Matrixnorm

In der Mathematik ist eine Norm allgemein eine Funktion, die einen Vektorraum auf nichtnegative Zahlen abbildet. Besteht der Vektorraum aus Matrizen , spricht man von Matrixnormen . Matrixnormen verhalten sich in gewisser Weise ähnlich wie der Abstand von der Nullmatrix . Sie unterscheiden sich von allgemeinen Normen dadurch, dass sie in gewisser Hinsicht auch mit der Matrixmultiplikation interagieren .

Es lassen sich viele spezifische Matrixnormen definieren. Die meisten von ihnen ergeben sich aus den folgenden drei Perspektiven, obwohl unterschiedliche Perspektiven manchmal zur gleichen Norm führen können.

• Betrachtet man die Matrix als linearen Operator , so kann eine Matrixnorm beschreiben, wie stark der Operator Vektoren strecken kann. Solche durch Vektornormen induzierten Matrixnormen werden Operatornormen genannt .
• Man kann sich die Matrix als rechteckiges Zahlenfeld vorstellen; dann lässt sich eine Matrixnorm als eine bestimmte Summe ihrer Einträge definieren. Solche Matrixnormen werden auch als „eintragsbezogene“ Normen bezeichnet .
• Die Singulärwertzerlegung ist nützlich zur Analyse von Matrizen. Die Vektornorm der Singulärwerte einer Matrix kann als Matrixnorm verwendet werden. Solche Normen werden Schattennormen genannt .

Matrixnormen werden oft durch doppelte senkrechte Striche mit optionalen Indizes (z. B. oder ) gekennzeichnet. Die Bedeutung des Index kann jedoch variieren, da Matrixnormen aus verschiedenen Perspektiven auf unterschiedliche Weise mit -Normen in Beziehung stehen . ${\displaystyle \|A\|}$${\displaystyle \|A\|_{2}}$${\displaystyle \ell ^{p}}$

Matrixnormen aus verschiedenen Perspektiven

Betreibernormen	„Eintrittsnormen“	Schattennormen	Auch bekannt als
induziert aus der -Norm${\displaystyle \ell ^{1}}$	maximale Spaltensumme
		${\displaystyle \ell ^{1}}$-Norm (Summe der Singulärwerte)	nukleare Norm
	Quadratwurzel der Summe der Quadrate	${\displaystyle \ell ^{2}}$-Norm von Singularwerten	Frobeniusnorm
induziert aus der -Norm${\displaystyle \ell ^{2}}$		${\displaystyle \ell ^{\infty }}$-Norm (der größte Singulärwert)	Spektralnorm
induziert aus der -Norm${\displaystyle \ell ^{\infty }}$	maximale Zeilensumme

Gegeben sei ein Körper der reellen oder komplexen Zahlen (oder eine beliebige vollständige Teilmenge davon). Sei der K - Vektorraum der Matrizen mit Zeilen und Spalten und Einträgen im Körper . Eine Matrixnorm ist eine Norm auf .${\displaystyle \ K\ }$${\displaystyle \ K^{m\times n}\ }$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \ K~.}$${\displaystyle \ K^{m\times n}~.}$

Die Matrixnorm ist eine Funktion , die folgende Eigenschaften erfüllen muss: ^{[ 1 ] [ 2 ]}${\displaystyle \ \|\cdot \|:K^{m\times n}\to \mathbb {R} ^{0+}\ }$

Für alle Skalare und Matrizen${\displaystyle \ \alpha \in K\ }$${\displaystyle \ A,B\in K^{m\times n}\ ,}$

• ${\displaystyle \|A\|\geq 0\ }$( positiv )
• ${\displaystyle \|A\|=0\iff A=0_{m,n}}$( definitiv )
• ${\displaystyle \left\|\alpha \ A\right\|=\left|\alpha \right|\ \left\|A\right\|\ }$( absolut homogen )
• ${\displaystyle \|A+B\|\leq \|A\|+\|B\|\ }$( subadditiv oder die Dreiecksungleichung erfüllend )

