Trachtenberg-System

Das Trachtenberg-System ist ein System für schnelles Kopfrechnen . Es besteht aus einer Reihe leicht zu merkender Operationen, die es ermöglichen, arithmetische Berechnungen sehr schnell durchzuführen. Entwickelt wurde es von dem ukrainisch-jüdischen Mathematiker und Ingenieur Jakow Trachtenberg, um sich während seiner Gefangenschaft in einem nationalsozialistischen Konzentrationslager zu beschäftigen .

Dieser Artikel stellt einige von Trachtenberg entwickelte Methoden vor. Einige der von Trachtenberg entwickelten Algorithmen dienen der allgemeinen Multiplikation, Division und Addition. Das Trachtenberg-System umfasst außerdem spezielle Verfahren zur Multiplikation kleiner Zahlen zwischen 5 und 13.

Der Abschnitt über die Addition zeigt eine effektive Methode zur Überprüfung von Berechnungen auf, die auch auf die Multiplikation angewendet werden kann.

Die Methode der allgemeinen Multiplikation zielt darauf ab, Multiplikationen mit geringer Speicherkomplexität durchzuführen , d. h. so wenige temporäre Ergebnisse wie möglich im Speicher zu halten. Dies wird dadurch erreicht, dass die letzte Ziffer vollständig durch Multiplikation der letzten Ziffern der Multiplikanden bestimmt wird . Dieses Ergebnis wird als temporäres Ergebnis gespeichert. Um die vorletzte Ziffer zu ermitteln, benötigen wir alle Faktoren, die diese Ziffer beeinflussen: das temporäre Ergebnis, das Produkt der letzten Ziffer von A und der vorletzten Ziffer von B sowie das Produkt der vorletzten Ziffer von B und der letzten Ziffer von C. Diese Berechnung wird durchgeführt, und wir erhalten ein temporäres Ergebnis, das in den letzten beiden Ziffern korrekt ist. ${\displaystyle a\times b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

Im Allgemeinen summieren wir für jede Position im Endergebnis alle Werte : ${\displaystyle n}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle a{\text{ (digit at }}i{\text{ )}}\times b{\text{ (digit at }}(ni){\text{)}}.}$

Man kann diesen Algorithmus lernen und so vierstellige Zahlen im Kopf multiplizieren – und nur das Endergebnis aufschreiben. Man würde es aufschreiben, beginnend mit der Ziffer ganz rechts und endend mit der Ziffer ganz links.

Trachtenberg definierte diesen Algorithmus mit einer Art paarweiser Multiplikation, bei der zwei Ziffern mit einer Ziffer multipliziert werden und im Wesentlichen nur die mittlere Ziffer des Ergebnisses beibehalten wird. Durch die Anwendung des obigen Algorithmus mit dieser paarweisen Multiplikation müssen noch weniger temporäre Ergebnisse gespeichert werden.

Beispiel:${\displaystyle 123456\times 789}$

Um die erste (rechteste) Ziffer des Ergebnisses zu finden, beginnt man mit der ersten Ziffer des Multiplikanden.

Die Einerstelle von ist${\displaystyle 9\times 6}$${\displaystyle 4.}$

Die erste Ziffer des Ergebnisses ist . Die Zehnerziffer wird ignoriert.${\displaystyle 4}$${\displaystyle 5}$

Um die zweite Ziffer des Ergebnisses zu finden, beginnt man mit der zweiten Ziffer des Multiplikanden:

Die Einerstelle von plus die Zehnerstelle von plus${\displaystyle 9\times 5}$${\displaystyle 9\times 6}$

Die Einerstelle von .${\displaystyle 8\times 6}$

${\displaystyle 5+5+8=18}$Die

Die zweite Ziffer des Ergebnisses ist und wird zur dritten Ziffer übertragen.${\displaystyle 8}$${\displaystyle 1}$

Um die dritte Ziffer des Ergebnisses zu finden, beginnt man mit der dritten Ziffer des Multiplikanden:

