Gewichtetes arithmetisches Mittel

Das gewichtete arithmetische Mittel ähnelt dem gewöhnlichen arithmetischen Mittel (der gebräuchlichsten Art der Mittelwertberechnung ), mit dem Unterschied, dass nicht alle Datenpunkte gleich stark zum Endergebnis beitragen, sondern manche stärker als andere. Das Konzept des gewichteten Mittels spielt eine Rolle in der deskriptiven Statistik und findet sich in allgemeinerer Form auch in verschiedenen anderen Bereichen der Mathematik wieder .

Sind alle Gewichte gleich, so entspricht das gewichtete Mittel dem arithmetischen Mittel . Obwohl sich gewichtete Mittel im Allgemeinen ähnlich wie arithmetische Mittel verhalten, weisen sie einige kontraintuitive Eigenschaften auf, wie beispielsweise im Simpson-Paradoxon .

Gegeben sind zwei Schulklassen – eine mit 20 Schülern, die andere mit 30 Schülern – und die folgenden Testergebnisse in jeder Klasse:

Morgenklasse = {62, 67, 71, 74, 76, 77, 78, 79, 79, 80, 80, 81, 81, 82, 83, 84, 86, 89, 93, 98}

Nachmittagsklasse = {81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 87, 88, 88, 89, 89, 89, 90, 90, 90, 90, 91, 91, 91, 92, 92, 93, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99}

Der Mittelwert der Vormittagsklasse beträgt 80, der der Nachmittagsklasse 90. Der ungewichtete Mittelwert der beiden Mittelwerte liegt bei 85. Dieser Wert berücksichtigt jedoch nicht die unterschiedliche Schülerzahl in den beiden Klassen (20 bzw. 30). Daher spiegelt der Wert von 85 nicht die durchschnittliche Schülernote (unabhängig von der Klasse) wider. Die durchschnittliche Schülernote lässt sich ermitteln, indem man alle Noten addiert und durch die Gesamtzahl der Schüler teilt. $${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {4300}{50}}=86.}$$

Alternativ kann dies erreicht werden, indem die Klassenmittelwerte anhand der Schülerzahl in jeder Klasse gewichtet werden. Der größeren Klasse wird dabei ein höheres Gewicht beigemessen:

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {(20\times 80)+(30\times 90)}{20+30}}=86.}$

Der gewichtete Mittelwert ermöglicht es somit, den durchschnittlichen Notendurchschnitt der Schüler zu ermitteln, ohne die einzelnen Noten der Schüler zu kennen. Es werden lediglich die Klassenmittelwerte und die Anzahl der Schüler in jeder Klasse benötigt.

Da nur die relativen Gewichte relevant sind, lässt sich jeder gewichtete Mittelwert mithilfe von Koeffizienten ausdrücken, deren Summe eins ergibt. Eine solche Linearkombination wird als konvexe Kombination bezeichnet .

Anhand des vorherigen Beispiels ergäben sich folgende Gewichtungen:

${\displaystyle {\frac {20}{20+30}}=0,4}$

${\displaystyle {\frac {30}{20+30}}=0,6}$

Wenden Sie die Gewichte dann wie folgt an:

${\displaystyle {\bar {x}}=(0.4\times 80)+(0.6\times 90)=86.}$

Formal ist der gewichtete Mittelwert eines nichtleeren endlichen Datentupels mit entsprechenden nichtnegativen Gewichten${\displaystyle \left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)}$${\displaystyle \left(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n}\right)}$

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}}},}$

was sich erweitert zu:

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w_{1}+w_{2}+\cdots +w_{n}}}.}$

Daher tragen Datenelemente mit hohem Gewicht stärker zum gewichteten Mittelwert bei als solche mit niedrigem Gewicht. Die Gewichte dürfen nicht negativ sein, damit die Gleichung funktioniert. ^{[ a ]} Einige können null sein, aber nicht alle (da eine Division durch null nicht zulässig ist).

Die Formeln vereinfachen sich, wenn die Gewichte so normiert werden, dass ihre Summe 1 ergibt, d. h. . Für solche normierten Gewichte ist der gewichtete Mittelwert äquivalent zu: ${\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}'}=1}$

${\displaystyle {\bar {x}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}'x_{i}}}$Die

Man kann die Gewichte immer normalisieren, indem man die folgende Transformation an den ursprünglichen Gewichten vornimmt:

${\displaystyle w_{i}'={\frac {w_{i}}{\sum \limits _{j=1}^{n}{w_{j}}}}}$Die

Der gewöhnliche Mittelwert ist ein Spezialfall des gewichteten Mittelwerts, bei dem alle Daten das gleiche Gewicht haben. ${\textstyle {\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}}$

Sind die Datenelemente unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit der Varianz , so lässt sich der Standardfehler des gewichteten Mittelwerts , , mittels Fehlerfortpflanzung wie folgt darstellen :${\displaystyle \sigma ^{2}}$${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}}$

${\textstyle \sigma _{\bar {x}}=\sigma {\sqrt {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}'^{2}}}}$

Für den gewichteten Mittelwert einer Liste von Daten, bei denen jedes Element potenziell aus einer anderen Wahrscheinlichkeitsverteilung mit bekannter Varianz stammt , alle jedoch denselben Mittelwert haben, ist eine mögliche Wahl für die Gewichte der Kehrwert der Varianz: ${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$

