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In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Richtungsstatistik ist eine gewickelte Wahrscheinlichkeitsverteilung eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung , die Datenpunkte auf einer Einheitskugel mit n Dimensionen beschreibt . In einer Dimension besteht eine gewickelte Verteilung aus Punkten auf dem Einheitskreis . Ist eine Zufallsvariable im Intervall mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) , so ist eine Kreisvariable, die gemäß der gewickelten Verteilung verteilt ist , und ist eine Winkelvariable im Intervall , die ebenfalls gemäß der gewickelten Verteilung verteilt ist . ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$${\displaystyle p(\phi )}$${\displaystyle z=e^{i\phi }}$${\displaystyle p_{wz}(\theta)}$${\displaystyle \theta =\arg(z)}$${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$${\displaystyle p_{w}(\theta)}$

Jede Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion auf der Geraden kann um den Umfang eines Kreises mit Einheitsradius „gewickelt“ werden. ^{[ 1 ]} Das heißt, die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der gewickelten Variablen ${\displaystyle p(\phi )}$

${\displaystyle \theta =\phi \mod 2\pi }$in einem Intervall der Länge${\displaystyle 2\pi }$

Ist

${\displaystyle p_{w}(\theta )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{p(\theta +2\pi k)}}$

welche eine periodische Summe der Periode ist . Das bevorzugte Intervall ist im Allgemeinen dasjenige, für das gilt . ${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle (-\pi <\theta \leq \pi )}$${\displaystyle \ln(e^{i\theta })=\arg(e^{i\theta })=\theta }$

In den meisten Fällen liefert ein Prozess, der auf zirkulärer Statistik basiert , Winkel ( ), die im Intervall liegen und durch eine „abgewickelte“ Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion beschrieben werden . Eine Messung ergibt jedoch einen Winkel , der in einem Intervall der Länge liegt (z. B. 0 bis ). Anders ausgedrückt: Eine Messung kann nicht feststellen, ob der wahre Winkel oder ein abgewickelter Winkel , wobei eine unbekannte ganze Zahl ist, gemessen wurde. ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$${\displaystyle p(\phi )}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \theta =\phi +2\pi a}$${\displaystyle a}$

Wenn wir den Erwartungswert einer Funktion des gemessenen Winkels berechnen wollen, lautet dieser:

${\displaystyle \langle f(\theta )\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }p(\phi )f(\phi +2\pi a)d\phi }$Die

Wir können das Integral als Summe von Integralen über Perioden von ausdrücken : ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle \langle f(\theta )\rangle =\sum _{k=-\infty }^{\infty }\int _{2\pi k}^{2\pi (k+1)}p(\phi )f(\phi +2\pi a)d\phi }$Die

Durch Ändern der Integrationsvariablen und Vertauschen der Reihenfolge von Integration und Summation erhalten wir: ${\displaystyle \theta '=\phi -2\pi k}$

${\displaystyle \langle f(\theta )\rangle =\int _{0}^{2\pi }p_{w}(\theta ')f(\theta '+2\pi a')d\theta '}$

Dabei ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) der gewickelten Verteilung und eine weitere unbekannte ganze Zahl . Die unbekannte ganze Zahl führt zu einer Mehrdeutigkeit im Erwartungswert von , ähnlich dem Problem der Berechnung des Winkelmittelwerts . Dies lässt sich durch die Einführung des Parameters lösen , da eine eindeutige Beziehung zum wahren Winkel besteht . ${\displaystyle p_{w}(\theta ')}$${\displaystyle a'}$${\displaystyle (a'=a+k)}$${\displaystyle a'}$${\displaystyle f(\theta )}$${\displaystyle z=e^{i\theta }}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle z=e^{i\theta }=e^{i\phi }}$Die

Die Berechnung des Erwartungswerts einer Funktion liefert eindeutige Ergebnisse: ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \langle f(z)\rangle =\int _{0}^{2\pi }p_{w}(\theta ')f(e^{i\theta '})d\theta '}$Die

