Gittereichtheorie

In der Physik bezeichnet die Gittereichtheorie die Untersuchung von Eichtheorien auf einer Raumzeit, die in ein Gitter diskretisiert wurde .

Eichtheorien sind in der Teilchenphysik von großer Bedeutung und umfassen die vorherrschenden Theorien der Elementarteilchen : Quantenelektrodynamik , Quantenchromodynamik (QCD) und das Standardmodell der Teilchenphysik . Nicht-perturbative Berechnungen von Eichtheorien in der kontinuierlichen Raumzeit beinhalten formal die Auswertung eines unendlichdimensionalen Pfadintegrals , was rechnerisch nicht durchführbar ist. Durch die Betrachtung einer diskreten Raumzeit wird das Pfadintegral endlichdimensional und kann mithilfe stochastischer Simulationstechniken wie der Monte-Carlo-Methode ausgewertet werden . Wählt man die Gittergröße unendlich groß und die Gitterpunkte infinitesimal nahe beieinander, erhält man die kontinuierliche Eichtheorie zurück. ^{[ 1 ]}

In der Gittereichtheorie wird die Raumzeit mittels Wick-Rotation in den euklidischen Raum transformiert und in ein Gitter diskretisiert, dessen Gitterpunkte durch Abstände getrennt und durch Kanten verbunden sind. In den gängigsten Fällen, wie etwa der Gitter-QCD , werden Fermionenfelder an den Gitterpunkten definiert (was zu Fermionenverdopplung führt ), während die Eichfelder auf den Kanten definiert werden. Jedem Knoten wird ein Element U der kompakten Lie-Gruppe G (nicht der Algebra ) zugeordnet. Um die QCD mit der Lie-Gruppe SU(3) zu simulieren, wird daher auf jedem Knoten eine unitäre 3×3 -Matrix definiert. Jedem Knoten wird eine Orientierung zugeordnet, wobei das inverse Element demselben Knoten mit entgegengesetzter Orientierung entspricht. Jedem Knoten werden ein Wert in (einem Farbvektor der 3-Ebene, dem Raum, auf dem die fundamentale Darstellung von SU(3) wirkt), ein Dirac-Spinor , ein nf- Vektor und eine Grassmann _- Variable zugewiesen . ${\displaystyle a}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$

Somit approximiert die Komposition der SU(3)-Elemente der Verbindungen entlang eines Pfades (d. h. die geordnete Multiplikation ihrer Matrizen) eine pfadgeordnete Exponentialfunktion (geometrisches Integral), aus der Wilson- Schleifenwerte für geschlossene Pfade berechnet werden können.

Die Yang-Mills- Wirkung wird auf dem Gitter mithilfe von Wilson-Schleifen (benannt nach Kenneth G. Wilson ) so formuliert, dass der Grenzwert formal die ursprüngliche Kontinuumswirkung reproduziert. ^{[ 1 ]} Gegeben eine treue irreduzible Darstellung ρ von G , ist die Gitter-Yang-Mills-Wirkung, bekannt als Wilson-Wirkung , die Summe über alle Gitterplätze der (Realkomponente der) Spur über die n Verschlingungen e ₁ , ..., e _n in der Wilson-Schleife. ${\displaystyle a\to 0}$

${\displaystyle S=\sum _{F}-\Re \{\chi ^{(\rho )}(U(e_{1})\cdots U(e_{n}))\}.}$

Hierbei ist χ der Charakter . Wenn ρ eine reelle (oder pseudoreelle ) Darstellung ist, ist die Berücksichtigung der reellen Komponente redundant, da selbst bei Umkehrung der Orientierung einer Wilson-Schleife ihr Beitrag zur Wirkung unverändert bleibt.

Es gibt viele mögliche Wilson-Operationen, je nachdem, welche Wilson-Schleifen verwendet werden. Die einfachste Wilson-Operation verwendet lediglich die 1×1-Wilson-Schleife und unterscheidet sich von der Kontinuums-Operation durch „Gitterartefakte“, die proportional zum kleinen Gitterabstand sind . Durch die Verwendung komplexerer Wilson-Schleifen zur Konstruktion „verbesserter Operationen“ lassen sich die Gitterartefakte auf ein Verhältnis zu reduzieren , wodurch die Berechnungen genauer werden. ${\displaystyle a}$${\displaystyle a^{2}}$

Größen wie Teilchenmassen werden stochastisch mithilfe von Verfahren wie der Monte-Carlo-Methode berechnet . Eichfeldkonfigurationen werden mit Wahrscheinlichkeiten proportional zu generiert , wobei die Gitterwirkung und mit dem Gitterabstand zusammenhängt . Die interessierende Größe wird für jede Konfiguration berechnet und gemittelt. Die Berechnungen werden häufig bei verschiedenen Gitterabständen wiederholt, um das Ergebnis auf das Kontinuum extrapolieren zu können . ${\displaystyle e^{-\beta S}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a\to 0}$

