Tonalitätsdiamant

In der Musiktheorie und Stimmung ist ein Tonalitätsdiamant ein zweidimensionales Diagramm von Verhältnissen , dessen eine Dimension als Otonalität und die andere als Utonalität bezeichnet wird . ^{[ 1 ]} Der n-Limit -Tonalitätsdiamant (wobei „Limit“ hier im Sinne des ungeraden Grenzwerts, nicht des Primgrenzwertes, zu verstehen ist) ist somit eine rautenförmige Anordnung der Menge der rationalen Zahlen r , , , sodass der ungerade Anteil sowohl des Zählers als auch des Nenners von r , gekürzt, kleiner oder gleich der festen ungeraden Zahl n ist . Äquivalent dazu kann der Diamant als Menge von Tonklassen betrachtet werden , wobei eine Tonklasse eine Äquivalenzklasse von Tönen unter Oktaväquivalenz ist . Der Tonalitätsdiamant wird oft als die Menge der Konsonanzen des n-Limits angesehen. Obwohl die Tonalitätsraute ursprünglich von Max Friedrich Meyer erfunden wurde , ^{[ 2 ]} wird sie heute hauptsächlich mit Harry Partch in Verbindung gebracht ("Viele Theoretiker der reinen Stimmung betrachten die Tonalitätsraute als Partchs größten Beitrag zur mikrotonalen Theorie." ^{[ 3 ]} ). ${\displaystyle 1\leq r<2}$

Partch ordnete die Elemente des Tonalitätsrautenmusters in Form einer Raute an und unterteilte diese in (n+1) ^² /4 kleinere Rauten. Entlang der oberen linken Seite der Raute wurden die ungeraden Zahlen von 1 bis n, jeweils auf die Oktave reduziert (dividiert durch die kleinste Zweierpotenz ), angeordnet. Diese Intervalle wurden dann aufsteigend geordnet. Entlang der unteren linken Seite wurden die entsprechenden Kehrwerte von 1 bis 1/n, ebenfalls auf die Oktave reduziert (hier multipliziert mit der kleinsten Zweierpotenz ), angeordnet. Diese wurden absteigend geordnet. An allen anderen Positionen wurde das Produkt der diagonal oben und unten links liegenden Intervalle, reduziert auf die Oktave, platziert. Dies ergibt alle Elemente der Tonalitätsraute, mit einigen Wiederholungen. Diagonalen, die in eine Richtung verlaufen, bilden Otonalitäten , und Diagonalen in der anderen Richtung bilden Utonalitäten. Eines von Partchs Instrumenten, die Diamantmarimba , ist nach dem Tonalitätsmuster des Diamanten angeordnet. ${\displaystyle 1\leq r<2}$${\displaystyle 1\leq r<2}$

Ein Numerärnexus ist eine Identität, die zwei oder mehr Intervallverhältnisse in ihrem Zähler oder Nenner gemeinsam haben , während die jeweils andere Identität besitzt. ^{[ 1 ]} Beispielsweise ist in der Otonalität der Nenner immer 1, daher ist 1 der Numerärnexus.

${\displaystyle {\begin{array}{cccccc}{\frac {1}{1}}&{\frac {2}{1}}&{\frac {3}{1}}&{\frac {4}{1}}&{\frac {5}{1}}&\mathrm {etc.} \\&&({\frac {3}{2}})&&({\frac {5}{4}})\end{array}}}$

In der Utonalität ist der Zähler immer 1 und der Zahlknotennexus ist somit ebenfalls 1:

${\displaystyle {\begin{array}{cccccc}{\frac {1}{1}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&\mathrm {etc.} \\&&({\frac {4}{3}})&&({\frac {8}{5}})\end{array}}}$

Beispielsweise haben in einem Tonalitätsdiamanten, wie Harry Partchs 11-Limit-Diamant, alle Verhältnisse einer nach rechts geneigten Reihe denselben Zähler und alle Verhältnisse einer nach links geneigten Reihe denselben Nenner. Jedes Verhältnis der oberen linken Reihe hat den Nenner 7, während jedes Verhältnis der oberen rechten Reihe den Zähler 7 (oder 14) hat.

Dieser Diamant enthält drei Identitäten (1, 3, 5).

Dieser Diamant enthält vier Identitäten (1, 3, 5, 7).

Diese Raute enthält sechs Identitäten (1, 3, 5, 7, 9, 11). Harry Partch verwendete die 11-Grenztonalitätsraute, drehte sie aber um 90 Grad.

