Joseph-Louis Lagrange

Joseph-Louis Lagrange ^{[ a ]} ​​(geboren als Giuseppe Luigi Lagrange ^{[ 5 ] [ b ]} oder Giuseppe Ludovico De la Grange Tournier ; ^{[ 6 ] [ c ]} 25. Januar 1736 – 10. April 1813), auch als Giuseppe Luigi Lagrange ^{[ 7 ]} oder Lagrange [ ^{8 ]} bekannt, ^war ein italienischer und eingebürgerter französischer Mathematiker , Physiker und Astronom . Er leistete bedeutende Beiträge zur Analysis , Zahlentheorie sowie zur klassischen und Himmelsmechanik .

1766 trat Lagrange auf Empfehlung von Leonhard Euler und d’Alembert die Nachfolge Eulers als Direktor der Mathematik an der Preußischen Akademie der Wissenschaften in Berlin an . Dort wirkte er über zwanzig Jahre, verfasste zahlreiche Werke und erhielt mehrere Preise der Französischen Akademie der Wissenschaften . Lagranges Abhandlung über die analytische Mechanik ( Mécanique analytique , 4. Aufl., 2 Bde., Paris: Gauthier-Villars et fils, 1788–89), die er in Berlin schrieb und 1788 erstmals veröffentlichte, bot die umfassendste Darstellung der klassischen Mechanik seit Isaac Newton und bildete die Grundlage für die Entwicklung der mathematischen Physik im 19. Jahrhundert.

1787, im Alter von 51 Jahren, zog er von Berlin nach Paris und wurde Mitglied der Französischen Akademie der Wissenschaften. Er blieb bis zu seinem Tod in Frankreich. Er spielte eine entscheidende Rolle im Dezimalisierungsprozess im revolutionären Frankreich , wurde 1794 bei der Eröffnung der École Polytechnique deren erster Professor für Analysis , war Gründungsmitglied des Bureau des Longitudes und wurde 1799 Senator .

Lagrange war einer der Begründer der Variationsrechnung und leitete die Euler-Lagrange-Gleichungen für Extrema von Funktionalen her . Er erweiterte die Methode um mögliche Nebenbedingungen und gelangte so zur Methode der Lagrange -Multiplikatoren . Lagrange erfand die Methode der Variation der Konstanten zur Lösung von Differentialgleichungen , wandte die Differentialrechnung auf die Wahrscheinlichkeitstheorie an und arbeitete an Lösungen für algebraische Gleichungen . Er bewies, dass jede natürliche Zahl die Summe von vier Quadraten ist . Seine Abhandlung „Théorie des fonctions analytiques“ legte einige der Grundlagen der Gruppentheorie und nahm Galois ’ Theorie vorweg . In der Analysis entwickelte Lagrange einen neuartigen Ansatz zur Interpolation und den Satz von Taylor . Er untersuchte das Dreikörperproblem für Erde, Sonne und Mond (1764) und die Bewegung der Jupitermonde (1766) und fand 1772 die Spezialfalllösungen dieses Problems, die die heute als Lagrange-Punkte bekannten Lösungen liefern . Lagrange ist vor allem dafür bekannt, die Newtonsche Mechanik in einen eigenen Zweig der Analysis, die Lagrangesche Mechanik, umgewandelt zu haben . Er präsentierte die mechanischen „Prinzipien“ als einfache Ergebnisse der Variationsrechnung.

Als Erstgeborener von elf Kindern von Giuseppe Lodovico Lagrange war Lagrange italienischer und französischer Abstammung. ^{[ 7 ]} Sein Urgroßvater väterlicherseits war ein französischer Kavalleriehauptmann, dessen Familie aus der französischen Region Tours stammte . ^{[ 7 ]} Nach seinem Dienst unter Ludwig XIV . trat er in die Dienste von Karl Emanuel II. , Herzog von Savoyen , und heiratete eine Conti aus dem römischen Adelsgeschlecht. ^{[ 7 ]} Lagranges Vater, Giuseppe Francesco Lodovico, war Doktor der Rechtswissenschaften an der Universität Turin , während seine Mutter die einzige Tochter eines wohlhabenden Arztes aus Cambiano , einem Ort in der Nähe von Turin , war . ^{[ 7 ] [ 10 ]} Er wurde römisch-katholisch erzogen (wandte sich aber später dem Agnostikertum zu ). ^{[ 11 ]}

Sein Vater, der die königliche Militärkasse verwaltete und Schatzmeister des Amtes für öffentliche Arbeiten und Festungsanlagen in Turin war, hätte eigentlich eine gute gesellschaftliche Stellung und Wohlstand genießen sollen, doch bevor sein Sohn erwachsen war, hatte er den Großteil seines Vermögens durch Spekulationen verloren. Lagranges Vater hatte für ihn eine Karriere als Anwalt vorgesehen ^{[ 7 ]} , und Lagrange scheint dies bereitwillig angenommen zu haben. Er studierte an der Universität Turin , und sein Lieblingsfach war das klassische Latein. Anfangs begeisterte er sich nicht sonderlich für Mathematik; die griechische Geometrie fand er eher langweilig.