${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}.}$

Der gewichtete Mittelwert beträgt in diesem Fall:

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left({\dfrac {x_{i}}{\sigma _{i}^{2}}}\right)}{\sum _{i=1}^{n}{\dfrac {1}{\sigma _{i}^{2}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}\cdot w_{i}\right)}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}},}$

und der Standardfehler des gewichteten Mittelwerts (mit inversen Varianzgewichten) beträgt:

${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}={\sqrt {\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{-2}}}}={\sqrt {\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}},}$

Beachten Sie, dass sich dies auf reduziert, wenn alle . Es handelt sich um einen Spezialfall der allgemeinen Formel aus dem vorherigen Abschnitt. ${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}^{2}=\sigma _{0}^{2}/n}$${\displaystyle \sigma _{i}=\sigma _{0}}$

${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}^{2}=\sum _{i=1}^{n}{w_{i}'^{2}\sigma _{i}^{2}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{\sigma _{i}^{-4}\sigma _{i}^{2}}}{\left(\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{-2}\right)^{2}}}.}$

Die obigen Gleichungen lassen sich kombinieren zu:

${\displaystyle {\bar {x}}=\sigma _{\bar {x}}^{2}\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{\sigma _{i}^{2}}}.}$

Die Bedeutung dieser Wahl liegt darin, dass dieser gewichtete Mittelwert der Maximum-Likelihood-Schätzer des Mittelwerts der Wahrscheinlichkeitsverteilungen unter der Annahme ist, dass diese unabhängig und normalverteilt mit demselben Mittelwert sind.

Der gewichtete Stichprobenmittelwert ist selbst eine Zufallsvariable. Sein Erwartungswert und seine Standardabweichung hängen wie folgt mit den Erwartungswerten und Standardabweichungen der Einzelbeobachtungen zusammen. Vereinfachend nehmen wir normalisierte Gewichte an (Gewichte in Summe eins). ${\displaystyle {\bar {x}}}$

Wenn die Beobachtungen Erwartungswerte haben, dann hat der gewichtete Stichprobenmittelwert einen Erwartungswert. Insbesondere wenn die Mittelwerte gleich sind, dann ist der Erwartungswert des gewichteten Stichprobenmittelwerts dieser Wert. $${\displaystyle E(x_{i})={\mu _{i}},}$$$${\displaystyle E({\bar {x}})=\sum _{i=1}^{n}{w_{i}'\mu _{i}}.}$$${\displaystyle \mu _{i}=\mu }$$${\displaystyle E({\bar {x}})=\mu .}$$

Wenn man die Gewichte als Konstanten behandelt und eine Stichprobe von n Beobachtungen von unkorrelierten Zufallsvariablen hat , die alle die gleiche Varianz und den gleichen Erwartungswert aufweisen (wie es bei iid -Zufallsvariablen der Fall ist), dann kann die Varianz des gewichteten Mittelwerts als Multiplikation der ungewichteten Varianz mit dem Kish-Designeffekt geschätzt werden (siehe Beweis ):

${\displaystyle \operatorname {Var} ({\bar {y}}_{w})={\hat {\sigma }}_{y}^{2}{\frac {\overline {w^{2}}}{{\bar {w}}^{2}}}}$

Mit , , und${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{y}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}{n-1}}}$${\displaystyle {\bar {w}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}}{n}}}$${\displaystyle {\overline {w^{2}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}}{n}}}$

Diese Schätzung ist jedoch aufgrund der starken Annahme bezüglich der y- Beobachtungen recht eingeschränkt. Dies hat zur Entwicklung alternativer, allgemeinerer Schätzer geführt.

Aus modellbasierter Sicht interessiert uns die Schätzung der Varianz des gewichteten Mittelwerts, wenn die verschiedenen Variablen keine unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen sind. Ein alternativer Ansatz für dieses Problem ist die Betrachtung eines beliebigen Stichprobendesigns , bei dem die Einheiten mit ungleichen Wahrscheinlichkeiten (mit Zurücklegen) ausgewählt werden. ^{[ 1 ] : 306} ${\displaystyle y_{i}}$

In der Umfragemethodik wird der Populationsmittelwert einer interessierenden Größe y berechnet, indem die Summe von y über alle Elemente der Population ( Y oder manchmal T ) geschätzt und durch die Populationsgröße – entweder bekannt ( ) oder geschätzt ( ) – dividiert wird. Dabei wird jeder Wert von y als konstant betrachtet, und die Variabilität ergibt sich aus dem Auswahlverfahren. Dies steht im Gegensatz zu modellbasierten Ansätzen, bei denen die Zufälligkeit oft in den y-Werten beschrieben wird. Das Stichprobenverfahren liefert eine Reihe von Bernoulli -Indikatorwerten ( ), die 1 annehmen, wenn eine Beobachtung i in der Stichprobe enthalten ist, und 0, wenn sie nicht ausgewählt wurde. Dies kann bei Stichproben mit festem oder variablem Stichprobenumfang (z. B. Poisson-Stichprobe ) auftreten. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Element in einer Stichprobe ausgewählt wird, wird mit bezeichnet , und die Wahrscheinlichkeit der Auswahl bei einer Ziehung beträgt (wenn N sehr groß und jedes sehr klein ist). Für die folgende Herleitung nehmen wir an, dass die Wahrscheinlichkeit der Auswahl jedes Elements vollständig durch diese Wahrscheinlichkeiten repräsentiert wird. ^{[ 2 ] : 42, 43, 51} D.h.: Die Auswahl eines Elements beeinflusst nicht die Wahrscheinlichkeit, ein anderes Element zu ziehen (dies gilt nicht für Dinge wie Cluster-Stichprobenverfahren ). ${\displaystyle N}$${\displaystyle {\hat {N}}}$${\displaystyle I_{i}}$${\displaystyle P(I_{i}=1\mid {\text{Some sample of size }}n)=\pi _{i}}$${\displaystyle P(I_{i}=1|{\text{one sample draw}})=p_{i}\approx {\frac {\pi _{i}}{n}}}$${\displaystyle p_{i}}$

