Glossar der allgemeinen Topologie

Dies ist ein Glossar einiger Begriffe aus dem Teilgebiet der Mathematik , der Topologie . Obwohl es keine absolute Trennlinie zwischen verschiedenen Bereichen der Topologie gibt, liegt der Fokus hier auf der allgemeinen Topologie . Die folgenden Definitionen sind auch grundlegend für die algebraische Topologie , die Differentialtopologie und die geometrische Topologie . Eine Liste der spezifischen Begriffe der algebraischen Topologie finden Sie im Glossar der algebraischen Topologie .

Alle in diesem Glossar aufgeführten Räume werden, sofern nicht anders angegeben, als topologische Räume betrachtet .

Absolut geschlossen

Siehe H-geschlossen

Zugänglich

Sehen .${\displaystyle T_{1}}$

Akkumulationspunkt

Siehe Grenzwert .

Alexandroff-Kompaktifizierung

Alexandrov-Topologie

Die Topologie eines Raumes X heißt Alexandrov-Topologie (oder ist endlich erzeugt ), wenn beliebige Schnittmengen offener Mengen in X offen sind, oder äquivalent dazu, wenn beliebige Vereinigungen abgeschlossener Mengen abgeschlossen sind, oder wiederum äquivalent dazu, wenn die offenen Mengen die oberen Mengen einer partiell geordneten Menge sind . ^{[ 1 ]}

Nahezu diskret

Ein Raum heißt fast diskret, wenn jede offene Menge abgeschlossen ist (daher clopen). Die fast diskreten Räume sind genau die endlich erzeugten nulldimensionalen Räume.

α-geschlossen, α-offen

Eine Teilmenge A eines topologischen Raums X heißt α-offen, wenn , und das Komplement einer solchen Menge heißt α-abgeschlossen. ^{[ 2 ]}${\displaystyle A\subseteq \operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)\right)}$

Annäherungsraum

Ein Annäherungsraum ist eine Verallgemeinerung des metrischen Raums, die auf Punkt-zu-Mengen-Distanzen anstatt auf Punkt-zu-Punkt-Distanzen basiert.

Baire-Raum

Dies hat zwei unterschiedliche, gebräuchliche Bedeutungen:

1. Ein Raum heißt Baire-Raum , wenn der Schnitt jeder abzählbaren Menge dichter offener Mengen dicht ist; siehe Baire-Raum .
2. Der Baire-Raum ist die Menge aller Funktionen von den natürlichen Zahlen in die natürlichen Zahlen mit der Topologie der punktweisen Konvergenz; siehe Baire-Raum (Mengenlehre) .

Base

Eine Menge B offener Mengen heißt Basis einer Topologie, wenn jede offene Menge in B eine Vereinigung von Mengen in B ist . Die Topologie B ist die kleinste Topologie auf B, die B enthält, und wird von B erzeugt .${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle B}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$

Basis

Siehe Basis .

β-offen

Siehe Semi-Preopen .

b-offen, b-geschlossen

Eine Teilmenge eines topologischen Raums heißt b-offen, wenn . Das Komplement einer b-offenen Menge heißt b-abgeschlossen. ^{[ 2 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A\subseteq \operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}A\right)\cup \operatorname {Cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)}$

Borel-Algebra

Die Borel-Algebra auf einem topologischen Raum ist die kleinste -Algebra, die alle offenen Mengen enthält. Sie wird durch den Durchschnitt aller -Algebren auf dem Raum erhalten, die enthalten .${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau }$

Bohrsatz

Eine Borelmenge ist ein Element einer Borelalgebra.

Grenze

Der Rand (oder die Grenze ) einer Menge ist der Abschluss der Menge abzüglich ihres Inneren. Äquivalent dazu ist der Rand einer Menge der Schnittpunkt ihres Abschlusses mit dem Abschluss ihres Komplements. Der Rand einer Menge wird mit ∂ R oder ∂ R bezeichnet .${\displaystyle A}$${\displaystyle \partial A}$${\displaystyle bd}$${\displaystyle A}$

Begrenzt

Eine Menge in einem metrischen Raum heißt beschränkt , wenn sie endlichen Durchmesser hat. Äquivalent dazu heißt eine Menge beschränkt, wenn sie in einer offenen Kugel mit endlichem Radius enthalten ist. Eine Funktion, die Werte in einem metrischen Raum annimmt, heißt beschränkt , wenn ihr Bild eine beschränkte Menge ist.

Kategorie topologischer Räume

Die Kategorie Top hat topologische Räume als Objekte und stetige Abbildungen als Morphismen .

Cauchy-Folge

Eine Folge { x _n } in einem metrischen Raum ( M , d ) ist eine Cauchy-Folge, wenn es für jede positive reelle Zahl r eine ganze Zahl N gibt, sodass für alle ganzen Zahlen m , n > N gilt: d ( x _m , x _n ) < r .

Clopen-Set

Ein Satz heißt clopen , wenn er sowohl offen als auch geschlossen ist.

Geschlossener Ball

Ist ( M , d ) ein metrischer Raum , so ist eine abgeschlossene Kugel eine Menge der Form D ( x ; r ) := { y ∈ M  : d ( x , y ) ≤ r }, wobei x ∈ M und r eine positive reelle Zahl , der Radius der Kugel, ist . Eine abgeschlossene Kugel mit Radius r ist eine abgeschlossene r -Kugel . Jede abgeschlossene Kugel ist eine abgeschlossene Menge in der von d auf M induzierten Topologie . Die abgeschlossene Kugel D ( x ; r ) muss nicht mit dem Abschluss der offenen Kugel B ( x ; r ) übereinstimmen.

Geschlossene Menge

Eine Menge heißt abgeschlossen , wenn ihr Komplement ein Element der Topologie ist.

Geschlossene Funktion

Eine Funktion von einem Raum in einen anderen heißt abgeschlossen, wenn das Bild jeder abgeschlossenen Menge abgeschlossen ist.

Schließung

Der abgeschlossene Teil einer Menge ist die kleinste abgeschlossene Menge , die die ursprüngliche Menge enthält. Er entspricht dem Schnitt aller abgeschlossenen Mengen, die die ursprüngliche Menge enthalten. Ein Element des abgeschlossenen Teils einer Menge S ist ein Abschlusspunkt von S.

Schließungsbetreiber

Siehe Kuratowski-Abschlussaxiome .

gröbere Topologie

Ist X eine Menge und sind T₁ und T₂ Topologien auf X , so ist T₁ gröber (oder kleiner , schwächer ) als _{T₂ ,} wenn T₁ _{in T₂} enthalten ist . Achtung : Manche Autoren, insbesondere Analytiker , verwenden den Begriff _{„ stärker} “ .

Comeagre

Eine Teilmenge A eines Raumes X heißt comeagre ( comeager ), wenn ihr Komplement X \ A meagre ist . Sie wird auch Residualmenge genannt .

Kompakt

Ein Raum heißt kompakt , wenn jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Jeder kompakte Raum ist ein Lindelöf-Raum und parakompakt. Daher ist jeder kompakte Hausdorff-Raum normal. Siehe auch quasikompakt .

Kompakt-offene Topologie

Die kompakt-offene Topologie auf der Menge C ( X , Y ) aller stetigen Abbildungen zwischen zwei Räumen X und Y ist wie folgt definiert: Gegeben seien eine kompakte Teilmenge K von X und eine offene Teilmenge U von Y. Sei V ( K , U ) die Menge aller Abbildungen f ∈ C ( X , Y ), sodass f ( K ) in U enthalten ist . Dann ist die Menge aller solcher V ( K , U ) eine Unterbasis der kompakt-offenen Topologie.