Erst mit siebzehn Jahren zeigte er Interesse an Mathematik – angeregt durch eine zufällig entdeckte Abhandlung von Edmond Halley aus dem Jahr 1693 ^{[ 12 ]} . Er widmete sich fortan eigenständig dem Mathematikstudium und war nach einem Jahr unermüdlichen Lernens bereits ein versierter Mathematiker. Karl Emanuel III. ernannte Lagrange 1755 zum „Sostituto del Maestro di Matematica“ (Mathematik-Assistenzprofessor) an der Königlichen Militärakademie für Theorie und Praxis der Artillerie. Dort lehrte er Analysis und Mechanik, um die frühe Anwendung der ballistischen Theorien von Benjamin Robins und Leonhard Euler in der piemontesischen Armee zu unterstützen . In dieser Funktion lehrte Lagrange als Erster Analysis an einer Ingenieurschule. Laut Alessandro Papacino D'Antoni , dem Militärkommandanten der Akademie und bekannten Artillerietheoretiker, erwies sich Lagrange leider als problematischer Professor. Sein Unterrichtsstil war wenig praxisorientiert, sein Denken abstrakt und seine Ungeduld gegenüber praktischen Anwendungen der Artillerie und des Festungsbaus waren bemerkenswert. ^{[ 13 ]} Einer seiner Schüler an dieser Akademie war François Daviet . ^{[ 14 ]}

Lagrange zählt zu den Begründern der Variationsrechnung . Ab 1754 arbeitete er am Problem der Tautochrone und entwickelte eine Methode zur Maximierung und Minimierung von Funktionalen, ähnlich der Bestimmung von Extrema. Zwischen 1754 und 1756 schrieb Lagrange mehrere Briefe an Leonhard Euler, in denen er seine Ergebnisse darlegte. Er skizzierte seinen „δ-Algorithmus“, der zu den Euler-Lagrange-Gleichungen der Variationsrechnung führte und Eulers frühere Analyse erheblich vereinfachte. ^{[ 15 ]} Lagrange wandte seine Ideen auch auf Probleme der klassischen Mechanik an und verallgemeinerte die Ergebnisse von Euler und Maupertuis .

Euler war von Lagranges Ergebnissen sehr beeindruckt. Es heißt, er habe „in seiner charakteristischen Höflichkeit eine zuvor verfasste Abhandlung, die ähnliche Themen behandelte, zurückgehalten, damit der junge Italiener Zeit habe, seine Arbeit zu vollenden und die unbestrittene Erfindung der neuen Infinitesimalrechnung für sich zu beanspruchen“; diese ritterliche Ansicht ist jedoch umstritten. ^{[ 16 ]} Lagrange veröffentlichte seine Methode in zwei Abhandlungen der Turiner Gesellschaft in den Jahren 1762 und 1773.

1757 gründete Lagrange zusammen mit Giuseppe Angelo Saluzzo (einem Chemiker, der sein Haus für die Treffen zur Verfügung stellte) und dem Physiker Giovanni Francesco Cigna eine Gesellschaft, die später als Turiner Akademie der Wissenschaften eingetragen wurde . ^{[ 7 ]} Die meisten seiner frühen Schriften finden sich in den fünf Bänden der Veröffentlichungen der Akademie, die gemeinhin als Miscellanea Taurinensia bekannt sind . Viele davon sind ausführliche Abhandlungen. Der erste Band enthält eine Arbeit zur Theorie der Schallausbreitung; darin weist er auf einen Fehler Newtons hin , leitet die allgemeine Differentialgleichung für die Bewegung her und integriert sie für die geradlinige Bewegung. Dieser Band enthält auch die vollständige Lösung des Problems einer querschwingenden Saite ; in dieser Arbeit weist er auf einen Mangel an Allgemeingültigkeit der zuvor von Brook Taylor , D’Alembert und Euler angegebenen Lösungen hin und gelangt zu dem Schluss, dass die Form der Kurve zu jedem Zeitpunkt t durch die Gleichung gegeben ist . Der Artikel schließt mit einer meisterhaften Erörterung von Echos , Schwebungen und zusammengesetzten Klängen. Weitere Artikel in diesem Band behandeln periodische Reihen , Wahrscheinlichkeiten und die Variationsrechnung . ${\displaystyle y=a\sin(mx)\sin(nt)\,}$

Der zweite Band enthält eine lange Abhandlung, die die Ergebnisse mehrerer Abhandlungen im ersten Band über die Theorie und Notation der Variationsrechnung zusammenfasst, und er veranschaulicht deren Anwendung durch die Herleitung des Prinzips der kleinsten Wirkung und durch Lösungen verschiedener Probleme der Dynamik .

Der dritte Band enthält die Lösung mehrerer dynamischer Probleme mittels Variationsrechnung; einige Abhandlungen über Integralrechnung ; eine Lösung eines Fermatschen Problems: Gegeben sei eine ganze Zahl n , die keine Quadratzahl ist. Gesucht ist eine Zahl x , sodass nx² + 1 eine Quadratzahl ist. Außerdem ^enthält er die allgemeinen Differentialgleichungen der Bewegung dreier Körper unter dem Einfluss ihrer gegenseitigen Anziehungskräfte.

