Augustus De Morgan

Augustus De Morgan (27 June 1806 – 18 March 1871) was a British mathematician and logician. He is best known for De Morgan's laws relating logical conjunction, disjunction, and negation, and for coining the term "mathematical induction", the underlying principles of which he formalized.^[1] De Morgan's contributions to logic are heavily used in many branches of mathematics, including set theory and probability theory, as well as other related fields such as computer science.

Augustus De Morgan wurde 1806 in Madurai in der Karnatischen Region Indiens geboren . ^{[ 2 ] [ a ]} Sein Vater war Oberstleutnant John De Morgan (1772–1816), der verschiedene Positionen im Dienst der Ostindien-Kompanie innehatte . Seine Mutter Elizabeth (geb. Dodson, 1776–1856) war die Enkelin von James Dodson , der eine Tabelle der Antilogarithmen (inversen Logarithmen ) erstellte. ^{[ 3 ]} Augustus De Morgan erblindete wenige Monate nach seiner Geburt auf einem Auge. Als Augustus sieben Monate alt war, zog seine Familie nach England. Da sowohl sein Vater als auch sein Großvater in Indien geboren waren, bezeichnete sich De Morgan stets als weder Engländer noch Schotte noch Ire, sondern als „ungebundenen“ Briten. Dieser Begriff wurde damals für Studenten der Universitäten Oxford oder Cambridge verwendet , die keinem der Colleges angehörten.

Als De Morgan zehn Jahre alt war, starb sein Vater. ^{[ 2 ]} Sein mathematisches Talent blieb unentdeckt, bis ihn im Alter von vierzehn Jahren ein Freund der Familie dabei ertappte, wie er mit Zirkel und Lineal eine detailreiche Zeichnung einer Figur aus einem Werk Euklids anfertigte . ^{[ 2 ]} Seine Sekundarschulbildung erhielt er von Mr. Parsons, einem Fellow des Oriel College in Oxford , der die klassischen Altertumswissenschaften der Mathematik vorzog .

1823, im Alter von sechzehn Jahren, schrieb sich De Morgan am Trinity College in Cambridge ein ^{[ 4 ]} , wo unter anderem George Peacock , William Whewell , George Biddell Airy , H. Parr Hamilton und John Philips Higman zu seinen Lehrern und Tutoren zählten . Sowohl Peacock als auch Whewell beeinflussten De Morgans Wahl von Algebra und Logik für seine weitere Forschung. ^{[ 5 ]}

De Morgan belegte im Mathematical Tripos den vierten Platz und erwarb damit einen Bachelor of Arts . Um den höheren Abschluss Master of Arts zu erlangen und für ein Stipendium in Frage zu kommen, musste er eine theologische Prüfung ablegen. Obwohl er in der anglikanischen Kirche aufgewachsen war, weigerte sich De Morgan vehement, diese Prüfung abzulegen. Da er aufgrund seiner Weigerung in der akademischen Welt nicht vorankam, trat er in Lincoln’s Inn ein , um eine juristische Karriere anzustreben. ^{[ 6 ]}

Die London University (heute University College London) wurde 1826 als säkulare Alternative zu Oxford und Cambridge gegründet ; Katholiken, Juden und Andersgläubige konnten dort studieren und akademische Positionen bekleiden. Vor ihrer Eröffnung 1828 schrieb die Universität 24 Professuren aus, darunter zwei im Fach Mathematik, auf die sich De Morgan bewarb. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

De Morgan wurde am 23. Februar 1828 im Alter von 21 Jahren zum Professor für Mathematik ernannt. Der Rat der Universität London hatte es nicht geschafft, Charles Babbage und John Herschel für diese Position zu gewinnen. Schließlich wählte der Suchausschuss unter der Leitung des Gründers Lord Brougham , Olinthus Gregory und Henry Warburton De Morgan aus mindestens 31 Kandidaten aus, darunter Dionysius Lardner , Peter Nicholson , John Radford Young , Henry Moseley , John Herapath , Thomas Hewitt Key , William Ritchie und John Walker . ^{[ 9 ] [ 10 ]}

De Morgans Arbeit in dieser Zeit konzentrierte sich auf den Mathematikunterricht: Seine erste Veröffentlichung war The Elements of Algebra (1828), ^{[ 11 ]} eine Übersetzung eines französischen Lehrbuchs von Louis Bourdon , gefolgt von Elements of Arithmetic (1830), ^{[ 12 ]} einem weit verbreiteten und langlebigen Lehrbuch, ^{[ 13 ]} und The Study and Difficulties of Mathematics (1831), ^{[ 14 ]} einer Abhandlung über die mathematische Bildung.

