VSOP-Modell

Die semi-analytische Planetentheorie VSOP (französisch: Variations Séculaires des Orbites Planétaires ) ist ein mathematisches Modell, das langfristige Veränderungen ( säkulare Variationen ) der Planetenbahnen von Merkur bis Neptun beschreibt . Das früheste moderne wissenschaftliche Modell berücksichtigte lediglich die Gravitationsanziehung zwischen Sonne und den einzelnen Planeten , wodurch sich unveränderte Kepler-Ellipsen ergaben . Tatsächlich üben alle Planeten jedoch geringe Kräfte aufeinander aus, die langsame Veränderungen in Form und Ausrichtung dieser Ellipsen bewirken. Mittlerweile wurden immer komplexere analytische Modelle dieser Abweichungen sowie effiziente und genaue numerische Näherungsverfahren entwickelt .

VSOP wurde von Wissenschaftlern des Bureau des Longitudes in Paris entwickelt und wird von ihnen gepflegt (mit den neuesten Daten aktualisiert). Die erste Version, VSOP82, berechnete lediglich die Bahnelemente zu jedem Zeitpunkt. Eine aktualisierte Version, VSOP87, berechnete die Positionen der Planeten direkt zu jedem Zeitpunkt sowie ihre Bahnelemente mit verbesserter Genauigkeit.

Die Position der Planeten am Himmel vorherzusagen, wurde bereits in der Antike praktiziert. Sorgfältige Beobachtungen und geometrische Berechnungen führten zu einem Modell der Bewegung des Sonnensystems , dem sogenannten ptolemäischen System , das auf einem geozentrischen Weltbild basierte . Die Parameter dieser Theorie wurden im Mittelalter von indischen und islamischen Astronomen verbessert .

Die Arbeiten von Tycho Brahe , Johannes Kepler und Isaac Newton im frühneuzeitlichen Europa legten den Grundstein für das moderne heliozentrische Weltbild. Zukünftige Planetenpositionen wurden noch bis in die 1740er-Jahre in den Tabellen von Jacques Cassini durch Extrapolation vergangener Beobachtungen vorhergesagt .

Das Problem besteht darin, dass die Erde beispielsweise nicht nur von der Sonne gravitativ angezogen wird , was zu einer stabilen und leicht vorhersagbaren elliptischen Umlaufbahn führen würde, sondern auch in unterschiedlichem Maße vom Mond , den anderen Planeten und allen anderen Objekten im Sonnensystem. Diese Kräfte verursachen Bahnstörungen , die sich mit der Zeit verändern und nicht exakt berechnet werden können. Sie lassen sich zwar annähern, aber um dies in praktikabler Weise zu tun ^, sind fortgeschrittene mathematische Kenntnisse oder sehr leistungsstarke Computer erforderlich. Üblicherweise werden sie in periodische Reihen entwickelt, die eine Funktion der Zeit sind, z. B. ( a + bt + ct² + ...) × cos( p + qt + rt² ⁺ ...) usw., eine für jede planetare Wechselwirkung. Der Faktor a in der vorhergehenden Formel ist die Hauptamplitude, der Faktor q die Hauptwinkelgeschwindigkeit, die direkt mit einer Harmonischen der treibenden Kraft, also der Planetenposition, zusammenhängt. Zum Beispiel: q = 3 × (Länge des Mars) + 2 × (Länge des Jupiter). (Der Begriff „Länge“ bezieht sich in diesem Zusammenhang auf die ekliptikale Länge, also den Winkel , den der Planet in seiner Umlaufbahn pro Zeiteinheit zurückgelegt hat; q ist also ebenfalls ein Winkel pro Zeiteinheit. Die Zeit, die benötigt wird, damit die Länge um 360° zunimmt, entspricht der Umlaufzeit.)

Joseph Louis Lagrange führte 1781 die ersten ernsthaften Berechnungen durch und näherte sich der Lösung mithilfe einer Linearisierungsmethode an . Andere folgten, doch erst 1897 erweiterte George William Hill die Theorien um Terme zweiter Ordnung. Terme dritter Ordnung mussten bis in die 1970er-Jahre warten, als Computer verfügbar wurden und die immense Anzahl an Berechnungen zur Entwicklung einer Theorie endlich handhabbar wurde.

Pierre Bretagnon schloss eine erste Phase dieser Arbeit bis 1982 ab, und die Ergebnisse sind als VSOP82 bekannt. Aufgrund der langperiodischen Variationen wird jedoch erwartet, dass seine Ergebnisse nicht länger als eine Million Jahre Bestand haben (und viel weniger, vielleicht nur 1000 Jahre bei sehr hoher Genauigkeit).