Seine nächste Arbeit aus dem Jahr 1764 befasste sich mit der Libration des Mondes und der Frage, warum der Mond der Erde stets dieselbe Seite zugewandt ist – ein Problem, das er mithilfe virtueller Arbeit löste . Seine Lösung ist besonders interessant, da sie den Keim der Idee verallgemeinerter Bewegungsgleichungen enthält, die er 1780 erstmals formal bewies.

Bereits 1756 versuchten Euler und Maupertuis , die Lagranges mathematisches Talent erkannten, ihn nach Berlin zu locken, doch er lehnte das Angebot schüchtern ab. 1765 intervenierte d’Alembert für Lagrange bei Friedrich von Preußen und bat ihn brieflich, Turin für eine deutlich prestigeträchtigere Position in Berlin zu verlassen. Er lehnte das Angebot erneut ab und antwortete, dass ^{[ 17 ] : 361}

Mir scheint, dass Berlin für mich überhaupt nicht geeignet wäre, solange M. Euler dort ist .

Nachdem Euler 1766 Berlin verlassen hatte und nach Sankt Petersburg gegangen war, schrieb Friedrich selbst an Lagrange und äußerte den Wunsch des „größten Königs Europas“, den „größten Mathematiker Europas“ an seinem Hof ​​zu haben. Lagrange ließ sich schließlich überzeugen. Er verbrachte die folgenden zwanzig Jahre in Preußen , wo er eine lange Reihe von Aufsätzen verfasste, die in den Berliner und Turiner Zeitschriften erschienen, und sein monumentales Werk, die „ Analytische Mechanik“ , schrieb . 1767 heiratete er seine Cousine Vittoria Conti.

Lagrange war ein Günstling des Königs, der ihn häufig über die Vorteile eines disziplinierten Lebensstils belehrte. Lagrange nahm die Lektion an und untersuchte seinen Geist und Körper wie Maschinen. Er experimentierte, um herauszufinden, wie viel Arbeit er vor Erschöpfung verrichten konnte. Jeden Abend stellte er sich eine konkrete Aufgabe für den nächsten Tag, und nach Abschluss eines Themenbereichs verfasste er eine kurze Analyse, um Verbesserungspotenzial in den Beweisen oder im Thema selbst aufzuzeigen. Er plante seine Abhandlungen sorgfältig, bevor er sie verfasste, und korrigierte sie in der Regel nicht einmal.

Dennoch war Lagranges Gesundheitszustand während seiner Jahre in Berlin eher schlecht, der seiner Frau Vittoria sogar noch schlechter. Sie starb 1783 nach jahrelanger Krankheit, woraufhin Lagrange sehr deprimiert war. 1786 starb Friedrich II., und das Klima in Berlin wurde für Lagrange zunehmend schwierig. ^{[ 10 ]}

Nach Friedrichs Tod im Jahr 1786 erhielt Lagrange ähnliche Einladungen aus Staaten wie Spanien und Neapel und nahm das Angebot Ludwigs XVI. an, nach Paris zu ziehen. In Frankreich wurde er mit allen Ehren empfangen, und im Louvre wurden eigens für ihn Gemächer hergerichtet. Er wurde Mitglied der Französischen Akademie der Wissenschaften , die später im Institut de France (1795) aufging. Zu Beginn seines Pariser Aufenthalts befiel ihn eine tiefe Melancholie, und selbst das gedruckte Exemplar seiner „Mécanique“ , an dem er ein Vierteljahrhundert gearbeitet hatte, lag über zwei Jahre lang ungeöffnet auf seinem Schreibtisch. Erst die Neugier auf die Folgen der Französischen Revolution riss ihn aus seiner Lethargie, eine Neugier, die sich mit dem Fortschreiten der Revolution bald in Besorgnis verwandelte.

Etwa zur gleichen Zeit, im Jahr 1792, rührte die unerklärliche Traurigkeit seines Lebens und seine Schüchternheit das Mitgefühl der 24-jährigen Renée-Françoise-Adélaïde Le Monnier, Tochter seines Freundes, des Astronomen Pierre Charles Le Monnier . Sie drängte ihn zur Heirat und erwies sich als hingebungsvolle Ehefrau, der er sich innig verbunden fühlte.