Dieser Diamant enthält acht Identitäten (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15).

Die Fünf- und Sieben-Limit-Tonalitätsdiamanten weisen eine hochgradig regelmäßige Geometrie im Modulationsraum auf , d. h. alle nicht-unisonischen Elemente des Diamanten liegen nur eine Einheit vom Unisono entfernt. Der Fünf-Limit-Diamant wird somit zu einem regelmäßigen Sechseck , das das Unisono umschließt, und der Sieben-Limit-Diamant zu einem Kuboktaeder, das das Unisono umschließt. Weitere Beispiele von Diamantgittern, die vom triadischen bis zum ogdoadischen Diamanten reichen, wurden von Erv Wilson realisiert , wobei jedem Intervall eine eigene Richtung zugewiesen ist. ^{[ 4 ]}

Drei Eigenschaften des Tonwertdiamanten und die darin enthaltenen Verhältnisse:

1. Alle Verhältnisse zwischen benachbarten Verhältnissen sind Superpartikuläre Verhältnisse , d. h. solche, bei denen die Differenz zwischen Zähler und Nenner 1 beträgt . ^{[ 5 ]}
2. Verhältnisse mit relativ niedrigeren Zahlen weisen einen größeren Abstand zueinander auf als Verhältnisse mit höheren Zahlen. ^{[ 5 ]}
3. Das System, einschließlich der Verhältnisse zwischen den Verhältnissen, ist innerhalb der Oktave symmetrisch, wenn man in Cent und nicht in Verhältnissen misst. ^{[ 5 ]}

Zum Beispiel:

1. Das Verhältnis zwischen 6 ⁄ 5 und 5 ⁄ 4 (und 8 ⁄ 5 und 5 ⁄ 3 ) beträgt 25 ⁄ 24 .
2. Die Verhältnisse mit relativ niedrigen Zahlen 4 ⁄ 3 und 3 ⁄ 2 liegen um 203,91 Cent auseinander, während die Verhältnisse mit relativ hohen Zahlen 6 ⁄ 5 und 5 ⁄ 4 um 70,67 Cent auseinander liegen.
3. Das Verhältnis zwischen dem niedrigsten und dem zweitniedrigsten Wert sowie zwischen dem höchsten und dem zweithöchsten Wert ist gleich, und so weiter.

Wenn φ( n ) die Eulersche Phi-Funktion ist , die die Anzahl der positiven ganzen Zahlen kleiner als n angibt, die teilerfremd zu n sind, d. h. die die ganzen Zahlen kleiner als n zählen, die keinen gemeinsamen Teiler mit n haben, und wenn d(n) die Größe des n-Limit-Tonalitätsdiamanten bezeichnet, dann haben wir die Formel

${\displaystyle d(n)=\sum _{m<n\ odd}\phi (m).}$

Daraus lässt sich schließen, dass die Wachstumsrate des Tonalitätsdiamanten asymptotisch gleich ist . Die ersten Werte sind von Bedeutung, und die Tatsache, dass die Größe des Diamanten quadratisch mit der Größe des ungeraden Grenzwerts wächst, zeigt, dass er recht schnell große Werte erreicht. Der 5er-Grenzwertdiamant umfasst sieben Elemente, der 7er-Grenzwertdiamant 13, der 9er-Grenzwertdiamant 19, der 11er-Grenzwertdiamant 29, der 13er-Grenzwertdiamant 41 und der 15er-Grenzwertdiamant 49; diese reichen für die meisten Zwecke aus. ${\displaystyle {\frac {2}{\pi ^{2}}}n^{2}}$

Yuri Landman veröffentlichte ein Otonalitäts- und Utonalitätsdiagramm, das die Beziehung von Partchs Tonalitätsdiamanten zur Obertonreihe und Saitenlängen (wie Partch sie auch in seinen Kitharas verwendete) und zu Landmans Moodswinger- Instrument verdeutlicht. ^{[ 6 ]}

Bei Partchs Verhältnissen entspricht die obere Zahl der Anzahl gleich großer Teilungen einer schwingenden Saite, die untere Zahl derjenigen Teilung, auf die die Saitenlänge verkürzt wird. Beispielsweise ergibt sich 5/4 aus der Teilung der Saite in fünf gleiche Teile und der anschließenden Verkürzung auf den vierten Teil von unten. In Landmans Diagramm werden diese Zahlen umgekehrt, wodurch die Frequenzverhältnisse in Saitenlängenverhältnisse umgewandelt werden.

• Gitter (Musik)
• Tonalitätswandel