Ikosaedrische Symmetrie

Ausgewählte Punktgruppen in drei Dimensionen
Polyedrische Gruppe , [n,3], (*n32)
Involutionssymmetrie C _s , (*) [ ] =	Zyklische Symmetrie C _nv , (*nn) [n] =	Diedersymmetrie D _nh , (*n22) [n,2] =
Tetraedrische Symmetrie T _d , (*332) [3,3] =	Oktaedrische Symmetrie O _h , (*432) [4,3] =	Ikosaedrische Symmetrie I _h , (*532) [5,3] =

In der Mathematik, insbesondere in der Geometrie, besitzt ein Objekt ikosaedrische Symmetrie , wenn es die gleichen Symmetrien wie ein reguläres Ikosaeder aufweist . Beispiele für andere Polyeder mit ikosaedrischer Symmetrie sind das reguläre Dodekaeder (das Dual des Ikosaeders) und das rhombische Triakontaeder .

Jedes Polyeder mit ikosaedrischer Symmetrie besitzt 60 Rotationssymmetrien (oder orientierungserhaltende Symmetrien) und 60 orientierungsumkehrende Symmetrien (die eine Rotation und eine Spiegelung kombinieren ), was eine Gesamtsymmetrieordnung von 120 ergibt. Die vollständige Symmetriegruppe ist die Coxeter-Gruppe vom Typ $H₃ .$ Sie kann durch die Coxeter-Notation $[5,3]$ und das Coxeter-Diagramm dargestellt werden.Die Menge der Rotationssymmetrien bildet eine Untergruppe, die isomorph zur alternierenden Gruppe $A 5$ auf 5 Buchstaben ist.

Als Punktgruppe

Abgesehen von den beiden unendlichen Reihen der prismatischen und antiprismatischen Symmetrie sind die Rotationssymmetrie des Ikosaeders bzw. die chirale Ikosaedersymmetrie chiraler Objekte und die volle Ikosaedersymmetrie bzw. die achirale Ikosaedersymmetrie die diskreten Punktsymmetrien (oder äquivalent dazu Symmetrien auf der Sphäre ) mit den größten Symmetriegruppen .

Die ikosaedrische Symmetrie ist mit der Translationssymmetrie nicht vereinbar , daher gibt es keine zugehörigen kristallographischen Punktgruppen oder Raumgruppen .

Schö.	Coxeter		Orb.	Abstrakte Struktur	Befehl
ICH	[5,3] ⁺		532	A ₅	60
ich _h	[5,3]		*532	A ₅ ×2	120

Die entsprechenden Präsentationen sind:

I:\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle \

I_{h}:\langle s,t\mid s^{3}(st)^{-2},t^{5}(st)^{-2}\rangle .\

Diese entsprechen den ikosaedrischen Gruppen (Rotations- und Vollgruppen), wobei es sich um die Dreiecksgruppen (2,3,5) handelt .

Die erste Präsentation erfolgte 1856 durch William Rowan Hamilton in seiner Abhandlung über den Ikosianischen Kalkül . ^{[ 1 ]}

Beachten Sie, dass auch andere Präsentationsformen möglich sind, zum Beispiel als alternierende Gruppe (für I ).

Visualisierungen

Die vollständige Symmetriegruppe ist die Coxeter-Gruppe vom Typ $H₃$ . Sie kann durch die Coxeter-Notation $[5,3]$ und ein Coxeter-Diagramm dargestellt werden $.$ Die Menge der Rotationssymmetrien bildet eine Untergruppe, die isomorph zur alternierenden Gruppe $A 5$ auf 5 Buchstaben ist.

Schoe. ( Orb. )	Coxeter- Notation	Elemente	Spiegeldiagramme
Schoe. ( Orb. )	Coxeter- Notation	Elemente	Senkrecht	Stereografische Projektion
Ich _h (*532)	[5,3]	Spiegellinien : 15
Ich (532)	[5,3] ⁺	Drehpunkte : 12 ₅ 20 ₃ 30 ₂

Gruppenstruktur

Jedes Polyeder mit ikosaedrischer Symmetrie besitzt 60 Rotationssymmetrien (oder orientierungserhaltende Symmetrien) und 60 orientierungsumkehrende Symmetrien (die eine Rotation und eine Spiegelung kombinieren ), was eine Gesamtsymmetrieordnung von 120 ergibt.


Die Kanten eines sphärischen Verbundes aus fünf Oktaedern stellen die 15 Spiegelebenen als farbige Großkreise dar. Jedes Oktaeder kann durch seine Kanten 3 orthogonale Spiegelebenen repräsentieren.

Die Pyritoedersymmetrie ist eine Untergruppe fünften Grades der Ikosaedersymmetrie mit drei orthogonalen grünen Spiegelachsen und acht roten Trägheitspunkten dritter Ordnung. Es gibt fünf verschiedene Orientierungen der Pyritoedersymmetrie.

