Binäre ikosaedrische Gruppe

In der Mathematik ist die binäre ikosaedrische Gruppe 2 I oder ⟨2,3,5⟩ ^{[ 1 ]} eine bestimmte nichtabelsche Gruppe der Ordnung 120. Sie ist eine Erweiterung der ikosaedrischen Gruppe I oder (2,3,5) der Ordnung 60 durch die zyklische Gruppe der Ordnung 2 und das Urbild der ikosaedrischen Gruppe unter dem 2:1- Überdeckungshomomorphismus.

${\displaystyle \operatorname {Spin} (3)\to \operatorname {SO} (3)\,}$

der speziellen orthogonalen Gruppe durch die Spingruppe . Daraus folgt, dass die binäre ikosaedrische Gruppe eine diskrete Untergruppe von Spin(3) der Ordnung 120 ist.

Sie sollte nicht mit der vollen ikosaedrischen Gruppe verwechselt werden , die eine andere Gruppe der Ordnung 120 ist und vielmehr eine Untergruppe der orthogonalen Gruppe O(3) darstellt.

In der Algebra der Quaternionen wird die binäre ikosaedrische Gruppe konkret als diskrete Untergruppe der Versoren realisiert , die die Quaternionen der Norm eins sind. Weitere Informationen finden sich unter Quaternionen und räumliche Rotationen .

Explizit ist die binäre Ikosaedergruppe als die Vereinigung aller geraden Permutationen der folgenden Vektoren gegeben:

• 8 gerade Permutationen von${\displaystyle (\pm 1,0,0,0)}$
• 16 gerade Permutationen von${\displaystyle (\pm 1/2,\pm 1/2,\pm 1/2,\pm 1/2)}$
• 96 gerade Permutationen von${\displaystyle (0,\pm 1/2,\pm 1/2\phi ,\pm \phi /2)}$

Hier ist der Goldene Schnitt . ${\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

Insgesamt gibt es 120 Elemente, nämlich die Einheits- Ikosianen . Sie alle haben die Größe 1 und liegen daher in der Einheitsquaternionengruppe Sp(1).

Die 120 Elemente im vierdimensionalen Raum entsprechen den 120 Eckpunkten der 600-Zelle , einem regulären 4-Polytop .

Die binäre Ikosaedergruppe, bezeichnet mit 2 I , ist die universelle perfekte zentrale Erweiterung der Ikosaedergruppe und somit quasisimple : Sie ist eine perfekte zentrale Erweiterung einer einfachen Gruppe . ^{[ 2 ]}

Konkret passt es in die kurze, exakte Sequenz

${\displaystyle 1\to \{\pm 1\}\to 2I\to I\to 1.\,}$

Diese Folge spaltet sich nicht auf , was bedeutet, dass 2 I kein semidirektes Produkt von { ±1 } mit I ist . Tatsächlich gibt es keine Untergruppe von 2 I, die zu I isomorph ist .

Das Zentrum von 2I ist die Untergruppe {±1}, sodass die innere Automorphismengruppe isomorph zu I ist . Die volle Automorphismengruppe ist isomorph zu S₅ (der symmetrischen Gruppe über 5 Elementen), genau wie bei – jeder Automorphismus von 2I fixiert das nichttriviale Element des Zentrums ( ), daher wird er zu einem Automorphismus von I absteigend _, und umgekehrt wird jeder Automorphismus von I zu einem Automorphismus von 2I liftet , da die Liftung der Erzeuger von I Erzeuger von 2I sind ( verschiedene Liftungen ergeben denselben Automorphismus). ${\displaystyle I\cong A_{5}}$${\displaystyle -1}$

Die binäre Ikosaedergruppe ist perfekt , d. h. sie ist gleich ihrer Kommutatoruntergruppe . Tatsächlich ist 2I die einzige perfekte Gruppe der Ordnung 120. Daraus folgt, dass 2I nicht auflösbar ist .

