Einheitsbruch

Ein Stammbruch ist ein positiver Bruch mit dem Zähler 1/ n . Er ist der multiplikative Kehrwert des Nenners , der eine positive natürliche Zahl sein muss . Beispiele sind 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 usw. Wird ein Objekt in gleiche Teile geteilt, ist jeder Teil ein Stammbruch des Ganzen.

Das Produkt zweier Stammbrüche ergibt wieder einen Stammbruch, andere arithmetische Operationen erhalten Stammbrüche jedoch nicht. In der modularen Arithmetik lassen sich Stammbrüche in äquivalente ganze Zahlen umwandeln, wodurch die modulare Division in eine Multiplikation transformiert werden kann. Jede rationale Zahl kann als Summe verschiedener Stammbrüche dargestellt werden; diese Darstellungen werden aufgrund ihrer Verwendung in der altägyptischen Mathematik als ägyptische Brüche bezeichnet . Viele unendliche Summen von Stammbrüchen sind mathematisch sinnvoll.

In der Geometrie lassen sich Stammbrüche verwenden, um die Krümmung von Dreiecksgruppen und die Tangenten von Ford-Kreisen zu beschreiben . Stammbrüche werden häufig bei der gerechten Division eingesetzt , und diese bekannte Anwendung dient im Mathematikunterricht als erster Schritt zum Verständnis anderer Brüche. Aufgrund des Indifferenzprinzips spielen Stammbrüche in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine wichtige Rolle . Sie finden außerdem Anwendung in der kombinatorischen Optimierung und bei der Analyse des Frequenzmusters in der Wasserstoffspektralreihe .

Stammbrüche sind rationale Zahlen , die sich in der Form darstellen lassen, wobei jede positive natürliche Zahl sein kann . Sie sind somit die multiplikativen Inversen der positiven ganzen Zahlen. Wenn etwas in gleiche Teile geteilt wird, ist jeder Teil ein Bruchteil des Ganzen. ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{n}},}$$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 1/n}$

Multipliziert man zwei beliebige Einheitsbrüche, erhält man ein Produkt, das wieder ein Einheitsbruch ist: ^{[ 2 ]} Allerdings führt die Addition , ^{[ 3 ]} Subtraktion , ^{[ 3 ]} oder Division zweier Einheitsbrüche im Allgemeinen zu einem Ergebnis, das kein Einheitsbruch ist: $${\displaystyle {\frac {1}{x}}\times {\frac {1}{y}}={\frac {1}{xy}}.}$$$${\displaystyle {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}={\frac {x+y}{xy}}}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{x}}-{\frac {1}{y}}={\frac {yx}{xy}}}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{x}}\div {\frac {1}{y}}={\frac {y}{x}}.}$$

Wie die letzte dieser Formeln zeigt, lässt sich jeder Bruch als Quotient zweier Stammbrüche ausdrücken. ^{[ 4 ]}

In der modularen Arithmetik kann jeder Stammbruch mithilfe des erweiterten euklidischen Algorithmus in eine äquivalente ganze Zahl umgewandelt werden . ^{[ 5 ] [ 6 ]} Diese Umwandlung kann zur modularen Division verwendet werden: Die Division durch eine Zahl modulo kann durchgeführt werden, indem der Stammbruch in eine äquivalente ganze Zahl modulo umgewandelt und anschließend mit dieser Zahl multipliziert wird. ^{[ 7 ]}${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle 1/x}$${\displaystyle y}$

Angenommen, ist teilerfremd zu (andernfalls ist die Division durch modulo nicht definiert ). Der erweiterte euklidische Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers kann verwendet werden, um ganze Zahlen und zu finden , für die die Bézout-Identität erfüllt ist: In der Modulo -Arithmetik kann der Term eliminiert werden, da er modulo null ist . Somit bleibt übrig. Das heißt, ist das modulare Inverse von , die Zahl, die mit multipliziert eins ergibt. Äquivalent dazu ist ^{[ 5 ] [ 6 ].} Daher kann die Division durch (modulo ) stattdessen durch Multiplikation mit der ganzen Zahl durchgeführt werden . ^{[ 7 ]}${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$$${\displaystyle \displaystyle ax+by=\gcd(x,y)=1.}$$${\displaystyle y}$${\displaystyle by}$${\displaystyle y}$$${\displaystyle \displaystyle ax\equiv 1{\pmod {y}}.}$$${\displaystyle a}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle a\equiv {\frac {1}{x}}{\pmod {y}}.}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle a}$

Bei verschiedenen Konstruktionen in der Mathematik geht es darum, mehrere Einheitsbrüche miteinander zu kombinieren, oft durch Addition.