Vollständig

Ein metrischer Raum heißt vollständig , wenn jede Cauchy-Folge konvergiert.

Vollständig metrisierbar/vollständig metrisierbar

Den gesamten Raum anzeigen .

Völlig normal

Ein Raum heißt völlig normal, wenn je zwei getrennte Mengen disjunkte Umgebungen haben.

Völlig normales Hausdorff

Ein vollständig normaler Hausdorff-Raum (oder T⁵ _- Raum ) ist ein vollständig normaler T¹ _- Raum. (Ein vollständig normaler Raum ist genau dann ein Hausdorff-Raum, wenn er ein _T¹-Raum ist ; die Terminologie ist also konsistent .) Jeder vollständig normale Hausdorff-Raum ist ein normaler Hausdorff-Raum.

Völlig regelmäßig

Ein Raum heißt vollständig regulär , wenn für jede abgeschlossene Menge C und jeden Punkt x , der nicht in C liegt , die Mengen C und { x } funktional getrennt sind.

Vollständig T ₃

Siehe Tychonoff .

Komponente

Siehe Verbundene Komponente / Pfadverbundene Komponente .

Verbunden

Ein Raum heißt zusammenhängend , wenn er nicht die Vereinigung zweier disjunkter , nichtleerer offener Mengen ist. Äquivalent dazu heißt ein Raum zusammenhängend, wenn die einzigen zusammenhängenden offenen Mengen der gesamte Raum und die leere Menge sind.

Verbundene Komponente

Eine Zusammenhangskomponente eines Raumes ist ein maximaler nichtleerer zusammenhängender Unterraum. Jede Zusammenhangskomponente ist abgeschlossen, und die Menge der Zusammenhangskomponenten eines Raumes ist eine Partition dieses Raumes.

Kontinuierlich

Eine Funktion von einem Raum in einen anderen heißt stetig , wenn das Urbild jeder offenen Menge offen ist.

Kontinuum

Ein Raum wird als Kontinuum bezeichnet, wenn er ein kompakter, zusammenhängender Hausdorff-Raum ist.

Vertraglich

Ein Raum X heißt zusammenziehbar, wenn die Identitätsabbildung auf X homotop zu einer konstanten Abbildung ist. Jeder zusammenziehbare Raum ist einfach zusammenhängend.

Koprodukttopologie

Wenn { X _i } eine Sammlung von Räumen ist und X die (mengentheoretische) disjunkte Vereinigung von { X _i } ist, dann ist die Koprodukttopologie (oder disjunkte Vereinigungstopologie , topologische Summe der X _i ) auf X die feinste Topologie, für die alle Injektionsabbildungen stetig sind.

Kernkompaktraum

Kosmischer Raum

Ein stetiges Bild eines separablen metrischen Raums . ^{[ 3 ]}

Zählbarer Kettenzustand

Ein Raum X erfüllt die Abzählbarkeitskettenbedingung, wenn jede Familie nichtleerer, paarweise disjunkter offener Mengen abzählbar ist.

Zählbar kompakt

Ein Raum heißt abzählbar kompakt, wenn jede abzählbare offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Jeder abzählbar kompakte Raum ist pseudokompakt und schwach abzählbar kompakt.

Abzählbar lokal endlich

Eine Menge von Teilmengen eines Raumes X heißt abzählbar lokal endlich (oder σ-lokal endlich ), wenn sie die Vereinigung einer abzählbaren Menge von lokal endlichen Mengen von Teilmengen von X ist .

Abdeckung

Eine Menge von Teilmengen eines Raumes heißt Überdeckung dieses Raumes, wenn die Vereinigung der Menge den gesamten Raum ergibt.

Abdeckung

Siehe Titelseite .

Schnittpunkt

Ist X ein zusammenhängender Raum mit mehr als einem Punkt, so ist ein Punkt x von X ein Schnittpunkt, wenn der Unterraum X − { x } unzusammenhängend ist.

δ-Clusterpunkt, δ-geschlossen, δ-offen

Ein Punkt x eines topologischen Raums X heißt δ-Clusterpunkt einer Teilmenge A , wenn für jede offene Umgebung U von x in X gilt: Die Teilmenge A heißt δ-abgeschlossen, wenn sie gleich der Menge ihrer δ-Clusterpunkte ist, und δ-offen, wenn ihr Komplement δ-abgeschlossen ist. ^{[ 4 ]}${\displaystyle A\cap \operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}(U)\right)\neq \emptyset }$

Dicht gesetzt

Eine Menge heißt dicht, wenn sie mit jeder nichtleeren offenen Menge einen nichtleeren Schnittpunkt besitzt. Äquivalent dazu heißt eine Menge dicht, wenn ihr Abschluss der gesamte Raum ist.

in sich dichtes Set

Eine Menge heißt in sich dicht, wenn sie keinen isolierten Punkt besitzt .

Dichte

Die minimale Kardinalität einer dichten Teilmenge eines topologischen Raums. Eine Menge der Dichte ℵ ₀ ist ein separabler Raum . ^{[ 5 ]}

Abgeleitete Menge

Ist X ein Raum und S eine Teilmenge von X , so ist die abgeleitete Menge von S in X die Menge der Häufungspunkte von S in X.

Bebaubarer Raum

Ein topologischer Raum mit einer Entwicklung . ^{[ 6 ]}

Entwicklung

Eine abzählbare Menge offener Überdeckungen eines topologischen Raums, sodass es für jede abgeschlossene Menge C und jeden Punkt p in ihrem Komplement eine Überdeckung in der Menge gibt, sodass jede Umgebung von p in der Überdeckung disjunkt zu C ist . ^{[ 6 ]}

Durchmesser

Ist ( M , d ) ein metrischer Raum und S eine Teilmenge von M , so ist der Durchmesser von S das Supremum der Abstände d ( x , y ), wobei x und y über S laufen .

Diskrete Metrik

Die diskrete Metrik auf einer Menge X ist die Funktion d  : X × X  →  ℝ , sodass für alle x , y ∈ X gilt : d ( x , x ) = 0 und d ( x , y ) = 1, falls x ≠ y . Die diskrete Metrik induziert die diskrete Topologie auf X.

Diskreter Raum

Ein Raum X heißt diskret, wenn jede Teilmenge von X offen ist. Wir sagen, dass X die diskrete Topologie trägt . ^{[ 7 ]}

Diskrete Topologie

Siehe diskreter Raum .

Disjunkte Vereinigungstopologie

Siehe Koprodukt-Topologie .

Dispersionspunkt

Ist X ein zusammenhängender Raum mit mehr als einem Punkt, so ist ein Punkt x von X ein Dispersionspunkt, wenn der Unterraum X − { x } erblich unzusammenhängend ist (seine einzigen Zusammenhangskomponenten sind die Einpunktmengen).

Distanz

Siehe metrischer Raum .

Docker-Raum

Dugundji-Erweiterungssatz

Eselsmütze (Topologie)

Gefolge

Siehe Einheitlicher Raum .

Außenbereich

Das Äußere eines Sets ist das Innere seines Komplementärsets.

Eilenberg-Wojdysławski-Theorem

Der Satz von Eilenberg-Wojdysławski besagt, dass jeder beschränkte metrische Raum in einen Banachraum als abgeschlossene Teilmenge der konvexen Hülle des Bildes eingebettet werden kann.

