystyle P=D\cdot {\frac {\left({1+g \over 1+i}\right)^{n}-1}{g-i}}}$   (für i ≠ g ) ${\displaystyle P=D\cdot {\frac {n}{1+g}}}$   (für i = g )
Barwert (P)	Anfangs exponentiell steigende Zahlung (D) bei einer Rente mit festem Leistungsanspruch (F) Zunehmender Prozentsatz (g)	${\displaystyle P=(D+F)\cdot {\frac {\left({1+g \over 1+i}\right)^{n}-1}{g-i}}-{\frac {F}{i}}\left[1-{1 \over (1+i)^{n}}\right]}$

Anmerkungen:

• A ist ein fester Zahlungsbetrag, der in jeder Periode gezahlt wird.
• G ist der anfängliche Zahlungsbetrag einer steigenden Zahlungsreihe, die bei G beginnt und sich in jeder nachfolgenden Periode um G erhöht.
• D ist der Anfangsbetrag einer exponentiell (geometrisch) steigenden Zahlungsrate, die bei D beginnt und sich in jeder folgenden Periode um den Faktor (1 + g ) erhöht.

Die Formel für den Barwert einer regelmäßigen Reihe zukünftiger Zahlungen (einer Annuität) wird aus der Summe der Formel für den zukünftigen Wert einer einzelnen zukünftigen Zahlung abgeleitet, wie unten dargestellt, wobei C der Zahlungsbetrag und n die Periode ist.

Eine einmalige Zahlung C zum zukünftigen Zeitpunkt m hat zum zukünftigen Zeitpunkt n folgenden Wert :

${\displaystyle FV\ =C(1+i)^{n-m}}$

Summiert man alle Zahlungen von Zeitpunkt 1 bis Zeitpunkt n , kehrt man dann die Reihenfolge der Terme um und setzt k = n − m ein, so ergibt sich Folgendes :

${\displaystyle FVA\ =\sum _{m=1}^{n}C(1+i)^{n-m}\ =\sum _{k=0}^{n-1}C(1+i)^{k}}$

Beachten Sie, dass es sich um eine geometrische Reihe mit dem Anfangswert a = C , dem multiplikativen Faktor 1 + i und n Gliedern handelt. Durch Anwendung der Formel für geometrische Reihen erhalten wir:

${\displaystyle FVA\ ={\frac {C(1-(1+i)^{n})}{1-(1+i)}}\ ={\frac {C(1-(1+i)^{n})}{-i}}}$

Der Barwert der Annuität (PVA) ergibt sich durch einfaches Dividieren durch : ${\displaystyle (1+i)^{n}}$

${\displaystyle PVA\ ={\frac {FVA}{(1+i)^{n}}}={\frac {C}{i}}\left(1-{\frac {1}{(1+i)^{n}}}\right)}$

Eine weitere einfache und intuitive Methode zur Ermittlung des zukünftigen Werts einer Annuität besteht darin, eine Kapitalanlage zu betrachten, deren Zinsen als Annuität gezahlt werden und deren Kapital konstant bleibt. Das Kapital dieser hypothetischen Kapitalanlage kann als dasjenige berechnet werden, dessen Zinsen der Höhe der Annuitätenzahlung entsprechen:

${\displaystyle {\text{Principal}}\times i=C}$

${\displaystyle {\text{Principal}}={\frac {C}{i}}+{\text{goal}}}$

Es ist zu beachten, dass kein Geld in das kombinierte System aus Kapitalanlagevermögen und angesammelten Rentenzahlungen ein- oder austritt, und daher kann der zukünftige Wert dieses Systems einfach über die Formel für den zukünftigen Wert berechnet werden:

${\displaystyle FV=PV(1+i)^{n}}$

Anfangs, vor jeglichen Zahlungen, entspricht der Barwert des Systems dem Kapital . Am Ende entspricht der Endwert dem Kapital (das unverändert bleibt) zuzüglich des Endwerts der gesamten Annuitätenzahlungen . Setzt man dies wieder in die Gleichung ein, ergibt sich: ${\displaystyle PV={\frac {C}{i}}}$${\displaystyle FV={\frac {C}{i}}+FVA}$

${\displaystyle {\frac {C}{i}}+FVA={\frac {C}{i}}(1+i)^{n}}$

${\displaystyle FVA={\frac {C}{i}}\left[\left(1+i\right)^{n}-1\right]}$

• C = Erste Zahlung, die sich jedes Jahr um g erhöht
• F = Feste Rente

Betrachten Sie dies als ein Szenario zwischen Kreditgeber und Kreditnehmer, wobei sich der Kreditgeber links vom Gleichheitszeichen und der Kreditnehmer rechts davon befindet.