Da jedes Element ( ) fest ist und die Zufälligkeit dadurch entsteht, ob es in der Stichprobe enthalten ist oder nicht ( ), spricht man oft vom Produkt der beiden, das eine Zufallsvariable darstellt. Um Verwirrung im folgenden Abschnitt zu vermeiden, nennen wir diesen Term: . Mit folgendem Erwartungswert: ; und folgender Varianz: . ${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle I_{i}}$${\displaystyle y'_{i}=y_{i}I_{i}}$${\displaystyle E[y'_{i}]=y_{i}E[I_{i}]=y_{i}\pi _{i}}$${\displaystyle V[y'_{i}]=y_{i}^{2}V[I_{i}]=y_{i}^{2}\pi _{i}(1-\pi _{i})}$

Wenn jedes Element der Stichprobe mit dem Kehrwert seiner Auswahlwahrscheinlichkeit erhöht wird, spricht man von den -erweiterten y- Werten, d. h.: . Eine verwandte Größe sind die -erweiterten y- Werte: . ^{[ 2 ] : 42, 43, 51, 52} Wie oben können wir ein Häkchen hinzufügen, wenn wir mit der Indikatorfunktion multiplizieren. D. h.:${\displaystyle \pi }$${\displaystyle {\check {y}}_{i}={\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\frac {y_{i}}{p_{i}}}=n{\check {y}}_{i}}$${\displaystyle {\check {y}}'_{i}=I_{i}{\check {y}}_{i}={\frac {I_{i}y_{i}}{\pi _{i}}}}$

In dieser designorientierten Perspektive werden die Gewichte, die im Zähler des gewichteten Mittelwerts verwendet werden, durch Invertierung der Auswahlwahrscheinlichkeit (d. h. des Inflationsfaktors) ermittelt. D. h.: . ${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{\pi _{i}}}\approx {\frac {1}{n\times p_{i}}}}$

Wenn die Populationsgröße N bekannt ist, können wir den Populationsmittelwert mit Hilfe von schätzen . ${\displaystyle {\hat {\bar {Y}}}_{{\text{known }}N}={\frac {{\hat {Y}}_{pwr}}{N}}\approx {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}{N}}}$

Wenn das Stichprobendesign zu einer festen Stichprobengröße n führt (wie beispielsweise bei der PPS-Stichprobe ), dann ist die Varianz dieses Schätzers:

${\displaystyle \operatorname {Var} \left({\hat {\bar {Y}}}_{{\text{known }}N}\right)={\frac {1}{N^{2}}}{\frac {n}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(w_{i}y_{i}-{\overline {wy}}\right)^{2}}$

Ein alternativer Begriff für den Fall, dass die Stichprobe eine zufällige Stichprobengröße aufweist (wie bei der Poisson-Stichprobe ), wird in Sarndal et al. (1992) wie folgt angegeben: ^{[ 2 ] : 182}

$${\displaystyle \operatorname {Var} ({\hat {\bar {Y}}}_{{\text{pwr (known }}N{\text{)}}})={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left({\check {\Delta }}_{ij}{\check {y}}_{i}{\check {y}}_{j}\right)}$$

Dabei ist die Wahrscheinlichkeit , sowohl i als auch j auszuwählen. ^{[ 2 ] : 36} Und für i=j: . ^{[ 2 ] : 43} ${\displaystyle {\check {y}}_{i}={\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}$${\displaystyle C(I_{i},I_{j})=\pi _{ij}-\pi _{i}\pi _{j}=\Delta _{ij}}$${\displaystyle \pi _{ij}}$${\displaystyle {\check {\Delta }}_{ij}=1-{\frac {\pi _{i}\pi _{j}}{\pi _{ij}}}}$${\displaystyle {\check {\Delta }}_{ii}=1-{\frac {\pi _{i}\pi _{i}}{\pi _{i}}}=1-\pi _{i}}$

Sind die Auswahlwahrscheinlichkeiten unkorreliert (d. h. ), und wird angenommen, dass die Wahrscheinlichkeit jedes Elements sehr klein ist, dann gilt: ${\displaystyle \forall i\neq j:C(I_{i},I_{j})=0}$

${\displaystyle \operatorname {Var} ({\hat {\bar {Y}}}_{{\text{pwr (known }}N{\text{)}}})={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\left(w_{i}y_{i}\right)^{2}}$