Das einzige Merkmal, das Matrizen von umgeordneten Vektoren unterscheidet, ist die Multiplikation . Matrixnormen sind besonders nützlich, wenn sie auch submultiplikativ sind : ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

• ${\displaystyle \ \left\|AB\right\|\leq \left\|A\right\|\left\|B\right\|\ }$^{[ A ]}

Jede Norm kann so umskaliert werden, dass sie submultiplikativ ist; in einigen Büchern wird der Begriff Matrixnorm für submultiplikative Normen verwendet. ^{[ 4 ]}${\displaystyle \ K^{n\times n}\ }$

Eine Matrixnorm heißt unitär invariant, wenn für alle unitären Matrizen und Matrix , . ${\displaystyle U,V}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \lVert UAV\rVert =\lVert A\rVert }$

Eine symmetrische Eichfunktion ist eine absolute Vektornorm , sodass für jede Permutationsmatrix gilt: ${\displaystyle \phi :\mathbb {C} ^{p}\to \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \phi (Px)=\phi (x)}$${\displaystyle P}$

• Nichtnegativität: , und genau dann, wenn .${\displaystyle \phi (x)\geq 0}$${\displaystyle \phi (x)=0}$${\displaystyle x=0}$
• Positive Homogenität: für jede reelle Zahl .${\displaystyle \phi (\alpha x)=|\alpha |\phi (x)}$${\displaystyle \alpha }$
• Dreiecksungleichung: .${\displaystyle \phi (x+y)\leq \phi (x)+\phi (y)}$
• Symmetrie: für jede Permutationsmatrix .${\displaystyle \phi (Px)=\phi (x)}$${\displaystyle P}$

Eine Norm heißt genau dann unitär invariante Matrixnorm, wenn sie eine symmetrische Eichfunktion auf dem Vektor der Singulärwerte ist. ^{[ 4 ]}

Eine Matrixnorm auf heißt konsistent mit einer Vektornorm auf und einer Vektornorm auf , wenn gilt: für alle und alle . Im Spezialfall m = n und heißt außerdem kompatibel mit . ${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle K^{m\times n}}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$${\displaystyle K^{m}}$$${\displaystyle \left\|Ax\right\|_{\beta }\leq \left\|A\right\|\left\|x\right\|_{\alpha }}$$${\displaystyle A\in K^{m\times n}}$${\displaystyle x\in K^{n}}$${\displaystyle \alpha =\beta }$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$

Alle durch Vektornormen induzierten Matrixnormen sind per Definition konsistent. Außerdem induziert jede submultiplikative Matrixnorm auf eine kompatible Vektornorm auf , indem man definiert . ${\displaystyle K^{n\times n}}$${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle \left\|v\right\|:=\left\|\left(v,v,\dots ,v\right)\right\|}$

Eine Matrixnorm heißt monoton , wenn sie bezüglich der Loewner-Ordnung monoton ist . Demnach ist eine Matrixnorm steigend, wenn sie monoton mit der Loewner-Ordnung konvergiert.${\displaystyle \|\cdot \|}$

${\displaystyle A\preccurlyeq B\Rightarrow \|A\|\leq \|B\|.}$

Die Frobeniusnorm und die Spektralnorm sind Beispiele für monotone Normen. ^{[ 5 ]}

Seien eine Vektornorm auf und eine Vektornorm auf gegeben. Jede Matrix A induziert einen linearen Operator von nach bezüglich der Standardbasis. Die entsprechende induzierte Norm ( Operatornorm oder Subordinalnorm) auf dem Raum aller Matrizen ist wie folgt definiert: wobei das Supremum bezeichnet. Diese Norm misst , wie stark die durch induzierte Abbildung Vektoren strecken kann. Abhängig von den verwendeten Vektornormen kann für die Operatornorm eine andere Notation als verwendet werden.${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$${\displaystyle K^{m}}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle K^{m}}$${\displaystyle K^{m\times n}}$${\displaystyle m\times n}$$${\displaystyle \|A\|_{\alpha ,\beta }=\sup\{\|Ax\|_{\beta }:x\in K^{n}{\text{ such that }}\|x\|_{\alpha }\leq 1\}}$$${\displaystyle \sup }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha ,\beta }}$