F _σ Menge

Eine Fσ _- Menge ist eine abzählbare Vereinigung abgeschlossener Mengen. ^{[ 8 ]}

Filter

Siehe auch: Filter in der Topologie . Ein Filter auf einem Raum X ist eine nichtleere Familie F von Teilmengen von X , sodass die folgenden Bedingungen gelten:

1. Die leere Menge ist nicht in F.
2. Der Schnittpunkt einer beliebigen endlichen Anzahl von Elementen aus F liegt wieder in F.
3. Wenn A in F liegt und B A enthält , dann liegt B in F.

Endgültige Topologie

Auf einer Menge X bezüglich einer Familie von Funktionen in ist die feinste Topologie auf X , die diese Funktionen stetig macht . ^{[ 9 ]}${\displaystyle X}$

Feintopologie (Potentialtheorie)

Auf dem euklidischen Raum ist die gröbste Topologie diejenige, die alle subharmonischen Funktionen (äquivalent dazu alle superharmonischen Funktionen) stetig macht. ^{[ 10 ]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Feinere Topologie

Ist X eine Menge und sind T₁ und T₂ Topologien auf X , dann ist T₂ feiner (oder größer , stärker ₎ als T₁ _, wenn _T₂ T₁ enthält _. Achtung: Manche Autoren, insbesondere Analytiker , verwenden den Begriff _„ schwächer _“ .

Endlich erzeugt

Siehe Alexandrov-Topologie .

Erste Kategorie

Siehe Mager .

Erstzählbar

Ein Raum heißt abzählbar, wenn jeder Punkt eine abzählbare lokale Basis besitzt.

Fréchet

Siehe T ₁ .

Grenze

Siehe Grenze .

Komplettes Set

Eine kompakte Teilmenge K der komplexen Ebene heißt voll , wenn ihr Komplement zusammenhängend ist. Beispielsweise ist die abgeschlossene Einheitskreisscheibe voll, der Einheitskreis hingegen nicht.

Funktionell getrennt

Zwei Mengen A und B in einem Raum X heißen funktional getrennt, wenn es eine stetige Abbildung f : X → [0, 1] gibt,  sodass f ( A ) = 0 und f ( B ) = 1.

G _δ Menge

Eine G _δ- Menge oder innere Grenzmenge ist ein abzählbarer Schnitt offener Mengen. ^{[ 8 ]}

G _δ Raum

Ein Raum, in dem jede abgeschlossene Menge eine G _δ- Menge ist. ^{[ 8 ]}

Allgemeiner Punkt

Ein generischer Punkt einer abgeschlossenen Menge ist ein Punkt, für den die abgeschlossene Menge der Abschluss der einelementigen Menge ist, die diesen Punkt enthält. ^{[ 11 ]}

Hausdorff

Ein Hausdorff-Raum (oder T² _- Raum ) ist ein Raum, in dem je zwei verschiedene Punkte disjunkte Umgebungen haben. Jeder Hausdorff-Raum ist ein T¹ _- Raum .

H-geschlossen

Ein Raum heißt H-abgeschlossen, Hausdorff-abgeschlossen oder absolut abgeschlossen , wenn er in jedem Hausdorff-Raum, der ihn enthält, abgeschlossen ist.

Hemikompakt

Ein Raum heißt hemikompakt, wenn es eine Folge kompakter Teilmengen gibt, sodass jede kompakte Teilmenge in einer von ihnen enthalten ist.

Erblich P

Ein Raum heißt erblich P bezüglich einer Eigenschaft P, wenn jeder Unterraum ebenfalls P ist .

Erblich

Eine Eigenschaft von Räumen heißt erblich, wenn, wenn ein Raum diese Eigenschaft besitzt, auch jeder seiner Unterräume diese Eigenschaft besitzt. ^{[ 12 ]} Beispielsweise ist die Zweitabzählbarkeit eine erbliche Eigenschaft.

Homöomorphismus

Sind X und Y Räume, so ist ein Homöomorphismus von X nach Y eine bijektive Funktion f  :  X  →  Y , sodass f und f ^{− 1} stetig sind. Die Räume X und Y heißen dann homöomorph . Topologisch betrachtet sind homöomorphe Räume identisch.

Homogen

Ein Raum X heißt homogen , wenn es für alle x und y ∈ X einen Homöomorphismus f  : X  →  X gibt, sodass f ( x ) = y . Anschaulich gesprochen sieht der Raum an jedem Punkt gleich aus. Jede topologische Gruppe ist homogen.

Homotopische Karten

Zwei stetige Abbildungen f , g  : X  →  Y heißen homotop (in Y ), wenn es eine stetige Abbildung H  : X × [0, 1] →  Y gibt , sodass H ( x , 0) = f ( x ) und H ( x , 1) = g ( x ) für alle x ∈ X gilt . Hierbei ist X × [0, 1] die Produkttopologie. Die Funktion H heißt Homotopie (in Y ) zwischen f und g .

Homotopie

Siehe homotopische Abbildungen .

Hypervernetzt

Ein Raum heißt hyperzusammenhängend, wenn keine zwei nichtleeren offenen Mengen disjunkt sind ^{[ 13 ].} Jeder hyperzusammenhängende Raum ist zusammenhängend. ^{[ 13 ]}

Identifikationskarte

Siehe Quotientenkarte .

Identifikationsraum

Siehe Quotientenraum .

Indiskreter Raum

Siehe triviale Topologie .

Unendlichdimensionale Topologie

Siehe Hilbert-Mannigfaltigkeiten und Q-Mannigfaltigkeiten , d. h. (verallgemeinerte) Mannigfaltigkeiten, die auf dem Hilbert-Raum bzw. dem Hilbert-Würfel modelliert sind.

Innerer Grenzwertsatz

Eine G _δ- Menge. ^{[ 8 ]}

Innere

Das Innere einer Menge ist die größte offene Menge , die in der ursprünglichen Menge enthalten ist. Es ist gleich der Vereinigung aller in ihr enthaltenen offenen Mengen. Ein Element des Inneren einer Menge S ist ein innerer Punkt von S.

Innenpunkt

Siehe Innenansicht .

Isolierter Punkt

Ein Punkt x heißt isoliert , wenn die einelementige Menge { x } offen ist. Allgemeiner gilt: Ist S eine Teilmenge eines Raumes X und x ein Punkt von S , so ist x genau dann isoliert, wenn { x } in der Unterraumtopologie von S offen ist .

Isometrischer Isomorphismus

Sind M₁ _und M₂ metrische Räume, so ist ein isometrischer Isomorphismus von M₁ _nach M₂ eine _bijektive Isometrie f : M₁  → M₂  .  Die _{metrischen Räume} heißen dann isometrisch isomorph _. Aus Sicht der Theorie metrischer Räume sind isometrisch isomorphe Räume identisch .

Isometrie

Sind ( M₁ , d₁ ) und ( M₂ , d₂ ) metrische Räume, so ist eine Isometrie von _M₁ nach M₂ eine Funktion f : M₁ →  M₂ _,  sodass  d₂ ₍ f _{( x} ) , f ₍ y ₎ ) = d₁ ( x , y ) für _alle x , y _∈ M₁ gilt _. Jede Isometrie ist injektiv , jedoch nicht jede _Isometrie ist surjektiv .

Kochs Bogensatz

Kolmogorov-Axiom

Siehe T ₀ .