Aus diesem Grund wird der Parameter in der statistischen Analyse von Kreisen gegenüber gemessenen Winkeln bevorzugt . Dies legt nahe, dass die gewickelte Verteilungsfunktion selbst als Funktion von ausgedrückt werden kann, sodass: ${\displaystyle z}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle z}$

${\displaystyle \langle f(z)\rangle =\oint p_{wz}(z)f(z)\,dz}$

wobei so definiert ist , dass . Dieses Konzept lässt sich auf den multivariaten Kontext ausdehnen, indem die einfache Summe auf eine Anzahl von Summen erweitert wird, die alle Dimensionen im Merkmalsraum abdecken: ${\displaystyle p_{w}(z)}$${\displaystyle p_{w}(\theta )\,|d\theta |=p_{wz}(z)\,|dz|}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle p_{w}({\vec {\theta }})=\sum _{k_{1},...,k_{F}=-\infty }^{\infty }{p({\vec {\theta }}+2\pi k_{1}\mathbf {e} _{1}+\dots +2\pi k_{F}\mathbf {e} _{F})}}$

wobei der -te euklidische Basisvektor ist .${\displaystyle \mathbf {e} _{k}=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0)^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle k}$

Eine fundamentale gewickelte Distribution ist der Dirac-Kamm , der eine gewickelte Dirac-Delta-Funktion ist :

${\displaystyle \Delta _{2\pi }(\theta )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\delta (\theta +2\pi k)}}$Die

Mithilfe der Delta-Funktion lässt sich eine allgemeine gewickelte Verteilung schreiben

${\displaystyle p_{w}(\theta )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }p(\theta ')\delta (\theta -\theta '+2\pi k)\,d\theta '}$Die

Durch Vertauschen der Reihenfolge von Summation und Integration lässt sich jede gewickelte Distribution als Faltung der abgewickelten Distribution mit einem Dirac-Kamm darstellen:

${\displaystyle p_{w}(\theta )=\int _{-\infty }^{\infty }p(\theta ')\Delta _{2\pi }(\theta -\theta ')\,d\theta '}$Die

Der Dirac-Kamm lässt sich auch als Summe von Exponentialfunktionen ausdrücken, also können wir schreiben:

${\displaystyle p_{w}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}\,\int _{-\infty }^{\infty }p(\theta ')\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{in(\theta -\theta ')}\,d\theta '}$Die

Erneut wird die Reihenfolge von Summation und Integration vertauscht:

${\displaystyle p_{w}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }p(\theta ')e^{in(\theta -\theta ')}\,d\theta '}$Die

Unter Verwendung der Definition von ergibt die charakteristische Funktion von eine Laurentreihe um Null für die gewickelte Verteilung in Abhängigkeit von der charakteristischen Funktion der abgewickelten Verteilung: ${\displaystyle \phi (s)}$${\displaystyle p(\theta )}$

${\displaystyle p_{w}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }\phi (n)\,e^{-in\theta }}$

oder

${\displaystyle p_{wz}(z)={\frac {1}{2\pi }}\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }\phi (n)\,z^{-n}}$

Analog zu linearen Verteilungen wird dies als charakteristische Funktion der gewickelten Verteilung (oder genauer als charakteristische Folge ) bezeichnet. ^{[ 2 ]} Dies ist ein Anwendungsfall der Poisson-Summenformel , und man kann sehen, dass die Koeffizienten der Fourierreihe für die gewickelte Verteilung einfach die Koeffizienten der Fouriertransformierten der abgewickelten Verteilung an ganzzahligen Werten sind. ${\displaystyle \phi (m)}$

Die Momente der gewickelten Verteilung sind wie folgt definiert: ${\displaystyle p_{w}(z)}$

${\displaystyle \langle z^{m}\rangle =\oint p_{wz}(z)z^{m}\,dz}$Die

Drückt man es mithilfe der charakteristischen Funktion aus und vertauscht die Reihenfolge von Integration und Summation, erhält man: ${\displaystyle p_{w}(z)}$

${\displaystyle \langle z^{m}\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\phi (n)\oint z^{m-n}\,dz}$Die

Aus dem Residuensatz folgt:

${\displaystyle \oint z^{m-n}\,dz=2\pi \delta _{m-n}}$

wobei die Kronecker-Delta -Funktion ist. Daraus folgt, dass die Momente einfach gleich der charakteristischen Funktion der entfalteten Verteilung für ganzzahlige Argumente sind: ${\displaystyle \delta _{k}}$

${\displaystyle \langle z^{m}\rangle =\phi (m)}$Die

Wenn eine Zufallsvariable aus einer linearen Wahrscheinlichkeitsverteilung gezogen wird , dann ist eine kreisförmige Zufallsvariable, die gemäß der gewickelten Verteilung verteilt ist, und ist die Winkelvariable, die gemäß der gewickelten Verteilung verteilt ist, mit . ${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Z=e^{iX}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \theta =\arg(Z)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi }$

Die Informationsentropie einer Kreisverteilung mit Wahrscheinlichkeitsdichte ist definiert als: ${\displaystyle p_{w}(\theta )}$

${\displaystyle H=-\int _{\Gamma }p_{w}(\theta )\,\ln(p_{w}(\theta ))\,d\theta }$

wobei ein beliebiges Intervall der Länge ist . ^{[ 1 ]} Wenn sowohl die Wahrscheinlichkeitsdichte als auch ihr Logarithmus als Fourier-Reihe (oder allgemeiner als eine beliebige Integraltransformation auf dem Kreis) ausgedrückt werden können, kann die orthogonale Basis der Reihe verwendet werden, um einen geschlossenen Ausdruck für die Entropie zu erhalten. ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle 2\pi }$

Die Momente der Verteilung sind die Fourier-Koeffizienten der Fourierreihenentwicklung der Wahrscheinlichkeitsdichte: ${\displaystyle \phi (n)}$

${\displaystyle p_{w}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\phi _{n}e^{-in\theta }}$Die

Wenn sich der Logarithmus der Wahrscheinlichkeitsdichte auch als Fourier-Reihe ausdrücken lässt:

${\displaystyle \ln(p_{w}(\theta ))=\sum _{m=-\infty }^{\infty }c_{m}e^{im\theta }}$

Wo

${\displaystyle c_{m}={\frac {1}{2\pi }}\int _{\Gamma }\ln(p_{w}(\theta ))e^{-im\theta }\,d\theta }$Die

Durch Vertauschen der Integrations- und Summationsreihenfolge lässt sich die Entropie wie folgt schreiben:

${\displaystyle H=-{\frac {1}{2\pi }}\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{m}\phi _{n}\int _{\Gamma }e^{i(m-n)\theta }\,d\theta }$Die

Unter Verwendung der Orthogonalität der Fourier-Basis lässt sich das Integral reduzieren zu:

${\displaystyle H=-\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\phi _{n}}$Die

Für den Spezialfall, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte symmetrisch um den Mittelwert ist, kann der Logarithmus wie folgt geschrieben werden: ${\displaystyle c_{-m}=c_{m}}$

${\displaystyle \ln(p_{w}(\theta ))=c_{0}+2\sum _{m=1}^{\infty }c_{m}\cos(m\theta )}$

Und

${\displaystyle c_{m}={\frac {1}{2\pi }}\int _{\Gamma }\ln(p_{w}(\theta ))\cos(m\theta )\,d\theta }$

Und da die Normalisierung erfordert, dass , kann die Entropie wie folgt geschrieben werden: ${\displaystyle \phi _{0}=1}$

${\displaystyle H=-c_{0}-2\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\phi _{n}}$Die

• Gefaltete Normalverteilung
• Gewickelte Cauchy-Verteilung
• Gewickelte Exponentialverteilung

• Borradaile, Graham (2003). Statistik geowissenschaftlicher Daten . Springer. ISBN 978-3-540-43603-4Die
• Fisher, N. I. (1996). Statistische Analyse zirkulärer Daten . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-56890-6Die

• Zirkuläre Werte Mathematik und Statistik mit C++11 , Eine C++11-Infrastruktur für mathematische und statistische Berechnungen zirkulärer Werte (Winkel, Tageszeit usw.).