Im September 1793 begann die Schreckensherrschaft . Dank des Eingreifens von Antoine Lavoisier , der selbst bereits zusammen mit vielen anderen Gelehrten aus der Akademie ausgeschlossen worden war, wurde Lagrange im Dekret vom Oktober 1793, das alle Ausländer zur Ausreise aus Frankreich verpflichtete, namentlich ausgenommen. Am 4. Mai 1794 wurden Lavoisier und 27 weitere Steuerpächter verhaftet, zum Tode verurteilt und am Nachmittag nach dem Prozess guillotiniert. Lagrange sagte zum Tod Lavoisiers:

Es brauchte nur einen Augenblick, um diesen Kopf zu Fall zu bringen, und hundert Jahre werden nicht ausreichen, um seinesgleichen hervorzubringen. ^{[ 10 ]}

Obwohl Lagrange sich bereits rechtzeitig auf die Flucht aus Frankreich vorbereitet hatte, befand er sich nie in Gefahr; verschiedene Revolutionsregierungen (und später Napoleon ) ehrten und würdigten ihn. Dieses Glück oder diese Sicherheit mag zum Teil seiner Lebenseinstellung geschuldet sein, die er viele Jahre zuvor zum Ausdruck gebracht hatte: „ Ich glaube, dass es im Allgemeinen zu den Grundprinzipien eines jeden weisen Mannes gehört, sich strikt an die Gesetze des Landes zu halten, in dem er lebt, selbst wenn sie unvernünftig sind .“ ^{[ 10 ]} Ein eindrucksvolles Zeugnis der ihm entgegengebrachten Achtung zeigte sich 1796, als der französische Kommissar in Italien beauftragt wurde, Lagranges Vater in vollem Ornat zu besuchen und ihm die Glückwünsche der Republik zu den Leistungen seines Sohnes zu überbringen, der „durch sein Genie der gesamten Menschheit Ehre erwiesen hat und dessen Geburtsort der besondere Ruhm Piemonts war “. Es sei hinzugefügt, dass Napoleon nach seiner Machtergreifung die wissenschaftlichen Studien in Frankreich nachdrücklich förderte und sie großzügig unterstützte. 1799 wurde er zum Senator ernannt und war der erste Unterzeichner des Sénatus consulte, mit dem 1802 sein Vaterland Piemont an Frankreich angegliedert wurde. ^{[ 7 ]} Infolgedessen erhielt er die französische Staatsbürgerschaft. ^{[ 7 ]} Die Franzosen bezeichneten ihn als französischen Mathematiker, die Italiener hingegen weiterhin als Italiener. ^{[ 10 ]}

Lagrange war in den 1790er Jahren an der Entwicklung des metrischen Systems beteiligt. Als er seine Flucht vorbereitete, wurde ihm der Vorsitz der Kommission zur Reform von Maß und Gewicht ( la Commission des Poids et Mesures ) angeboten. Nach Lavoisiers Tod 1794 war es maßgeblich Lagrange, der die Wahl der Einheiten Meter und Kilogramm mit Dezimalunterteilung durch die Kommission von 1799 beeinflusste. ^{[ 18 ]} Lagrange war außerdem 1795 eines der Gründungsmitglieder des Bureau des Longitudes .

1795 wurde Lagrange auf einen Lehrstuhl für Mathematik an der neu gegründeten École Normale berufen , die jedoch nur vier Monate bestand. Seine dortigen Vorlesungen waren elementar und enthielten keine mathematischen Erkenntnisse, obwohl sie einen kurzen historischen Einblick in seine Beweggründe für die Einführung des Undezimalsystems (Basis 11) als Basis für das reformierte System der Gewichte und Maße geben. ^{[ 19 ] : 23} Die Vorlesungen wurden veröffentlicht, da die Professoren sich verpflichtet hatten, „weder von den Volksvertretern noch untereinander vorzulesen oder aus dem Gedächtnis wiederzugeben“ ["Les professeurs aux Écoles Normales ont pris, avec les Représentants du Peuple, et entr'eux l'engagement de ne point lire ou débiter de mémoire des discours écrits" ^{[ 20 ] : iii} ]. Die Vorträge wurden geordnet und stenographiert, damit die Abgeordneten sehen konnten, wie sich die Professoren verhalten haben. Es wurde auch angenommen, dass die veröffentlichten Vorträge einen erheblichen Teil der Bürger interessieren würden [„Quoique des feuilles sténographiques soient essentiellement destinées aux élèves de l'École Normale, on doit prévoir quélles seront lues par une grande partie de la Nation“ ^{[ 20 ] : v} ].

1794 wurde Lagrange zum Professor an der École Polytechnique ernannt ; seine dortigen Vorlesungen, die von Mathematikern, die das Glück hatten, sie besuchen zu können, beschrieben wurden, waren in Form und Inhalt nahezu perfekt. Ausgehend von den einfachsten Elementen führte er seine Zuhörer so weit, dass sie, fast ohne es selbst zu bemerken, die Grenzen des Fachgebiets erweiterten. Vor allem aber verdeutlichte er seinen Schülern den Vorteil, stets allgemeine Methoden in symmetrischer Notation zu verwenden.