Kuratowski-Abschlussaxiome

Die Kuratowski-Abschlussaxiome sind eine Menge von Axiomen, die von der Funktion erfüllt werden, die jede Teilmenge von X auf ihren Abschluss abbildet:

1. Isotonie : Jede Menge ist in ihrem Abschluss enthalten.
2. Idempotenz : Der Abschluss des Abschlusses einer Menge ist gleich dem Abschluss dieser Menge.
3. Erhaltung binärer Vereinigungen : Der Abschluss der Vereinigung zweier Mengen ist die Vereinigung ihrer Abschlüsse.
4. Erhaltung nullärer Vereinigungen : Der Abschluss der leeren Menge ist leer.

Ist c eine Funktion von der Potenzmenge von X in sich selbst, so ist c ein Hüllenoperator, wenn sie die Kuratowski-Hüllenaxiome erfüllt. Mithilfe der Kuratowski-Hüllenaxiome lässt sich dann eine Topologie auf X definieren, indem man die abgeschlossenen Mengen als Fixpunkte dieses Operators festlegt; d. h. eine Menge A ist genau dann abgeschlossen, wenn c ( A ) = A gilt .

Kolmogorov-Topologie

T _Kol = {R, }∪{(a,∞): a ist eine reelle Zahl}; das Paar (R,T _Kol ) wird Kolmogorov-Gerade genannt .${\displaystyle \varnothing }$

L-Raum

Ein L-Raum ist ein erblich Lindelöf-Raum , der nicht erblich separabel ist . Eine Suslin-Gerade wäre ein L-Raum. ^{[ 14 ]}

Größere Topologie

Siehe Feinere Topologie .

Grenzpunkt

Ein Punkt x in einem Raum X ist ein Häufungspunkt einer Teilmenge S , wenn jede offene Menge, die x enthält , auch einen Punkt von S außer x selbst enthält. Dies ist äquivalent zu der Forderung, dass jede Umgebung von x einen Punkt von S außer x selbst enthält .

Grenzpunkt kompakt

Siehe schwach zählbar kompakt .

Platzmangel

Lindelöf

Ein Raum heißt Lindelöf , wenn jede offene Hülle eine zählbare Unterhülle besitzt.

Lokaler Stützpunkt

Eine Menge B von Umgebungen eines Punktes x eines Raumes X heißt lokale Basis (oder lokale Basis , Umgebungsbasis , Umgebungsbasis ) in x , wenn jede Umgebung von x ein Element aus B enthält .

Lokale Basis

Siehe lokale Basis .

Lokaler (P) Raum

Es gibt zwei Definitionen für einen Raum, der „lokal (P)“ ist, wobei (P) eine topologische oder mengentheoretische Eigenschaft darstellt: Entweder besitzt jeder Punkt eine Umgebung mit der Eigenschaft (P), oder jeder Punkt besitzt eine Basis von Umgebungen, deren Elemente alle die Eigenschaft (P) besitzen. Die erste Definition wird üblicherweise für lokal kompakte, abzählbar kompakte, metrisierbare, separable und abzählbare Räume verwendet; die zweite für lokal zusammenhängende Räume. ^{[ 15 ]}

Lokal abgeschlossene Teilmenge

Eine Teilmenge eines topologischen Raums, die der Schnitt einer offenen und einer abgeschlossenen Teilmenge ist. Äquivalent dazu ist sie eine relativ offene Teilmenge ihres Abschlusses.

Lokal kompakt

Ein Raum heißt lokal kompakt , wenn jeder Punkt eine kompakte Umgebung besitzt. Alternativ wird mitunter die Definition verwendet, dass jeder Punkt eine lokale Basis aus kompakten Umgebungen besitzt. Für Hausdorff-Räume sind diese Definitionen äquivalent. ^{[ 15 ]} Jeder lokal kompakte Hausdorff-Raum ist ein Tychonoff-Raum.

Lokal verbunden

Ein Raum heißt lokal zusammenhängend , wenn jeder Punkt eine lokale Basis besitzt, die aus zusammenhängenden Nachbarschaften besteht. ^{[ 15 ]}

Örtlich dicht

siehe Preopen .

Lokal endlich

Eine Menge von Teilmengen eines Raumes heißt lokal endlich, wenn jeder Punkt eine Umgebung besitzt, die nur mit endlich vielen Teilmengen einen nichtleeren Schnittpunkt hat. Siehe auch abzählbar lokal endlich , punktendlich .

Lokal metrisierbar / Lokal metrisierbar

Ein Raum ist lokal metrisierbar, wenn jeder Punkt eine metrisierbare Umgebung besitzt. ^{[ 15 ]}

Lokal pfadverbunden

Ein Raum heißt lokal wegzusammenhängend, wenn jeder Punkt eine lokale Basis besitzt, die aus wegzusammenhängenden Nachbarschaften besteht. ^{[ 15 ]} Ein lokal wegzusammenhängender Raum heißt zusammenhängend genau dann, wenn er wegzusammenhängend ist.

Einfach lokal verbunden

Ein Raum ist lokal einfach verbunden, wenn jeder Punkt eine lokale Basis besitzt, die aus einfach verbundenen Nachbarschaften besteht.

Schleife

Ist x ein Punkt im Raum X , so ist eine Schleife in x in X (oder eine Schleife in X mit Basispunkt x ) ein Weg f in X , sodass f (0) = f (1) = x gilt . Äquivalent dazu ist eine Schleife in X eine stetige Abbildung vom Einheitskreis S₁ nach ^X.

Mager

Ist X ein Raum und A eine Teilmenge von X , so heißt A mager in X (oder von erster Kategorie in X ), wenn sie die abzählbare Vereinigung nirgends dichter Mengen ist. Ist A nicht mager in X , ^so ist A von zweiter Kategorie in X. ^{[ 16} ]

Metakompakt

Ein Raum heißt metakompakt, wenn jede offene Überdeckung eine punktendliche offene Verfeinerung besitzt.

Metrisch

Siehe metrischer Raum .

Metrische Invariante

Eine metrische Invariante ist eine Eigenschaft, die unter isometrischem Isomorphismus erhalten bleibt.

Metrische Karte

Sind X und Y metrische Räume mit den Metriken d _{_X} bzw. d_{_Y}, so ist eine metrische Abbildung eine Funktion f von X nach Y , sodass für beliebige Punkte x und y in X gilt : d_{_Y} ( f ( x ), f ( y )) ≤ d _{_X} ( x , y ). Eine metrische Abbildung heißt strikt metrisch, wenn die obige Ungleichung für alle x und y in X strikt gilt .

Metrischer Raum

Ein metrischer Raum ( M , d ) ist eine Menge M, die mit einer Funktion d  :  M  ×  M  →  R ausgestattet ist, die für alle x , y , und z in M ​​die folgenden Axiome erfüllt :

1. d ( x , y ) ≥ 0
2. d ( x , x ) = 0
3. Wenn   d ( x , y ) = 0 dann   x = y     ( Identität der Ununterscheidbaren )
4. d ( x , y ) = d ( y , x ) ( Symmetrie )
5. d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ) ( Dreiecksungleichung )

Die Funktion d ist eine Metrik auf M , und d ( x , y ) ist der Abstand zwischen x und y . Die Menge aller offenen Kugeln von M ist eine Basis für eine Topologie auf M ; dies ist die von d induzierte Topologie auf M. Jeder metrische Raum ist ein Hausdorff-Raum und parakompakt (und somit normal und Tychonoff-Raum). Jeder metrische Raum ist erstabzählbar.