Jede positive rationale Zahl lässt sich auf verschiedene Arten als Summe verschiedener Stammbrüche darstellen. Zum Beispiel:

${\displaystyle {\frac {4}{5}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{10}}.}$

Diese Summen werden ägyptische Brüche genannt , da die altägyptischen Zivilisationen sie als Notation für allgemeinere rationale Zahlen verwendeten . Auch heute noch besteht Interesse daran, die Methoden zu analysieren, mit denen die Alten aus den möglichen Darstellungen einer Bruchzahl auswählten und mit solchen Darstellungen rechneten. ^{[ 8 ]} Das Thema der ägyptischen Brüche hat auch in der modernen Zahlentheorie Beachtung gefunden ; so betreffen beispielsweise das Erdős-Graham-Problem ^{[ 9 ]} und die Erdős-Straus-Vermutung ^{[ 10 ]} Summen von Stammbrüchen, ebenso wie die Definition der Ore-Harmonischen Zahlen . ^{[ 11 ]}

In der geometrischen Gruppentheorie werden Dreiecksgruppen je nachdem, ob die zugehörige Summe der Einheitsbrüche gleich eins, größer als eins oder kleiner als eins ist, in euklidische, sphärische und hyperbolische Gruppen eingeteilt . ^{[ 12 ]}

Viele bekannte unendliche Reihen enthalten Glieder, die Einheitsbrüche sind. Dazu gehören:

• Die harmonische Reihe ist die Summe aller positiven Stammbrüche. Diese Summe divergiert, und ihre Partialsummen nähern sich dem natürlichen Logarithmus von plus der Euler-Mascheroni-Konstante an . ^{[ 13 ]} Ersetzt man jede zweite Addition durch eine Subtraktion, erhält man die alternierende harmonische Reihe, deren Summe dem natürlichen Logarithmus von 2 entspricht : ^{[ 14 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}}$$${\displaystyle n}$$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots =\ln 2.}$$
• Die Leibniz-Formel für π lautet ^{[ 15 ].}$${\displaystyle 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}.}$$
• Das Basler Problem betrifft die Summe der quadratischen Einheitsbrüche: ^{[ 16 ]} Analog dazu ist die Apéry-Konstante eine irrationale Zahl , die Summe der kubischen Einheitsbrüche. ^{[ 17 ]}$${\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$$
• Die binäre geometrische Reihe ist ^{[ 18 ]}$${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =2.}$$

Eine Hilbert-Matrix ist eine quadratische Matrix , deren Elemente auf der -ten Antidiagonale alle gleich dem Einheitsbruch sind . Das heißt, sie hat Elemente, die alle ganzzahlig sind. Beispielsweise ist die Matrix eine Hilbert-Matrix. Sie besitzt die ungewöhnliche Eigenschaft, dass alle Elemente ihrer Inversen ganze Zahlen sind. ^{[ 19 ]} Richardson (2001) definierte analog eine Matrix, deren Elemente Einheitsbrüche mit Fibonacci-Nennern sind : wobei die -te Fibonacci-Zahl bezeichnet. Er nennt diese Matrix die Filbert-Matrix, und sie besitzt dieselbe Eigenschaft einer ganzzahligen Inversen. ^{[ 20 ]}${\displaystyle i}$${\displaystyle 1/i}$$${\displaystyle B_{i,j}={\frac {1}{i+j-1}}.}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle C_{i,j}={\frac {1}{F_{i+j-1}}},}$$${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle i}$

Zwei Brüche und (gekürzt) heißen benachbart, wenn ihre Differenz jeweils einen Einheitsbruchteil beträgt: Zum Beispiel sind und benachbart: und . Allerdings gibt es Bruchpaare, deren Differenz einen Einheitsbruchteil beträgt, die in diesem Sinne nicht benachbart sind: Beispielsweise unterscheiden sich und um einen Einheitsbruchteil, sind aber nicht benachbart, da für sie . ^{[ 21 ]}${\displaystyle a/b}$${\displaystyle c/d}$$${\displaystyle ad-bc=\pm 1,}$$$${\displaystyle \left|{\frac {1}{a}}-{\frac {1}{b}}\right|={\frac {|ad-bc|}{bd}}={\frac {1}{bd}}.}$$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}$${\displaystyle 1\cdot 5-2\cdot 3=-1}$${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{10}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$${\displaystyle ad-bc=3}$

Diese Terminologie stammt aus der Untersuchung von Ford-Kreisen . Dabei handelt es sich um ein System von Kreisen, die die Zahlengerade in einem gegebenen Bruch berühren und deren Durchmesser dem Quadrat des Nenners des Bruchs entspricht. Brüche und sind genau dann benachbart, wenn ihre Ford-Kreise Tangentialkreise sind . ^{[ 21 ]}${\displaystyle a/b}$${\displaystyle c/d}$