Im vorherigen Abschnitt wurde die Schätzung des Populationsmittelwerts als Verhältnis einer geschätzten Populationsgesamtheit ( ) zu einer bekannten Populationsgröße ( ) behandelt, und die Varianz wurde in diesem Kontext geschätzt. Ein weiterer häufiger Fall ist, dass die Populationsgröße selbst ( ) unbekannt ist und anhand der Stichprobe geschätzt wird (d. h.: ). Die Schätzung von kann als Summe der Gewichte beschrieben werden. Wir erhalten also . Mit der obigen Notation ist der Parameter, der uns interessiert, das Verhältnis der Summen von s und 1s. D. h.: . Wir können ihn anhand unserer Stichprobe schätzen mit: . Da wir von N zu n übergegangen sind, wissen wir, dass alle Indikatorvariablen den Wert 1 annehmen, sodass wir einfach schreiben können: . Dies ist der Schätzwert für bestimmte Werte von y und w, die statistischen Eigenschaften ergeben sich jedoch erst durch die Einbeziehung der Indikatorvariablen . ^{[ 2 ] : 162, 163, 176} ${\displaystyle {\hat {Y}}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle {\hat {N}}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{\pi _{i}}}}$${\displaystyle {\hat {N}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}I_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {I_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\check {1}}'_{i}}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle R={\bar {Y}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\pi _{i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\check {1}}_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}}$${\displaystyle {\hat {R}}={\hat {\bar {Y}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}I_{i}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}I_{i}{\frac {1}{\pi _{i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}'_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\check {1}}'_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}y'_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}1'_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}1'_{i}}}={\bar {y}}_{w}}$${\displaystyle {\bar {y}}_{w}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}}$${\displaystyle {\bar {y}}_{w}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}1'_{i}}}}$

Dies wird als Verhältnis-Schätzer bezeichnet und ist für R annähernd erwartungstreu . ^{[ 2 ] : 182}

In diesem Fall hängt die Variabilität des Verhältnisses von der Variabilität der Zufallsvariablen im Zähler und Nenner sowie von deren Korrelation ab. Da es keine geschlossene analytische Formel zur Berechnung dieser Varianz gibt, werden verschiedene Methoden zur approximativen Schätzung verwendet. Hauptsächlich Taylorreihen -Linearisierung erster Ordnung, asymptotische Verfahren und Bootstrap/Jackknife. ^{[ 2 ] : 172} Die Taylor-Linearisierungsmethode kann im Allgemeinen bei kleinen Stichprobenumfängen zu einer Unterschätzung der Varianz führen, dies hängt jedoch von der Komplexität der Statistik ab. Für den gewichteten Mittelwert wird angenommen, dass die approximative Varianz auch bei mittleren Stichprobenumfängen relativ genau ist. ^{[ 2 ] : 176} Bei einer Stichprobe mit zufälligem Stichprobenumfang (wie bei der Poisson-Verteilung ) gilt Folgendes: ^{[ 2 ] : 182}

${\displaystyle {\widehat {V({\bar {y}}_{w})}}={\frac {1}{(\sum _{i=1}^{n}w_{i})^{2}}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}(y_{i}-{\bar {y}}_{w})^{2}}$Die

Wenn , dann würden sowohl die Verwendung von als auch den gleichen Schätzer liefern, da die Multiplikation mit einem Faktor zum gleichen Ergebnis führt. Das bedeutet auch, dass die Varianzberechnung identisch aussieht, wenn wir die Summe der Gewichte auf eine zuvor bekannte Populationsgröße N skalieren . Sind alle Gewichte gleich, reduziert sich diese Formel auf den standardmäßigen erwartungstreuen Varianzschätzer. ${\displaystyle \pi _{i}\approx p_{i}n}$${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{\pi _{i}}}}$${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{p_{i}}}}$${\displaystyle w_{i}}$

Es existieren (mindestens) zwei Varianten der Varianzberechnung für den gewichteten Mittelwert: eine mit bekannter und eine mit unbekannter Populationsgröße. Es gibt keinen allgemein besseren Ansatz, aber die Literatur liefert mehrere Argumente, die für die Variante mit Populationsschätzung sprechen (selbst bei bekannter Populationsgröße). ^{[ 2 ] : 188} Beispielsweise liefert der Schätzer mit unbekannter Populationsgröße bei konstanten y-Werten das korrekte Ergebnis, während der Schätzer mit bekannter Populationsgröße eine gewisse Variabilität aufweist. Auch bei zufälliger Stichprobengröße (z. B. bei Poisson-Verteilung ) gilt die Variante mit unbekanntem Populationsmittelwert als stabiler. Schließlich kompensiert die Variante mit unbekannter Populationsgröße einen negativen Zusammenhang zwischen dem Stichprobenanteil und den Werten (d. h. eine geringere Wahrscheinlichkeit, einen großen Wert zu erhalten).

Im trivialen Fall, in dem alle Gewichte gleich 1 sind, entspricht die obige Formel genau der regulären Formel für die Varianz des Mittelwerts (beachten Sie jedoch, dass hier der Maximum-Likelihood-Schätzer für die Varianz anstelle der erwartungstreuen Varianz verwendet wird, d. h. durch n statt durch (n-1) geteilt wird).