Am Ende eines einjährigen Kredits würde das Geld eines Sparers um 1+i bzw. PV(1+i) wachsen. Würde er dieses Geld stattdessen an einen Kreditnehmer verleihen, müsste dieser eine Zahlung C an den Kreditgeber leisten. Setzt man diese beiden Beträge gleich, ergäbe sich Folgendes:

${\displaystyle n=1:PV(1+i)=(C+F)-F}$

Am Ende eines zweijährigen Kredits würde das Geld eines Sparers um weitere 1+i auf einen Gesamtbetrag von anwachsen . Würde er dieses Geld stattdessen verleihen, müsste er zwei Zahlungen leisten. Die erste Zahlung (C+F)-F würde Zinsen abwerfen, da sie nun zurückgezahlt ist. Seine zweite Zahlung (C+F) würde um 1+g anwachsen. Die Rente F bliebe unverändert. ${\displaystyle PV(1+i)^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}n=2:PV(1+i)^{2}=&(C+F)(1+i)-F(1+i)\\&+(C+F)(1+g)-F\end{aligned}}}$

Nach Ablauf einer dreijährigen Laufzeit würde das Geld eines Sparers um weitere 1+i auf einen Gesamtbetrag von anwachsen . Würde er dieses Geld stattdessen verleihen, müsste er drei Zahlungen leisten. Die ersten beiden Zahlungen würden zusätzlich (1+i) Zinsen einbringen. Die dritte Zahlung würde um weitere 1+g anwachsen, und die Rente bliebe unverändert. ${\displaystyle PV(1+i)^{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}n=3:PV(1+i)^{3}=&(C+F)(1+i)^{2}-F(1+i)^{2}\\&+(C+F)(1+g)(1+i)-F(1+i)\\&+(C+F)(1+g)^{2}-F\end{aligned}}}$

Vereinfachen Sie das 3-jährige Darlehen und verallgemeinern Sie es am Ende auf n Jahre. Beginnen Sie mit dem Zusammenfassen der Terme (C+F) und F.

${\displaystyle {\begin{aligned}PV(1+i)^{3}=&(C+F)(1+g)^{2}\left[\left({\frac {1+i}{1+g}}\right)^{2}+{\frac {1+i}{1+g}}+1\right]\\&-F\left[(1+i)^{2}+(1+i)+1\right]\end{aligned}}}$

Schreiben Sie diese Terme in Summenschreibweise.

${\displaystyle {\begin{aligned}PV(1+i)^{3}=&(C+F)(1+g)^{2}\sum _{k=0}^{2}\left({\frac {1+i}{1+g}}\right)^{k}\\&-F\sum _{k=0}^{2}(1+i)^{k}\end{aligned}}}$

Schreiben Sie dies in geschlossener Form mithilfe der Formel für geometrische Reihen um.${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}r^{k}={\frac {r^{n+1}-1}{r-1}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}PV(1+i)^{3}=&(C+F)(1+g)^{2}\left[{\frac {\left({\frac {1+i}{1+g}}\right)^{3}-1}{\left({\frac {1+i}{1+g}}\right)-1}}\right]\\&-F\left[{\frac {(1+i)^{3}-1}{(1+i)-1}}\right]\end{aligned}}}$

Multipliziere Zähler und Nenner des C+F-Terms mit (1+g) und kürze die Einsen im F-Term.

${\displaystyle {\begin{aligned}PV(1+i)^{3}=&(C+F)(1+g)^{3}\left[{\frac {\left({\frac {1+i}{1+g}}\right)^{3}-1}{1+i-(1+g)}}\right]\\&-F\left[{\frac {(1+i)^{3}-1}{i}}\right]\end{aligned}}}$

Multipliziere den Ausdruck mit dem Term C+F durch die eckigen Klammern hindurch. ${\displaystyle (1+g)^{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}PV(1+i)^{3}=&(C+F)\left[{\frac {(1+i)^{3}-(1+g)^{3}}{i-g}}\right]\\&-F\left[{\frac {(1+i)^{3}-1}{i}}\right]\end{aligned}}}$

Dividiere beide Seiten durch und verallgemeinere, indem du den Exponenten 3 durch n ersetzt. ${\displaystyle (1+i)^{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}PV={\frac {C+F}{i-g}}\left[1-\left({\frac {1+g}{1+i}}\right)^{n}\right]-{\frac {F}{i}}\left[1-{\frac {1}{(1+i)^{n}}}\right]\end{aligned}}}$