Die Einerstelle von plus die Zehnerstelle von plus${\displaystyle 9\times 4}$${\displaystyle 9\times 5}$

Die Einerstelle von plus die Zehnerstelle von plus${\displaystyle 8\times 5}$${\displaystyle 8\times 6}$

Die Einerstelle von${\displaystyle 7\times 6}$

${\displaystyle 1+6+4+0+4+2=17}$

Die dritte Ziffer des Ergebnisses ist und wird zur nächsten Ziffer übertragen.${\displaystyle 7}$${\displaystyle 1}$

Um die vierte Ziffer des Ergebnisses zu finden, beginnt man mit der vierten Ziffer des Multiplikanden:

Die Einerstelle von plus die Zehnerstelle von plus${\displaystyle 9\times 3}$${\displaystyle 9\times 4}$

Die Einerstelle von plus die Zehnerstelle von plus${\displaystyle 8\times 4}$${\displaystyle 8\times 5}$

Die Einerziffer von plus die Zehnerziffer von .${\displaystyle 7\times 5}$${\displaystyle 7\times 6}$

${\displaystyle 1+7+3+2+4+5+4=26}$Übertragen von der dritten Ziffer.

Die vierte Ziffer des Ergebnisses ist und wird zur nächsten Ziffer übertragen.${\displaystyle 6}$${\displaystyle 2}$

Fahren Sie mit der gleichen Methode fort, um die restlichen Ziffern zu erhalten.

Trachtenberg nannte dies die Zwei-Finger-Methode. Die Berechnungen zur Ermittlung der vierten Ziffer aus dem obigen Beispiel sind rechts dargestellt. Der Pfeil von der Neun zeigt immer auf die Ziffer des Multiplikanden direkt über der gesuchten Ziffer, die anderen Pfeile jeweils eine Ziffer weiter rechts. Jede Pfeilspitze zeigt auf ein Produktpaar. Der senkrechte Pfeil zeigt auf das Produkt, aus dem die Einerziffer hervorgeht, der schräge Pfeil auf das Produkt, aus dem die Zehnerziffern des Produktpaares hervorgehen. Zeigt ein Pfeil auf eine leere Stelle, wird er nicht berechnet. Um jede Ziffer zu ermitteln, werden die Pfeile über den Multiplikanden jeweils eine Ziffer nach links verschoben, bis alle Pfeile auf vorangestellte Nullen zeigen.

Die Division im Trachtenberg-System funktioniert ähnlich wie die Multiplikation, nur dass hier subtrahiert statt addiert wird. Man teilt den Dividenden in kleinere Teildividenden auf und teilt diese dann jeweils durch die erste Ziffer des Divisors. So erhält man das Ergebnis Ziffer für Ziffer. Bei jeder gelösten Ziffer subtrahiert man Produktpaare (UT-Paare) und Zehnerpaare (NT-Paare) vom Teildividenden, um den nächsten Teildividenden zu ermitteln. Die Produktpaare befinden sich zwischen den bisherigen Ziffern des Ergebnisses und dem Divisor. Ergibt die Subtraktion ein negatives Ergebnis , muss man eine Ziffer zurückgehen und diese Ziffer des Ergebnisses um eins verringern. Mit genügend Übung lässt sich diese Methode im Kopf durchführen.

Bei der Durchführung eines dieser Multiplikationsalgorithmen sollten die folgenden "Schritte" befolgt werden.

Die Lösung muss Ziffer für Ziffer ermittelt werden, beginnend mit der niedrigstwertigen Ziffer und von dort aus nach links. Die letzte Berechnung erfolgt anhand der führenden Null des Multiplikanden.

Jede Ziffer hat einen Nachbarn , d. h. die Ziffer rechts von ihr. Der Nachbar der Ziffer ganz rechts ist die nachfolgende Null .

