Hilbert-Mannigfaltigkeit

In der Mathematik ist eine Hilbert-Mannigfaltigkeit eine Mannigfaltigkeit , die auf Hilberträumen basiert . Sie ist somit ein separabler Hausdorff-Raum , in dem jeder Punkt eine Umgebung besitzt, die zu einem unendlichdimensionalen Hilbert-Raum homöomorph ist . Das Konzept der Hilbert-Mannigfaltigkeit ermöglicht die Erweiterung der Mannigfaltigkeitstheorie auf unendlichdimensionale Fälle. Analog zum endlichdimensionalen Fall lässt sich eine differenzierbare Hilbert-Mannigfaltigkeit definieren, indem man einen maximalen Atlas betrachtet, dessen Übergangsabbildungen differenzierbar sind.

Viele grundlegende Konstruktionen der Mannigfaltigkeitstheorie, wie der Tangentialraum einer Mannigfaltigkeit und eine tubuläre Umgebung einer Untermannigfaltigkeit (endlicher Kodimension), lassen sich mit geringen Änderungen von endlichdimensionalen Fällen auf die Hilbert-Mannigfaltigkeit übertragen. Bei Aussagen über Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten muss man sich jedoch oft auf Fredholm-Abbildungen beschränken , also Abbildungen, deren Differential in jedem Punkt Fredholm-Abbildungen sind . Der Grund dafür ist, dass das Lemma von Sard nur für Fredholm-Abbildungen gilt. Ungeachtet dieses Unterschieds besitzen Hilbert-Mannigfaltigkeiten einige sehr interessante Eigenschaften.

• Satz von Kuiper :Ist ein kompakter topologischer Raum oder hat er den Homotopietyp eines CW-Komplexes , so ist jedes (reelle oder komplexe) Hilbertraumbündelübertrivial. Insbesondere ist jede Hilbertmannigfaltigkeit parallelisierbar .${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
• Jede glatte Hilbert-Mannigfaltigkeit kann glatt in eine offene Teilmenge des Modell-Hilbert-Raums eingebettet werden.
• Jede Homotopieäquivalenz zwischen zwei Hilbert-Mannigfaltigkeiten ist homotop zu einem Diffeomorphismus . Insbesondere sind je zwei homotopieäquivalente Hilbert-Mannigfaltigkeiten bereits diffeomorph. Dies steht im Gegensatz zu Linsenräumen und exotischen Sphären , die zeigen, dass im endlichdimensionalen Fall Homotopieäquivalenz, Homöomorphismus und Diffeomorphismus von Mannigfaltigkeiten unterschiedliche Eigenschaften sind.
• Obwohl der Satz von Sard im Allgemeinen nicht gilt, kann jede stetige Abbildung von einer Hilbert-Mannigfaltigkeit beliebig genau durch eine glatte Abbildung approximiert werden, die keine kritischen Punkte besitzt .${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle g:X\to \mathbb {R} ^{n}}$

• Jeder Hilbertraum ist eine Hilbertmannigfaltigkeit mit einer einzigen globalen Karte, die durch die Identitätsfunktion auf gegeben ist . Da ein Vektorraum ist, ist der Tangentialraum an in jedem Punkt kanonisch isomorph zu sich selbst und besitzt daher ein natürliches Skalarprodukt, das „dasselbe“ ist wie das auf . Somit kann die Struktur einer Riemannschen Mannigfaltigkeit mit Metrik gegeben werden, wobei das Skalarprodukt in bezeichnet.${\displaystyle H}$${\displaystyle H.}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \operatorname {T} _{p}H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle p\in H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H.}$${\displaystyle H}$$${\displaystyle g(v,w)(p):=\langle v,w\rangle _{H}{\text{ for }}v,w\in \mathrm {T} _{p}H,}$$${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle _{H}}$${\displaystyle H.}$
• In ähnlicher Weise ist jede offene Teilmenge eines Hilbertraums unter der gleichen Konstruktion wie für den gesamten Raum eine Hilbert-Mannigfaltigkeit und eine Riemannsche Mannigfaltigkeit.
• Es gibt mehrere Abbildungsräume zwischen Mannigfaltigkeiten, die als Hilberträume betrachtet werden können, indem man nur Abbildungen geeigneter Sobolev-Klassen betrachtet . Beispielsweise kann man den Raum aller Abbildungen vom Einheitskreis in eine Mannigfaltigkeit betrachten. Dieser lässt sich mithilfe der kompakten offenen Topologie als Unterraum des Raums aller stetigen Abbildungen vom Kreis in den freien Schleifenraum topologisieren. Der oben beschriebene Abbildungsraum vom Sobolev-Typ ist homotopieäquivalent zum freien Schleifenraum. Dies prädestiniert ihn für die Untersuchung der algebraischen Topologie des freien Schleifenraums, insbesondere im Bereich der Stringtopologie . Eine analoge Sobolev-Konstruktion lässt sich für den Schleifenraum durchführen , wodurch dieser zu einer Hilbert-Untermannigfaltigkeit der Kodimension von wird, wobei die Dimension von ist.${\displaystyle \operatorname {L} M}$${\displaystyle H^{1}}$${\displaystyle \mathbf {S} ^{1}}$${\displaystyle M.}$${\displaystyle M,}$${\displaystyle M.}$${\displaystyle \operatorname {L} M}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \operatorname {L} M,}$${\displaystyle d}$${\displaystyle M.}$

• Banachmannigfaltigkeit  – Mannigfaltigkeit, die auf Banachräumen basiert
• Differenzierung in Fréchet-Räumen
• Finsler-Mannigfaltigkeit  – Verallgemeinerung Riemannscher Mannigfaltigkeiten
• Fréchet-Krümmer
• Globale Analysis – die Hilbert-Mannigfaltigkeiten und andere Arten von unendlichdimensionalen Mannigfaltigkeiten verwendet

• Klingenberg, Wilhelm (1982), Riemannsche Geometrie , Berlin: W. de Gruyter, ISBN 978-3-11-008673-7Enthält eine allgemeine Einführung in Hilbert-Mannigfaltigkeiten und viele Details über den freien Schleifenraum.
• Lang, Serge (1995), Differential and Riemannian Manifolds , New York: Springer, ISBN 978-0387943381Eine weitere Einführung mit mehr differentieller Topologie.
• N. Kuiper, Der Homotopietyp der unitären Gruppe von Hilberträumen", Topology 3, 19-30
• J. Eells, K. D. Elworthy, „Zur Differentialtopologie von Hilbert-Mannigfaltigkeiten“, Globale Analysis. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, Band XV 1970, 41–44.
• J. Eells, KD Elworthy, „Offene Einbettungen bestimmter Banachmannigfaltigkeiten“, Annals of Mathematics 91 (1970), 465-485
• D. Chataur, „Ein bordistischer Ansatz zur Stringtopologie“, Preprint https://arxiv.org/abs/math.at/0306080

• Hilbert-Mannigfaltigkeit im Mannigfaltigkeitsatlas