Ohne die formale Herleitung hier darzustellen, lässt sich die Formel für die ewige Rente aus der Formel für die Annuität ableiten. Genauer gesagt, der Term:

${\displaystyle \left({1-{1 \over {(1+i)^{n}}}}\right)}$

Man kann sehen, dass sich der Ausdruck dem Wert 1 annähert, wenn n größer wird. Im Unendlichen ist er gleich 1, sodass nur noch der Ausdruck übrig bleibt. ${\displaystyle {C \over i}}$

Zinssätze werden manchmal in den äquivalenten stetigen Zinssatz umgerechnet, da dieser praktischer ist (beispielsweise leichter zu differenzieren). Jede der obigen Formeln lässt sich in ihrer stetigen Entsprechung darstellen. So kann beispielsweise der Barwert einer zukünftigen Zahlung zum Zeitpunkt t zum Zeitpunkt 0 wie folgt ausgedrückt werden, wobei e die Basis des natürlichen Logarithmus und r der stetig verzinste Zinssatz ist:

${\displaystyle {\text{PV}}={\text{FV}}\cdot e^{-rt}}$

Dies lässt sich auf zeitlich variable Diskontsätze verallgemeinern: Anstelle eines konstanten Diskontsatzes r verwendet man eine Funktion der Zeit r ( t ). In diesem Fall ergibt sich der Diskontierungsfaktor und damit der Barwert eines Zahlungsstroms zum Zeitpunkt T aus dem Integral des stetig verzinsten Zinssatzes r ( t ):

${\displaystyle {\text{PV}}={\text{FV}}\cdot \exp \left(-\int _{0}^{T}r(t)\,dt\right)}$

Ein wesentlicher Grund für die Verwendung der stetigen Verzinsung liegt in der Vereinfachung der Analyse unterschiedlicher Diskontsätze und der Möglichkeit, Methoden der Differentialrechnung anzuwenden. Darüber hinaus stellt die stetige Verzinsung bei über Nacht aufgelaufenen und kapitalisierten Zinsen (die somit täglich verzinst werden) eine gute Näherung für die tatsächliche tägliche Verzinsung dar. Weiterführende Analysen umfassen die Verwendung von Differentialgleichungen , wie im Folgenden erläutert.

Durch kontinuierliches Aufschlussverfahren ergeben sich folgende Formeln für verschiedene Instrumente:

Rente

${\displaystyle \ PV\ =\ {A(1-e^{-rt}) \over e^{r}-1}}$

Ewigkeit

${\displaystyle \ PV\ =\ {A \over e^{r}-1}}$

Wachsende Rente

${\displaystyle \ PV\ =\ {Ae^{-g}(1-e^{-(r-g)t}) \over e^{(r-g)}-1}}$

Wachsende Ewigkeit

${\displaystyle \ PV\ =\ {Ae^{-g} \over e^{(r-g)}-1}}$

Rente mit kontinuierlichen Zahlungen

${\displaystyle \ PV\ =\ {1-e^{(-rt)} \over r}}$

Diese Formeln setzen voraus, dass die Zahlung A in der ersten Zahlungsperiode erfolgt und die Annuität zum Zeitpunkt t endet . ^{[ 20 ]}

Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen (ODEs und PDEs) – Gleichungen mit Ableitungen und einer (bzw. mehreren) Variablen – sind in fortgeschrittenen Darstellungen der Finanzmathematik allgegenwärtig . Obwohl der Zeitwert des Geldes auch ohne Differentialgleichungen verstanden werden kann, trägt die zusätzliche Komplexität des Modells zu einem besseren Verständnis bei und bietet eine einfache Einführung, bevor komplexere und weniger vertraute Sachverhalte betrachtet werden. Diese Darstellung orientiert sich an Carr & Flesaker (2006 , S. 6–7).

Die grundlegende Veränderung , die die Betrachtungsweise von Differentialgleichungen mit sich bringt, besteht darin, dass man anstatt einer Zahl (dem aktuellen Wert ) eine Funktion berechnet (den aktuellen Wert oder den Wert zu einem beliebigen Zeitpunkt in der Zukunft ). Diese Funktion kann dann analysiert werden (wie verändert sich ihr Wert im Laufe der Zeit?) oder mit anderen Funktionen verglichen werden.