Die binäre Ikosaedergruppe ist superperfekt , was abstrakt bedeutet, dass ihre ersten beiden Gruppenhomologiegruppen verschwinden. Konkret bedeutet dies, dass ihre Abelianisierung trivial ist (sie besitzt keine nicht-trivialen abelschen Quotienten) und dass ihr Schur-Multiplikator trivial ist (sie besitzt keine nicht-trivialen perfekten zentralen Erweiterungen). Tatsächlich ist die binäre Ikosaedergruppe die kleinste (nicht-triviale) superperfekte Gruppe. ${\displaystyle H_{1}(2I;\mathbf {Z} )\cong H_{2}(2I;\mathbf {Z} )\cong 0.}$

Die binäre ikosaedrische Gruppe ist jedoch nicht azyklisch , da H _n (2 I , Z ) für n = 4 k +3 zyklisch von der Ordnung 120 ist und ansonsten für n > 0 trivial ( Adem & Milgram 1994 , S. 279).

Konkret ist die binäre Ikosaedergruppe eine Untergruppe von Spin(3) und überdeckt die Ikosaedergruppe, welche eine Untergruppe von SO(3) ist. Abstrakt ist die Ikosaedergruppe isomorph zu den Symmetrien des 4- Simplex , welches eine Untergruppe von SO(4) ist, und die binäre Ikosaedergruppe ist isomorph zur doppelten Überdeckung dieses Simplex in Spin(4). Die symmetrische Gruppe besitzt eine 4-dimensionale Darstellung (ihre übliche niedrigstdimensionale irreduzible Darstellung als die vollen Symmetrien des 4-Simplex), und die vollen Symmetrien des 4-Simplex sind daher nicht die volle Ikosaedergruppe (es handelt sich um zwei verschiedene Gruppen der Ordnung 120). ${\displaystyle S_{5}}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle S_{5},}$

Die binäre Ikosaedergruppe kann als doppelte Überlagerung der alternierenden Gruppe betrachtet werden . Dieser Isomorphismus überlagert den Isomorphismus der Ikosaedergruppe mit der alternierenden Gruppe . So wie eine diskrete Untergruppe von ist , ist eine diskrete Untergruppe der doppelten Überlagerung von , nämlich . Der 2-1-Homomorphismus von nach ist dann die Einschränkung auf den 2-1-Homomorphismus von nach . ${\displaystyle A_{5},}$${\displaystyle 2\cdot A_{5}\cong 2I;}$${\displaystyle A_{5}\cong I,}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$${\displaystyle 2I}$${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$${\displaystyle \mathrm {Spin} (3)\cong \mathrm {SU} (2)}$${\displaystyle \mathrm {Spin} (3)}$${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$${\displaystyle 2I}$${\displaystyle I}$

Man kann zeigen, dass die binäre ikosaedrische Gruppe isomorph zur speziellen linearen Gruppe SL(2,5) ist – der Gruppe aller 2×2-Matrizen über dem endlichen Körper F ₅ mit Einheitsdeterminante; dies deckt den Ausnahmeisomorphismus mit der projektiven speziellen linearen Gruppe PSL(2,5) ab. ${\displaystyle I\cong A_{5}}$

Beachten Sie auch den Ausnahmeisomorphismus, der eine andere Gruppe der Ordnung 120 ist, wobei das kommutative Quadrat von SL, GL, PSL, PGL isomorph zu einem kommutativen Quadrat ist, das wiederum isomorph zu Untergruppen des kommutativen Quadrats von Spin(4), Pin(4), SO(4), O(4) ist. ${\displaystyle PGL(2,5)\cong S_{5},}$${\displaystyle 2\cdot A_{5},2\cdot S_{5},A_{5},S_{5},}$

Gruppe 2 I hat eine Präsentation, die gehalten wird von

${\displaystyle \langle r,s,t\mid r^{2}=s^{3}=t^{5}=rst\rangle }$

oder gleichbedeutend mit

${\displaystyle \langle s,t\mid (st)^{2}=s^{3}=t^{5}\rangle .}$

Die Erzeuger in der Gruppe der Einheitsquaternionen mit diesen Relationen sind gegeben durch

${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(1+i+j+k)\qquad t={\tfrac {1}{2}}(\varphi +\varphi ^{-1}i+j).}$

Die einzige echte normale Untergruppe von 2 I ist das Zentrum { ±1 }.