Nach einer Reihe von Auseinandersetzungen zwischen der Fakultät, darunter De Morgan, und der Universitätsleitung, insbesondere dem Rektor Leonard Horner , entbrannte ein Streit über den Umgang mit Protesten von Medizinstudenten, die die Entlassung des Anatomieprofessors Granville Sharp Pattison wegen Inkompetenz forderten. Während De Morgan und andere argumentierten, dass Studenten in dieser Angelegenheit keinen Einfluss haben sollten, gab die Universität dem Druck der Studenten nach und entließ Pattison. De Morgan trat am 24. Juli 1831 zurück, gefolgt von den Professoren George Long und Friedrich August Rosen . ^{[ 15 ] [ 16 ]}

1826 gründete Lord Brougham, einer der Gründer der Universität London, die Society for the Diffusion of Useful Knowledge (SDUK) mit dem Ziel, die Selbstbildung zu fördern und den moralischen Charakter der Mittel- und Arbeiterschicht durch preiswerte und leicht zugängliche Publikationen zu verbessern. ^{[ 17 ]} De Morgan engagierte sich ab März 1827 in der SDUK; sein unveröffentlichtes Manuskript „ Elements of Statics“ für die Gesellschaft könnte zu seiner Berufung an die Universität London beigetragen haben. ^{[ 10 ]} De Morgan, einer ihrer produktivsten und einflussreichsten Autoren, veröffentlichte mehrere Bücher bei SDUK: „ On the Study and Difficulties of Mathematics “ (1831), ^{[ 14 ]} „Elementary Illustrations of the Differential and Integral Calculus“ (1832), „ The Elements of Spherical Trigonometry “ (1834), „ Examples of the Processes of Arithmetic and Algebra“ (1835), „ An Explanation of the Gnomic projection of the sphere“ (1836), ^{[ 18 ]} „The Differential and Integral Calculus“ (1842), ^{[ 19 ]} und „The Globes Celestial and Terrestrial“ (1845), ^{[ 20 ]} sowie über 700 Artikel in der „Penny Cyclopedia“ und Beiträge zum „ Quarterly Journal of Education“ , zur „ Gallery of Portraits“ und zum „ Companion to the British Almanac“ . ^{[ 21 ]}

Nach seiner ersten Kündigung an der Universität London begann De Morgan seine Tätigkeit als Privatlehrer. ^{[ 22 ]} Einer seiner ersten Schüler war Jacob Waley . Er unterrichtete Ada Lovelace von 1840 bis 1842, hauptsächlich per Korrespondenz. ^{[ 23 ]}

De Morgans Urgroßvater, Großvater und Schwiegervater waren allesamt Aktuare ; daher ist es nicht verwunderlich, dass auch De Morgan als beratender Aktuar für verschiedene Lebensversicherungsgesellschaften tätig war , darunter das Family Endowment Assurance Office ^{[ 24 ]} , das Albert Life Assurance Office ^{[ 25 ]} und die Alliance Assurance Company ^{[ 26 ]} . Er veröffentlichte mehrere Artikel zu versicherungsmathematischen Themen sowie das Buch „An Essay on Probabilities and Their Application to Life Contingencies and Insurance Offices“ ^{[ 27 ]} . Sein bedeutendstes Werk als Aktuar ist jedoch die Förderung der Arbeiten von Benjamin Gompertz , dessen „ Gesetz der Sterblichkeit “ sowohl unterschätzt als auch plagiiert wurde ^{[ 28 ] .}

De Morgan engagierte sich ab 1828 in der Astronomical Society of London. 1831, im selben Jahr, in dem die Gesellschaft ihre königliche Charta erhielt und zur Royal Astronomical Society wurde, wurde er zum Ehrensekretär ernannt . ^{[ 29 ]} Er blieb 18 Jahre lang Sekretär und engagierte sich 30 Jahre lang aktiv in der Gesellschaft.

1836 ertrank De Morgans Nachfolger als Professor für Mathematik, George J. P. White; De Morgan wurde zur Rückkehr überredet und wieder eingesetzt. Im selben Jahr wurde die Universität London in University College umbenannt und zusammen mit dem King’s College der neu gegründeten Universität London angegliedert . ^{[ 30 ]}

De Morgan war ein äußerst erfolgreicher Mathematiklehrer. Über 30 Jahre lang deckte sein Unterricht das gesamte Curriculum ab, von Euklid bis zur Variationsrechnung, und seine Kurse umfassten oft mehr als 100 Studierende. Sein Ansatz integrierte Vorlesungen, Lektüre, Übungsaufgaben, individuelle Betreuung und umfangreiche Kursunterlagen. Er lehnte Auswendiglernen ab und betrachtete Mathematikunterricht als das Erlernen von logischem Denken und als Kernbestandteil einer geisteswissenschaftlichen Bildung. ^{[ 31 ]} Mehrere seiner Schüler wurden später Mathematiker, allen voran James Joseph Sylvester , und einige von ihnen, wie Edward Routh und Isaac Todhunter , wurden selbst bekannte Pädagogen. Viele seiner Studenten, die keine Mathematiker waren, schätzten ihn sehr; William Stanley Jevons beschrieb De Morgan als einen „unübertroffenen“ Lehrer. ^{[ 13 ] [ 32 ]} Jevons, stark von De Morgan beeinflusst, arbeitete später selbstständig auf dem Gebiet der Logik und wurde vor allem für die Entwicklung der Nutzentheorie im Rahmen der sogenannten Marginalrevolution bekannt . ^{[ 33 ] [ 34 ]}

1866 wurde der Lehrstuhl für Geistesphilosophie und Logik am University College vakant, und James Martineau wurde vom Senat dem Rat formell empfohlen. Auf Drängen von George Grote lehnte der Rat Martineau jedoch mit der Begründung ab, er sei unitarischer Geistlicher, und ernannte stattdessen den Laien George Croom Robertson . De Morgan argumentierte, der Grundsatz der religiösen Neutralität sei damit aufgegeben worden, und trat umgehend zurück. ^{[ 35 ]}