Metrisierbar / Metrisierbar

Ein Raum heißt metrisierbar , wenn er homöomorph zu einem metrischen Raum ist. Jeder metrisierbare Raum ist ein Hausdorff-Raum und parakompakt (und somit normal und Tychonoff-Raum). Jeder metrisierbare Raum ist erstabzählbar.

Monolith

Jeder nichtleere ultra-zusammenhängende kompakte Raum X besitzt eine größte echte offene Teilmenge; diese Teilmenge wird Monolith genannt .

Moore-Raum

Ein Moore-Raum ist ein abwickelbarer regulärer Hausdorff-Raum . ^{[ 6 ]}

Fast geöffnet

Siehe Preopen . Siehe auch: Karte fast geöffnet .

Nachbarschaft / Viertel

Eine Umgebung eines Punktes x ist eine Menge, die eine offene Menge enthält, welche wiederum den Punkt x enthält . Allgemeiner ist eine Umgebung einer Menge S eine Menge, die eine offene Menge enthält, welche wiederum die Menge S enthält . Eine Umgebung eines Punktes x ist somit eine Umgebung der einelementigen Menge { x }. (Beachten Sie, dass die Umgebung selbst nach dieser Definition nicht offen sein muss. Viele Autoren fordern jedoch, dass Umgebungen offen sind; beachten Sie daher die jeweiligen Konventionen.)

Nachbarschaftsbasis / Grundlage

Siehe lokale Basis .

Nachbarschaftssystem für einen Punkt x

Ein Nachbarschaftssystem an einem Punkt x in einem Raum ist die Menge aller Nachbarschaften von x .

Netto

Ein Netz in einem Raum X ist eine Abbildung von einer gerichteten Menge A nach X. Ein Netz von A nach X wird üblicherweise mit ( x_{_α} ) bezeichnet, wobei α eine Indexvariable über A ist . Jede Folge ist ein Netz, wobei A die gerichtete Menge der natürlichen Zahlen mit der üblichen Ordnung ist.

Normal

Ein Raum heißt normal , wenn je zwei disjunkte abgeschlossene Mengen disjunkte Umgebungen besitzen. ^{[ 8 ]} Jeder normale Raum besitzt eine Zerlegung der Eins .

Normal Hausdorff

Ein normaler Hausdorff- Raum (oder T⁴ _- Raum ) ist ein normaler T¹ _- Raum. (Ein normaler Raum ist genau dann ein Hausdorff-Raum, wenn er ein _T¹-Raum ist ; die Terminologie ist also konsistent.) Jeder normale Hausdorff-Raum ist ein Tychonoff-Raum.

Nirgends dicht besiedelt

Eine nirgends dichte Menge ist eine Menge, deren Abschluss ein leeres Inneres aufweist.

Deckel öffnen

Eine offene Überdeckung ist eine Überdeckung, die aus offenen Mengen besteht. ^{[ 6 ]}

Offener Ball

Ist ( M , d ) ein metrischer Raum, so ist eine offene Kugel eine Menge der Form B ( x , r ) := { y ∈ M  : d ( x , y ) < r }, wobei x ∈ M und r eine positive reelle Zahl , der Radius der Kugel, ist. Eine offene Kugel mit Radius r ist eine offene r - Kugel . Jede offene Kugel ist eine offene Menge in der von d induzierten Topologie auf M.

Offener Zustand

Siehe offenes Grundstück .

Offenes Set

Eine offene Menge ist ein Element der Topologie.

Funktion öffnen

Eine Funktion von einem Raum in einen anderen heißt offen , wenn das Bild jeder offenen Menge offen ist.

Offenes Grundstück

Eine Eigenschaft von Punkten in einem topologischen Raum heißt „offen“, wenn die Punkte, die diese Eigenschaft besitzen, eine offene Menge bilden . Solche Bedingungen haben oft eine gemeinsame Form, und diese Form kann als offene Bedingung bezeichnet werden ; zum Beispiel definiert man in metrischen Räumen eine offene Kugel wie oben beschrieben und sagt, dass „strenge Ungleichung eine offene Bedingung ist“.

Orthokompakt

Ein Raum ist orthokompakt, wenn jede offene Abdeckung eine innenraumerhaltende offene Veredelung aufweist .

Parakompakt

Ein Raum heißt parakompakt , wenn jede offene Überdeckung eine lokal endliche offene Verfeinerung besitzt. Parakompakt impliziert Metakompaktheit. ^{[ 17 ]} Parakompakte Hausdorff-Räume sind normal. ^{[ 18 ]}

Zerlegung der Einheit

Eine Partition der Eins eines Raumes X ist eine Menge stetiger Funktionen von X nach [0, 1], sodass jeder Punkt eine Umgebung besitzt, in der alle Funktionen bis auf eine endliche Anzahl identisch null sind und die Summe aller Funktionen auf dem gesamten Raum identisch 1 ist.

Weg

Ein Pfad in einem Raum X ist eine stetige Abbildung f vom abgeschlossenen Einheitsintervall [ 0, 1] nach X. Der Punkt f (0) ist der Anfangspunkt von f ; der Punkt f (1) ist der Endpunkt von f . ^{[ 13 ]}

Pfadverbunden

Ein Raum X heißt wegzusammenhängend, wenn es für je zwei Punkte x , y in X einen Weg f von x nach y gibt , d. h. einen Weg mit Anfangspunkt f (0) = x und Endpunkt f (1) = y . Jeder wegzusammenhängende Raum ist zusammenhängend. ^{[ 13 ]}

Pfadverbundene Komponente

Eine Wegzusammenhangskomponente eines Raumes ist ein maximaler nichtleerer Wegzusammenhangsunterraum. Die Menge der Wegzusammenhangskomponenten eines Raumes ist eine Partition dieses Raumes, die feiner ist als die Partition in Zusammenhangskomponenten. ^{[ 13 ]} Die Menge der Wegzusammenhangskomponenten eines Raumes X wird mit π ₀ ( X ) bezeichnet .

Peano continua

Völlig normal

ein normaler Raum, der auch ein G _δ ist . ^{[ 8 ]}

π-Basis

Eine Familie B nichtleerer offener Mengen ist eine π-Basis für eine Topologie τ, wenn jede nichtleere offene Menge in τ eine Menge aus B enthält . ^{[ 19 ]}

Punkt

Ein Punkt ist ein Element eines topologischen Raums. Allgemeiner ist ein Punkt ein Element einer beliebigen Menge mit einer zugrunde liegenden topologischen Struktur; z. B. ist auch ein Element eines metrischen Raums oder einer topologischen Gruppe ein „Punkt“.

Schließpunkt

Siehe Abschluss .

Polieren

Ein Raum heißt polnisch, wenn er separabel und vollständig metrisierbar ist, d.h. wenn er homöomorph zu einem separablen und vollständigen metrischen Raum ist.

Polyadisch

Ein Raum heißt polyadisch, wenn er das stetige Bild der Potenz einer Einpunktkompaktifizierung eines lokal kompakten, nicht kompakten Hausdorff-Raums ist.

Polytopologischer Raum

Ein polytopologischer Raum ist eine Menge zusammen mit einer Familie von Topologien auf , die linear durch die Inklusionsrelation geordnet sind, wobei eine beliebige Indexmenge ist .${\displaystyle X}$${\displaystyle \{\tau _{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle I}$

P-Punkt

Ein Punkt eines topologischen Raums heißt P-Punkt, wenn sein Umgebungsfilter unter abzählbaren Schnittmengen abgeschlossen ist.