Lagrange scheint jedoch kein erfolgreicher Lehrer gewesen zu sein. Fourier , der 1795 seine Vorlesungen besuchte, schrieb:

Seine Stimme ist sehr schwach, zumindest insofern, als er nicht emotional wird; er hat einen sehr ausgeprägten italienischen Akzent und spricht das s wie ein z aus . [...] Die Studenten, von denen die meisten ihn nicht zu schätzen wissen, heißen ihn wenig willkommen, aber die Professoren gleichen das wieder aus. ^{[ 21 ]}

1810 begann Lagrange eine gründliche Überarbeitung der „Mécanique analytique“ , konnte aber vor seinem Tod 1813 in Paris ( Rue du Faubourg Saint-Honoré 128 ) nur etwa zwei Drittel davon vollenden. Napoleon verlieh ihm nur zwei Tage vor seinem Tod das Großkreuz des Kaiserlichen Ordens von Réunion. Er wurde noch im selben Jahr im Panthéon in Paris beigesetzt. Die Inschrift auf seinem Grabstein lautet übersetzt:

Joseph Louis Lagrange. Senator. Graf des Kaiserreichs. Großoffizier der Ehrenlegion. Großkreuz des Kaiserlichen Ordens der Wiedervereinigung . Mitglied des Instituts und des Büros für Längengradbestimmung. Geboren in Turin am 25. Januar 1736. Gestorben in Paris am 10. April 1813.

Lagrange war während seiner zwanzig Jahre in Berlin wissenschaftlich äußerst aktiv. Er verfasste nicht nur sein Werk „Mécanique analytique“ , sondern veröffentlichte auch zwischen ein- und zweihundert Abhandlungen bei der Akademie von Turin, der Berliner Akademie und der Französischen Akademie. Einige davon sind regelrechte Traktate, und alle zeichnen sich ausnahmslos durch höchste Qualität aus. Bis auf eine kurze Krankheitsphase veröffentlichte er durchschnittlich etwa eine Abhandlung pro Monat. Zu den wichtigsten zählen die folgenden.

Zunächst seine Beiträge zum vierten und fünften Band (1766–1773) der „Miscellanea Taurinensia“ , von denen der Beitrag von 1771 der wichtigste war. Darin erörterte er, wie zahlreiche astronomische Beobachtungen kombiniert werden sollten, um das wahrscheinlichste Ergebnis zu erzielen. Später folgten seine Beiträge zu den ersten beiden Bänden (1784–1785) der „Transactions of the Turin Academy“. Zum ersten Band verfasste er eine Abhandlung über den Druck von Flüssigkeiten in Bewegung, zum zweiten einen Artikel über die Integration mittels unendlicher Reihen und die Art von Problemen, für die diese Methode geeignet ist.

Die meisten der nach Paris gesandten Arbeiten befassten sich mit astronomischen Fragestellungen, darunter seine Abhandlung über das Jupitersystem aus dem Jahr 1766, sein Essay über das Dreikörperproblem aus dem Jahr 1772, seine Arbeit über die Säkulargleichung des Mondes aus dem Jahr 1773 und seine Abhandlung über Kometenstörungen aus dem Jahr 1778. Sie alle verfassten sie zu Themen, die von der Académie française vorgeschlagen wurden , und in jedem Fall wurde ihm der Preis verliehen.

Zwischen 1772 und 1788 formulierte Lagrange die klassische/Newtonsche Mechanik neu, um die Formeln zu vereinfachen und die Berechnungen zu erleichtern. Diese Mechanik wird als Lagrangesche Mechanik bezeichnet .

Die meisten seiner in dieser Zeit verfassten Arbeiten reichte er jedoch bei der Preußischen Akademie der Wissenschaften ein . Einige davon befassen sich mit Fragen der Algebra .

• Seine Erörterung von Darstellungen ganzer Zahlen durch quadratische Formen (1769) und durch allgemeinere algebraische Formen (1770).
• Seine Abhandlung über die Theorie der Elimination , 1770.
• Der Satz von Lagrange besagt , dass die Ordnung einer Untergruppe H einer Gruppe G die Ordnung von G teilen muss.
• Seine Arbeiten von 1770 und 1771 behandeln das allgemeine Verfahren zur Lösung algebraischer Gleichungen beliebigen Grades mithilfe der Lagrange-Resolventen . Diese Methode liefert keine allgemeine Lösungsformel für Gleichungen fünften und höheren Grades, da die Hilfsgleichung einen höheren Grad als die ursprüngliche Gleichung aufweist. Die Bedeutung dieser Methode liegt darin, dass sie die bereits bekannten Formeln zur Lösung von Gleichungen zweiten, dritten und vierten Grades als Manifestationen eines einzigen Prinzips aufzeigt und grundlegend für die Galoistheorie war . Die vollständige Lösung einer Binomialgleichung (nämlich einer Gleichung der Form ± ) wird ebenfalls in diesen Arbeiten behandelt.${\displaystyle ax^{n}}$${\displaystyle b=0}$
• 1773 betrachtete Lagrange eine Funktionaldeterminante dritter Ordnung, einen Spezialfall einer Jacobi- Determinante . Er bewies auch den Ausdruck für das Volumen eines Tetraeders , dessen eine Ecke im Ursprung liegt, als ein Sechstel des Absolutbetrags der Determinante , die durch die Koordinaten der anderen drei Ecken gebildet wird.

Mehrere seiner frühen Arbeiten befassen sich auch mit Fragen der Zahlentheorie.