Wird die p -Norm für Vektoren ( ) für beide Räume verwendet , so ergibt sich die entsprechende Operatornorm zu: ^{[ 2 ]} Diese induzierten Normen unterscheiden sich von den unten behandelten „elementweisen“ p- Normen und den Schatten- p- Normen für Matrizen, die üblicherweise ebenfalls mit bezeichnet werden.${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle K^{m},}$$${\displaystyle \|A\|_{p}=\sup\{\|Ax\|_{p}:x\in K^{n}{\text{ such that }}\|x\|_{p}\leq 1\}.}$$${\displaystyle \|A\|_{p}.}$

Geometrisch betrachtet kann man sich eine Einheitskugel mit p -Norm in vorstellen und die lineare Abbildung auf diese Kugel anwenden. Sie würde dann zu einer verzerrten konvexen Form werden , und der längste „Radius“ dieser verzerrten konvexen Form wird gemessen. Anders ausgedrückt: Wir müssen eine Einheitskugel mit p -Norm in nehmen und sie dann mit mindestens multiplizieren , damit sie groß genug ist, um zu enthalten . ${\displaystyle V_{p,n}=\{x\in K^{n}:\|x\|_{p}\leq 1\}}$${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle AV_{p,n}\subset K^{m}}$${\displaystyle \|A\|_{p}}$${\displaystyle V_{p,m}}$${\displaystyle K^{m}}$${\displaystyle \|A\|_{p}}$${\displaystyle AV_{p,n}}$

Wenn wir einfache Formeln haben. ${\displaystyle \ p=1\ ,}$${\displaystyle \ p=\infty \ ,}$

$${\displaystyle \|A\|_{1}=\max _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{m}\left|a_{ij}\right|\ ,}$$

Dies ist einfach die maximale absolute Spaltensumme der Matrix. Dies ist einfach die maximale absolute Zeilensumme der Matrix. $${\displaystyle \|A\|_{\infty }=\max _{1\leq i\leq m}\sum _{j=1}^{n}\left|a_{ij}\right|\ ,}$$

Zum Beispiel haben wir Folgendes: $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}-3&5&7\\~~2&6&4\\~~0&2&8\\\end{bmatrix}}\ ,}$$$${\displaystyle \|A\|_{1}=\max {\bigl \{}\ |{-3}|+2+0\ ,~5+6+2\ ,~7+4+8\ {\bigr \}}=\max {\bigl \{}\ 5\ ,~13\ ,~19\ {\bigr \}}=19\ ,}$$$${\displaystyle \|A\|_{\infty }=\max {\bigl \{}\ |{-3}|+5+7\ ,~2+6+4\ ,~0+2+8\ {\bigr \}}=\max {\bigl \{}\ 15\ ,~12\ ,~10\ {\bigr \}}=15~.}$$

Wenn die euklidische Norm ( bzw. -Norm für Vektoren) verwendet wird, ist die induzierte Matrixnorm die Spektralnorm . Die Spektralnorm ist nicht mit dem Spektralradius zu verwechseln . Die beiden Werte stimmen in unendlichen Dimensionen nicht überein – siehe Spektralradius für weitere Erläuterungen. Die Spektralnorm einer Matrix ist der größte Singulärwert von , d. h. die Quadratwurzel des größten Eigenwerts der Matrix , wobei die konjugiert Transponierte von bezeichnet : ^{[ 6 ]} wobei den größten Singulärwert der Matrix darstellt.${\displaystyle p=2}$${\displaystyle \ell _{2}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{*}A,}$${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle \|A\|_{2}={\sqrt {\lambda _{\max }\left(A^{*}A\right)}}=\sigma _{\max }(A).}$$${\displaystyle \sigma _{\max }(A)}$${\displaystyle A.}$

Es gibt weitere Eigenschaften:

• ${\textstyle \|A\|_{2}=\sup\{x^{*}Ay:x\in K^{m},y\in K^{n}{\text{ with }}\|x\|_{2}=\|y\|_{2}=1\}.}$Bewiesen durch die Cauchy-Schwarz-Ungleichung .
• ${\textstyle \|A^{*}A\|_{2}=\|AA^{*}\|_{2}=\|A\|_{2}^{2}}$. Bewiesen durch Singulärwertzerlegung (SVD) auf .${\displaystyle A}$
• ${\textstyle \|A\|_{2}=\sigma _{\mathrm {max} }(A)\leq \|A\|_{\rm {F}}={\sqrt {\sum _{i}\sigma _{i}(A)^{2}}}}$, wobei die Frobeniusnorm ist . Gleichheit gilt genau dann, wenn die Matrix eine Matrix vom Rang eins oder eine Nullmatrix ist.${\displaystyle \|A\|_{\textrm {F}}}$${\displaystyle A}$
• Umgekehrt gilt: .${\displaystyle \|A\|_{\textrm {F}}\leq \min(m,n)^{1/2}\|A\|_{2}}$

• ${\displaystyle \|A\|_{2}={\sqrt {\rho (A^{*}A)}}\leq {\sqrt {\|A^{*}A\|_{\infty }}}\leq {\sqrt {\|A\|_{1}\|A\|_{\infty }}}}$Die

Wir können die obige Definition verallgemeinern. Angenommen, wir haben Vektornormen und für Räume bzw. ; die entsprechende Operatornorm ist . Insbesondere ist die zuvor definierte Norm der Spezialfall von . ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle K^{m}}$$${\displaystyle \|A\|_{\alpha ,\beta }=\sup\{\|Ax\|_{\beta }:x\in K^{n}{\text{ such that }}\|x\|_{\alpha }\leq 1\}}$$${\displaystyle \|A\|_{p}}$${\displaystyle \|A\|_{p,p}}$

In den Spezialfällen und können die induzierten Matrixnormen durch berechnet werden, wobei die i-te Zeile der Matrix ist . ${\displaystyle \alpha =2}$${\displaystyle \beta =\infty }$$${\displaystyle \|A\|_{2,\infty }=\max _{1\leq i\leq m}\|A_{i:}\|_{2},}$$${\displaystyle A_{i:}}$${\displaystyle A}$

In den Spezialfällen und können die induzierten Matrixnormen durch berechnet werden, wobei die j-te Spalte der Matrix ist . ${\displaystyle \alpha =1}$${\displaystyle \beta =2}$$${\displaystyle \|A\|_{1,2}=\max _{1\leq j\leq n}\|A_{:j}\|_{2},}$$${\displaystyle A_{:j}}$${\displaystyle A}$

Daher sind und die maximale Zeilen- bzw. Spaltennorm der Matrix. ${\displaystyle \|A\|_{2,\infty }}$${\displaystyle \|A\|_{1,2}}$

Jede Operatornorm ist konsistent mit den Vektornormen, die sie induzieren, und ergibt $${\displaystyle \|Ax\|_{\beta }\leq \|A\|_{\alpha ,\beta }\|x\|_{\alpha }.}$$

Seien ; ; und Operatornormen, die durch die jeweiligen Paare von Vektornormen ; ; und induziert werden . Dann gilt: ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha ,\beta }}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta ,\gamma }}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha ,\gamma }}$${\displaystyle (\|\cdot \|_{\alpha },\|\cdot \|_{\beta })}$${\displaystyle (\|\cdot \|_{\beta },\|\cdot \|_{\gamma })}$${\displaystyle (\|\cdot \|_{\alpha },\|\cdot \|_{\gamma })}$

${\displaystyle \|AB\|_{\alpha ,\gamma }\leq \|A\|_{\beta ,\gamma }\|B\|_{\alpha ,\beta };}$

Dies folgt aus und $${\displaystyle \|ABx\|_{\gamma }\leq \|A\|_{\beta ,\gamma }\|Bx\|_{\beta }\leq \|A\|_{\beta ,\gamma }\|B\|_{\alpha ,\beta }\|x\|_{\alpha }}$$$${\displaystyle \sup _{\|x\|_{\alpha }=1}\|ABx\|_{\gamma }=\|AB\|_{\alpha ,\gamma }.}$$

