Quantisierung (Physik)

Quantisierung ist der systematische Übergang von einem klassischen Verständnis physikalischer Phänomene zu einem neueren Verständnis, der Quantenmechanik . Sie dient dazu, die Quantenmechanik aus der klassischen Mechanik abzuleiten . Eine Verallgemeinerung mit unendlich vielen Freiheitsgraden ist die Feldquantisierung , wie etwa die „ Quantisierung des elektromagnetischen Feldes “, bei der Photonen als Feldquanten ( beispielsweise Lichtquanten ) betrachtet werden. Dieses Verfahren ist grundlegend für Theorien der Atomphysik , Chemie, Teilchenphysik , Kernphysik , Festkörperphysik und Quantenoptik .

Als Max Planck 1901 die Verteilungsfunktion der statistischen Mechanik zur Lösung des Ultraviolett-Katastrophenproblems entwickelte , erkannte er, dass sich die Eigenschaften der Schwarzkörperstrahlung durch die Annahme erklären lassen, dass die Energiemenge in abzählbaren fundamentalen Einheiten vorliegen muss, d. h. die Energiemenge ist nicht kontinuierlich, sondern diskret . Das heißt, es existiert eine minimale Energieeinheit, und für die Frequenz gilt die folgende Beziehung . Hierbei wird λ als Planck-Konstante bezeichnet , die den quantenmechanischen Effekt beschreibt. Dies bedeutet eine grundlegende Änderung des mathematischen Modells physikalischer Größen. ${\displaystyle E=h\nu }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle h}$

1905 veröffentlichte Albert Einstein eine Arbeit mit dem Titel „Über einen heuristischen Blickwinkel auf die Emission und Umwandlung des Lichts“, in der er den photoelektrischen Effekt auf quantisierte elektromagnetische Wellen erklärte . ^{[ 1 ]} Das in dieser Arbeit erwähnte Energiequant wurde später „ Photon “ genannt. Im Juli 1913 nutzte Niels Bohr die Quantisierung, um das Spektrum eines Wasserstoffatoms in seiner Arbeit „Über den Aufbau von Atomen und Molekülen“ zu beschreiben.

Die vorangegangenen Theorien waren zwar erfolgreich, aber es handelt sich um sehr phänomenologische Theorien. Der französische Mathematiker Henri Poincaré lieferte jedoch 1912 in seiner Arbeit „Sur la théorie des quanta“ erstmals eine systematische und strenge Definition der Quantisierung. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Der Begriff „Quantenphysik“ wurde erstmals in Johnstons Werk „ Plancks Universum im Lichte der modernen Physik“ (1931) verwendet.

Die kanonische Quantisierung entwickelt die Quantenmechanik aus der klassischen Mechanik . Dabei wird eine Kommutatorrelation zwischen den kanonischen Koordinaten eingeführt . Genauer gesagt werden Koordinaten durch Kombinationen von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren in Operatoren umgewandelt . Diese Operatoren wirken auf die Quantenzustände der Theorie. Der Zustand niedrigster Energie wird Vakuumzustand genannt .

Selbst im Rahmen der kanonischen Quantisierung besteht eine Schwierigkeit bei der Quantisierung beliebiger Observablen im klassischen Phasenraum. Dies ist die Ordnungsambiguität : Klassisch kommutieren die Orts- und Impulsvariablen x und p , ihre quantenmechanischen Operatoren jedoch nicht. Zur Auflösung dieser Ambiguität wurden verschiedene Quantisierungsschemata vorgeschlagen ^{[ 4 ]} , von denen das Weyl-Quantisierungsschema das bekannteste ist . Dennoch besagt der Satz von Groenewold , dass kein perfektes Quantisierungsschema existiert. Insbesondere wenn die Quantisierungen von x und p als die üblichen Orts- und Impulsoperatoren angenommen werden, kann kein Quantisierungsschema die Poisson-Klammer-Relationen zwischen den klassischen Observablen perfekt reproduzieren ^{[ 5 ] .}

Es gibt eine Möglichkeit, eine kanonische Quantisierung durchzuführen, ohne auf den nicht-kovarianten Ansatz der Blätterung der Raumzeit und der Wahl eines Hamiltonoperators zurückgreifen zu müssen . Diese Methode basiert auf einer klassischen Wirkung, unterscheidet sich aber vom funktionalen Integralansatz.

Die Methode ist nicht auf alle möglichen Aktionen anwendbar (beispielsweise auf Aktionen mit nichtkausaler Struktur oder Aktionen mit Eichflüssen ). Sie beginnt mit der klassischen Algebra aller (glatten) Funktionale über dem Konfigurationsraum. Diese Algebra wird über das von den Euler-Lagrange-Gleichungen erzeugte Ideal quotientisiert . Anschließend wird diese Quotientenalgebra durch Einführung einer aus der Aktion ableitbaren Poisson-Klammer, der sogenannten Peierls-Klammer , in eine Poisson-Algebra umgewandelt . Diese Poisson-Algebra wird dann analog zur kanonischen Quantisierung ℏ-deformiert.