• ^{Lagrange (1766–1769) war der erste Europäer ,} der bewies, dass die Pellsche Gleichung x² − ny² = 1 ^für jede nichtquadratische natürliche Zahl n eine nichttriviale Lösung in den ganzen Zahlen besitzt . ^{[ 22 ]}
• Er bewies den von Bachet ohne Begründung aufgestellten Satz, dass jede positive ganze Zahl die Summe von vier Quadraten ist , 1770.
• Er bewies den Satz von Wilson , dass (für jede ganze Zahl n > 1 ): n genau dann eine Primzahl ist, wenn ( n − 1)! + 1 ein Vielfaches von n ist , 1771.
• In seinen Abhandlungen von 1773, 1775 und 1777 lieferte er Beweise für mehrere von Fermat formulierte, aber zuvor noch nicht bewiesene Ergebnisse.
• Seine Recherches d'Arithmétique von 1775 entwickelte eine allgemeine Theorie der binären quadratischen Formen ^, um das allgemeine Problem zu lösen, wann eine ganze Zahl durch die Form ax² + by² + ^cxy darstellbar ist .
• Er leistete Beiträge zur Theorie der Kettenbrüche .

Es gibt außerdem zahlreiche Artikel zu verschiedenen Aspekten der analytischen Geometrie . In zwei davon, die etwas später, in den Jahren 1792 und 1793, verfasst wurden, reduzierte er die Gleichungen der Quadriken (oder Kegelschnitte) auf ihre kanonischen Formen .

In den Jahren 1772 bis 1785 verfasste er eine lange Reihe von Abhandlungen, die die Wissenschaft der partiellen Differentialgleichungen begründeten . Ein Großteil dieser Ergebnisse wurde in der zweiten Auflage von Eulers Integralrechnung zusammengefasst, die 1794 erschien.

Schließlich gibt es zahlreiche Abhandlungen zu Problemen der Astronomie . Die wichtigsten davon sind die folgenden:

• Der Versuch, das allgemeine Dreikörperproblem zu lösen , führte zur Entdeckung der beiden Lösungen mit konstantem Muster, der kollinearen und der gleichseitigen Lösung, im Jahr 1772. Später wurde erkannt, dass diese Lösungen die heute als Lagrange-Punkte bekannten Punkte erklären .
• Über die Anziehung von Ellipsoiden, 1773: Dies basiert auf der Arbeit von Maclaurin .
• Zur Säkulargleichung des Mondes, 1773; bemerkenswert ist auch die früheste Einführung des Potentialbegriffs. Das Potential eines Körpers an einem beliebigen Punkt ist die Summe der Massen aller Elemente des Körpers, dividiert durch ihren Abstand von diesem Punkt. Lagrange zeigte, dass sich die Anziehungskraft in jede beliebige Richtung unmittelbar bestimmen lässt, wenn das Potential eines Körpers an einem äußeren Punkt bekannt ist. Die Potentialtheorie wurde in einer 1777 nach Berlin gesandten Abhandlung weiter ausgeführt.
• Über die Bewegung der Knotenpunkte der Planetenbahn , 1774.
• Über die Stabilität der Planetenbahnen, 1776.
• Zwei Abhandlungen, in denen die Methode zur Bestimmung der Bahn eines Kometen aus drei Beobachtungen vollständig ausgearbeitet wird, 1778 und 1783: Diese hat sich zwar in der Praxis nicht bewährt, aber sein System zur Berechnung der Störungen mittels mechanischer Quadraturen bildete die Grundlage für die meisten nachfolgenden Forschungen zu diesem Thema.
• Seine Bestimmung der säkularen und periodischen Schwankungen der Elemente der Planeten, 1781–1784: Die dafür festgelegten oberen Grenzen stimmen weitgehend mit den später von Le Verrier ermittelten überein , und Lagrange ging so weit, wie es die damals vorhandenen Kenntnisse über die Massen der Planeten zuließen.
• Drei Abhandlungen über die Interpolationsmethode, 1783, 1792 und 1793: Der Teil über finite Differenzen, der sich damit befasst, befindet sich jetzt im selben Stadium wie der, in dem Lagrange ihn hinterlassen hat.

Zusätzlich zu diesen verschiedenen Aufsätzen verfasste er seine grundlegende Abhandlung, die Mécanique analytique .

In diesem Buch legt er das Gesetz der virtuellen Arbeit dar und leitet aus diesem einen fundamentalen Prinzip mithilfe der Variationsrechnung die gesamte Mechanik ab , sowohl die der Festkörper als auch die der Flüssigkeiten.