DerDie ikosaedrische Rotationsgruppe I ist von der Ordnung 60. Die GruppeIistisomorphzuA₅, deralternierenden Gruppeder geraden Permutationen von fünf Objekten. Dieser Isomorphismus lässt sich realisieren, indem_Iaufverschiedene Komposita angewendet wird, insbesondere auf dasKomposit aus fünf Würfeln(die in dasDodekaeder), dasKomposit aus fünf Oktaedernoder eines der beidenKomposita aus fünf Tetraedern(dieEnantiomereund in das Dodekaeder eingeschrieben sind). Die Gruppe enthält 5 Versionen von_Thmit20 Versionen vonD₃_{(10 Achsen, 2 pro Achse )} und 6 Versionen_von D₅.

DerDie volle ikosaedrische Gruppe I _h hat die Ordnung 120. Sie besitztIalsNormalteilervomIndex2. Die GruppeI_h ist isomorph zuI×Z₂oderA₅×Z₂, wobei dieInversion im Zentrumdem Element (Einselement,-1) entspricht, wobeiZ₂multiplikativ geschrieben wird.

I _h wirkt auf die Verbindung aus fünf Würfeln und die Verbindung aus fünf Oktaedern , wobei −1 als neutrales Element fungiert (da Würfel und Oktaeder zentralsymmetrisch sind). Es wirkt auf die Verbindung aus zehn Tetraedern : I wirkt auf die beiden chiralen Hälften ( Verbindungen aus fünf Tetraedern ), und −1 vertauscht die beiden Hälften. Es wirkt nicht als S _5 , und diese Gruppen sind nicht isomorph; siehe unten für Details.

Die Gruppe enthält 10 Versionen von D _3d und 6 Versionen von D _5d (Symmetrien wie Antiprismen).

I ist auch isomorph zu PSL ₂ (5), aber I _h ist nicht isomorph zu SL ₂ (5).

Isomorphie von I mit A ₅

Es ist hilfreich, den Isomorphismus zwischen I und A₅ _explizit zu beschreiben . In der folgenden Tabelle wirken die Permutationen Pᵢ _und Qᵢ _auf 5 bzw. 12 Elemente, während die Rotationsmatrizen Mᵢ _die Elemente von I sind . Wenn _Pₖ das Produkt aus der Permutation Pᵢ und der Anwendung von Pᵢ ist _, dann _gilt für dieselben Werte von i , j und k auch, dass _Qₖ das Produkt aus Qᵢ und der Anwendung von Qᵢ ist _. Außerdem _ist die Multiplikation eines Vektors mit Mₖ _äquivalent zur Multiplikation dieses Vektors mit Mᵢ _und anschließend mit Mᵢ _, also Mₖ ₌ Mᵢ _× Mᵢ _. Da die Permutationen Pᵢ _alle 60 geraden Permutationen von 12345 sind, ist die Eins-zu-Eins-Korrespondenz explizit und somit auch der Isomorphismus gegeben.