In der Quantenfeldtheorie gibt es auch eine Möglichkeit, Wirkungen mit Eichflüssen zu quantisieren . Dies geschieht mithilfe des Batalin-Vilkovisky-Formalismus , einer Erweiterung des BRST-Formalismus .

Einer der frühesten Versuche einer natürlichen Quantisierung war die Weyl-Quantisierung, die 1927 von Hermann Weyl vorgeschlagen wurde. ^{[ 6 ]} Hierbei wird versucht, eine quantenmechanische Observable (einen selbstadjungierten Operator auf einem Hilbertraum) mit einer reellwertigen Funktion auf dem klassischen Phasenraum zu verknüpfen. Ort und Impuls in diesem Phasenraum werden auf die Generatoren der Heisenberg-Gruppe abgebildet, und der Hilbertraum erscheint als Gruppendarstellung der Heisenberg-Gruppe. 1946 betrachtete H. J. Groenewold ^{[ 7 ]} das Produkt zweier solcher Observablen und fragte, welche Funktion auf dem klassischen Phasenraum dem Produkt entspricht. Dies führte ihn zur Entdeckung des Sternprodukts zweier Funktionen im Phasenraum. Allgemeiner führt diese Technik zur Deformationsquantisierung, wobei das Sternprodukt als Deformation der Funktionenalgebra auf einer symplektischen oder Poisson-Mannigfaltigkeit aufgefasst wird. Als natürliches Quantisierungsschema (ein Funktor ) ist die Weyl-Abbildung jedoch nicht zufriedenstellend.

Die Weyl-Abbildung des klassischen Drehimpulsquadrats ist beispielsweise nicht nur der quantenmechanische Drehimpulsquadratoperator, sondern enthält darüber hinaus einen konstanten Term .3ħ ²/2⁠ . (Dieser zusätzliche Term ist pädagogisch bedeutsam, da er den nicht verschwindenden Drehimpuls der Bohrschen Grundzustandsbahn im Wasserstoffatom berücksichtigt, obwohl der Standard-QM-Grundzustand des Atoms ein verschwindendes l aufweist .) ^{[ 8 ]}

Als bloße Darstellungsänderung ist Weyls Abbildung jedoch nützlich und wichtig, da sie der alternativen äquivalenten Phasenraumformulierung der konventionellen Quantenmechanik zugrunde liegt.

In der mathematischen Physik ist die geometrische Quantisierung ein mathematischer Ansatz zur Definition einer Quantentheorie, die einer gegebenen klassischen Theorie entspricht. Sie versucht, die Quantisierung – für die es im Allgemeinen kein exaktes Rezept gibt – so durchzuführen, dass bestimmte Analogien zwischen der klassischen und der Quantentheorie erhalten bleiben. Beispielsweise soll die Ähnlichkeit zwischen der Heisenberg-Gleichung im Heisenbergschen Bild der Quantenmechanik und der Hamilton-Gleichung der klassischen Physik erhalten bleiben.

Ein geometrischerer Ansatz zur Quantisierung, bei dem der klassische Phasenraum eine allgemeine symplektische Mannigfaltigkeit sein kann, wurde in den 1970er Jahren von Bertram Kostant und Jean-Marie Souriau entwickelt . Die Methode verläuft in zwei Schritten. ^{[ 9 ]} Zunächst wird ein „präquantenmechanischer Hilbertraum“ konstruiert, der aus quadratintegrierbaren Funktionen (oder genauer: Schnitten eines Geradenbündels) über dem Phasenraum besteht. Hier lassen sich Operatoren konstruieren, deren Kommutatorrelationen exakt den klassischen Poisson-Klammer-Relationen entsprechen. Andererseits ist dieser präquantenmechanische Hilbertraum zu groß, um physikalisch sinnvoll zu sein. Daher beschränkt man sich auf Funktionen (oder Schnitte), die von der Hälfte der Variablen des Phasenraums abhängen, und erhält so den quantenmechanischen Hilbertraum.

Eine klassische mechanische Theorie wird durch eine Wirkung gegeben , wobei die zulässigen Konfigurationen diejenigen sind, die bezüglich funktionaler Variationen der Wirkung extremal sind. Eine quantenmechanische Beschreibung des klassischen Systems kann auch aus der Wirkung des Systems mittels der Pfadintegralformulierung konstruiert werden .

• Schleifenquantengravitation (Schleifenquantisierung)
• Unschärferelation (quantenstatistischer Ansatz)
• Schwingers Quantenwirkungsprinzip

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