Wilson-Aktion

In der Gitterfeldtheorie ist die Wilson-Wirkung eine diskrete Formulierung der Yang-Mills-Wirkung und bildet die Grundlage der Gittereichtheorie . Anstelle von Lie-Algebra -wertigen Eichfeldern als fundamentalen Parametern der Theorie werden gruppenwertige Linkfelder verwendet, die den kleinsten Wilson-Linien auf dem Gitter entsprechen . In modernen Simulationen reiner Eichtheorien wird die Wirkung üblicherweise durch die Einführung von Operatoren höherer Ordnung mittels Symanzik-Verbesserung modifiziert , wodurch Diskretisierungsfehler deutlich reduziert werden . Die Wirkung wurde von Kenneth Wilson in seiner bahnbrechenden Arbeit von 1974 ^{[ 1 ]} eingeführt und markierte den Beginn der Gitterfeldtheorie.

Die Gittereichtheorie wird mithilfe von Elementen der kompakten Eichgruppe formuliert, anstatt mithilfe von Lie-Algebra-wertigen Eichfeldern , wobei die Gruppengeneratoren sind . Die Wilson-Linie, die den Paralleltransport von Lie-Gruppenelementen durch die Raumzeit entlang eines Pfades beschreibt , wird mithilfe des Eichfeldes definiert durch ${\displaystyle A_{\mu }(x)=A_{\mu }^{a}(x)T^{a}}$${\displaystyle T^{a}}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle W[x,y]={\mathcal {P}}e^{i\int _{C}A_{\mu }dx^{\mu }},}$

Hierbei ist der Pfadordnungsoperator . Diskretisiert man die Raumzeit als Gitter mit Punkten, die durch einen Vektor indiziert werden , so nimmt das Eichfeld nur an diesen Punkten Werte an . In erster Ordnung bezüglich des Gitterabstands werden die kleinstmöglichen Wilson-Linien, also die zwischen zwei benachbarten Punkten, als Verschlingungen bezeichnet ^{[ 2 ].}${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A_{\mu }(n)}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle U_{\mu }(n)=W[n,n+{\hat {\mu }}]+{\mathcal {O}}(a),}$

Dabei ist ein Einheitsvektor in Richtung . Da der Pfadordnungsoperator in erster Ordnung wegfällt, ist die Verbindung mit dem diskretisierten Eichfeld durch verknüpft . Sie sind die fundamentalen Eichtheorievariablen der Gittereichtheorie, wobei das Pfadintegralmaß (mathematisch) über die Verbindungen durch das Haar-Maß an jedem Gitterpunkt gegeben ist .${\displaystyle {\hat {\mu }}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle U_{\mu }(n)=e^{iaA_{\mu }(n)}}$

In einer bestimmten Darstellung der Eichgruppe sind Verschlingungen matrixwertig und orientiert . Verschlingungen entgegengesetzter Orientierung sind so definiert, dass das Produkt der Verschlingung von nach mit der Verschlingung in entgegengesetzter Richtung gleich der Einheitsmatrix ist, was im Fall von Eichgruppen bedeutet, dass . Unter einer Eichtransformation transformiert sich die Verschlingung analog zur Wilson-Linie. ${\displaystyle n}$${\displaystyle n+{\hat {\mu }}}$${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$${\displaystyle U_{-\mu }(n)=U_{\mu }(n-{\hat {\mu }})^{\dagger }}$${\displaystyle \Omega (n)}$

${\displaystyle U_{\mu }(n)\rightarrow \Omega (n)U_{\mu }(n)\Omega (n+{\hat {\mu }})^{\dagger }.}$

Die kleinste nichttriviale Schleife von Linkfeldern auf dem Gitter wird als Plaquette bezeichnet und besteht aus vier Links um ein Quadrat in der -Ebene [ ^{3 ] .}${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle U_{\mu \nu }(n)=U_{\mu }(n)U_{\nu }(n+{\hat {\mu }})U_{\mu }(n+{\hat {\nu }})^{\dagger }U_{\nu }(n)^{\dagger }.}$

Die Spur einer Plakette ist eine eichinvariante Größe, analog zur Wilson-Schleife im Kontinuum . Mithilfe der BCH-Formel und des Gittereichfeldausdrucks für die Linkvariable lässt sich die Plakette in niedrigster Ordnung im Gitterabstand durch den diskretisierten Feldstärketensor ausdrücken.

