Trialität

In der Mathematik bezeichnet Trialität eine Beziehung zwischen drei Vektorräumen , analog zur Dualitätsrelation zwischen dualen Vektorräumen . Sie beschreibt meist jene besonderen Eigenschaften des Dynkin-Diagramms D₄ und der zugehörigen Lie-Gruppe Spin(8) , der doppelten Überlagerung der achtdimensionalen Rotationsgruppe SO(8) , die sich daraus ergeben _, dass die Gruppe einen äußeren Automorphismus dritter Ordnung besitzt. Es gibt eine geometrische Version der Trialität, analog zur Dualität in der projektiven Geometrie .

Von allen einfachen Lie-Gruppen besitzt Spin(8) das symmetrischste Dynkin-Diagramm, D₄ _. Das Diagramm hat vier Knoten, wobei sich einer im Zentrum befindet und die anderen drei symmetrisch angeordnet sind. Die Symmetriegruppe des Diagramms ist die symmetrische Gruppe S₃ _, die durch Permutation der drei Beine wirkt. Dies führt zu einer S₃ _- Gruppe äußerer Automorphismen von Spin(8). Diese Automorphismengruppe permutiert die drei 8-dimensionalen irreduziblen Darstellungen von Spin(8): die Vektordarstellung und zwei chirale Spin- Darstellungen. Diese Automorphismen projizieren nicht auf Automorphismen von SO(8). Die Vektordarstellung – die natürliche Wirkung von SO(8) (und damit Spin(8)) auf F ⁸ – besteht über die reellen Zahlen der euklidischen 8-Vektoren und ist allgemein als der „definierende Modul“ bekannt, während die chiralen Spindarstellungen auch als „Halbspindarstellungen“ bekannt sind , und alle drei sind fundamentale Darstellungen .

Kein anderes zusammenhängendes Dynkin-Diagramm besitzt eine Automorphismengruppe der Ordnung größer als 2; für andere D _n (entsprechend anderen geraden Spin-Gruppen, Spin(2 n )) gibt es zwar noch den Automorphismus, der dem Vertauschen der beiden Halbspin-Darstellungen entspricht, aber diese sind nicht isomorph zur Vektordarstellung.

Grob gesagt führen Symmetrien des Dynkin-Diagramms zu Automorphismen des Tits-Gebäudes , die mit der Gruppe assoziiert sind. Für spezielle lineare Gruppen erhält man projektive Dualität. Für Spin(8) findet man ein interessantes Phänomen mit 1-, 2- und 4-dimensionalen Unterräumen des 8-dimensionalen Raums, das historisch als „geometrische Trialität“ bekannt ist.

Die außergewöhnliche 3-fache Symmetrie des D ₄ Diagramms führt auch zur Steinberg-Gruppe ³ D ₄ .

Eine Dualität zwischen zwei Vektorräumen über einem Körper F ist eine nicht-ausgeartete Bilinearform

${\displaystyle V_{1}\times V_{2}\to F,}$

d.h., für jeden von Null verschiedenen Vektor v in einem der beiden Vektorräume ist die Paarung mit v ein von Null verschiedenes lineares Funktional auf dem anderen.

Analog dazu ist eine Trialität zwischen drei Vektorräumen über einem Körper F eine nicht-ausgeartete Trilinearform.

${\displaystyle V_{1}\times V_{2}\times V_{3}\to F,}$

Das heißt, jeder von Null verschiedene Vektor in einem der drei Vektorräume induziert eine Dualität zwischen den beiden anderen.

Durch die Wahl von Vektoren e_{_i} in jedem V _{_i} , für die die Trilinearform den Wert 1 annimmt, stellen wir fest, dass die drei Vektorräume alle zueinander und zu ihren Dualräumen isomorph sind. Bezeichnet man diesen gemeinsamen Vektorraum mit V , so lässt sich die Trialität als bilineare Multiplikation ausdrücken.

${\displaystyle V\times V\to V}$

wobei jedes e _{_i} dem neutralen Element in V entspricht . Die Nicht-Entartungsbedingung impliziert nun, dass V eine Kompositionsalgebra ist . Daraus folgt, dass V die Dimension 1, 2, 4 oder 8 hat. Wenn weiterhin F = R gilt und die zur Identifizierung von V mit seinem Dual verwendeten Formeln positiv definit sind , dann ist V eine euklidische Hurwitz-Algebra und somit isomorph zu R , C , H oder  O.

Umgekehrt führen Kompositionsalgebren unmittelbar zu Trialitäten, indem man jedes V _i gleich der Algebra setzt und die Multiplikation mit dem inneren Produkt auf der Algebra kontrahiert , um eine Trilinearform zu erhalten.

Eine alternative Konstruktion von Trialitäten verwendet Spinoren in den Dimensionen 1, 2, 4 und 8. Der achtdimensionale Fall entspricht der Trialitätseigenschaft von Spin(8).

• Das Tripelprodukt könnte mit der vierdimensionalen Trialität (von Quaternionen ) zusammenhängen.

• John Frank Adams (1981), Spin(8), Triality, F ₄ and all that , in "Superspace and supergravity", herausgegeben von Stephen Hawking und Martin Roček, Cambridge University Press, Seiten 435–445.
• John Frank Adams (1996), Vorlesungen über außergewöhnliche Lie-Gruppen (Chicago Lectures in Mathematics), herausgegeben von Zafer Mahmud und Mamora Mimura, University of Chicago Press, ISBN 0-226-00527-5Die

• Knus, Max-Albert ; Merkurjev, Alexander ; Rost, Markus ; Tignol, Jean-Pierre (1998). Das Buch der Involutionen . Colloquium Publications. Band 44. Mit einem Vorwort von J. Tits . Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 0-8218-0904-0. Zbl  0955.16001 .
• Wilson, Robert (2009). Die endlichen einfachen Gruppen . Graduate Texts in Mathematics . Band 251. Springer-Verlag . ISBN 978-1-84800-987-5. Zbl  1203.20012 .

• Spinoren und Trialitäten von John Baez
• Triality mit Zometool von David Richter