Apollonische Kreise

In der Geometrie bezeichnet man als Apollonische Kreise zwei Kreisgruppen, bei denen sich jeder Kreis der ersten Gruppe orthogonal mit jedem Kreis der zweiten Gruppe schneidet und umgekehrt. Diese Kreise bilden die Grundlage für bipolare Koordinaten . Entdeckt wurden sie von Apollonius von Perga , einem berühmten antiken griechischen Geometer .

Die Apollonischen Kreise werden auf zwei verschiedene Arten durch eine mit CD bezeichnete Strecke definiert .

Jeder Kreis der ersten Familie (die blauen Kreise in der Abbildung) ist einer positiven reellen Zahl r zugeordnet und definiert als die Menge aller Punkte X , für die das Verhältnis der Abstände von X zu C und zu D gleich r ist . Für Werte von r nahe null liegt der zugehörige Kreis nahe bei C , für Werte von r nahe unendlich nahe bei D ; für den Zwischenwert r = 1 degeneriert der Kreis zu einer Geraden, der Mittelsenkrechten von CD . Die Gleichung, die diese Kreise als geometrischen Ort definiert , lässt sich verallgemeinern, um die Fermat-Apollonius-Kreise größerer Mengen gewichteter Punkte zu definieren. $${\displaystyle \left\{X\ {\Biggl |}\ {\frac {d(X,C)}{d(X,D)}}=r\right\}.}$$

Jeder Kreis der zweiten Familie (die roten Kreise in der Abbildung) ist mit einem Winkel θ verbunden und wird als die Menge der Punkte X definiert , für die der eingeschriebene Winkel ∠ CXD gleich θ ist . $${\displaystyle \left\{X\ {\Bigl |}\ C{\hat {X}}D=\theta \right\}.}$$

Durch Abtasten von θ von 0 bis π wird die Menge aller Kreise erzeugt, die durch die beiden Punkte C und D verlaufen .

Die beiden Punkte, an denen sich alle roten Kreise kreuzen, sind die Grenzpunkte von Kreispaaren in der blauen Familie.

Ein gegebener blauer und ein gegebener roter Kreis schneiden sich in zwei Punkten. Um bipolare Koordinaten zu erhalten , ist eine Methode erforderlich, um den richtigen Schnittpunkt zu bestimmen. Ein isoptischer Bogen ist die Menge aller Punkte X , die die Punkte C und D unter einem gegebenen Winkel der Vektoren sehen. Ein solcher Bogen liegt innerhalb des roten Kreises und wird von den Punkten C und D begrenzt . Der verbleibende Teil des zugehörigen roten Kreises ist isopt( θ + π ) . Wenn wir den gesamten roten Kreis benötigen, müssen wir eine Beschreibung mithilfe der Winkel von Geraden verwenden. $${\displaystyle \operatorname {isopt} (\theta )=\left\{X\ {\Biggl |}\ \measuredangle {\biggl (}{\overrightarrow {XC}},{\overrightarrow {XD}}{\biggr )}=\theta +2k\pi \right\}.}$$$${\displaystyle {\text{vollständiger roter Kreis}}=\left\{X\ {\Biggl |}\ \measuredangle {\biggl (}{\overrightarrow {XC}},{\overrightarrow {XD}}{\biggr )}=\theta +k\pi \right\}}$$

Beide Familien von Apollonischen Kreisen sind Kreisbüschel . Jeder wird durch je zwei seiner Elemente, die sogenannten Erzeugenden , bestimmt . Genauer gesagt handelt es sich bei der einen Familie um einen elliptischen Kreisbüschel (rote Kreisfamilie in der Abbildung), der durch zwei Erzeugende definiert ist, die sich in genau zwei Punkten ( C, D ) schneiden. Die andere Familie ist ein hyperbolischer Kreisbüschel (blaue Kreisfamilie in der Abbildung), der durch zwei Erzeugende definiert ist, die sich in keinem Punkt schneiden . ^{[ 1 ]}

Je zwei dieser Kreise innerhalb eines Kreisbüschels haben dieselbe Radialachse , und alle Kreise im Büschel haben kollineare Mittelpunkte. Jeweils drei oder mehr Kreise derselben Familie werden als koaxiale Kreise bezeichnet . ^{[ 2 ]}

Das elliptische Kreisbüschel durch die Punkte C und D (rote Kreise in der Abbildung) hat die Gerade CD als Wurzelachse. Die Mittelpunkte der Kreise dieses Büschels liegen auf der Mittelsenkrechten von CD . Das hyperbolische Büschel durch die Punkte C und D (blaue Kreise) hat die Mittelsenkrechte von CD als Wurzelachse , und alle seine Kreismittelpunkte liegen auf CD .