Solche Berechnungen sind oft extrem rechenintensiv und können den Einsatz der leistungsstärksten verfügbaren Supercomputer erfordern . Um den Rechenaufwand zu reduzieren, kann die sogenannte Quenched-Approximation verwendet werden, bei der die fermionischen Felder als nicht-dynamische, „eingefrorene“ Variablen behandelt werden. Während dies in frühen Gitter-QCD-Berechnungen üblich war, sind „dynamische“ Fermionen heute Standard. ^{[ 3 ]} Die Simulation von Gittereichtheorien ist eine hypothetische Anwendung von Quantencomputern . ^{[ 4 ]}

Die Ergebnisse von Gitter-QCD-Rechnungen zeigen, dass in einem Meson nicht nur die Teilchen (Quarks und Antiquarks), sondern auch die „ Flussröhren “ der Gluonenfelder von Bedeutung sind.

Die Gittereichtheorie ist auch für die Untersuchung der Quantentrivialität mittels der Renormierungsgruppe im Ortsraum von Bedeutung . ^{[ 5 ]} Die wichtigsten Informationen im RG-Fluss sind die Fixpunkte . Die möglichen makroskopischen Zustände des Systems werden im großen Maßstab durch diese Fixpunkte beschrieben. Entsprechen diese Fixpunkte einer freien Feldtheorie, so wird die Theorie als trivial oder nichtwechselwirkend bezeichnet. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

Das Konzept der Trivialität wurde auf die Physik des Higgs-Bosons angewendet . ^{[ 8 ]} Ein vergleichsweise einfaches Modell des „Higgs-Sektors“ des Standardmodells liefert die φ⁴ ^- Theorie , d. h. eine Skalarfeldtheorie, deren Lagrangefunktion einen Wechselwirkungsterm quartischen Grades im Feld φ enthält. Basierend auf Erkenntnissen, unter anderem aus Gittereichrechnungen, wird vermutet, dass diese Theorie „trivial“ ist: Setzt man die Regularisierungsabschneideenergie auf null oder unendlich, beschreibt die Theorie nur freie Teilchen. Überträgt man dies auf das Higgs-Boson, so impliziert die vermutete Trivialität, dass die Abschneideenergie nicht entfernt werden kann. Da die Abschneideenergie nach oben begrenzt ist, existiert auch eine Obergrenze für die Wechselwirkungsstärke, was letztlich eine Obergrenze für die Masse des Higgs-Bosons impliziert. ^{[ 9 ]}

Ursprünglich wurden lösbare zweidimensionale Gittereichtheorien bereits 1971 von dem Theoretiker Franz Wegner , der auf dem Gebiet der Phasenübergänge arbeitete, als Modelle mit interessanten statistischen Eigenschaften eingeführt . ^{[ 10 ]}

Wenn in der Wirkung nur 1×1 Wilson-Schleifen auftreten, lässt sich zeigen, dass die Gittereichtheorie exakt dual zu Spinschaummodellen ist . ^{[ 11 ]}

• Hamiltonsche Gittereichtheorie
• Gitterfeldtheorie
• Gitter-QCD
• Wilson-Aktion

• Creutz, Michael (2022). Quarks, Gluons and Lattices . Cambridge University Press. ISBN 9781009290395Die
• Makeenko, Yuri (2023). Methoden der modernen Eichtheorie . Cambridge University Press. ISBN 9781009402095Die
• Smit, Jan (2023). Einführung in Quantenfelder auf einem Gitter . Cambridge University Press. ISBN 9781009402705Die
• Rothe, Heinz (2012). Gittereichtheorien: Eine Einführung . World Scientific. ISBN 9789814365871Die
• Gattringer, C., Lang, CB, Quantenchromodynamik auf dem Gitter , Springer, (2010). ISBN 978-3642018497
• Knechtli, F., Günther, M., Peardon, M., Gitterquantenchromodynamik: Praktische Grundlagen , Springer, (2016). ISBN 978-9402409970
• Weisz Peter, Majumdar Pushan (2012). „Gittereichtheorien“ . Scholarpedia . 7 (4): 8615. Bibcode : 2012SchpJ...7.8615W . doi : 10.4249/scholarpedia.8615 .

• Die FermiQCD-Bibliothek für Gitterfeldtheorie
• US-amerikanische Softwarebibliotheken für Gitterquantenchromodynamik, archiviert am 23.02.2024 im Internetarchiv Wayback Machine