Vorkompakt

Siehe Relativ kompakt .

Voröffnungsset

Eine Teilmenge A eines topologischen Raums X heißt präoffen, wenn . ^{[ 4 ]}${\displaystyle A\subseteq \operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}A\right)}$

Prodiskrete Topologie

Die prodiskrete Topologie eines Produkts A ^G ist die Produkttopologie, wenn jedem Faktor A die diskrete Topologie gegeben wird. ^{[ 20 ]}

Produkttopologie

Wenn eine Menge von Räumen ist und X das (mengentheoretische) kartesische Produkt von ist, dann ist die Produkttopologie auf X die gröbste Topologie, für die alle Projektionsabbildungen stetig sind.${\displaystyle \left(X_{i}\right)}$${\displaystyle \left(X_{i}\right),}$

Korrekte Funktion/Zuordnung

Eine stetige Funktion f von einem Raum X in einen Raum Y heißt echt, wenn f eine kompakte Menge in X für jeden kompakten Unterraum C von Y ist .${\displaystyle f^{-1}(C)}$

Näheraum

Ein Proximitätsraum ( X ,  d ) ist eine Menge X, die mit einer binären Relation d zwischen Teilmengen von X ausgestattet ist , die die folgenden Eigenschaften erfüllt:

Für alle Teilmengen A , B und C von X ,

1. A d B impliziert B d A
2. A d B impliziert, dass A nicht leer ist.
3. Wenn A und B eine nichtleere Schnittmenge haben, dann gilt A d B
4. A d ( B  C ) genau dann, wenn ( A d B oder A d C )${\displaystyle \cup }$ 
5. Wenn für alle Teilmengen E von X gilt ( A d E oder B d E ), dann muss auch gelten: A d ( X − B )

Pseudokompakt

Ein Raum heißt pseudokompakt, wenn jede reellwertige stetige Funktion auf dem Raum beschränkt ist.

Pseudometrische

Siehe pseudometrischen Raum .

Pseudometrischer Raum

Ein pseudometrischer Raum ( M , d ) ist eine Menge M, die mit einer reellwertigen Funktion ausgestattet ist , welche alle Bedingungen eines metrischen Raums erfüllt, außer möglicherweise der Identität ununterscheidbarer Punkte. Das heißt, Punkte in einem pseudometrischen Raum können unendlich nahe beieinander liegen, ohne identisch zu sein. Die Funktion d ist eine Pseudometrik auf M. Jede Metrik ist eine Pseudometrik.${\displaystyle d:M\times M\to \mathbb {R} }$

Durchlöcherte Nachbarschaft / Durchlöcherte Nachbarschaft

Eine punktierte Umgebung eines Punktes x ist eine Umgebung von x minus { x } . Beispielsweise ist das Intervall (−1, 1) = { y  : −1 < y < 1} eine Umgebung von x = 0 auf der reellen Zahlengeraden , daher ist die Menge eine punktierte Umgebung von 0.${\displaystyle (-1,0)\cup (0,1)=(-1,1)-\{0\}}$

Quasikompakt

Siehe kompakt . Manche Autoren definieren „kompakt“ so, dass es das Hausdorffsche Trennungsaxiom einschließt, und verwenden den Begriff quasikompakt für das, was wir in diesem Glossar einfach als „kompakt“ bezeichnen (ohne das Hausdorffsche Axiom). Diese Konvention ist vor allem in der französischen Mathematik und in stark französisch geprägten Bereichen verbreitet.

Quotientenkarte

Sind X und Y Räume und ist f eine Surjektion von X nach Y , so ist f eine Quotientenabbildung (oder Identifikationsabbildung ) , wenn für jede Teilmenge U von Y gilt : U ist genau dann offen in Y , wenn f⁻¹ ⁽ U ) offen in ^X ist . Anders ausgedrückt: Y besitzt die f -starke Topologie. Äquivalent dazu ist f genau dann eine Quotientenabbildung, wenn sie die transfinite Komposition von Abbildungen ist , wobei eine Teilmenge ist. Dies impliziert jedoch nicht, dass f eine offene Funktion ist. ${\displaystyle f}$${\displaystyle X\rightarrow X/Z}$${\displaystyle Z\subset X}$

Quotientenraum

Ist X ein Raum, Y eine Menge und f  :  X  →  Y eine beliebige surjektive Funktion, so ist die von f induzierte Quotiententopologie auf Y die feinste Topologie, für die f stetig ist. Der Raum X ist ein Quotientenraum oder Identifikationsraum . Per Definition ist f eine Quotientenabbildung. Das gebräuchlichste Beispiel hierfür ist die Betrachtung einer Äquivalenzrelation auf X , wobei Y die Menge der Äquivalenzklassen und f die natürliche Projektionsabbildung ist. Diese Konstruktion ist dual zur Konstruktion der Unterraumtopologie.

Verfeinerung

Eine Überdeckung K ist eine Verfeinerung einer Überdeckung L , wenn jedes Element von K eine Teilmenge eines Elements von L ist .

Regulär

Ein Raum heißt regulär , wenn für jede abgeschlossene Menge C und jeden Punkt x , der nicht in C liegt , die Umgebungen von C und x disjunkt sind .

Regelmäßiges Hausdorff

Ein Raum heißt regulär Hausdorff (oder T³ ₎ , wenn er ein regulärer T⁰-Raum ist _. (Ein regulärer Raum ist genau dann Hausdorff, wenn er T⁰ ist _, daher ist die Terminologie konsistent.)

Reguläre Öffnungszeiten

Eine Teilmenge eines Raumes X heißt regulär offen, wenn sie mit dem Inneren ihres Abschlusses übereinstimmt; dual dazu ist eine regulär abgeschlossene Menge gleich dem Abschluss ihres Inneren. ^{[ 21 ]} Ein Beispiel für eine nicht-reguläre offene Menge ist die Menge U = (0,1) ∪ (1,2) in ℝ mit ihrer normalen Topologie, da 1 im Inneren des Abschlusses von U , aber nicht in U liegt . Die regulären offenen Teilmengen eines Raumes bilden eine vollständige Boolesche Algebra . ^{[ 21 ]}

Relativ kompakt

Eine Teilmenge Y eines Raumes X heißt relativ kompakt in X , wenn der Abschluss von Y in X kompakt ist.

Rest

Ist X ein Raum und A eine Teilmenge von X , so heißt A genau dann residual in X , wenn das Komplement von A meagre in X ist . (Auch als comeagre oder comeager bezeichnet .)

Lösbar

Ein topologischer Raum heißt auflösbar , wenn er als Vereinigung zweier disjunkter dichter Teilmengen ausgedrückt werden kann .

Felgenkompakt

Ein Raum heißt randkompakt, wenn er eine Basis aus offenen Mengen besitzt, deren Ränder kompakt sind.

S-Raum

Ein S-Raum ist ein erblich separierbarer Raum , der nicht erblich Lindelöf ist . ^{[ 14 ]}

Verstreut

Ein Raum X heißt zerstreut , wenn jede nichtleere Teilmenge A von X einen in A isolierten Punkt enthält .

Scott

Die Scott-Topologie auf einer partiell geordneten Menge ist diejenige, bei der die offenen Mengen diejenigen oberen Mengen sind , die durch gerichtete Vereinigungen nicht erreichbar sind. ^{[ 22 ]}

Zweite Kategorie

Siehe Mager .