Die Kreisumkehrung transformiert die Ebene so, dass Kreise wieder Kreise und Kreisbündel wieder Kreisbündel werden. Der Typ des Bündels bleibt erhalten: Die Umkehrung eines elliptischen Bündels ergibt wieder ein elliptisches Bündel, die Umkehrung eines hyperbolischen Bündels ergibt wieder ein hyperbolisches Bündel und die Umkehrung eines parabolischen Bündels ergibt wieder ein parabolisches Bündel.

Mithilfe der Inversion lässt sich relativ einfach zeigen, dass in den Apollonischen Kreisen jeder blaue Kreis jeden roten Kreis orthogonal, also rechtwinklig, schneidet . Die Inversion der blauen Apollonischen Kreise an einem Kreis mit Mittelpunkt C ergibt ein Bündel konzentrischer Kreise mit Mittelpunkt im Bildpunkt D. Dieselbe Inversion transformiert die roten Kreise in eine Menge von Geraden, die alle das Bild von D enthalten . Somit transformiert diese Inversion das durch die Apollonischen Kreise definierte bipolare Koordinatensystem in ein Polarkoordinatensystem . Offensichtlich schneiden sich die transformierten Bündel rechtwinklig. Da die Inversion eine konforme Abbildung ist , bleiben die Winkel zwischen den transformierten Kurven erhalten, sodass sich auch die ursprünglichen Apollonischen Kreise rechtwinklig schneiden.

Alternativ ^{[ 3 ]} folgt die Orthogonalität der beiden Kreisbüschel aus der definierenden Eigenschaft der Wurzelachse, dass von jedem Punkt X auf der Wurzelachse eines Kreisbüschels P die Längen der Tangenten von X an jeden Kreis in P gleich sind. Daraus folgt, dass der Kreis mit Mittelpunkt X und der Länge dieser Tangenten alle Kreise von P senkrecht schneidet. Dieselbe Konstruktion lässt sich für jedes X auf der Wurzelachse von P anwenden und bildet so ein weiteres Kreisbüschel senkrecht zu P.

Allgemeiner gilt: Zu jedem Kreisbündel existiert ein eindeutiges Bündel von Kreisen, die senkrecht zu diesem Bündel stehen. Ist ein Bündel elliptisch, so ist das dazu senkrechte Bündel hyperbolisch und umgekehrt; in diesem Fall bilden die beiden Bündel ein System von Apollonischen Kreisen. Das zu einem parabolischen Bündel senkrechte Kreisbündel ist ebenfalls parabolisch; es besteht aus den Kreisen, die denselben gemeinsamen Berührungspunkt haben, aber durch diesen Punkt eine senkrechte Tangente besitzen. ^{[ 4 ]}

Es wurde gezeigt, dass Vortexkerne oder andere definierte Pseudospinzustände in einigen physikalischen Systemen mit Interferenz- oder gekoppelten Feldern, wie beispielsweise photonischen oder gekoppelten Polaritonenwellen , Apollonischen Trajektorien folgen . ^{[ 5 ]} Die Trajektorien entstehen durch die Rabi-Rotation der Bloch-Kugel und ihre stereografische Projektion auf den realen Raum, in dem die Beobachtung erfolgt.

• Apollonius-Viereck

• Akopyan, AV; Zaslavsky, AA (2007), Geometrie der Kegelschnitte , Mathematical World, Bd. 26, American Mathematical Society , S.  57–62 , ISBN 978-0-8218-4323-9Die
• Schwerdtfeger, Hans (1962), Geometrie der komplexen Zahlen , University of Toronto PressDover-Nachdruck, 1979, ISBN 0-486-63830-8Die

• Pfeifer, Richard E.; Van Hook, Cathleen (1993), „Kreise, Vektoren und lineare Algebra“, Mathematics Magazine , 66 (2): 75–86 , doi : 10.2307/2691113 , JSTOR  2691113Die
• Samuel, Pierre (1988), Projektive Geometrie , Springer, S.  40–43Die
• Ogilvy, C. Stanley (1969), Exkursionen zur Geometrie , Oxford University Press, insbesondere Kap. 2 „Harmonische Teilung und Apollonische Kreise“, S. 13–23Dover-Nachdruck, 1990, ISBN 0-486-26530-7Die

• Weisstein, Eric W. , „Koaxiale Kreise“ , MathWorld
• David B. Surowski: Höhere Mathematik für die Oberstufe . S. 31