Sei eine Operatornorm auf dem Raum der quadratischen Matrizen, die durch Vektornormen und induziert wird . Dann ist die Operatornorm eine submultiplikative Matrixnorm: ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha ,\alpha }}$${\displaystyle K^{n\times n}}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$$${\displaystyle \|AB\|_{\alpha ,\alpha }\leq \|A\|_{\alpha ,\alpha }\|B\|_{\alpha ,\alpha }.}$$

Darüber hinaus erfüllt jede solche Norm die Ungleichung

$${\displaystyle (\|A^{r}\|_{\alpha ,\alpha })^{1/r}\geq \rho (A)}$$

1

Für alle positiven ganzen Zahlen r gilt ρ ( A ) , wobei ρ (A ) der Spektralradius von A ist . Für symmetrische oder hermitesche Matrizen A gilt Gleichung ( 1 ) für die 2-Norm, da diese in diesem Fall genau dem Spektralradius von A entspricht . Für beliebige Matrizen kann die Gleichheit für keine Norm gelten; ein Gegenbeispiel wäre eine Matrix mit verschwindendem Spektralradius. In jedem Fall gilt für jede Matrixnorm die Formel für den Spektralradius : $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},}$$$${\displaystyle \lim _{r\to \infty }\|A^{r}\|^{1/r}=\rho (A).}$$

Sind die Vektornormen und durch Energienormen basierend auf symmetrischen positiv definiten Matrizen bzw. gegeben , so ergibt sich die resultierende Operatornorm wie folgt: ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$$${\displaystyle \|A\|_{P,Q}=\sup\{\|Ax\|_{Q}:\|x\|_{P}\leq 1\}.}$$

Unter Verwendung der symmetrischen Matrixquadratwurzeln von bzw. kann die Operatornorm als Spektralnorm einer modifizierten Matrix ausgedrückt werden: ${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

$${\displaystyle \|A\|_{P,Q}=\|Q^{1/2}AP^{-1/2}\|_{2}.}$$

Diese Normen behandeln eine Matrix als Vektor der Größe n und verwenden eine der bekannten Vektornormen. Beispielsweise erhalten wir bei Verwendung der p -Norm für Vektoren mit p ≥ 1 : ${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle m\cdot n}$

${\displaystyle \|A\|_{p,p}=\|\mathrm {vec} (A)\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{p}\right)^{1/p}}$

Dies ist eine andere Norm als die induzierte p -Norm (siehe oben) und die Schatten -p- Norm (siehe unten), aber die Notation ist dieselbe.

Der Spezialfall p = 2 ist die Frobeniusnorm, und p = ∞ ergibt die Maximumnorm.

Sei die Dimension m Spalten der Matrix . Gemäß der ursprünglichen Definition repräsentiert die Matrix n Datenpunkte in einem m- dimensionalen Raum. Die Norm ^{[ 7 ]} ist die Summe der euklidischen Normen der Spalten der Matrix: ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle L_{2,1}}$

${\displaystyle \|A\|_{2,1}=\sum _{j=1}^{n}\|a_{j}\|_{2}=\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|^{2}\right)^{1/2}}$

Die Norm als Fehlerfunktion ist robuster, da der Fehler für jeden Datenpunkt (eine Spalte) nicht quadriert wird. Sie wird in der robusten Datenanalyse und beim Sparse Coding verwendet . ${\displaystyle L_{2,1}}$

Für p , q ≥ 1 kann die Norm wie folgt verallgemeinert werden :${\displaystyle L_{2,1}}$${\displaystyle L_{p,q}}$

${\displaystyle \|A\|_{p,q}=\left(\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|^{p}\right)^{\frac {q}{p}}\right)^{\frac {1}{q}}.}$

Wenn p = q = 2 für die Norm gilt, wird sie als Frobeniusnorm oder Hilbert-Schmidt-Norm bezeichnet , wobei letztere Bezeichnung häufiger im Kontext von Operatoren auf (möglicherweise unendlichdimensionalen) Hilberträumen verwendet wird . Diese Norm kann auf verschiedene Weisen definiert werden: ${\displaystyle L_{p,q}}$