Ziel des Buches ist es, zu zeigen, dass der Gegenstand implizit in einem einzigen Prinzip enthalten ist, und allgemeine Formeln anzugeben, aus denen sich jedes beliebige Ergebnis ableiten lässt. Die Methode der verallgemeinerten Koordinaten, mit der er dieses Ergebnis erzielte, ist vielleicht das brillanteste seiner Analysen. Anstatt wie D’Alembert und Euler die Bewegung jedes einzelnen Teils eines materiellen Systems zu verfolgen, zeigte er, dass sich die kinetische und potenzielle Energie des Systems durch eine ausreichende Anzahl von Variablen x , den sogenannten verallgemeinerten Koordinaten , bestimmen lässt, deren Anzahl der Anzahl der Freiheitsgrade des Systems entspricht. Die Bewegungsgleichungen lassen sich dann durch einfache Differentiation herleiten. Beispielsweise ersetzt er in der Dynamik starrer Systeme die Betrachtung des Einzelproblems durch die allgemeine Gleichung, die heute üblicherweise in der Form geschrieben wird:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}}}-{\frac {\partial T}{\partial x}}+{\frac {\partial V}{\partial x}}=0,}$

Dabei steht T für die kinetische und V für die potenzielle Energie des Systems. Anschließend präsentierte er die heute als Methode der Lagrange-Multiplikatoren bekannte Methode – obwohl diese Methode nicht zum ersten Mal veröffentlicht wurde – als Mittel zur Lösung dieser Gleichung. ^{[ 23 ]} Neben anderen hier aufgeführten Theoremen sei hier lediglich erwähnt, dass die durch die gegebenen Impulse einem materiellen System unter gegebenen Bedingungen verliehene kinetische Energie maximal ist, sowie das Prinzip der kleinsten Wirkung . Die gesamte Analyse ist so elegant, dass Sir William Rowan Hamilton sagte, das Werk könne nur als wissenschaftliches Gedicht bezeichnet werden. Lagrange bemerkte, die Mechanik sei in Wirklichkeit ein Zweig der reinen Mathematik, analog zu einer vierdimensionalen Geometrie, nämlich der Zeit und den drei Koordinaten des Punktes im Raum; und es heißt, er sei stolz darauf gewesen, dass das Werk von Anfang bis Ende keine einzige Zeichnung enthielt. Zunächst fand sich kein Drucker, der das Buch veröffentlichen wollte; Legendre konnte schließlich eine Pariser Firma überzeugen, das Projekt zu übernehmen, und es wurde 1788 unter der Aufsicht von Laplace, Cousin, Legendre (Herausgeber) und Condorcet herausgegeben . ^{[ 10 ]}

Lagranges Vorlesungen über Differentialrechnung an der École Polytechnique bilden die Grundlage seiner Abhandlung „Théorie des fonctions analytiques“ , die 1797 veröffentlicht wurde. Dieses Werk ist die Erweiterung einer Idee aus einem Aufsatz, den er 1772 an die Berliner Zeitschrift geschickt hatte, und sein Ziel ist es, die Differentialrechnung durch eine Gruppe von Theoremen zu ersetzen, die auf der Entwicklung algebraischer Funktionen in Reihen basieren und sich insbesondere auf das Prinzip der Allgemeingültigkeit der Algebra stützen .

Eine ähnliche Methode hatte zuvor John Landen in seiner 1758 in London erschienenen „Residual Analysis“ angewendet . Lagrange glaubte, so die Schwierigkeiten im Zusammenhang mit der Verwendung unendlich großer und unendlich kleiner Größen überwinden zu können, gegen die Philosophen in der üblichen Behandlung der Differentialrechnung Einwände erhoben hatten. Das Buch ist in drei Teile gegliedert: Der erste behandelt die allgemeine Funktionentheorie und liefert einen algebraischen Beweis des Satzes von Taylor , dessen Gültigkeit jedoch umstritten ist; der zweite befasst sich mit Anwendungen in der Geometrie; und der dritte mit Anwendungen in der Mechanik.

Eine weitere Abhandlung in diesem Bereich waren seine „Leçons sur le calcul des fonctions“ , die 1804 erstmals und 1806 in zweiter Auflage erschienen. In diesem Werk formulierte Lagrange seine berühmte Methode der Lagrange-Multiplikatoren im Kontext von Problemen der Variationsrechnung mit Integralnebenbedingungen. Diese Arbeiten zur Differentialrechnung und Variationsrechnung können als Ausgangspunkt für die Forschungen von Cauchy , Jacobi und Weierstrass betrachtet werden .

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  1813-Kopie der „Theorie des fonctions analytiques“
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  Titelseite zu „Theorie des fonctions analytiques“
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  Einführung in „Theorie des fonctions analytiques“
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  Erste Seite von „Theorie des fonctions analytiques“

Später befürwortete Lagrange die Verwendung von Infinitesimalen anstelle der Begründung der Differentialrechnung auf der Untersuchung algebraischer Formen; und im Vorwort zur zweiten Auflage der Mécanique Analytique , die 1811 erschien, rechtfertigt er die Verwendung von Infinitesimalen und schließt mit der Aussage:

Sobald wir den Geist der Infinitesimalmethode erfasst und die Genauigkeit ihrer Ergebnisse entweder mit Hilfe der geometrischen Methode der Prim- und Endverhältnisse oder mit Hilfe der analytischen Methode der abgeleiteten Funktionen überprüft haben, können wir infinitesimale Größen als sicheres und wertvolles Mittel zur Verkürzung und Vereinfachung unserer Beweise einsetzen.