Gatz et al. (1995) haben gezeigt, dass im Vergleich zu Bootstrapping -Methoden die folgende Methode (Varianzschätzung des Verhältnismittelwerts mittels Taylorreihen- Linearisierung) eine angemessene Schätzung für das Quadrat des Standardfehlers des Mittelwerts darstellt (bei der Messung chemischer Bestandteile): ^{[ 4 ] : 1186}

${\displaystyle {\widehat {\sigma _{{\bar {x}}_{w}}^{2}}}={\frac {n}{(n-1)(n{\bar {w}})^{2}}}\left[\sum (w_{i}x_{i}-{\bar {w}}{\bar {x}}_{w})^{2}-2{\bar {x}}_{w}\sum (w_{i}-{\bar {w}})(w_{i}x_{i}-{\bar {w}}{\bar {x}}_{w})+{\bar {x}}_{w}^{2}\sum (w_{i}-{\bar {w}})^{2}\right]}$

wo . Eine weitere Vereinfachung führt zu ${\displaystyle {\bar {w}}={\frac {\sum w_{i}}{n}}}$

${\displaystyle {\widehat {\sigma _{\bar {x}}^{2}}}={\frac {n}{(n-1)(n{\bar {w}})^{2}}}\sum w_{i}^{2}(x_{i}-{\bar {x}}_{w})^{2}}$

Gatz et al. erwähnen, dass die obige Formulierung von Endlich et al. (1988) veröffentlicht wurde, die den gewichteten Mittelwert als Kombination eines gewichteten Gesamtschätzers dividiert durch einen Schätzer der Populationsgröße ^{[ 5 ]} betrachteten, basierend auf der von Cochran (1977) veröffentlichten Formulierung, als Approximation des Verhältnismittelwerts. Endlich et al. scheinen diese Herleitung jedoch nicht in ihrer Arbeit veröffentlicht zu haben (obwohl sie deren Verwendung erwähnen), und Cochrans Buch enthält eine leicht abweichende Formulierung. ^{[ 1 ] : 155} Dennoch ist sie nahezu identisch mit den in den vorherigen Abschnitten beschriebenen Formulierungen.

Da es keine geschlossene analytische Formel für die Varianz des gewichteten Mittelwerts gibt, wurde in der Literatur vorgeschlagen, Replikationsmethoden wie Jackknife und Bootstrapping zu verwenden . ^{[ 1 ] : 321}

Bei unkorrelierten Beobachtungen mit Varianzen ist die Varianz des gewichteten Stichprobenmittelwerts ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$

${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}^{2}=\sum _{i=1}^{n}{w_{i}'^{2}\sigma _{i}^{2}}}$

deren Quadratwurzel als Standardfehler des gewichteten Mittelwerts bezeichnet werden kann (allgemeiner Fall) .${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}}$

Wenn folglich alle Beobachtungen die gleiche Varianz aufweisen, hat der gewichtete Stichprobenmittelwert die Varianz . ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}=\sigma _{0}^{2}}$

${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}^{2}=\sigma _{0}^{2}\sum _{i=1}^{n}{w_{i}'^{2}},}$

Die Varianz erreicht ihren Maximalwert, , wenn alle Gewichte bis auf eines null sind. Ihr Minimalwert ergibt sich, wenn alle Gewichte gleich sind (d. h. ungewichteter Mittelwert), in welchem ​​Fall , d. h. sie reduziert sich auf das Quadrat des Standardfehlers des Mittelwerts . ${\textstyle 1/n\leq \sum _{i=1}^{n}{w_{i}'^{2}}\leq 1}$${\displaystyle \sigma _{0}^{2}}$${\textstyle \sigma _{\bar {x}}=\sigma _{0}/{\sqrt {n}}}$

Da man nicht-normalisierte Gewichte immer in normalisierte Gewichte umwandeln kann, können alle Formeln in diesem Abschnitt an nicht-normalisierte Gewichte angepasst werden, indem man alle ersetzt . ${\displaystyle w_{i}'={\frac {w_{i}}{\sum _{i=1}^{n}{w_{i}}}}}$

Wenn die Gewichte und sind , ist der gewichtete arithmetische Mittelwert zweier Brüche und gleich ihrem Median . ${\displaystyle c}$${\displaystyle d}$${\displaystyle a/c}$${\displaystyle b/d}$

Üblicherweise ist es bei der Berechnung eines Mittelwerts wichtig, die Varianz und die Standardabweichung um diesen Mittelwert zu kennen. Bei Verwendung eines gewichteten Mittelwerts unterscheidet sich die Varianz der gewichteten Stichprobe von der Varianz der ungewichteten Stichprobe. ${\displaystyle \mu ^{*}}$

Die verzerrte gewichtete Stichprobenvarianz ist ähnlich definiert wie die normale verzerrte Stichprobenvarianz : ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{\mathrm {w} }^{2}}$${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\sigma }}^{2}\ &={\frac {\sum \limits _{i=1}^{N}\left(x_{i}-\mu \right)^{2}}{N}}\\{\hat {\sigma }}_{\mathrm {w} }^{2}&={\frac {\sum \limits _{i=1}^{N}w_{i}\left(x_{i}-\mu ^{*}\right)^{2}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}\end{aligned}}}$

wobei für normalisierte Gewichte gilt. Wenn es sich bei den Gewichten um Frequenzgewichte handelt (und sie somit Zufallsvariablen sind), lässt sich zeigen, dass der Maximum-Likelihood-Schätzer für iid- Gaußsche Beobachtungen ist. ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}w_{i}=1}$${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{\mathrm {w} }^{2}}$${\displaystyle \sigma ^{2}}$