Ein Hauptproblem jeder Theorie besteht darin, dass die Amplituden der Störungen von den Planetenmassen abhängen (und von anderen Faktoren, wobei die Massen den limitierenden Faktor darstellen). Diese Massen lassen sich bestimmen, indem man die Umlaufzeiten der Planetenmonde oder die Gravitationsablenkung von Raumsonden beim Vorbeiflug an einem Planeten beobachtet. Mehr Beobachtungen führen zu höherer Genauigkeit. Kurzperiodische Störungen (weniger als einige Jahre) können relativ einfach und genau bestimmt werden. Langperiodische Störungen (Perioden von vielen Jahren bis hin zu Jahrhunderten) sind hingegen deutlich schwieriger zu erfassen, da der Zeitraum, über den genaue Messungen vorliegen, nicht ausreicht, wodurch sie sich kaum von konstanten Termen unterscheiden lassen. Dabei sind es gerade diese Terme, die über Jahrtausende den größten Einfluss ausüben .

Bekannte Beispiele sind die große Venusperiode und die große Jupiter- Saturn -Ungleichheit. Betrachtet man die Umlaufzeiten dieser Planeten, so stellt man fest, dass das Achtfache der Erdumlaufzeit nahezu dem Dreizehnfachen der Venusperiode entspricht und das Fünffache der Jupiterumlaufzeit etwa dem Doppelten der Saturnumlaufzeit.

Ein praktisches Problem des VSOP82 bestand darin, dass es lange Reihen nur für die Bahnelemente der Planeten lieferte und es daher schwierig war, den optimalen Abbruchpunkt für diese Reihen zu bestimmen, wenn keine höchste Genauigkeit erforderlich war. Dieses Problem wurde im VSOP87 behoben, das Reihen sowohl für die Positionen als auch für die Bahnelemente der Planeten bereitstellt.

Insbesondere in VSOP87 wurden diese langperiodischen Terme berücksichtigt, was zu einer deutlich höheren Genauigkeit führte, obwohl die Berechnungsmethode selbst im Wesentlichen gleich blieb. VSOP87 garantiert für Merkur, Venus, das Erde-Mond- Baryzentrum und Mars eine Genauigkeit von 1 Bogensekunde für 4000 Jahre vor und nach dem Jahr 2000. Dieselbe Genauigkeit wird für Jupiter und Saturn über 2000 Jahre und für Uranus und Neptun über 6000 Jahre vor und nach J2000 gewährleistet. ^{[ 1 ]} Dies, zusammen mit der freien Verfügbarkeit, hat dazu geführt, dass VSOP87 für Planetenberechnungen weit verbreitet ist; beispielsweise wird es in Celestia und Orbiter verwendet .

Eine weitere wichtige Verbesserung ist die Verwendung von rechtwinkligen Koordinaten zusätzlich zu den elliptischen. In der traditionellen Störungstheorie ist es üblich, die Basisbahnen der Planeten mit den folgenden sechs Bahnelementen anzugeben (die Gravitation führt zu Differentialgleichungen zweiter Ordnung, die zwei Integrationskonstanten ergeben, und es gibt eine solche Gleichung für jede Richtung im dreidimensionalen Raum):

• eine große Halbachse
• e Exzentrizität
• i Neigung
• Ω Längengrad des aufsteigenden Knotens
• ω -Argument des Perihels (oder Länge des Perihels ϖ = ω + Ω )
• T Zeitpunkt des Periheldurchgangs (oder mittlere Anomalie M )

Ohne Störungen wären diese Elemente konstant und daher ideal als Grundlage für die Theorien. Durch Störungen verändern sie sich langsam, und man berücksichtigt in den Berechnungen so viele Störungen wie möglich oder wünschenswert. Das Ergebnis ist das Bahnelement zu einem bestimmten Zeitpunkt, mit dem sich die Position entweder in kartesischen Koordinaten (X, Y, Z) oder in Kugelkoordinaten (Länge, Breite und heliozentrische Distanz) berechnen lässt. Diese heliozentrischen Koordinaten können dann relativ einfach in andere Bezugssysteme, z. B. geozentrische Koordinaten, umgerechnet werden. Für Koordinatentransformationen sind kartesische Koordinaten (X, Y, Z) oft einfacher zu handhaben: Translationen (z. B. von heliozentrischen zu geozentrischen Koordinaten) werden durch Vektoraddition und Rotationen (z. B. von ekliptischen zu äquatorialen Koordinaten) durch Matrixmultiplikation durchgeführt.