Formal wird die Aussage, dass „der Wert mit der Zeit abnimmt“, durch die Definition des linearen Differentialoperators wie folgt formuliert: ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}:=-\partial _{t}+r(t).}$

_{Dies besagt, dass der Wert mit der Zeit ( ∂t} ) um den Diskontsatz ( r ( t )) abnimmt (−) . Angewendet auf eine Funktion ergibt sich:

${\displaystyle {\mathcal {L}}f=-\partial _{t}f(t)+r(t)f(t).}$

Bei einem Instrument, dessen Zahlungsstrom durch f ( t ) beschrieben wird, erfüllt der Wert V ( t ) die inhomogene Differentialgleichung erster Ordnung (inhomogen, weil man f anstelle von 0 hat, und erste Ordnung, weil man erste Ableitungen, aber keine höheren Ableitungen hat) – dies kodiert die Tatsache, dass sich der Wert des Instruments bei jedem Zahlungsstrom um den Wert des Zahlungsstroms ändert (erhält man beispielsweise einen Coupon über 10 £, verringert sich der Restwert um genau 10 £). ${\displaystyle {\mathcal {L}}V=f}$

Das Standardwerkzeug zur Analyse von gewöhnlichen Differentialgleichungen (ODE) sind Greensche Funktionen , aus denen sich weitere Lösungen ableiten lassen. Im Kontext des Zeitwerts des Geldes entspricht die Greensche Funktion (für die Zeitwert-ODE) dem Wert einer Anleihe, die zu einem bestimmten Zeitpunkt u 1 £ auszahlt ; der Wert beliebiger anderer Zahlungsströme lässt sich dann durch Kombinationen dieses grundlegenden Zahlungsstroms ermitteln. Mathematisch wird dieser momentane Zahlungsstrom als Dirac-Delta-Funktion modelliert.${\displaystyle \delta _{u}(t):=\delta (t-u).}$

Die Greensche Funktion für den Wert eines 1 £-Cashflows zum Zeitpunkt u zum Zeitpunkt t lautet :

${\displaystyle b(t;u):=H(u-t)\cdot \exp \left(-\int _{t}^{u}r(v)\,dv\right)}$

Hierbei ist H die Heaviside-Sprungfunktion . Die Notation „ “ verdeutlicht, dass u ein Parameter (in jedem Fall fest – der Zeitpunkt des Zahlungsstroms) und t eine Variable (die Zeit) ist. Zukünftige Zahlungsströme werden exponentiell (exp) mit der Summe (dem Integral ) der zukünftigen Diskontsätze diskontiert ( r(v) für zukünftige, r ( v ) für Diskontsätze), während vergangene Zahlungsströme den Wert 0 ( ) haben, da sie bereits eingetreten sind. Der Wert zum Zeitpunkt eines Zahlungsstroms ist nicht eindeutig definiert – es gibt eine Unstetigkeit an diesem Punkt. Man kann eine Konvention verwenden (annehmen, dass die Zahlungsströme bereits eingetreten sind oder noch nicht eingetreten sind) oder den Wert an diesem Punkt einfach nicht definieren. ${\displaystyle ;u}$${\displaystyle \textstyle {\int }}$${\displaystyle \textstyle {\int _{t}^{u}}}$${\displaystyle H(u-t)=1{\text{ if }}t<u,0{\text{ if }}t>u}$

Falls der Diskontsatz konstant ist, vereinfacht sich dies zu ${\displaystyle r(v)\equiv r,}$

${\displaystyle b(t;u)=H(u-t)\cdot e^{-(u-t)r}={\begin{cases}e^{-(u-t)r}&t<u\\0&t>u,\end{cases}}}$

Wo befindet sich die Angabe "verbleibende Zeit bis zum Cashflow". ${\displaystyle (u-t)}$

Für einen Zahlungsstrom f ( u ), der zum Zeitpunkt T endet (der für keinen Zeithorizont auf T gesetzt werden kann ), ergibt sich der Wert zum Zeitpunkt t durch die Kombination der Werte dieser einzelnen Zahlungsströme: ${\displaystyle T=+\infty }$${\displaystyle V(t;T)}$

${\displaystyle V(t;T)=\int _{t}^{T}f(u)b(t;u)\,du.}$

Dies formalisiert den Zeitwert des Geldes auf zukünftige Werte von Zahlungsströmen mit unterschiedlichen Diskontsätzen und ist die Grundlage vieler Formeln in der Finanzmathematik, wie beispielsweise der Black-Scholes-Formel mit unterschiedlichen Zinssätzen .

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