${\displaystyle U_{\mu \nu }(n)=e^{ia^{2}F_{\mu \nu }(n)+{\mathcal {O}}(a^{3})}.}$

Durch Reskalierung des Eichfeldes mithilfe der Eichkopplung und Verwendung einer Darstellung mit Index , definiert durch , lässt sich die Yang-Mills-Wirkung im Kontinuum wie folgt umschreiben: ${\displaystyle g}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\text{tr}}[T^{a}T^{b}]=\rho \delta ^{ab}}$

${\displaystyle S={\frac {1}{2g^{2}\rho }}\int d^{4}x\ {\text{tr}}[F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }],}$

wobei der Feldstärketensor Lie-Algebra-wertig ist . Da die Plaquetten die Linkvariablen mit dem diskretisierten Feldstärketensor verknüpfen, ermöglicht dies die Konstruktion einer Gitterversion der Yang-Mills-Wirkung mithilfe dieser Plaquetten. Dies ist die Wilson-Wirkung, die als Summe über alle Plaquetten einer Orientierung auf dem Gitter angegeben wird ^{[ 4 ].}${\displaystyle F_{\mu \nu }=F_{\mu \nu }^{a}T^{a}}$

Es reduziert sich auf die diskretisierte Yang-Mills-Wirkung, wobei Gitterartefakte in der Ordnung auftreten . ${\displaystyle {\mathcal {O}}(a^{2})}$

Diese Vorgehensweise ist keineswegs einzigartig. ^{[ 5 ]} Aus jeder diskretisierten Wilson-Schleife lässt sich eine Gittereichwirkung konstruieren. Solange die Schleifen über Orientierungen und Translationen in der Raumzeit geeignet gemittelt werden, um die korrekten Symmetrien zu erzielen , reduziert sich die Wirkung wieder auf das Kontinuumsergebnis. Der Vorteil der Verwendung von Plaquettes liegt in ihrer Einfachheit und darin, dass sich die Wirkung gut für Verbesserungsprogramme eignet, die Gitterartefakte reduzieren.

Die Fehler der Wilson-Wirkung lassen sich durch eine Symanzik-Verbesserung reduzieren, bei der zusätzliche Operatoren höherer Ordnung zur Wirkung hinzugefügt werden, um diese Gitterartefakte zu kompensieren. Es gibt zahlreiche Operatoren höherer Ordnung, die der Wilson-Wirkung hinzugefügt werden können und verschiedenen Schleifen von Verbindungen entsprechen. In Eichtheorien verwendet die Lüscher-Weisz-Wirkung Rechtecke und Parallelogramme, die aus Verbindungen um einen Würfel gebildet werden ^{[ 6 ].}${\displaystyle {\mathcal {O}}(a^{2})}$${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$${\displaystyle 2\times 1}$${\displaystyle U_{rt}}$${\displaystyle U_{pg}}$

${\displaystyle S[U]={\frac {\beta }{N}}\sum _{pl}{\text{Re}}\ {\text{tr}}(1-U_{\mu \nu })+{\frac {\beta _{rt}}{N}}\sum _{rt}{\text{Re}}\ {\text{tr}}(1-U_{rt})+{\frac {\beta _{pg}}{N}}\sum _{pg}{\text{Re}}\ {\text{tr}}(1-U_{pg}),}$

Dabei ist die inverse Kopplungskonstante und und sind die Koeffizienten, die so eingestellt sind, dass Gitterartefakte minimiert werden. ${\displaystyle \beta =2N/g^{2}}$${\displaystyle \beta _{rt}}$${\displaystyle \beta _{pg}}$

Die Werte der beiden Vorfaktoren können entweder durch Simulation bekannter Ergebnisse mithilfe der Wirkung und anschließende Anpassung der Parameter zur Minimierung der Fehler oder mithilfe der Tadpole-verbesserten Störungstheorie berechnet werden . Im Fall einer Eichtheorie liefert die letztgenannte Methode ^{[ 7 ] [ 8 ] .}${\displaystyle {\text{SU}}(3)}$

${\displaystyle \beta _{rt}=-{\frac {\beta _{pl}}{20u_{0}^{2}}}(1+0.4805\alpha _{s}),\ \ \ \ \ \ \ \ \beta _{pg}=-{\frac {\beta }{u_{0}^{2}}}0.03325\alpha _{s},}$

Dabei ist der Wert der mittleren Verknüpfung und die Feinstrukturkonstante der Quantenchromodynamik.${\displaystyle u_{0}}$${\displaystyle \alpha _{s}}$

${\displaystyle u_{0}={\big (}{\tfrac {1}{3}}{\text{Re}}\ {\text{tr}}\langle U_{\mu \nu }\rangle {\big )}^{1/4},\ \ \ \ \ \ \ \ \alpha _{s}=-{\frac {\ln({\tfrac {1}{3}}{\text{Re}}\ {\text{tr}}\langle U_{\mu \nu }\rangle )}{3.06839}}.}$