VSOP87 ist in sechs Tischen erhältlich:

• VSOP87 Heliozentrische ekliptische Bahnelemente für die Tagundnachtgleiche J2000.0; die 6 Bahnelemente, ideal, um eine Vorstellung davon zu bekommen, wie sich die Bahnen im Laufe der Zeit verändern
• VSOP87A Heliozentrische ekliptikale rechtwinklige Koordinaten für die Tagundnachtgleiche J2000.0; am nützlichsten für die Umrechnung in geozentrische Positionen und die spätere Darstellung der Position auf einer Sternkarte
• VSOP87B Heliozentrische ekliptische sphärische Koordinaten für die Tagundnachtgleiche J2000.0
• VSOP87C Heliozentrische ekliptikale rechtwinklige Koordinaten für die Tagundnachtgleiche des Tages; am nützlichsten für die Umrechnung in geozentrische Positionen und die spätere Berechnung von z. B. Aufgangs-/Untergangs-/Kulminationszeiten oder der Höhe und des Azimuts relativ zum lokalen Horizont.
• VSOP87D Heliozentrische ekliptische sphärische Koordinaten für die Tagundnachtgleiche
• VSOP87E Baryzentrische ekliptikale rechtwinklige Koordinaten für die Tagundnachtgleiche J2000.0, relativ zum Baryzentrum des Sonnensystems.

Die VSOP87-Tabellen sind öffentlich verfügbar und können von VizieR abgerufen werden . ^{[ 2 ]}

VSOP2000 bietet eine um den Faktor 10–100 höhere Genauigkeit als seine Vorgänger. Die Unsicherheit für Merkur, Venus und die Erde wird für das Intervall 1900–2000 mit etwa 0,1 mas (Milliarcsekunden) angegeben, die für die übrigen Planeten mit einigen Milliarcsekunden. ^{[ 3 ]} Die Publikation und die Daten von VSOP2000 sind öffentlich zugänglich. ^{[ 4 ]}

Bretagnon's last work was on the implementation of relativistic effects, which was supposed to improve the accuracy with another factor of 10. This version was never finished, and still had weaknesses for Uranus and Neptune.^[5]

The VSOP2010 files contain the series of the elliptic elements for the 8 planets Mercury, Venus, Earth-Moon barycenter, Mars, Jupiter, Saturn, Uranus, Neptune and for the dwarf planet Pluto. The VSOP2010 solution is fitted to the DE405 numerical integration over the time interval +1890...+2000.^[6] The numerical precision is 10 times better than VSOP82. Over a greater interval −4000...+8000 a comparison with an internal numerical indicates that the VSOP2010 solutions are about 5 times better than VSOP2000 for the telluric planets and 10 to 50 times better for the outer planets.^[7]

The VSOP2013 files contain the series of the elliptic elements for the 8 planets Mercury, Venus, Earth-Moon barycenter, Mars, Jupiter, Saturn, Uranus, and Neptune and for the dwarf planet Pluto of the solution VSOP2013. The planetary solution VSOP2013 is fitted to the numerical integration INPOP10a built at IMCCE, Paris Observatory over the time interval +1890...+2000.^[8]

The precision is of a few 0.1″ for the telluric planets (1.6″ for Mars) over the time interval −4000...+8000. Masses multiplied by the gravitational constant of the Sun, the planets and the five big asteroids are used values from INPOP10a.^[9]

This is an analytical solution for the (spherical and rectangular) positions (rather than orbital elements) of the four planets Jupiter, Saturn, Uranus, and Neptune and the dwarf planet Pluto.

This solution is fitted to the Ephemeris DE405 over the time interval +1890...+2000. The reference system in the solution TOP2010 is defined by the dynamical equinox and ecliptic J2000.0.^[10]

This solution is fitted to the numerical integration INPOP10a built at IMCCE (Paris Observatory) over the time interval +1890...+2000. The reference system in the solution TOP2013 is defined by the dynamical equinox and ecliptic of J2000.0.^[11]

The TOP2013 solution is the best for the motion over the time interval −4000...+8000. Its precision is of a few 0.1″ for the four planets, i.e. a gain of a factor between 1.5 and 15, depending on the planet, compared to VSOP2013. The precision of the theory of Pluto remains valid up to the time span from 0 to +4000.^[9]

• Secular variation
• Shapiro time delay
• Jet Propulsion Laboratory Development Ephemeris (JPL)
• ELP-2000
• Newcomb's Tables of the Sun

• Die VSOP87-Theorie und der mehrsprachige Programmquellcodegenerator – VSOP87-Theorie und Quellcode in 5 Computersprachenstrukturen – Autor: Jay Tanner
• Alle relevanten VSOP-Dateien können per FTP heruntergeladen werden.
• P. Bretagnon (1982). „Theorie der Bewegung des Planetenensembles. Lösung VSOP82“. Astronomie und Astrophysik . 114 : 278–288 . Bibcode : 1982A&A...114..278B .
• P. Bretagnon; G. Francou (1988). „Planetentheorien in rechteckigen und sphärischen Variablen. VSOP87-Lösungen“. Astronomy & Astrophysics . 202 : 309–315 . Bibcode : 1988A&A...202..309B .
• JL Simon; P. Bretagnon; et al. (1994). „Numerische Ausdrücke für Präzessionsformeln und mittlere Elemente für den Mond und die Planeten“. Astronomy & Astrophysics . 282 : 663–683 . Bibcode : 1994A&A...282..663S .