De Morgan war ein früher Verfechter der symbolischen Algebra . Diese wurde erstmals von George Peacock in seinem „Treatise on Algebra “ (1830) formuliert und von Duncan Gregory weiterentwickelt . Die symbolische Algebra war ein erster Schritt hin zur abstrakten Algebra , da sie die Manipulation von Symbolen von ihrer arithmetischen Bedeutung trennte. Zwar konnte die symbolische Algebra negative und imaginäre Zahlen mechanisch konstruieren, wie beispielsweise in den Arbeiten von Adrien-Quentin Buée , Jean-Robert Argand und John Warren , jedoch nicht deren Interpretation liefern. De Morgan bemerkte, dass ein ähnliches Problem den klassischen indischen Mathematiker Bhāskara II. in seinem Werk „Bijaganita“ beschäftigte . ^{[ 36 ] [ 37 ]}

De Morgan wandte sich von der symbolischen Algebra ab und entwickelte in einer Reihe von Aufsätzen ^{[ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ]} sowie in dem Buch „Trigonometry and Double Algebra“ ( 1849) ^{[ 42 ]} die von ihm so genannte „logische“ oder „doppelte“ Algebra. Obwohl De Morgans Doppelalgebra nie vollständig ausgearbeitet wurde, gilt sie als Vorläuferin der geometrischen Algebra und beeinflusste den irischen Mathematiker Sir William Rowan Hamilton bei der Entwicklung der Quaternionen . ^{[ 13 ] [ 36 ] [ 37 ]}

De Morgan und Hamilton waren über 25 Jahre lang befreundet und korrespondierten miteinander. De Morgan diente Hamilton sowohl als mathematischer Kollege, indem er seine Vorlesungen über Quaternionen (1853) rezensierte, als auch als Vertrauter in persönlichen Angelegenheiten. ^{[ 43 ] [ 28 ]}

Das Studium der Logik in Großbritannien erlebte nach der Veröffentlichung von Richard Whatelys „ Elements of Logic“ im Jahr 1826 eine Renaissance. Das Buch selbst war Gegenstand einer Debatte, die sowohl De Morgan als auch George Boole zum Handeln veranlasste . William Whewell argumentierte, die Logik, insbesondere der von Whately betonte Syllogismus, könne keine „neuen Wahrheiten“ hervorbringen und sei daher der wissenschaftlichen Argumentation unterlegen und von ihr verschieden. Der schottische Philosoph Sir William Hamilton hingegen hielt Whatelys Versuch, Logik mit einer „Grammatik des Denkens“ gleichzusetzen, für falsch und reduktionistisch. De Morgan, möglicherweise beeinflusst von den Schriften Sylvestre François Lacroix’ , erkannte den Nutzen von Whatelys Logik für die Mathematik, sowohl in ihrer Betonung des Syllogismus als auch in ihrer grammatikähnlichen Abstraktion, wie seine Schriften zur Pädagogik ^{[ 14 ] [ 44 ]} und seine Forderung nach der Aufnahme der Logik in den Lehrplan von Cambridge belegen. ^{[ 5 ]}

De Morgans 1846 veröffentlichte Abhandlung „Über die Struktur des Syllogismus“ ^{[ 45 ]} definiert mathematisch die Regeln der aristotelischen Logik , insbesondere ^den Syllogismus , einschließlich der heute als De Morgansche Gesetze bekannten Gesetze . Als historisch bedeutsamer Beginn der mathematischen Logik [ ^{46 ]} löste De Morgans Abhandlung damals eine Auseinandersetzung mit Hamilton über die Rolle der Mathematik in der Logik aus; „Mathematik kann überhaupt nicht zu logischen Gewohnheiten beitragen“, schrieb Hamilton. Der Streit konzentrierte sich auf die sogenannte Quantifizierung des Prädikats , die Hamilton behauptete. Doch im Laufe der Auseinandersetzung, die in den Seiten des Athenæum und in den Publikationen der beiden Autoren fortgesetzt wurde , zeigte sich, dass Hamilton und seine Anhänger falsch lagen und De Morgans mathematisch präzise Beschreibung der aristotelischen Logik korrekt war. Daraufhin warf Hamilton De Morgan Plagiat vor. ^{[ 47 ] [ b ]}

Boole, ein Freund De Morgans seit 1842, verfasste, unter anderem motiviert durch die Auseinandersetzungen zwischen Whewell und Hamilton sowie zwischen De Morgan und Hamilton, „ The Mathematical Analysis of Logic“ , das 1847 zeitgleich mit De Morgans „Formal Logic“ erschien . Booles Werk sollte De Morgans Werk in den Schatten stellen und die frühe mathematische Logik prägen. De Morgan unterstützte Booles Bemühungen weiterhin, korrigierte dessen Texte und setzte sich für sie ein. Nach Booles Tod sorgte De Morgan dafür, dass dessen Familie eine staatliche Pension erhielt. ^{[ 49 ] [ 28 ]}

De Morgan wurde 1849 von Elizabeth Jesser Reid angeworben und unterrichtete ein Jahr lang Mathematik am neu gegründeten Ladies College am Bedford Square . ^{[ 50 ]}