${\displaystyle \|A\|_{\text{F}}={\sqrt {\sum _{i}^{m}\sum _{j}^{n}|a_{ij}|^{2}}}={\sqrt {\operatorname {trace} \left(A^{*}A\right)}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{\min\{m,n\}}\sigma _{i}^{2}(A)}},}$

Die Spur ist die Summe der Diagonalelemente, und sind die Singulärwerte von . Die zweite Gleichheit wird durch explizite Berechnung von bewiesen . Die dritte Gleichheit wird durch Singulärwertzerlegung von und der Tatsache bewiesen, dass die Spur invariant unter zyklischen Verschiebungen ist. ${\displaystyle \sigma _{i}(A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathrm {trace} (A^{*}A)}$${\displaystyle A}$

Die Frobeniusnorm ist eine Erweiterung der euklidischen Norm auf den Raum aller Matrizen und leitet sich vom Frobenius-Skalarprodukt auf dem Raum aller Matrizen ab. ${\displaystyle K^{n\times n}}$

Die Frobeniusnorm ist submultiplikativ und sehr nützlich für die numerische lineare Algebra . Die Submultiplikativität der Frobeniusnorm lässt sich mithilfe der Cauchy-Schwarz-Ungleichung beweisen . Tatsächlich ist sie sogar mehr als submultiplikativ, da die Operatornorm … $${\displaystyle \|AB\|_{F}\leq \|A\|_{op}\|B\|_{F}}$$${\displaystyle \|\cdot \|_{op}\leq \|\cdot \|_{F}}$

Die Frobeniusnorm ist oft einfacher zu berechnen als induzierte Normen und besitzt die nützliche Eigenschaft, invariant unter Rotationen (und allgemein unitären Operationen) zu sein. Das heißt, für jede unitäre Matrix . Diese Eigenschaft folgt aus der zyklischen Natur der Spur ( ): ${\displaystyle \|A\|_{\text{F}}=\|AU\|_{\text{F}}=\|UA\|_{\text{F}}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \operatorname {trace} (XYZ)=\operatorname {trace} (YZX)=\operatorname {trace} (ZXY)}$

${\displaystyle \|AU\|_{\text{F}}^{2}=\operatorname {trace} \left((AU)^{*}AU\right)=\operatorname {trace} \left(U^{*}A^{*}AU\right)=\operatorname {trace} \left(UU^{*}A^{*}A\right)=\operatorname {trace} \left(A^{*}A\right)=\|A\|_{\text{F}}^{2},}$

und analog dazu:

${\displaystyle \|UA\|_{\text{F}}^{2}=\operatorname {trace} \left((UA)^{*}UA\right)=\operatorname {trace} \left(A^{*}U^{*}UA\right)=\operatorname {trace} \left(A^{*}A\right)=\|A\|_{\text{F}}^{2},}$

wobei wir die unitäre Natur von (das heißt, ) genutzt haben . ${\displaystyle U}$${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=\mathbf {I} }$

Es erfüllt auch

${\displaystyle \|A^{*}A\|_{\text{F}}=\|AA^{*}\|_{\text{F}}\leq \|A\|_{\text{F}}^{2}}$

Und

${\displaystyle \|A+B\|_{\text{F}}^{2}=\|A\|_{\text{F}}^{2}+\|B\|_{\text{F}}^{2}+2\operatorname {Re} \left(\langle A,B\rangle _{\text{F}}\right),}$

wobei das Frobenius-Skalarprodukt ist und Re der Realteil einer komplexen Zahl (für reelle Matrizen irrelevant). ${\displaystyle \langle A,B\rangle _{\text{F}}}$

Die Maxnorm ist die elementweise Norm im Grenzwert, wenn p = q gegen unendlich strebt:

${\displaystyle \|A\|_{\max }=\max _{i,j}|a_{ij}|.}$

Diese Norm ist nicht submultiplikativ ; aber durch Modifizierung der rechten Seite wird sie es. ${\displaystyle {\sqrt {mn}}\max _{i,j}\vert a_{ij}\vert }$