Im Mathematikunterricht werden Stammbrüche oft früher eingeführt als andere Brucharten, da sie sich visuell leicht als gleiche Teile eines Ganzen erklären lassen. ^{[ 22 ] [ 23 ]} Ein häufiges praktisches Anwendungsgebiet von Stammbrüchen ist die gerechte Aufteilung von Lebensmitteln unter mehreren Personen. Übungen zu dieser Art von gerechter Aufteilung sind ein typisches Unterrichtsbeispiel, um Schülerinnen und Schülern den Umgang mit Stammbrüchen beizubringen. ^{[ 24 ]}

Bei einer Gleichverteilung auf einem diskreten Raum sind alle Wahrscheinlichkeiten gleiche Einheitsbrüche. Aufgrund des Indifferenzprinzips treten Wahrscheinlichkeiten dieser Form häufig in statistischen Berechnungen auf. ^{[ 25 ]}

Ungleiche Wahrscheinlichkeiten im Zusammenhang mit Einheitsbrüchen treten im Zipfschen Gesetz auf . Dieses besagt, dass bei vielen beobachteten Phänomenen, die die Auswahl von Elementen aus einer geordneten Sequenz beinhalten, die Wahrscheinlichkeit, dass das i-te Element ausgewählt wird, proportional zum Einheitsbruch ist . ^{[ 26 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle 1/n}$

Bei der Untersuchung kombinatorischer Optimierungsprobleme geht es bei Bin-Packing- Problemen um eine Eingabesequenz von Elementen mit Bruchteilen ihrer Größe, die in Behälter mit einer Kapazität von eins (der Gesamtgröße der in jedem Behälter befindlichen Elemente) einsortiert werden müssen. Die Forschung zu diesen Problemen umfasste auch die Untersuchung von eingeschränkten Bin-Packing-Problemen, bei denen die Elementgrößen Bruchteile von Einheiten sind. ^{[ 27 ] [ 28 ]}

Ein Grund dafür ist die Eignung als Testfall für allgemeinere Bin-Packing-Verfahren. Ein weiterer Grund ist eine Form des Pinwheel-Schedulings , bei dem eine Sammlung von Nachrichten gleicher Länge wiederholt über eine begrenzte Anzahl von Kommunikationskanälen gesendet werden muss, wobei jede Nachricht eine maximale Verzögerung zwischen den Startzeiten ihrer wiederholten Übertragungen aufweisen darf. Ein Element, dessen Verzögerung dem λ-fachen der Nachrichtenlänge entspricht, muss mindestens λ der Zeitschlitze auf dem ihm zugewiesenen Kanal belegen. Daher kann eine Lösung des Scheduling-Problems nur aus einer Lösung des Unit-Fraction-Bin-Packing-Problems mit den Kanälen als Behältern und den Bruchteilen als Elementgrößen resultieren. ^{[ 27 ]}${\displaystyle k}$${\displaystyle 1/k}$${\displaystyle 1/k}$

Selbst bei Behälterpackungsproblemen mit beliebigen Artikelgrößen kann es hilfreich sein, jede Artikelgröße auf den nächstgrößeren Einheitsbruch aufzurunden und anschließend einen auf Einheitsbruchgrößen spezialisierten Behälterpackungsalgorithmus anzuwenden. Insbesondere die harmonische Behälterpackungsmethode macht genau das und befüllt dann jeden Behälter mit Artikeln, die nur eine einzige gerundete Einheitsbruchgröße aufweisen. ^{[ 28 ]}

Die Energieniveaus von Photonen , die von einem Wasserstoffatom absorbiert oder emittiert werden können, sind gemäß der Rydberg-Formel proportional zur Differenz zweier Einheitsbrüche. Eine Erklärung für dieses Phänomen liefert das Bohrsche Atommodell , demzufolge die Energieniveaus der Elektronenorbitale in einem Wasserstoffatom umgekehrt proportional zum Quadrat des Einheitsbruchs sind und die Energie eines Photons auf die Differenz zwischen zwei Niveaus quantisiert ist . ^{[ 29 ]}

Arthur Eddington argumentierte, dass die Feinstrukturkonstante ein Bruchteil einer Einheit sei. Er ging zunächst von 1/136 aus und korrigierte seine Theorie später auf 1/137. Diese Behauptung ist widerlegt, da aktuelle Schätzungen der Feinstrukturkonstante (auf 6 signifikante Stellen gerundet) 1/137,036 lauten. ^{[ 30 ]}

• 17-Tier-Vererbungsrätsel , ein Rätsel, das die gerechte Aufteilung in Einheitsbrüche beinhaltet
• Die Theorie des einsamen Läufers besagt , dass sich jeder Läufer auf einer Einheitsstrecke mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten zu einem bestimmten Zeitpunkt in einem bestimmten Abstand zu den anderen befindet.${\displaystyle n}$${\displaystyle 1/n}$
• Teilzahl , eine Zahl, die, wenn sie als Zähler mit einem gegebenen Nenner verwendet wird, einen Stammbruch ergibt.
• Superpartikularverhältnis , eins plus ein Einheitsbruch, wichtig in der musikalischen Harmonik