Die Halbierungsoperation hat im Trachtenberg-System eine besondere Bedeutung. Sie bedeutet eigentlich „die Hälfte der Ziffer, abgerundet“, aber aus Zeitgründen wird Anwendern des Trachtenberg-Systems empfohlen, diesen Halbierungsvorgang sofort durchzuführen. Anstatt also zu denken „Die Hälfte von sieben ist dreieinhalb, also drei“, soll man sich „sieben, drei“ denken. Dies beschleunigt die Berechnung erheblich. Auf dieselbe Weise sollen die Tabellen für die Subtraktion von Ziffern von 10 oder 9 auswendig gelernt werden.

Und immer wenn die Regel das Addieren der Hälfte der Nachbarziffer vorsieht, addieren Sie 5, falls die aktuelle Ziffer ungerade ist. Dadurch wird der Verlust von 0,5 bei der Berechnung der nächsten Ziffer ausgeglichen.

Regel :

1. Multipliziere jede Ziffer mit 2 (mit Übertrag).

Beispiel: 8624 × 2

Von links nach rechts arbeiten:

8+8=16,

6+6=12 (Übertrag der 1),

2+2=4

4+4=8;

8624 × 2 = 17248

Beispiel: 76892 × 2

Von rechts nach links arbeiten:

7+7=14

6+6=12

8+8=16

9+9=18

2+2=4;

76892 × 2 = 153784

Regel:

1. Subtrahiere die Ziffer ganz rechts von 10.
2. Subtrahiere die verbleibenden Ziffern von 9.
3. Das Ergebnis verdoppeln.
4. Addiere die Hälfte der Ziffer des Nachbarn rechts, plus 5, falls die Ziffer ungerade ist.
5. Bei der führenden Null subtrahiert man 2 von der Hälfte der benachbarten Null.

Beispiel: 492 × 3 = 1476

Von rechts nach links arbeiten:

(10 − 2) × 2 + Halb von 0 (0) = 16. Schreibe 6, übertrage 1.

(9 − 9) × 2 + Hälfte von 2 (1) + 5 (da 9 ungerade ist) + 1 (Übertrag) = 7. Schreibe 7.

(9 − 4) × 2 + Hälfte von 9 (4) = 14. Schreibe 4, Übertrag 1.

Die Hälfte von 4 (2) − 2 + 1 (Übertrag) = 1. Schreibe 1.

Regel:

1. Subtrahiere die Ziffer ganz rechts von 10.
2. Subtrahiere die verbleibenden Ziffern von 9.
3. Addiere die Hälfte der Nachbarziffer, plus 5, falls die Ziffer ungerade ist.
4. Bei der führenden 0 subtrahiert man 1 von der Hälfte der benachbarten Ziffer.

Beispiel: 346 × 4 = 1384

Von rechts nach links arbeiten:

(10 − 6) + Halb von 0 (0) = 4. Schreibe 4.

(9 − 4) + Hälfte von 6 (3) = 8. Schreibe 8.

(9 − 3) + Hälfte von 4 (2) + 5 (da 3 ungerade ist) = 13. Schreibe 3, übertrage 1.

Die Hälfte von 3 (1) − 1 + 1 (übertragen) = 1. Schreibe 1.

Regel :

1. Nimm die Hälfte der Nachbarziffer und addiere dann 5, falls die aktuelle Ziffer ungerade ist.

Beispiel: 42 × 5 = 210

Die Hälfte des Nachbarn der 2, die nachfolgende Null, ist 0.

Die Hälfte des Nachbarn von 4 ist 1.

Die Hälfte des Nachbarn der führenden Null ist 2.

43 × 5 = 215

Die Hälfte des Nachbarn von 3 ist 0, plus 5, weil 3 ungerade ist, ist 5.

Die Hälfte des Nachbarn von 4 ist 1.

Die Hälfte des Nachbarn der führenden Null ist 2.

93 × 5 = 465

Die Hälfte des Nachbarn von 3 ist 0, plus 5, weil 3 ungerade ist, ist 5.

Die Hälfte des Nachbarn von 9 ist 1, plus 5, weil 9 ungerade ist, ist 6.

Die Hälfte des Nachbarn der führenden Null ist 4.