Zweitzählbar

Ein Raum heißt zweitabzählbar oder perfekt separabel, wenn seine Topologie eine abzählbare Basis besitzt . ^{[ 8 ]} Jeder zweitabzählbare Raum ist erstabzählbar, separabel und Lindelöf-Raum.

Semilokal einfach verbunden

Ein Raum X heißt semilokal einfach zusammenhängend , wenn es zu jedem Punkt x in X eine Umgebung U von x gibt, sodass jede Schleife in x in U homotop zur konstanten Schleife x in X ist. Jeder einfach zusammenhängende Raum und jeder lokal einfach zusammenhängende Raum ist semilokal einfach zusammenhängend. (Vergleiche mit lokal einfach zusammenhängend; hier darf die Homotopie in X liegen , während sie in der Definition von lokal einfach zusammenhängend in U liegen muss .)

Halboffen

Eine Teilmenge A eines topologischen Raums X heißt halboffen, wenn . ^{[ 23 ]}${\displaystyle A\subseteq \operatorname {Cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)}$

Halb geöffnet

Eine Teilmenge A eines topologischen Raums X heißt semi-präoffen, wenn ^{[ 2 ]}${\displaystyle A\subseteq \operatorname {Cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}A\right)\right)}$

Halbregelmäßig

Ein Raum heißt halbregulär, wenn die regulären offenen Mengen eine Basis bilden.

Trennbar

Ein Raum heißt separabel , wenn er eine abzählbare dichte Teilmenge besitzt. ^{[ 8 ] [ 16 ]}

Getrennt

Zwei Mengen A und B sind getrennt , wenn die jeweilige Menge disjunkt zur Hülle der anderen ist.

Sequenziell kompakt

Ein Raum heißt folgenkompakt, wenn jede Folge eine konvergente Teilfolge besitzt. Jeder folgenkompakte Raum ist abzählbar kompakt, und jeder erstabzählbar und abzählbar kompakte Raum ist folgenkompakt.

Kurzkarte

Siehe metrische Karte

Sierpiński-Raum

Einfach verbunden

Ein Raum heißt einfach zusammenhängend , wenn er wegzusammenhängend ist und jede Schleife homotop zu einer konstanten Abbildung ist.

Kleinere Topologie

Siehe gröbere Topologie .

Nüchtern

In einem nüchternen Raum ist jede irreduzibel abgeschlossene Teilmenge der Abschluss genau eines Punktes: das heißt, sie besitzt einen eindeutigen generischen Punkt . ^{[ 24 ]}

Stern

Der Stern eines Punktes in einer gegebenen Überdeckung eines topologischen Raums ist die Vereinigung aller Mengen in der Überdeckung, die den Punkt enthalten. Siehe Sternverfeinerung .

${\displaystyle f}$-Starke Topologie

Sei eine Abbildung topologischer Räume. Wir sagen, dass die -starke Topologie besitzt, wenn für jede Teilmenge gilt: ist genau dann offen in , wenn offen in ist.${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U\subset Y}$${\displaystyle U}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f^{-1}(U)}$${\displaystyle X}$

Stärkere Topologie

Siehe Feinere Topologie . Achtung: Einige Autoren, insbesondere Analysten , verwenden den Begriff schwächere Topologie .

Unterbau

Eine Menge offener Mengen ist eine Unterbasis einer Topologie , wenn jede nichtleere, echte offene Menge in der Topologie die Vereinigung eines endlichen Schnitts von Mengen der Unterbasis ist. Ist eine beliebige Menge von Teilmengen einer Menge X , so ist die von erzeugte Topologie auf X die kleinste Topologie, die diese Topologie enthält und aus der leeren Menge, X und allen Vereinigungen endlicher Schnitte von Elementen von besteht. Somit ist eine Unterbasis der von ihr erzeugten Topologie.${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}};}$${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Subbasis

Siehe Subbase .

Unterdeckung

Ein Cover K ist ein Subcover (oder eine Untercovering ) eines Covers L , wenn jedes Element von K auch Element von L ist .

Unterdeckung

Siehe Untercover .

Submaximaler Raum

Ein topologischer Raum heißt submaximal, wenn jede seiner Teilmengen lokal abgeschlossen ist, das heißt, jede Teilmenge ist der Schnitt einer offenen Menge und einer abgeschlossenen Menge .

Hier einige Fakten zur Submaximalität als Eigenschaft topologischer Räume:

• Jeder Türraum ist submaximal.
• Jeder submaximale Raum ist schwach submaximal , d.h. jede endliche Menge ist lokal abgeschlossen.
• Jeder submaximale Raum ist unauflösbar . ^{[ 25 ]}

Unterraum

Ist T eine Topologie auf einem Raum X und A eine Teilmenge von X , so besteht die von T induzierte Unterraumtopologie auf A aus allen Schnittmengen offener Mengen in T mit A. Diese Konstruktion ist dual zur Konstruktion der Quotiententopologie.

Suslin-Linie

T ₀

Ein Raum heißt T ₀ (oder Kolmogorov ), wenn es für jedes Paar verschiedener Punkte x und y im Raum entweder eine offene Menge gibt, die x enthält , aber nicht y , oder eine offene Menge gibt, die y enthält , aber nicht x .

T ₁

Ein Raum heißt T₁ (oder Fréchet-Raum bzw. zugänglich ), wenn _es für jedes Paar verschiedener Punkte x und y im Raum eine offene Menge gibt, die x, aber nicht y enthält . (Vergleiche mit T₀ _; hier darf man festlegen, welcher Punkt in der offenen Menge enthalten sein soll.) Äquivalent dazu ist ein Raum T₁, _wenn alle seine einelementigen Mengen abgeschlossen sind. Jeder T₁ _- Raum ist auch _T₀ .

T ₂

Siehe Hausdorff-Raum .

T ₃

Siehe reguläres Hausdorff .

T _3½

Siehe Tychonoff-Raum .

T ₄

Siehe Norman Hausdorff .

T ₅

Siehe völlig normales Hausdorff .

Spitze

Siehe Kategorie der topologischen Räume .

θ-Clusterpunkt, θ-geschlossen, θ-offen

Ein Punkt x eines topologischen Raums X heißt θ-Clusterpunkt einer Teilmenge A , wenn für jede offene Umgebung U von x in X gilt: Die Teilmenge A heißt θ-abgeschlossen, wenn sie gleich der Menge ihrer θ-Clusterpunkte ist, und θ-offen, wenn ihr Komplement θ-abgeschlossen ist. ^{[ 23 ]}${\displaystyle A\cap \operatorname {Cl} _{X}(U)\neq \emptyset }$

Topologische Invariante

Eine topologische Invariante ist eine Eigenschaft, die unter Homöomorphismen erhalten bleibt. Beispielsweise sind Kompaktheit und Zusammenhang topologische Eigenschaften, Beschränktheit und Vollständigkeit hingegen nicht. Die algebraische Topologie befasst sich mit topologisch invarianten abstrakten Algebrakonstruktionen auf topologischen Räumen.

Topologischer Raum

Ein topologischer Raum ( X , T ) ist eine Menge X, die mit einer Familie T von Teilmengen von X ausgestattet ist , die die folgenden Axiome erfüllen :

1. Die leere Menge und X sind in T.
2. Die Vereinigung einer beliebigen Menge von Mengen in T ist auch in T.
3. Der Schnittpunkt zweier beliebiger Mengen in T ist ebenfalls in T.

Die Menge T ist eine Topologie auf X.

