Tucker-Zerlegung

In der Mathematik zerlegt die Tucker-Zerlegung einen Tensor in eine Menge von Matrizen und einen kleinen Kerntensor. Sie ist nach Ledyard R. Tucker ^{[ 1 ]} benannt, obwohl ihre Ursprünge auf Hitchcock aus dem Jahr 1927 zurückgehen ^{[ 2 ].} Ursprünglich als Drei-Moden-Erweiterung der Faktorenanalyse und der Hauptkomponentenanalyse beschrieben , lässt sie sich zur Analyse höherer Moden verallgemeinern, die auch als Singulärwertzerlegung höherer Ordnung (HOSVD) oder M-Mode-SVD bezeichnet wird . Der Algorithmus, auf den sich die Literatur üblicherweise bezieht, wenn sie die Tucker-Zerlegung oder die HOSVD diskutiert, ist der von Vasilescu und Terzopoulos ^{[ 3 ]} eingeführte M-Mode-SVD- Algorithmus, der fälschlicherweise Tucker oder De Lathauwer et al. zugeschrieben wird.

Es kann als ein flexibleres PARAFAC- Modell (Parallelfaktorenanalyse) betrachtet werden. Bei PARAFAC ist der Kerntensor auf die Diagonale beschränkt.

In der Praxis wird die Tucker-Zerlegung als Modellierungswerkzeug eingesetzt. Beispielsweise dient sie zur Modellierung von Daten mit drei (oder mehr) Dimensionen mithilfe einer relativ geringen Anzahl von Komponenten für jeden der drei oder mehr Modi. Die Komponenten sind über ein Kernarray mit drei (oder mehr) Dimensionen miteinander verbunden. Die Modellparameter werden so geschätzt, dass die modellierten Daten bei gegebener Anzahl von Komponenten die tatsächlichen Daten im Sinne der kleinsten Quadrate optimal abbilden. Das Modell liefert eine Zusammenfassung der in den Daten enthaltenen Informationen, analog zur Hauptkomponentenanalyse bei Daten mit zwei Dimensionen.

Für einen Tensor 3. Stufe , wobei entweder oder ist , lässt sich die Tucker-Zerlegung wie folgt darstellen: Hierbei ist der Kerntensor , ein Tensor 3. Stufe, der die singulären Werte des 1., 2. und 3. Modus von enthält . Diese sind definiert als die Frobeniusnorm der 1., 2. bzw. 3. Modus-Schnitte des Tensors . sind unitäre Matrizen in . Das k -Moden-Produkt ( k = 1, 2, 3) von mit wird mit den Einträgen als bezeichnet.${\displaystyle T\in F^{n_{1}\times n_{2}\times n_{3}}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$$${\displaystyle T={\mathcal {T}}\times _{1}U^{(1)}\times _{2}U^{(2)}\times _{3}U^{(3)}}$$${\displaystyle {\mathcal {T}}\in F^{d_{1}\times d_{2}\times d_{3}}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle U^{(1)},U^{(2)},U^{(3)}}$${\displaystyle F^{d_{1}\times n_{1}},F^{d_{2}\times n_{2}},F^{d_{3}\times n_{3}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle U^{(k)}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}\times U^{(k)}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {T}}\times _{1}U^{(1)})(i_{1},j_{2},j_{3})&=\sum _{j_{1}=1}^{d_{1}}{\mathcal \mathcal {T}}(j_{1},j_{2},j_{3})U^{(2)}(j_{2},i_{2})\\({\mathcal {T}}\times _{3}U^{(3)})(j_{1},j_{2},i_{3})&=\sum _{j_{3}=1}^{d_{3}}{\mathcal {T}}(j_{1},j_{2},j_{3})U^{(3)}(j_{3},i_{3})\end{aligned}}}$

Insgesamt lässt sich die Zerlegung auch direkter schreiben als

${\displaystyle T(i_{1},i_{2},i_{3})=\sum _{j_{1}=1}^{d_{1}}\sum _{j_{2}=1}^{d_{2}}\sum _{j_{3}=1}^{d_{3}}{\mathcal {T}}(j_{1},j_{2},j_{3})U^{(1)}(j_{1},i_{1})U^{(2)}(j_{2},i_{2})U^{(3)}(j_{3},i_{3})}$

Die Annahme , dass alle Größen gleich groß sind, genügt stets für eine exakte Darstellung, lässt sich aber oft durch die Wahl von komprimieren oder effizient approximieren . Eine gängige Wahl ist , die sich insbesondere bei großen Dimensionsunterschieden als effektiv erweisen kann. ${\displaystyle d_{i}=n_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle d_{i}<n_{i}}$${\displaystyle d_{1}=d_{2}=d_{3}=\min(n_{1},n_{2},n_{3})}$

Es gibt zwei Sonderfälle der Tucker-Zerlegung:

Tucker1 : Wenn und die Identität sind, dann${\displaystyle U^{(2)}}$${\displaystyle U^{(3)}}$${\displaystyle T={\mathcal {T}}\times _{1}U^{(1)}}$

Tucker2 : Wenn es sich um eine Identität handelt, dann . ${\displaystyle U^{(3)}}$${\displaystyle T={\mathcal {T}}\times _{1}U^{(1)}\times _{2}U^{(2)}}$

Die RESCAL- Zerlegung ^{[ 4 ]} kann als Spezialfall der Tucker-Zerlegung betrachtet werden, wobei die Identität ist und gleich ist . ${\displaystyle U^{(3)}}$${\displaystyle U^{(1)}}$${\displaystyle U^{(2)}}$

• Singulärwertzerlegung höherer Ordnung
• Multilineare Hauptkomponentenanalyse