Regel:

1. Addiere zu jeder Ziffer die Hälfte der Nachbarziffer. Ist die aktuelle Ziffer ungerade, addiere 5.

Beispiel: 357 × 6 = 2142

Von rechts nach links:

Die 7 hat keinen Nachbarn, also addiere 5 (da 7 ungerade ist) = 12. Schreibe 2, übertrage die 1.

5 + die Hälfte von 7 (3) + 5 (da die Anfangsziffer 5 ungerade ist) + 1 (Übertrag) = 14. Schreibe 4, übertrage die 1.

3 + die Hälfte von 5 (2) + 5 (da 3 ungerade ist) + 1 (Übertrag) = 11. Schreibe 1, Übertrag 1.

0 + die Hälfte von 3 (1) + 1 (Übertrag) = 2. Schreibe 2.

Regel:

1. Verdopple jede Ziffer.
2. Addiere die Hälfte des Nachbarwertes rechts daneben (Dezimalstellen werden gegebenenfalls weggelassen). Der Nachbarwert der Einerposition ist 0.
3. Ist die Basisziffer gerade, addiere 0, andernfalls addiere 5.
4. Fügen Sie alle Überträge aus dem vorherigen Schritt hinzu.

Beispiel: 693 × 7 = 4.851

Von rechts nach links arbeiten:

(3×2) + 0 + 5 + 0 = 11 = Übertrag 1, Ergebnis 1.

(9×2) + 1 + 5 + 1 = 25 = Übertrag 2, Ergebnis 5.

(6×2) + 4 + 0 + 2 = 18 = Übertrag 1, Ergebnis 8.

(0×2) + 3 + 0 + 1 = 4 = Ergebnis 4.

Regel:

1. Die Ziffer ganz rechts von 10 abziehen.
   1. Subtrahiere die verbleibenden Ziffern von 9.
2. Das Ergebnis verdoppeln.
3. Füge den Nachbarn hinzu.
4. Bei der führenden Null subtrahiert man 2 von der benachbarten Null.

Beispiel: 456 × 8 = 3648

Von rechts nach links arbeiten:

(10 − 6) × 2 + 0 = 8. Schreibe 8.

(9 − 5) × 2 + 6 = 14, Schreibe 4, Übertrage 1.

(9 − 4) × 2 + 5 + 1 (Übertrag) = 16. Schreibe 6, Übertrag 1.

4 − 2 + 1 (Übertrag) = 3. Schreibe 3.

Regel:

1. Subtrahiere die Ziffer ganz rechts von 10.
   1. Subtrahiere die verbleibenden Ziffern von 9.
2. Addiere den Nachbarn zur Summe
3. Bei der führenden Null subtrahiert man 1 von der benachbarten Null.

Bei den Regeln 9, 8, 4 und 3 wird nur die erste Ziffer von 10 subtrahiert. Danach wird jede Ziffer stattdessen von neun subtrahiert.

Beispiel: 2.130 × 9 = 19.170

Von rechts nach links arbeiten:

(10 − 0) + 0 = 10. Schreibe 0, übertrage 1.

(9 − 3) + 0 + 1 (Übertrag) = 7. Schreibe 7.

(9 − 1) + 3 = 11. Schreibe 1, übertrage 1.

(9 − 2) + 1 + 1 (Übertrag) = 9. Schreibe 9.

2 − 1 = 1. Schreibe 1.

Füge 0 (Null) als letzte Ziffer hinzu.

Regel:

1. Addiere die Ziffer zu ihrer Nachbarziffer. (Mit „Nachbarziffer“ meinen wir die Ziffer rechts davon.)

Beispiel:${\displaystyle 3.425\times 11=37.675}$

(0 + 3) (3 + 4) (4 + 2) (2 + 5) (5 + 0)

3 7 6 7 5

Zur Veranschaulichung:

11=10+1

Daher,

${\displaystyle 3425\times 11=3425\times (10+1)}$

${\displaystyle \rightarrow 37675=34250+3425}$

Regel: Multiplikation mit 12 : Man beginnt mit der Ziffer ganz rechts, verdoppelt jede Ziffer und addiert die jeweils benachbarte Ziffer. (Die „Nachbarin“ ist die Ziffer rechts davon.)