Topologische Summe

Siehe Koprodukt-Topologie .

Topologisch vollständig

Vollständig metrisierbare Räume (d. h. topologische Räume, die zu vollständigen metrischen Räumen homöomorph sind) werden oft als topologisch vollständig bezeichnet ; manchmal wird der Begriff auch für Čech-vollständige Räume oder vollständig uniformisierbare Räume verwendet .

Topologie

Siehe Topologischer Raum .

Vollständig begrenzt

Ein metrischer Raum M heißt total beschränkt, wenn es für jedes r > 0 eine endliche Überdeckung von M durch offene Kugeln mit Radius r gibt . Ein metrischer Raum heißt kompakt genau dann, wenn er vollständig und total beschränkt ist.

Völlig getrennt

Ein Raum ist völlig unzusammenhängend, wenn er keine zusammenhängende Teilmenge mit mehr als einem Punkt besitzt.

Triviale Topologie

Die triviale Topologie (oder indiskrete Topologie ) auf einer Menge X besteht genau aus der leeren Menge und dem gesamten Raum X.

Tychonoff

Ein Tychonoff-Raum (oder vollständig regulärer Hausdorff- Raum, vollständiger T³ _- Raum, T³ , _⁵- Raum) ist ein vollständig regulärer T⁰ _- Raum. (Ein vollständig regulärer Raum ist genau dann ein Hausdorff-Raum, wenn er _T⁰ ist ; die Terminologie ist also konsistent.) Jeder Tychonoff-Raum ist ein regulärer Hausdorff-Raum.

Hochvernetzt

Ein Raum heißt ultrazusammenhängend, wenn keine zwei nichtleeren abgeschlossenen Mengen disjunkt sind. ^{[ 13 ]} Jeder ultrazusammenhängende Raum ist wegzusammenhängend.

Ultrametric

Eine Metrik heißt ultrametrisch, wenn sie die folgende stärkere Version der Dreiecksungleichung erfüllt : für alle x , y , z in M ​​, d ( x , z ) ≤ max( d ( x , y ), d ( y , z )).

Einheitlicher Isomorphismus

Sind X und Y uniforme Räume , so ist ein uniformer Isomorphismus von X nach Y eine bijektive Funktion f  : X → Y , sodass f und f ^{− 1} gleichmäßig stetig sind . Die Räume heißen dann gleichmäßig isomorph und besitzen dieselben uniformen Eigenschaften .

Uniformisierbar /Uniformisierbar

Ein Raum ist uniformisierbar, wenn er homöomorph zu einem uniformen Raum ist.

Gleichförmiger Raum

Ein uniformer Raum ist eine Menge X , die mit einer nichtleeren Familie Φ von Teilmengen des kartesischen Produkts X × X ausgestattet ist , die die folgenden Axiome erfüllen :

1. Wenn U in Φ liegt, dann enthält U { ( x , x ) | x in X }.
2. Wenn U in Φ liegt, dann liegt auch { ( y , x ) | ( x , y ) in U } in Φ.
3. Wenn U in Φ liegt und V eine Teilmenge von X × X ist, die U enthält , dann liegt V in Φ.
4. Wenn U und V in Φ liegen, dann liegt U ∩ V in Φ.
5. Wenn U in Φ liegt, dann gibt es ein V in Φ, so dass, wann immer ( x , y ) und ( y , z ) in V liegen , dann ( x , z ) in U liegt .

Die Elemente von Φ werden als Umgebungen bezeichnet , und Φ selbst wird als uniforme Struktur auf X bezeichnet . Die uniforme Struktur induziert eine Topologie auf X , wobei die Basisumgebungen von x Mengen der Form { y  : ( x , y )∈ U } für U ∈Φ sind.

Einheitliche Struktur

Siehe Einheitlicher Raum .

Vietoris

Vietoris-Topologie

Schwache Topologie

Die schwache Topologie auf einer Menge bezüglich einer Familie von Funktionen von dieser Menge in topologische Räume ist die gröbste Topologie auf der Menge, die alle Funktionen stetig macht.

Schwächere Topologie

Siehe gröbere Topologie . Achtung: Einige Autoren, insbesondere Analysten , verwenden den Begriff stärkere Topologie .

schwach zählbar kompakt

Ein Raum heißt schwach abzählbar kompakt (oder Häufungspunktkompakt ), wenn jede unendliche Teilmenge einen Häufungspunkt besitzt.

schwach erblich

Eine Raumeigenschaft heißt schwach erblich, wenn jede abgeschlossene Unterraum eines Raumes diese Eigenschaft ebenfalls besitzt. Beispielsweise sind Kompaktheit und die Lindelöf-Eigenschaft beides schwach erbliche Eigenschaften, obwohl keine von ihnen erblich ist.

Gewicht

Das Gewicht eines Raumes X ist die kleinste Kardinalzahl κ, sodass X eine Basis der Kardinalzahl κ hat. (Man beachte, dass eine solche Kardinalzahl existiert, da die gesamte Topologie eine Basis bildet und die Klasse der Kardinalzahlen wohlgeordnet ist .)

Gut vernetzt

Siehe Ultra-vernetzt . (Einige Autoren verwenden diesen Begriff ausschließlich für ultra-vernetzte kompakte Räume.)

Nulldimensional

Ein Raum heißt nulldimensional , wenn er eine Basis aus clopen Mengen besitzt. ^{[ 26 ]}

• Naive Mengenlehre , Axiomatische Mengenlehre und Funktionen für Definitionen bezüglich Mengen und Funktionen.
• Topologie – eine kurze Geschichte und Beschreibung des Fachgebiets
• Topologische Räume für grundlegende Definitionen und Beispiele
• Liste allgemeiner Topologiethemen
• Liste von Beispielen in der allgemeinen Topologie

Topologiespezifische Konzepte

• Kompakter Raum
• Verbundener Raum
• Kontinuität
• Metrischer Raum
• Getrennte Sätze
• Trennungsaxiom
• Topologischer Raum
• Gleichförmiger Raum

Weitere Glossare

• Glossar der algebraischen Topologie
• Glossar der Differentialgeometrie und Topologie
• Glossar der Bereiche der Mathematik
• Glossar der Riemannschen und metrischen Geometrie

• Hart, Klaas Pieter; Nagata, Jun-iti; Vaughan, Jerry E. (2004). Enzyklopädie der allgemeinen Topologie . Sonst. ISBN 978-0-444-50355-8Die
• Kunen, Kenneth ; Vaughan, Jerry E. (Hrsg.) (1984). Handbuch der mengentheoretischen Topologie . North-Holland. ISBN 0-444-86580-2Die
• Nagata, Jun-iti (1985). Moderne allgemeine Topologie . Nordholländische Mathematische Bibliothek. Bd. 33 (2. überarbeitete Aufl.). Amsterdam-New York-Oxford: Nordholland. ISBN 0080933793. Zbl  0598.54001 .
• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1978). Gegenbeispiele in der Topologie ( Dover- Nachdruck der Ausgabe von 1978). Berlin, New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3MR  0507446 .​
• Vickers, Steven (1989). Topologie mittels Logik . Cambridge Tracts in Theoretic Computer Science. Band 5. ISBN 0-521-36062-5. Zbl  0668.54001 .
• Willard, Stephen (1970). Allgemeine Topologie . Addison-Wesley-Reihe Mathematik. Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-08707-9. Zbl  0205.26601 .Auch als Dover-Nachdruck erhältlich.

• Ein Glossar der Definitionen in der Topologie