1850 erhielt De Morgan von John Elliot Drinkwater Bethune das Buch „ A Treatise on Problems of Maxima and Minima“ , verfasst und im Selbstverlag veröffentlicht vom indischen Autodidakten Ramchundra . De Morgan war von dem Werk so beeindruckt, dass er mit Ramchundra korrespondierte und 1859 die Neuauflage des Buches in London veranlasste, die sich an ein europäisches Publikum richtete. In seinem Vorwort gab De Morgan einen Überblick über das klassische indische mathematische Denken und plädierte für eine zeitgenössische Wiederentdeckung der indischen Mathematik: ^{[ 51 ] [ 52 ] [ 28 ]}

Bei der Untersuchung dieses Werkes erkannte ich darin nicht nur lobenswerte Verdienste, sondern Verdienste besonderer Art, deren Förderung, wie es mir schien, die einheimischen Bemühungen um die Wiederherstellung des einheimischen Denkens in Indien begünstigen würde.

Über den Einfluss der klassischen indischen Logik auf De Morgans eigene Arbeit zur Logik wurde spekuliert. ^{[ 53 ]} Mary Boole behauptete, dass – über ihren Onkel George Everest – das indische Denken im Allgemeinen und die indische Logik im Besonderen einen tiefgreifenden Einfluss auf ihren Ehemann George Boole sowie auf De Morgan ausgeübt hätten:

Man stelle sich vor, welchen Einfluss die intensive Hinduifizierung durch drei Männer wie Babbage, De Morgan und George Boole auf die mathematische Atmosphäre der Jahre 1830–1865 gehabt haben muss. Welchen Anteil hatte sie an der Entstehung der Vektoranalysis und der Mathematik, mit der heute Untersuchungen in den physikalischen Wissenschaften durchgeführt werden? ^{[ 54 ]}

Arthur Cowper Ranyard und George Campbell De Morgan, De Morgans Sohn, entwickelten die Idee, in London eine mathematische Gesellschaft zu gründen, in der mathematische Abhandlungen nicht nur entgegengenommen (wie von der Royal Society ), sondern auch gelesen und diskutiert werden sollten. Die erste Sitzung der London Mathematical Society fand 1865 am University College statt. De Morgan war der erste Präsident und sein Sohn der erste Sekretär. Zu den Gründungsmitgliedern gehörten Benjamin Gompertz , De Morgans persönlicher Freund und Aktuarskollege, William Stanley Jevons und James Joseph Sylvester , De Morgans ehemalige Studenten, Thomas Archer Hirst , De Morgans Kollege, sowie die Mathematiker William Kingdom Clifford und Arthur Cayley . ^{[ 55 ] [ 28 ]}

Augustus war eines von sieben Kindern, von denen nur vier das Erwachsenenalter erreichten. Diese Geschwister waren Eliza (1801–1836), die Lewis Hensley, einen in Bath lebenden Chirurgen, heiratete; George (1808–1890), ein Rechtsanwalt, der Josephine, die Tochter von Vizeadmiral Josiah Coghill, 3. Baronet Coghill , heiratete ; und Campbell Greig (1811–1876), ein Chirurg am Middlesex Hospital.

Nach seinem Umzug nach London freundete sich De Morgan mit William Frend (1757–1841) an. Beide hatten in Cambridge Mathematik studiert, das Studium aber aus religiösen Gründen abgebrochen und waren beide Aktuare . Im Herbst 1837 heiratete De Morgan Sophia Elizabeth Frend (1809–1892), die älteste Tochter von William Frend und Sarah Blackburne (1779–?), einer Enkelin von Francis Blackburne (1705–1787), dem Erzdiakon von Cleveland. ^{[ 56 ]}

De Morgan hatte drei Söhne und vier Töchter, darunter die Märchenautorin Mary De Morgan . Sein ältester Sohn war der Töpfer William De Morgan , der die Malerin Evelyn De Morgan , geborene Pickering, heiratete . Sein zweiter Sohn, George, zeichnete sich durch sein Mathematikstudium am University College London und an der Universität London aus.

De Morgan war voller Eigenheiten. Anlässlich der Amtseinführung seines Freundes Lord Brougham als Rektor der Universität Edinburgh bot ihm der Senat die Ehrendoktorwürde (LL.D.) an; er lehnte die Auszeichnung jedoch als unpassend ab. Humorvoll bezeichnete er sich selbst mit dem lateinischen Ausdruck „ Homo paucarum literarum “ (Mann mit wenigen Buchstaben), was seine Bescheidenheit angesichts seiner umfangreichen Beiträge zur Mathematik und Logik widerspiegelte.

Er mochte die Provinzen außerhalb Londons nicht, und während seine Familie die Küste genoss und sich Wissenschaftler bei einer Tagung der British Association auf dem Land vergnügten, verharrte er in den heißen und staubigen Bibliotheken der Metropole. Er sagte, er fühle sich wie Sokrates , der erklärt hatte, je weiter er von Athen entfernt sei , desto weiter sei er vom Glück entfernt.