Ist das Ergebnis größer als eine Ziffer, wird die zusätzliche Ziffer (eine 1 oder 2) einfach in die nächste Rechenoperation übernommen. Die verbleibende Ziffer ist eine Ziffer des Endergebnisses.

Beispiel:${\displaystyle 316\times 12}$

Bestimmen Sie die Nachbarn im Multiplikanden 0316:

• Die Ziffer 6 hat keinen rechten Nachbarn.
• Ziffer 1 hat Nachbar 6
• Ziffer 3 hat Nachbar 1
• Die Ziffer 0 (die vorangestellte Null) hat die Nachbarziffer 3.

${\displaystyle {\begin{aligned}6\times 2&=12{\text{ (2 carry 1) }}\\1\times 2+6+1&=9\\3\times 2+1&=7\\0\times 2+3&=3\\0\times 2+0&=0\\[10pt]316\times 12&=3,792\end{aligned}}}$

• Rushan Ziatdinov, Sajid Musa. Schnelles mentales Berechnungssystem als Werkzeug zur Entwicklung des algorithmischen Denkens von Grundschülern . European Researcher 25(7): 1105–1110, 2012 [1] .
• Das Trachtenberg-Schnellsystem der elementaren Mathematik von Jakow Trachtenberg, übersetzt von A. Cutler und R. McShane, wurde 1960 von Doubleday and Company, Inc. in Garden City, New York, veröffentlicht. ^{[ 1 ]}

Das Buch enthält spezifische algebraische Erklärungen für jede der oben genannten Operationen.

Der Großteil der Informationen in diesem Artikel stammt aus dem Originalbuch.

Die Algorithmen/Operationen für die Multiplikation usw. lassen sich auch auf andere, kompaktere Weise ausdrücken, die im Buch – trotz des Kapitels über algebraische Beschreibung – nicht näher erläutert werden. ^{[ a ]}

• Der amerikanische Film „Gifted“ aus dem Jahr 2017 dreht sich um ein Wunderkind , das im Alter von 7 Jahren ihre Lehrerin beeindruckt, indem sie mithilfe des Trachtenberg-Systems im Kopf rechnet. ^{[ 2 ]}

Es gibt viele weitere Rechenmethoden im Kopfrechnen. Hier sind einige weitere Methoden, auch wenn sie nicht rein mental sind:

• Bharati Krishna Tirthas Buch „Vedische Mathematik “
• Kopfrechnen mit dem Abakus – Sobald sich die Schüler an die Handhabung des Abakus mit den Fingern gewöhnt haben , werden sie üblicherweise aufgefordert, Berechnungen durch Visualisierung des Abakus im Kopf durchzuführen. Fast alle geübten Abakusnutzer sind im Kopfrechnen versiert.
• Chisanbop – ein in den 1940er Jahren von Koreanern entwickeltes System zum Fingerzählen und Rechnen

• Trachtenberg, J. (1960). Das Trachtenberg-Geschwindigkeitssystem der elementaren Mathematik . Doubleday and Company, Inc., Garden City, NY, USA.
• Катлер Э., Мак-Шейн Р. Система быстрого счёта по ТрахTENBERGу , 1967 (auf Russisch) .
• Rushan Ziatdinov, Sajid Musa. " Rapid Mental Computation System as a Tool for Algorithmic Thinking of Elementary School Students Development ", European Researcher 25(7): 1105–1110, 2012.

• Chandrashekhar, Kiran. „[Alles über] Mathematische Abkürzungen“, SapnaEdu.in in der Wayback Machine (archiviert am 30. Mai 2018)
• Gifted (Film aus dem Jahr 2017) – In diesem Film geht es mehr um das Trachtenberg-System , wobei Mckenna Grace , eine junge Künstlerin, die diese Technik erlernt hat, die Hauptrolle spielt.
• Akademie für Vedische Mathematik