Zu beachten ist, dass in einigen Publikationen (wie z. B. Communication complexity ) eine alternative Definition der Max-Norm, auch -Norm genannt, verwendet wird, die sich auf die Faktorisierungsnorm bezieht: ${\displaystyle \gamma _{2}}$

${\displaystyle \gamma _{2}(A)=\min _{U,V:A=UV^{T}}\|U\|_{2,\infty }\|V\|_{2,\infty }=\min _{U,V:A=UV^{T}}\max _{i,j}\|U_{i,:}\|_{2}\|V_{j,:}\|_{2}}$

Die Schatten -p -Normen entstehen durch Anwendung der p -Norm auf den Vektor der Singulärwerte einer Matrix. ^{[ 2 ]} Bezeichnet man die Singulärwerte der Matrix mit σ_{_i} , so ist die Schatten- p -Norm definiert durch ${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \|A\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{\min\{m,n\}}\sigma _{i}^{p}(A)\right)^{1/p}.}$

Diese Normen teilen zwar die Notation mit den induzierten und den entrywise p- Normen, sind aber dennoch unterschiedlich.

Alle Schattennormen sind submultiplikativ. Sie sind außerdem unitär invariant, was bedeutet, dass für alle Matrizen und alle unitären Matrizen und gilt . ${\displaystyle \|A\|=\|UAV\|}$${\displaystyle A}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$

Die bekanntesten Fälle sind p = 1, 2, ∞. Der Fall p = 2 liefert die bereits eingeführte Frobeniusnorm. Der Fall p = ∞ liefert die Spektralnorm, die Operatornorm, die durch die Vektor-2-Norm induziert wird (siehe oben). Schließlich liefert p = 1 die Nuklearnorm (auch bekannt als Spurnorm oder Ky-Fan -'n'-Norm ^{[ 8 ]} ), definiert als:

${\displaystyle \|A\|_{*}=\operatorname {trace} \left({\sqrt {A^{*}A}}\right)=\sum _{i=1}^{\min\{m,n\}}\sigma _{i}(A),}$

Dabei bezeichnet eine positiv semidefinite Matrix mit . Genauer gesagt, da eine positiv semidefinite Matrix ist , ist ihre Quadratwurzel wohldefiniert. Die Nuklearnorm ist eine konvexe Hülle der Rangfunktion und wird daher häufig in der mathematischen Optimierung zur Suche nach Matrizen niedrigen Rangs verwendet. ${\displaystyle {\sqrt {A^{*}A}}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle BB=A^{*}A}$${\displaystyle A^{*}A}$${\displaystyle \|A\|_{*}}$${\displaystyle {\text{rank}}(A)}$

Die Kombination der Spurungleichung von Neumann mit der Hölder-Ungleichung für den euklidischen Raum ergibt eine Version der Hölder-Ungleichung für Schattennormen für : ${\displaystyle 1/p+1/q=1}$

${\displaystyle \left|\operatorname {trace} (A^{*}B)\right|\leq \|A\|_{p}\|B\|_{q},}$

Dies impliziert insbesondere die Schattennorm-Ungleichung

${\displaystyle \|A\|_{F}^{2}\leq \|A\|_{p}\|A\|_{q}.}$

Eine weitere Inspirationsquelle für Matrixnormen ergibt sich aus der Betrachtung einer Matrix als Adjazenzmatrix eines gewichteten , gerichteten Graphen . ^{[ 9 ]} Die sogenannte „Schnittnorm“ misst, wie nahe der zugehörige Graph an der Bipartitheit liegt : wobei A ∈ K ^{^{m × n}} . ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]} Äquivalente Definitionen (bis auf einen konstanten Faktor) fordern die Bedingungen 2| S | > n & 2| T | > ​​m ; S = T ; oder S ∩ T = ∅ . ^{[ 10 ]}$${\displaystyle \|A\|_{\Box }=\max _{S\subseteq [n],T\subseteq [m]}{\left|\sum _{s\in S,t\in T}{A_{t,s}}\right|}}$$