Er strebte nie eine Mitgliedschaft in der Royal Society an und nahm auch nie an einer ihrer Sitzungen teil. Er erklärte, er teile weder Ideen noch Sympathien mit dem Physiker; seine Haltung sei möglicherweise auf seine körperliche Gebrechlichkeit zurückzuführen, die ihn daran hinderte, Beobachter oder Experimentator zu sein. ^{[ 57 ]}

Er hat nie an einer Wahl teilgenommen und weder das Unterhaus noch den Tower von London oder Westminster Abbey besucht . ^{[ 58 ]}

Trotz seiner strengen Erziehung in der anglikanischen Kirche ^{[ 59 ]} lebte De Morgan öffentlich als Nonkonformist , was ihm persönlich zum Verhängnis wurde: Seine Weigerung, sich anzupassen, verhinderte seinen weiteren Aufstieg in Cambridge; seine Hochzeit fand ohne kirchliche Trauung statt; ^{[ 60 ]} und er stritt sich mehrmals mit der Universitätsleitung, um religiöse Neutralität zu wahren, ^{[ 61 ]} und trat schließlich deswegen zurück. ^{[ 62 ]} Privat war De Morgan ein Dissident : Er heiratete in eine unitarische Familie ein, wo seine im Wesentlichen christlich-deistischen Auslegungen der Heiligen Schrift willkommen waren. ^{[ 63 ]} Später im Leben wandte er sich stärker dem Deismus zu und schloss sich Martineaus Freier Christlicher Union an . ^{[ 64 ]}

De Morgan wurde gelegentlich des Atheismus beschuldigt ^{[ 65 ]} , was er als Sektierertum zurückwies. ^{[ c ] [ 67 ]} In seinem Testament schrieb De Morgan:

Ich übergebe meine Zukunft voller Hoffnung und Zuversicht dem allmächtigen Gott, Gott, dem Vater unseres Herrn Jesus Christus, den ich in meinem Herzen als Sohn Gottes bekenne, aber nicht mit meinen Lippen bekannt habe, weil zu meiner Zeit ein solches Bekenntnis immer der Weg nach oben in der Welt war. ^{[ 68 ]}

Im Alter von 60 Jahren sicherten ihm seine Schüler eine jährliche Pension von 500 Pfund, doch das Schicksal schlug nicht zu. Zwei Jahre später starb sein Sohn George – der „jüngere Bernoulli“, wie Augustus ihn gern nennen hörte ^{[ 69 ]} , in Anspielung auf die berühmten Mathematiker Bernoulli, Vater und Sohn, die diesen Namen trugen. Kurz darauf verstarb auch seine Tochter. Fünf Jahre nach seinem Rücktritt vom University College starb De Morgan am 18. März 1871 an Nervenzusammenbruch .

De Morgan ist vor allem für seine bahnbrechenden Beiträge zur mathematischen Logik , insbesondere zur algebraischen Logik , und in geringerem Maße für seine Beiträge zu den Anfängen der abstrakten Algebra bekannt .

De Morgans Beiträge zur Logik sind zweifacher Natur. Erstens gab es vor De Morgan keine mathematische Logik – Logik , einschließlich formaler Logik , war das Gebiet der Philosophen; De Morgan war der Erste, der die formale Logik zu einem mathematischen Fachgebiet erhob. Zweitens entwickelte De Morgan den Relationenkalkül und abstrahierte damit die Logik im Wesentlichen durch die Anwendung algebraischer Prinzipien.

De Morgans erste Originalarbeit zur Logik, „Über die Struktur des Syllogismus“ ^{[ 45 ]} , erschien 1846 in den Transactions of the Cambridge Philosophical Society. Die Arbeit beschreibt ein mathematisches System zur Formalisierung der aristotelischen Logik , insbesondere des Syllogismus . Obwohl die von De Morgan definierten Regeln, einschließlich der nach ihm benannten De Morganschen Gesetze , einfach sind, ist der Formalismus von großer Bedeutung: Er stellte den ersten ernstzunehmenden Fall mathematischer Logik dar, die das Gebiet der Logik in der Folgezeit durchdringen sollte, und nahm die Logikprogrammierung vorweg . ^{[ 70 ]} Die darauffolgende Auseinandersetzung mit dem Philosophen Sir William Stirling Hamilton über die in De Morgans Arbeit erwähnte „Quantifizierung des Prädikats“ veranlasste George Boole zur Veröffentlichung der Schrift „ Mathematische Analyse der Logik“ (1847). De Morgan erweiterte seine ursprüngliche Abhandlung in dem Buch „Formal Logic, or the Calculus of Inference, Necessary and Probable“ (1847) ^{[ 71 ]} , das in derselben Woche wie Booles Broschüre erschien und von dieser sofort in den Schatten gestellt wurde. Nichtsdestotrotz erkannten spätere Wissenschaftler den Pioniercharakter seiner Arbeit an; C. I. Lewis schrieb: „Seine Originalität bei der Entwicklung neuer logischer Formen, sein scharfer Verstand, seine prägnanten Illustrationen sowie die Klarheit und Lebendigkeit seines Schreibstils leisteten einen unschätzbaren Beitrag zum Abbau der Vorurteile gegenüber der Einführung ‚mathematischer‘ Methoden in die Logik.“ ^{[ 72 ]}