Nach dem dritten Isomorphiesatz gibt es einen Galois-Zusammenhang zwischen Untergruppen von 2 I und Untergruppen von I , wobei der Abschlussoperator auf Untergruppen von 2 I die Multiplikation mit { ±1 } ist.

${\displaystyle -1}$ist das einzige Element der Ordnung 2, daher ist es in allen Untergruppen gerader Ordnung enthalten: also ist jede Untergruppe von 2 I entweder von ungerader Ordnung oder das Urbild einer Untergruppe von I.

Neben den von den verschiedenen Elementen erzeugten zyklischen Gruppen (die eine ungerade Ordnung haben können) sind die einzigen anderen Untergruppen von 2 I (bis auf Konjugation): ^{[ 3 ]}

• binäre Diedergruppen , Dic ₅ =Q20=⟨2,2,5⟩, Ordnung 20 und Dic ₃ =Q12=⟨2,2,3⟩ der Ordnung 12
• Die Quaternionengruppe , Q8=⟨2,2,2⟩, bestehend aus den 8 Lipschitz-Einheiten , bildet eine Untergruppe vom Index 15, welche auch die dizyklische Gruppe Dic ₂ ist ; diese deckt den Stabilisator einer Kante ab.
• Die 24 Hurwitz-Einheiten bilden eine Untergruppe vom Index 5, die als binäre Tetraedergruppe bezeichnet wird ; diese überdeckt eine chirale Tetraedergruppe . Diese Gruppe ist selbstnormalisierend , sodass ihre Konjugationsklasse 5 Elemente besitzt (dies ergibt eine Abbildung, deren Bild ist ).${\displaystyle 2I\to S_{5}}$${\displaystyle A_{5}}$

Das vierdimensionale Analogon der ikosaedrischen Symmetriegruppe I_{_h} ist die Symmetriegruppe der 600-Zelle (und auch die ihrer dualen 120-Zelle ). So wie erstere die Coxetergruppe vom Typ H_₃ ist , ist letztere die Coxetergruppe vom Typ H_₄, auch [3,3,5] genannt. Ihre Rotationsuntergruppe, [3,3,5] ^⁺, ist eine Gruppe der Ordnung 7200 in SO(4) . SO(4) besitzt eine Doppelüberlagerung namens Spin(4), analog zu Spin(3) als Doppelüberlagerung von SO(3). Ähnlich dem Isomorphismus Spin(3) = Sp(1) ist die Gruppe Spin(4) isomorph zu Sp(1) × Sp(1).

Das Urbild von [3,3,5] ^⁺ in Spin(4) (ein vierdimensionales Analogon von 2 I ) ist genau die Produktgruppe 2 I × 2 I der Ordnung 14400. Die Rotationssymmetriegruppe der 600-Zelle ist dann

[3,3,5] ⁺ = ( 2 I × 2 I ) / { ±1 }.

Aus 2 I lassen sich verschiedene andere 4-dimensionale Symmetriegruppen konstruieren . Einzelheiten hierzu finden sich in (Conway und Smith, 2003).

Der Nebenklassenraum Spin(3) / 2 I = S ³ / 2 I ist eine sphärische 3-Mannigfaltigkeit, die als Poincaré-Homologiesphäre bezeichnet wird . Sie ist ein Beispiel für eine Homologiesphäre , d. h. eine 3-Mannigfaltigkeit, deren Homologiegruppen mit denen einer 3-Sphäre übereinstimmen . Die Fundamentalgruppe der Poincaré-Sphäre ist isomorph zur binären Ikosaedergruppe, da die Poincaré-Sphäre der Quotient einer 3-Sphäre nach der binären Ikosaedergruppe ist.

• binäre Polyedergruppe
• binäre zyklische Gruppe , ⟨ n ⟩, Ordnung 2 n
• binäre Diedergruppe , ⟨2,2, n ⟩, Ordnung 4 n
• binäre tetraedrische Gruppe , 2T=⟨2,3,3⟩, Ordnung 24
• binäre oktaedrische Gruppe , 2O=⟨2,3,4⟩, Ordnung 48