Bei kleinen Stichproben ist es üblich, einen erwartungstreuen Schätzer für die Populationsvarianz zu verwenden . In ungewichteten Normalstichproben wird das N im Nenner (entsprechend dem Stichprobenumfang) durch N  − 1 ersetzt (siehe Besselsche Korrektur ). Im gewichteten Fall existieren zwei verschiedene erwartungstreue Schätzer: einer für die Gewichtung nach Häufigkeit und einer für die Gewichtung nach Zuverlässigkeit .

Wenn es sich bei den Gewichten um Häufigkeitsgewichte handelt (wobei ein Gewicht der Anzahl der Vorkommen entspricht), dann ist der erwartungstreue Schätzer:

${\displaystyle s^{2}\ ={\frac {\sum \limits _{i=1}^{N}w_{i}\left(x_{i}-\mu ^{*}\right)^{2}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}-1}}}$

Dies wendet effektiv Bessels Korrektur für Häufigkeitsgewichte an. Wenn beispielsweise Werte aus derselben Verteilung stammen, können wir diese Menge als ungewichtete Stichprobe behandeln oder als gewichtete Stichprobe mit entsprechenden Gewichten – wir erhalten in beiden Fällen dasselbe Ergebnis. ${\displaystyle \{2,2,4,5,5,5\}}$${\displaystyle \{2,4,5\}}$${\displaystyle \{2,1,3\}}$

Werden die Frequenzgewichte auf 1 normiert, so lautet der korrekte Ausdruck nach der Bessel-Korrektur: ${\displaystyle \{w_{i}\}}$

${\displaystyle s^{2}\ ={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}-1}}\sum _{i=1}^{N}w_{i}\left(x_{i}-\mu ^{*}\right)^{2}}$

wobei die Gesamtzahl der Stichproben (nicht ) ist. In jedem Fall ist die Information über die Gesamtzahl der Stichproben notwendig, um eine unverzerrte Korrektur zu erhalten, selbst wenn sie eine andere Bedeutung als die Frequenzgewichtung hat. ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}w_{i}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle w_{i}}$

Der Schätzer kann nur dann unverzerrt sein, wenn die Gewichte weder standardisiert noch normalisiert werden , da diese Prozesse den Mittelwert und die Varianz der Daten verändern und somit zu einem Verlust der Basisrate (der Populationszahl, die eine Voraussetzung für die Bessel-Korrektur ist) führen.

Wenn es sich bei den Gewichten stattdessen um Zuverlässigkeitsgewichte handelt (nicht-zufällige Werte, die die relative Vertrauenswürdigkeit der Stichprobe widerspiegeln und häufig aus der Stichprobenvarianz abgeleitet werden), können wir einen Korrekturfaktor bestimmen, um einen unverzerrten Schätzer zu erhalten. Unter der Annahme, dass jede Zufallsvariable aus derselben Verteilung mit Mittelwert und tatsächlicher Varianz gezogen wird , erhalten wir durch die Berechnung der Erwartungswerte: ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma _{\text{actual}}^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [{\hat {\sigma }}^{2}]&={\frac {\sum \limits _{i=1}^{N}\operatorname {E} [(x_{i}-\mu )^{2}]}{N}}\\&=\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} [X])^{2}]-{\frac {1}{N}}\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} [X])^{2}]\\&=\left({\frac {N-1}{N}}\right)\sigma _{\text{actual}}^{2}\\\operatorname {E} [{\hat {\sigma }}_{\mathrm {w} }^{2}]&={\frac {\sum \limits _{i=1}^{N}w_{i}\operatorname {E} [(x_{i}-\mu ^{*})^{2}]}{V_{1}}}\\&=\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} [X])^{2}]-{\frac {V_{2}}{V_{1}^{2}}}\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} [X])^{2}]\\&=\left(1-{\frac {V_{2}}{V_{1}^{2}}}\right)\sigma _{\text{actual}}^{2}\end{aligned}}}$

wobei und . Daher beträgt die Verzerrung unseres Schätzers , analog zur Verzerrung des ungewichteten Schätzers (beachten Sie auch, dass die effektive Stichprobengröße ist ). Um unseren Schätzer zu entzerren, müssen wir also durch dividieren , um sicherzustellen, dass der Erwartungswert der geschätzten Varianz der tatsächlichen Varianz der Stichprobenverteilung entspricht . Die endgültige unverzerrte Schätzung der Stichprobenvarianz lautet: ${\displaystyle V_{1}=\sum _{i=1}^{N}w_{i}}$${\displaystyle V_{2}=\sum _{i=1}^{N}w_{i}^{2}}$${\displaystyle \left(1-{\frac {V_{2}}{V_{1}^{2}}}\right)}$${\displaystyle \left({\frac {N-1}{N}}\right)}$${\displaystyle \ V_{1}^{2}/V_{2}=N_{eff}}$${\displaystyle 1-\left(V_{2}/V_{1}^{2}\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{\mathrm {w} }^{2}\ &={\frac {{\hat {\sigma }}_{\mathrm {w} }^{2}}{1-(V_{2}/V_{1}^{2})}}\\[4pt]&={\frac {\sum \limits _{i=1}^{N}w_{i}(x_{i}-\mu ^{*})^{2}}{V_{1}-(V_{2}/V_{1})}},\end{aligned}}}$^{[ 6 ]}