De Morgan entwickelte den Relationenkalkül in seiner Abhandlung „Über den Syllogismus, Nr. IV“ ^{[ 73 ]} und in seinem Buch „Syllabus eines vorgeschlagenen Systems der Logik“ (1860) ^{[ 74 ]} . Er zeigte, dass das Schließen mit Syllogismen durch die Komposition von Relationen ersetzt werden kann ^{[ 75 ]} . Charles Sanders Peirce , der De Morgan bewunderte und ihn kurz vor dessen Tod traf, bezeichnete den Kalkül als die Logik der Relativitäten . Historiker führen mehrere Entwicklungen der modernen Logik direkt auf De Morgans Beiträge zur algebraischen Logik zurück : „Jeder ernsthafte Versuch, die zeitgenössischen Arbeiten von Tarski oder Birkhoff zu studieren , sollte mit einem gründlichen Studium der bedeutendsten Begründer ihres Fachgebiets beginnen, insbesondere Boole , De Morgan, Peirce und Schröder .“ ^{[ 76 ]} Tatsächlich wurde ein von De Morgan im Jahr 1860 formulierter Satz später von Schröder in seinem Lehrbuch über binäre Relationen wiedergegeben und wird heute allgemein als Schröder-Regeln bezeichnet .

De Morgan war ein früher Anhänger und Unterstützer von Peacocks symbolischer Algebra, wandte sich aber bald davon ab. Ab 1839 verfasste er eine Reihe von Abhandlungen mit dem Titel „Über die Grundlagen der Algebra“ ^{[ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ],} in denen er seine sogenannte „logische“ oder „ doppelte “ Algebra beschrieb, im Wesentlichen eine frühe Form der geometrischen Algebra . Diese Abhandlungen sind zwar vor allem für ihren Einfluss auf Sir William Rowan Hamilton und die Entwicklung der Quaternionen bekannt ^{[ 13 ] [ 77 ],} sie enthalten aber auch De Morgans Schritte hin zu einer vollständig abstrakten Algebra .

„Erfindung eines eigenen Systems von Einheitensymbolen und Untersuchung oder Zuordnung von Beziehungen, die deren Wirkungsweise aufeinander definieren.“ ^{[ 78 ]}

De Morgan fasste seine algebraischen Arbeiten in seinem Buch „Trigonometrie und Doppelalgebra “ (1849) zusammen und erweiterte sie. ^{[ 42 ]}

De Morgan war ein äußerst produktiver Autor; eine unvollständige Liste seiner Werke umfasst 15 Seiten seiner Memoiren. ^{[ 79 ]} Während der Großteil seiner mathematischen Schriften pädagogischer Natur ist und aus verschiedenen Lehrbüchern besteht, ist er vor allem für seine bahnbrechenden Beiträge zur Logik bekannt, die er in mehreren Büchern und Aufsätzen darlegte, insbesondere in „ Formal Logic“ (1847) und „Syllabus of a Proposed System of Logic“ (1860). Auch seine Arbeiten zur Algebra sind bemerkenswert, insbesondere „Trigonometry and Double Algebra “ (1849).

De Morgan war auch ein bekannter Popularisierer von Wissenschaft und Mathematik; er steuerte über 600 Artikel zur Penny Cyclopedia bei, von Abacus bis Young, Thomas . ^{[ 80 ]} Sein ungewöhnlichstes Werk ist A Budget of Paradoxes , eine Zusammenstellung seiner Texte, hauptsächlich Buchrezensionen, für The Athenæum Journal .

Während De Morgans zwei frühe Werke zur Algebra – seine Übersetzung von Bourdons „ The Elements of Algebra“ (1828) ^{[ 11 ]} und sein eigenes Lehrbuch „The Elements of Algebra“ (1835) ^{[ 81 ] –} didaktischen Charakter haben, sollten die Probleme, denen er beim Schreiben begegnete, seine späteren Forschungen anregen. ^{[ 37 ]}

De Morgans Forschungsarbeiten zur Algebra, die von 1839 bis 1844 in vier Abhandlungen in den Transactions of the Cambridge Philosophical Society unter dem Titel „On the foundation of algebra“ ^{[ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ]} erschienen , definierten die von ihm so genannte „logische“ oder „doppelte“ Algebra. Die Arbeiten sind vor allem für ihren Einfluss auf Hamilton und die Quaternionen bekannt ^{[ 82 ]} . Die zweite Abhandlung ^{[ 39 ]} enthält die Definition dessen, was heute als Körper ^{[ 37 ]} bezeichnet wird , und die vierte Abhandlung ^{[ 41 ]} behandelt den Fall der „dreifachen“ Algebra, der Hamilton entgangen war. ^{[ 77 ]}

De Morgans Buch „Trigonometrie und Doppelalgebra“ (1849) ^{[ 42 ]} ist eine Abhandlung über Trigonometrie und eine Synthese seiner früheren Arbeiten zur Algebra. Darin zeichnet er die Entwicklung der „Doppelalgebra“, im Wesentlichen der geometrischen Algebra , von der Arithmetik über die symbolische Algebra nach und veranschaulicht dies anhand der Konstruktion der komplexen Zahlen. ^{[ 83 ]} De Morgan führt die Gesetze auf, die eine algebraische Struktur definieren – ein frühes Beispiel dessen, was Whitehead später als universelle Algebra bezeichnen sollte . Obwohl De Morgan Gregorys Assoziativgesetz bemerkenswerterweise auslässt, führte die selektive Anwendung von Gesetzen, z. B. der Kommutativität, zu Hamiltons Quaternionen. ^{[ 84 ] [ 77 ]} Erwähnenswert ist auch die Einführung hyperbolischer Funktionen und der Vergleich von Kreis- und hyperbolischer Trigonometrie . ^{[ 48 ]}

De Morgans erstes Werk über Logik, First Notions of Logic (1839), ist pädagogischer Natur und führt die Studenten in die notwendige Logik ein, um Euklids Elemente zu studieren .