Die Schnittnorm ist äquivalent zur induzierten Operatornorm ‖·‖ _∞→1 , welche wiederum äquivalent zu einer anderen Norm ist, der sogenannten Grothendieck- Norm. ^{[ 11 ]}

Um die Grothendieck - Norm ^zu definieren, ist zunächst festzuhalten, dass ein linearer Operator ^K₁ → K₁ ein Skalar ist und sich somit zu einem linearen Operator auf jedem Kₖ → Kₖ erweitern lässt ^. Weiterhin lässt sich ^, bei beliebiger Wahl einer Basis für Kₙ und ^{Kₘ ,} jeder lineare Operator Kₙ → ^Kₘ zu einem linearen Operator ( Kₖ ⁾ ₙ → ( Kₖ ^{) ₘ erweitern, indem} man jedes Matrixelement mittels Skalarmultiplikation mit Elementen von Kₖ ^{multipliziert} . Die Grothendieck - Norm ist ^die Norm dieses erweiterten Operators; symbolisch: ^{[ 11 ]}$${\displaystyle \|A\|_{G,k}=\sup _{{\text{each }}u_{j},v_{j}\in K^{k};\|u_{j}\|=\|v_{j}\|=1}{\sum _{j\in [n],\ell \in [m]}{(u_{j}\cdot v_{j})A_{\ell ,j}}}}$$

Die Grothendieck-Norm hängt von der Wahl der Basis (üblicherweise wird die Standardbasis verwendet ) und von k ab .

Für beliebige Matrixnormen und gilt: ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$

${\displaystyle r\|A\|_{\alpha }\leq \|A\|_{\beta }\leq s\|A\|_{\alpha }}$

Für positive Zahlen r und s gilt dies für alle Matrizen . Anders ausgedrückt: Alle Normen auf sind äquivalent ; sie induzieren dieselbe Topologie auf . Dies ist wahr, da der Vektorraum endliche Dimension hat . ${\displaystyle A\in K^{m\times n}}$${\displaystyle K^{m\times n}}$${\displaystyle K^{m\times n}}$${\displaystyle K^{m\times n}}$${\displaystyle m\times n}$

Darüber hinaus existiert zu jeder Matrixnorm auf genau einer positiven reellen Zahl , sodass für jedes eine submultiplikative Matrixnorm ist ; nämlich ${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \ell \|\cdot \|}$${\displaystyle \ell \geq k}$

${\displaystyle k=\sup\{\Vert AB\Vert \,:\,\Vert A\Vert \leq 1,\Vert B\Vert \leq 1\}.}$

Eine submultiplikative Matrixnorm heißt minimal , wenn es keine andere submultiplikative Matrixnorm gibt, die die Bedingung erfüllt . ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }<\|\cdot \|_{\alpha }}$

Wir beziehen uns erneut auf die durch die Vektor -p -Norm induzierte Norm (wie oben im Abschnitt Induzierte Norm). ${\displaystyle \|A\|_{p}}$

Für eine Matrix vom Rang gelten die folgenden Ungleichungen: ^{[ 12 ] [ 13 ]}${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$${\displaystyle r}$

• ${\displaystyle \|A\|_{2}\leq \|A\|_{F}\leq {\sqrt {r}}\|A\|_{2}}$
• ${\displaystyle \|A\|_{F}\leq \|A\|_{*}\leq {\sqrt {r}}\|A\|_{F}}$
• ${\displaystyle \|A\|_{\max }\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {mn}}\|A\|_{\max }}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}\|A\|_{\infty }\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {m}}\|A\|_{\infty }}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {m}}}\|A\|_{1}\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {n}}\|A\|_{1}.}$

• Doppelnorm
• Logarithmische Norm

• James W. Demmel , Angewandte numerische lineare Algebra, Abschnitt 1.7, veröffentlicht von SIAM, 1997.
• Carl D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, veröffentlicht von SIAM, 2000. [1]
• John Watrous , Theorie der Quanteninformation, 2.3 Normen von Operatoren , Vorlesungsskript, Universität Waterloo, 2011.
• Kendall Atkinson , Einführung in die Numerische Analysis, erschienen bei John Wiley & Sons, Inc. 1989