wobei . Die Freiheitsgrade dieser gewichteten, erwartungstreuen Stichprobenvarianz variieren entsprechend von N  − 1 bis 0. Die Standardabweichung ist einfach die Quadratwurzel der obigen Varianz. ${\displaystyle \operatorname {E} [s_{\mathrm {w} }^{2}]=\sigma _{\text{actual}}^{2}}$

Am Rande sei erwähnt, dass auch andere Ansätze zur Berechnung der gewichteten Stichprobenvarianz beschrieben wurden. ^{[ 7 ]}

Bei einer gewichteten Stichprobe wird jedem Zeilenvektor (jedem Satz einzelner Beobachtungen zu jeder der K Zufallsvariablen) ein Gewicht zugewiesen . ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}}$${\displaystyle w_{i}\geq 0}$

Dann ergibt sich der gewichtete Mittelwertvektor wie folgt:${\displaystyle \mathbf {\mu ^{*}} }$

${\displaystyle \mathbf {\mu ^{*}} ={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}\mathbf {x} _{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}.}$

Die gewichtete Kovarianzmatrix ist gegeben durch: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \mathbf {C} ={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}\left(\mathbf {x} _{i}-\mu ^{*}\right)^{T}\left(\mathbf {x} _{i}-\mu ^{*}\right)}{V_{1}}}.}$

Ähnlich wie bei der gewichteten Stichprobenvarianz gibt es zwei verschiedene erwartungstreue Schätzer, abhängig von der Art der Gewichte.

Wenn es sich bei den Gewichten um Frequenzgewichte handelt , ist die unverzerrte gewichtete Schätzung der Kovarianzmatrix , mit Bessel-Korrektur, gegeben durch: ^{[ 8 ]}${\displaystyle \textstyle \mathbf {C} }$

${\displaystyle \mathbf {C} ={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}\left(\mathbf {x} _{i}-\mu ^{*}\right)^{T}\left(\mathbf {x} _{i}-\mu ^{*}\right)}{V_{1}-1}}.}$

Dieser Schätzer kann nur dann unverzerrt sein, wenn die Gewichte weder standardisiert noch normalisiert werden , da diese Prozesse den Mittelwert und die Varianz der Daten verändern und somit zu einem Verlust der Basisrate (der Populationszahl, die eine Voraussetzung für die Bessel-Korrektur ist) führen.

Im Falle von Zuverlässigkeitsgewichten werden die Gewichte normalisiert :

${\displaystyle V_{1}=\sum _{i=1}^{N}w_{i}=1.}$

(Falls dies nicht der Fall ist, teilen Sie die Gewichte durch ihre Summe, um sie vor der Berechnung zu normalisieren :) ${\displaystyle V_{1}}$

${\displaystyle w_{i}'={\frac {w_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}}$

Dann lässt sich der gewichtete Mittelwertvektor vereinfachen zu${\displaystyle \mathbf {\mu ^{*}} }$

${\displaystyle \mathbf {\mu ^{*}} =\sum _{i=1}^{N}w_{i}\mathbf {x} _{i}.}$

und die unverzerrte gewichtete Schätzung der Kovarianzmatrix lautet: ^{[ 9 ]}${\displaystyle \mathbf {C} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {C} &={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}}{\left(\sum _{i=1}^{N}w_{i}\right)^{2}-\sum _{i=1}^{N}w_{i}^{2}}}\sum _{i=1}^{N}w_{i}\left(\mathbf {x} _{i}-\mu ^{*}\right)^{T}\left(\mathbf {x} _{i}-\mu ^{*}\right)\\&={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}\left(\mathbf {x} _{i}-\mu ^{*}\right)^{T}\left(\mathbf {x} _{i}-\mu ^{*}\right)}{V_{1}-(V_{2}/V_{1})}}.\end{aligned}}}$

Die Argumentation ist hier dieselbe wie im vorherigen Abschnitt.

Da wir davon ausgehen, dass die Gewichte normalisiert sind, vereinfacht sich dies zu: ${\displaystyle V_{1}=1}$

${\displaystyle \mathbf {C} ={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}\left(\mathbf {x} _{i}-\mu ^{*}\right)^{T}\left(\mathbf {x} _{i}-\mu ^{*}\right)}{1-V_{2}}}.}$

Sind alle Gewichte gleich, d. h. , dann reduzieren sich der gewichtete Mittelwert und die gewichtete Kovarianz auf den oben genannten ungewichteten Stichprobenmittelwert und die ungewichtete Stichprobenkovarianz. ${\displaystyle w_{i}/V_{1}=1/N}$