De Morgans erste Forschungsarbeit zur Logik, „Über die Struktur des Syllogismus“ (1846), ^{[ 45 ]} in der er ein mathematisches System für den aristotelischen Syllogismus beschreibt , markiert wohl den Beginn der sogenannten mathematischen Logik. ^{[ d ]}

De Morgans wohl bekanntestes Werk, „ Formal Logic, or the Calculus of Inference, Necessary and Probable “ ^{[ 71 ],} erschien 1847 in derselben Woche (nach Absprache) wie George Booles „ Mathematical Analysis of Logic“ . Das Buch ist im Wesentlichen eine Neuauflage seiner Abhandlung „On the structure of the syllogism“ (1846) ^{[ 45 ]} , enthält aber auch sein früheres Werk „ First Notions of Logic“ (1839) ^{[ 44 ]} , Kapitel über Fehlschlüsse und Wahrscheinlichkeit sowie die Details seiner Auseinandersetzung mit dem schottischen Philosophen Sir William Hamilton.

De Morgan setzte seine Forschungen zur Logik in einer Reihe von Aufsätzen fort, ^{[ 85 ] [ 86 ] [ 73 ] [ 87 ]} insbesondere in „Über den Syllogismus, Nr. IV“ (1860), ^{[ 73 ]} in dem er die Logik der Relationen einführte . De Morgan fasste einen Großteil dieser Arbeit in seinem Buch „Syllabus eines vorgeschlagenen Systems der Logik “ (1860) zusammen. ^{[ 88 ]}

Das 1872 posthum veröffentlichte Werk „A Budget of Paradoxes“ ist eine Zusammenstellung von De Morgans gleichnamiger Kolumne für das Athenæum, die hauptsächlich aus Buchbesprechungen besteht und sich auf sogenannte Paradoxonisten konzentriert, die auch als Pseudomathematiker (ein Neologismus von De Morgan ) und Pseudowissenschaftler bezeichnet werden . ^{[ 89 ]}

Die von De Morgan beschriebenen Pseudomathematiken sind zumeist Kreisquadranten , wie etwa Thomas Baxter ^{[ 90 ]} , Würfelduplikatoren und Winkeldreisektoren . Einer dieser Winkeldreisektoren war James Sabben, dessen Arbeit von De Morgan mit einer Einzeiler-Rezension bedacht wurde:

„Die Konsequenz jahrelangen intensiven Nachdenkens“: sehr wahrscheinlich und sehr traurig. ^{[ 91 ]}

Ein weiterer von De Morgan identifizierter Pseudomathematiker war James Smith, ein erfolgreicher Kaufmann aus Liverpool, der behauptete, dass … De Morgan schreibt: ${\displaystyle \pi =3{\tfrac {1}{8}}}$

Herr Smith schreibt mir weiterhin lange Briefe, in denen er andeutet, dass ich antworten soll. In seinem letzten, 31 eng beschriebenen Brief teilt er mir mit Blick auf mein hartnäckiges Schweigen mit, dass ich, obwohl ich mich selbst und auch andere für einen mathematischen Goliath halte, beschlossen habe, mich wie eine mathematische Schnecke zu verhalten und in meinem Schneckenhaus zu bleiben… Er wagt es jedoch zu sagen, dass die Steine ​​aus der Schleuder der einfachen Wahrheit und des gesunden Menschenverstands mein Schneckenhaus schließlich zum Platzen bringen werden… ^{[ 92 ]}

Zu den vielen pseudowissenschaftlichen Ideen, die De Morgan widerlegt, gehören Alfred Wilks Draysons Theorie der expandierenden Erde ^{[ 93 ]} und Samuel Rowbothams Zetetische Astronomie oder die Theorie der flachen Erde . ^{[ 94 ]}

In seiner Diskussion über die Berechnungen von geht De Morgan ausführlich auf Buffons Näherung und seine eigenen Ergebnisse unter Verwendung der Methode ein. ^{[ 95 ]}${\displaystyle \pi }$

De Morgan widmet in „Budget“ auch nicht-technischen Themen Raum , insbesondere der Religion. Er gibt eine positive Rezension von Godfrey Higgins ’ „ Anacalypsis“ ^{[ 96 ]} und erzählt mehrere Anekdoten über die Ansichten großer Mathematiker zur Religion, insbesondere von Laplace ^{[ 97 ]} und Euler ^{[ 98 ]} .