Seine 1798 veröffentlichte „Résolution des équations numériques“ war ebenfalls ein Ergebnis seiner Vorlesungen an der École Polytechnique. Darin beschreibt er die Methode zur Annäherung der reellen Wurzeln einer Gleichung mittels Kettenbrüchen und formuliert mehrere weitere Theoreme. In einer Anmerkung am Ende zeigt er, wie Fermats kleiner Satz , d. h.

${\displaystyle a^{p-1}-1\equiv 0{\pmod {p}}}$

wobei p eine Primzahl und a eine zu p teilerzahlige Zahl ist , kann man die vollständige algebraische Lösung jeder Binomialgleichung angeben. Er erklärt hier auch, wie die Gleichung, deren Wurzeln die Quadrate der Differenzen der Wurzeln der ursprünglichen Gleichung sind, verwendet werden kann, um wichtige Informationen über die Lage und die Art dieser Wurzeln zu erhalten.

Die Theorie der Planetenbewegungen war Gegenstand einiger der bemerkenswertesten Berliner Schriften Lagranges. 1806 griff Poisson das Thema erneut auf und zeigte in einem Vortrag vor der Französischen Akademie, dass Lagranges Formeln zu gewissen Stabilitätsgrenzen der Umlaufbahnen führten. Lagrange, der anwesend war, diskutierte das Thema nun erneut und erklärte in einem 1808 an die Akademie gerichteten Brief, wie sich durch die Variation beliebiger Konstanten die periodischen und säkularen Ungleichungen eines beliebigen Systems wechselwirkender Körper bestimmen ließen.

Euler schlug Lagrange für die Wahl in die Berliner Akademie vor, und er wurde am 2. September 1756 gewählt. 1790 wurde er zum Mitglied der Royal Society of Edinburgh gewählt, 1806 zum Mitglied der Royal Society und zum auswärtigen Mitglied der Königlich Schwedischen Akademie der Wissenschaften. 1808 ernannte Napoleon Lagrange zum Großoffizier der Ehrenlegion und zum Grafen des Kaiserreichs . 1813, eine Woche vor seinem Tod in Paris, wurde ihm das Großkreuz des Ordre Impérial de la Réunion verliehen , und er wurde im Panthéon , einem Mausoleum für die angesehensten Franzosen, beigesetzt.

Lagrange wurde 1764 für seine Abhandlung über die Libration des Mondes mit dem Preis der Französischen Akademie der Wissenschaften ausgezeichnet . 1766 stellte die Akademie ihm ein Problem zur Bewegung der Jupitermonde , und auch dafür erhielt Lagrange den Preis. Er teilte sich den Preis außerdem in den Jahren 1772, 1774 und 1778 oder gewann ihn ganz allein.

Lagrange ist einer der 72 bedeutenden französischen Wissenschaftler , die bei der Eröffnung des Eiffelturms auf Gedenktafeln in der ersten Bauphase geehrt wurden. Die Rue Lagrange im 5. Arrondissement von Paris ist nach ihm benannt. In Turin trägt die Straße, in der sein Geburtshaus noch heute steht, den Namen Via Lagrange . Auch der Mondkrater Lagrange und der Asteroid 1006 Lagrangea sind nach ihm benannt.

• Liste der nach Joseph-Louis Lagrange benannten Dinge
• Vierdimensionaler Raum
• Gaußsches Gesetz
• Geschichte des Meters
• Lagranges Rolle bei der Reform des Messsystems
• Sekundenpendel

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Joseph-Louis Lagrange" , MacTutor History of Mathematics Archive , University of St Andrews
• Pepe, Luigi (2013). „Lagrange, Giuseppe Luigi“ . Der italienische Beitrag zur Denkgeschichte: Wissenschaft . Rom: Istituto dell'Enciclopedia Italiana . Abgerufen am 21. Juni 2025 .
• Weisstein, Eric Wolfgang (Hrsg.). „Lagrange, Joseph (1736–1813)“ . ScienceWorld .
• Lagrange, Joseph Louis de: Die Enzyklopädie der Astrobiologie, Astronomie und Raumfahrt
• Clerke, Agnes Mary (1911). „Lagrange, Joseph Louis“  . Encyclopædia Britannica . Band 16 (11. Aufl.). S.  75–78 .
• Joseph-Louis Lagrange beim Mathematik-Genealogieprojekt
• Die Begründer der klassischen Mechanik: Joseph Louis Lagrange
• Die Lagrange-Punkte
• Herleitung des Lagrange-Ergebnisses (nicht der Lagrange-Methode)
• Lagranges Werke (auf Französisch) Oeuvres de Lagrange, herausgegeben von Joseph Alfred Serret, Paris 1867, digitalisiert vom Göttinger Digitalisierungszentrum (Mécanique analytique befindet sich in den Bänden 11 und 12.)
• Joseph Louis de Lagrange – Gesamtwerk Gallica-Math
• Chronologische Erfindung des Werks von Lagrange Persee
• Werke von Joseph-Louis Lagrange im Projekt Gutenberg
• Werke von oder über Joseph-Louis Lagrange im Internet Archive
• Mécanique analytique (Paris, 1811-15)