Das oben Genannte lässt sich leicht auf den Fall der Mittelwertbildung von vektorwertigen Schätzungen verallgemeinern. Beispielsweise können Positionsschätzungen in einer Ebene in einer Richtung weniger sicher sein als in einer anderen. Wie im skalaren Fall kann der gewichtete Mittelwert mehrerer Schätzungen eine Maximum-Likelihood -Schätzung liefern. Wir ersetzen einfach die Varianz durch die Kovarianzmatrix und die arithmetische Inverse durch die Matrixinverse (beide werden gleich, durch hochgestellte Indizes, bezeichnet); die Gewichtsmatrix lautet dann: ^{[ 10 ]}${\displaystyle \sigma ^{2}}$${\displaystyle \mathbf {C} }$

$${\displaystyle \mathbf {W} _{i}=\mathbf {C} _{i}^{-1}.}$$

Der gewichtete Mittelwert ist in diesem Fall: (wobei die Ordnung des Matrix-Vektor-Produkts nicht kommutativ ist ), ausgedrückt durch die Kovarianz des gewichteten Mittelwerts: $${\displaystyle {\bar {\mathbf {x} }}=\mathbf {C} _{\bar {\mathbf {x} }}\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {W} _{i}\mathbf {x} _{i}\right),}$$$${\displaystyle \mathbf {C} _{\bar {\mathbf {x} }}=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {W} _{i}\right)^{-1},}$$

Betrachten wir beispielsweise den gewichteten Mittelwert des Punktes [1 0] mit hoher Varianz in der zweiten Komponente und [0 1] mit hoher Varianz in der ersten Komponente. Dann

${\displaystyle \mathbf {x} _{1}:={\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}^{\top },\qquad \mathbf {C} _{1}:={\begin{bmatrix}1&0\\0&100\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{2}:={\begin{bmatrix}0&1\end{bmatrix}}^{\top },\qquad \mathbf {C} _{2}:={\begin{bmatrix}100&0\\0&1\end{bmatrix}}}$

Dann ergibt sich der gewichtete Mittelwert wie folgt:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\mathbf {x} }}&=\left(\mathbf {C} _{1}^{-1}+\mathbf {C} _{2}^{-1}\right)^{-1}\left(\mathbf {C} _{1}^{-1}\mathbf {x} _{1}+\mathbf {C} _{2}^{-1}\mathbf {x} _{2}\right)\\[5pt]&={\begin{bmatrix}0.9901&0\\0&0.9901\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.9901\\0.9901\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

was Sinn macht: Die Schätzung [1 0] ist in der zweiten Komponente "konform" und die Schätzung [0 1] ist in der ersten Komponente konform, sodass der gewichtete Mittelwert nahezu [1 1] ist.

Im allgemeinen Fall sei die Kovarianzmatrix der Größen , der zu schätzende gemeinsame Mittelwert und eine Designmatrix, die einem Vektor von Einsen (der Länge ) entspricht. Der Satz von Gauß-Markov besagt, dass die Schätzung des Mittelwerts mit minimaler Varianz gegeben ist durch: ${\displaystyle \mathbf {X} =[x_{1},\dots ,x_{n}]^{T}}$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle {\bar {x}}}$${\displaystyle \mathbf {J} }$${\displaystyle [1,\dots ,1]^{T}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}^{2}=(\mathbf {J} ^{T}\mathbf {W} \mathbf {J} )^{-1},}$

Und

${\displaystyle {\bar {x}}=\sigma _{\bar {x}}^{2}(\mathbf {J} ^{T}\mathbf {W} \mathbf {X} ),}$

Wo:

${\displaystyle \mathbf {W} =\mathbf {C} ^{-1}.}$

Betrachten wir die Zeitreihen einer unabhängigen und einer abhängigen Variablen , wobei die Beobachtungen zu diskreten Zeitpunkten erfasst werden . In vielen Fällen hängt der Wert von zum Zeitpunkt nicht nur von , sondern auch von seinen vergangenen Werten ab. Üblicherweise nimmt die Stärke dieser Abhängigkeit mit zunehmendem zeitlichen Abstand der Beobachtungen ab. Um diese Situation zu modellieren, kann man die unabhängige Variable durch ihren gleitenden Mittelwert über ein Fenster der Größe ersetzen . ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle n}$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle z_{k}=\sum _{i=1}^{m}w_{i}x_{k+1-i}.}$

Im im vorherigen Abschnitt beschriebenen Szenario folgt die Abnahme der Interaktionsstärke meist einem negativen Exponentialgesetz. Werden die Beobachtungen in äquidistanten Zeitabständen erfasst, entspricht die exponentielle Abnahme einer Abnahme um einen konstanten Bruchteil in jedem Zeitschritt. Mit dieser Einstellung können wir normalisierte Gewichte definieren.${\displaystyle 0<\Delta <1}$${\displaystyle w=1-\Delta }$${\displaystyle m}$

${\displaystyle w_{i}={\frac {w^{i-1}}{V_{1}}},}$

Dabei ist die Summe der unnormalisierten Gewichte. In diesem Fall ist einfach ${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle V_{1}}$

${\displaystyle V_{1}=\sum _{i=1}^{m}{w^{i-1}}={\frac {1-w^{m}}{1-w}},}$

Annäherung für große Werte von . ${\displaystyle V_{1}=1/(1-w)}$${\displaystyle m}$