De Morgan verwendet in „Budget“ häufig Humor , unter anderem durch verschiedene Anagramme wie „Great Gun, do us a sum!" (="Augustus De Morgan"), ^{[ 99 ]} „The Astronomer's Drinking Song“ ^{[ 100 ] [ 101 ]} und das Gedicht „Siphonaptera“ ^{[ 102 ]} . „Budget“ wurde gut aufgenommen, ließ sich aber schwer einordnen. ^{[ e ] [ 104 ] [ 105 ]}

Später in seinem Leben entwickelte De Morgan ein Interesse am Spiritismus . Anfänglich fasziniert von der Hellseherei , führte er gemeinsam mit dem amerikanischen Medium Maria Hayden paranormale Untersuchungen durch. Die Ergebnisse dieser Untersuchungen sind in dem Buch „ From Matter to Spirit: The Result of Ten Years Experience in Spirit Manifestations “ (1863) dokumentiert, das von Sophia De Morgan verfasst und anonym veröffentlicht wurde, um Repressalien zu vermeiden. ^{[ 106 ]}

Sophia war vermutlich eine überzeugte Spiritistin, doch De Morgan selbst war weder ein überzeugter Gläubiger noch ein Skeptiker. Er vertrat die Ansicht, dass die Methodik der Naturwissenschaften paranormale Phänomene nicht automatisch ausschließe , und deutete an, dass solche Phänomene möglicherweise durch Naturkräfte erklärt werden könnten, die die Physiker noch nicht identifiziert hatten. ^{[ 107 ]} Im Vorwort zu „ Von der Materie zum Geist “ (1863) schreibt De Morgan:

Da ich es für sehr wahrscheinlich halte, dass das Universum einige wenige Wesenheiten – sagen wir eine halbe Million – enthält, über die niemand etwas weiß, vermute ich, dass ein kleiner Teil dieser Wesenheiten – sagen wir fünftausend – einzeln für die Erzeugung aller [spiritualistischen] Phänomene verantwortlich sein könnte oder zumindest zu den wenigen gehört, die diese Aufgabe erfüllen. Die physikalischen Erklärungen, die ich gesehen habe, sind zwar einfach, aber kläglich unzureichend; die spiritistische Hypothese ist zwar ausreichend, aber ungemein schwierig. Zeit und Nachdenken werden es zeigen, wobei das Nachdenken weitere Ergebnisse von Versuchen erfordert.

De Morgan was one of the first notable scientists in Britain to take an interest in the study of spiritualism, influencing William Crookes to also study spiritualism.^[108]

The headquarters of the London Mathematical Society are called De Morgan House, and the top prize awarded by the Society is the De Morgan Medal.

The student society of the Mathematics Department of University College London is called the Augustus De Morgan Society.

De Morgan's extensive library of mathematical and scientific works, many historical, was acquired by Samuel Jones-Loyd for the University of London and is now part of the Senate House Libraries collection.^[109]

The lunar craterDe Morgan is named after him.

• Bourdon, Pierre Louis Marie (1828). The Elements of Algebra. Translated by De Morgan, Augustus. London: John Taylor.
• De Morgan, Augustus (1831). On the Study and Difficulties of Mathematics.
• An Explanation of the Gnomonic Projection of the Sphere. London: Baldwin. 1836.
• Elements of Trigonometry, and Trigonometrical Analysis. London: Taylor & Walton. 1837a.
• Elements of Algebra. London: Taylor & Walton. 1837b.
• An Essay on Probabilities, and Their Application to Life Contingencies and Insurance Offices. London: Longman, Orme, Brown, Green & Longmans. 1838.
• De Morgan, Augustus (1839). First Notions of Logic, Preparatory to the Study of Geometry. London: Taylor & Walton.
• The Elements of Arithmetic (4th ed.). London: Taylor & Walton. 1840a.
• The Differential and Integral Calculus. London: Baldwin. 1842.
• The Globes, Celestial and Terrestrial. London: Malby & Co. 1845.
• De Morgan, Augustus (1847). Formal Logic or The Calculus of Inference, Necessary and Probable. London: Taylor & Walton.
• Trigonometry and Double Algebra. London: Taylor, Walton & Malbery. 1849.
• De Morgan, Augustus (1860). Syllabus of a Proposed System of Logic. London: Walton & Malbery.
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• De Morgan, Augustus (1858). „Über den Syllogismus, Nr. III, und über die Logik im Allgemeinen“. Transactions of the Cambridge Philosophical Society . 10 (1): 173–230 .
• De Morgan, Augustus (1860). „Über den Syllogismus, Nr. IV, und über die Logik der Relationen“. Transactions of the Cambridge Philosophical Society . 10 (2): 331–358 .
• De Morgan, Augustus (1863). „Über den Syllogismus, Nr. V, und über verschiedene Punkte des onymischen Systems“. Transactions of the Cambridge Philosophical Society . 10 (2): 428–487 .

• Geschichte von Grandis Serie
• Murphys Gesetz
• Die Quadratur des Kreises
• Vierfarbensatz

• „Das Trinklied des Astronomen“ . Königliche Astronomische Gesellschaft von Kanada . 10. Dezember 2013.

• Werke von Augustus De Morgan im Projekt Gutenberg
• Werke von oder über Augustus De Morgan im Internet Archive
• Werke von Augustus De Morgan bei LibriVox (gemeinfreie Hörbücher)
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , „Augustus De Morgan“ , MacTutor History of Mathematics Archive , University of St Andrews
• Bibliothek des Senatshauses | De Morgan Bibliothek [1] [2]
• „Archivmaterial zu Augustus De Morgan“ . Britisches Nationalarchiv .
• Porträts von Augustus De Morgan in der National Portrait Gallery, London