Rotationsmatrix	Permutation von 5 auf 1 2 3 4 5	Permutation von 12 auf 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
$M_{1}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$	$P_{1}$ = ()	$Q_{1}$ = ()
$M_{2}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{2}$ = (3 4 5)	$Q_{2}$ = (1 11 8)(2 9 6)(3 5 12)(4 7 10)
$M_{3}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{3}$ = (3 5 4)	$Q_{3}$ = (1 8 11)(2 6 9)(3 12 5)(4 10 7)
$M_{4}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{4}$ = (2 3)(4 5)	$Q_{4}$ = (1 12)(2 8)(3 6)(4 9)(5 10)(7 11)
$M_{5}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{5}$ = (2 3 4)	$Q_{5}$ = (1 2 3)(4 5 6)(7 9 8)(10 11 12)
$M_{6}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{6}$ = (2 3 5)	$Q_{6}$ = (1 7 5)(2 4 11)(3 10 9)(6 8 12)
$M_{7}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{7}$ = (2 4 3)	$Q_{7}$ = (1 3 2)(4 6 5)(7 8 9)(10 12 11)
$M_{8}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&1\\-1&0&0\end{bmatrix}}$	$P_{8}$ = (2 4 5)	$Q_{8}$ = (1 10 6)(2 7 12)(3 4 8)(5 11 9)
$M_{9}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{9}$ = (2 4)(3 5)	$Q_{9}$ = (1 9)(2 5)(3 11)(4 12)(6 7)(8 10)
$M_{10}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{10}$ = (2 5 3)	$Q_{10}$ = (1 5 7)(2 11 4)(3 9 10)(6 12 8)
$M_{11}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\-1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}$	$P_{11}$ = (2 5 4)	$Q_{11}$ = (1 6 10)(2 12 7)(3 8 4)(5 9 11)
$M_{12}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{12}$ = (2 5)(3 4)	$Q_{12}$ = (1 4)(2 10)(3 7)(5 8)(6 11)(9 12)
$M_{13}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}$	$P_{13}$ = (1 2)(4 5)	$Q_{13}$ = (1 3)(2 4)(5 8)(6 7)(9 10)(11 12)
$M_{14}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{14}$ = (1 2)(3 4)	$Q_{14}$ = (1 5)(2 7)(3 11)(4 9)(6 10)(8 12)
$M_{15}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{15}$ = (1 2)(3 5)	$Q_{15}$ = (1 12)(2 10)(3 8)(4 6)(5 11)(7 9)
$M_{16}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{16}$ = (1 2 3)	$Q_{16}$ = (1 11 6)(2 5 9)(3 7 12)(4 10 8)
$M_{17}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{17}$ = (1 2 3 4 5)	$Q_{17}$ = (1 6 5 3 9)(4 12 7 8 11)
$M_{18}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{18}$ = (1 2 3 5 4)	$Q_{18}$ = (1 4 8 6 2)(5 7 10 12 9)
$M_{19}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{19}$ = (1 2 4 5 3)	$Q_{19}$ = (1 8 7 3 10)(2 12 5 6 11)
$M_{20}={\begin{bmatrix}0&0&1\\-1&0&0\\0&-1&0\end{bmatrix}}$	$P_{20}$ = (1 2 4)	$Q_{20}$ = (1 7 4)(2 11 8)(3 5 10)(6 9 12)
$M_{21}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{21}$ = (1 2 4 3 5)	$Q_{21}$ = (1 2 9 11 7)(3 6 12 10 4)
$M_{22}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{22}$ = (1 2 5 4 3)	$Q_{22}$ = (2 3 4 7 5)(6 8 10 11 9)
$M_{23}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\end{bmatrix}}$	$P_{23}$ = (1 2 5)	$Q_{23}$ = (1 9 8)(2 6 3)(4 5 12)(7 11 10)
$M_{24}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{24}$ = (1 2 5 3 4)	$Q_{24}$ = (1 10 5 4 11)(2 8 9 3 12)
$M_{25}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{25}$ = (1 3 2)	$Q_{25}$ = (1 6 11)(2 9 5)(3 12 7)(4 8 10)
$M_{26}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{26}$ = (1 3 4 5 2)	$Q_{26}$ = (2 5 7 4 3)(6 9 11 10 8)
$M_{27}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{27}$ = (1 3 5 4 2)	$Q_{27}$ = (1 10 3 7 8)(2 11 6 5 12)
$M_{28}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{28}$ = (1 3)(4 5)	$Q_{28}$ = (1 7)(2 10)(3 11)(4 5)(6 12)(8 9)
$M_{29}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{29}$ = (1 3 4)	$Q_{29}$ = (1 9 10)(2 12 4)(3 6 8)(5 11 7)
$M_{30}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{30}$ = (1 3 5)	$Q_{30}$ = (1 3 4)(2 8 7)(5 6 10)(9 12 11)
$M_{31}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{31}$ = (1 3)(2 4)	$Q_{31}$ = (1 12)(2 6)(3 9)(4 11)(5 8)(7 10)
$M_{32}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{32}$ = (1 3 2 4 5)	$Q_{32}$ = (1 4 10 11 5)(2 3 8 12 9)
$M_{33}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{33}$ = (1 3 5 2 4)	$Q_{33}$ = (1 5 9 6 3)(4 7 11 12 8)
$M_{34}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{34}$ = (1 3)(2 5)	$Q_{34}$ = (1 2)(3 5)(4 9)(6 7)(8 11)(10 12)
$M_{35}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{35}$ = (1 3 2 5 4)	$Q_{35}$ = (1 11 2 7 9)(3 10 6 4 12)
$M_{36}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{36}$ = (1 3 4 2 5)	$Q_{36}$ = (1 8 2 4 6)(5 10 9 7 12)
$M_{37}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{37}$ = (1 4 5 3 2)	$Q_{37}$ = (1 2 6 8 4)(5 9 12 10 7)
$M_{38}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&-1\\1&0&0\end{bmatrix}}$	$P_{38}$ = (1 4 2)	$Q_{38}$ = (1 4 7)(2 8 11)(3 10 5)(6 12 9)
$M_{39}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{39}$ = (1 4 3 5 2)	$Q_{39}$ = (1 11 4 5 10)(2 12 3 9 8)
$M_{40}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{40}$ = (1 4 3)	$Q_{40}$ = (1 10 9)(2 4 12)(3 8 6)(5 7 11)
$M_{41}={\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}$	$P_{41}$ = (1 4 5)	$Q_{41}$ = (1 5 2)(3 7 9)(4 11 6)(8 10 12)
$M_{42}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{42}$ = (1 4)(3 5)	$Q_{42}$ = (1 6)(2 3)(4 9)(5 8)(7 12)(10 11)
$M_{43}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{43}$ = (1 4 5 2 3)	$Q_{43}$ = (1 9 7 2 11)(3 12 4 6 10)
$M_{44}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{44}$ = (1 4)(2 3)	$Q_{44}$ = (1 8)(2 10)(3 4)(5 12)(6 7)(9 11)
$M_{45}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{45}$ = (1 4 2 3 5)	$Q_{45}$ = (2 7 3 5 4)(6 11 8 9 10)
$M_{46}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{46}$ = (1 4 2 5 3)	$Q_{46}$ = (1 3 6 9 5)(4 8 12 11 7)
$M_{47}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{47}$ = (1 4 3 2 5)	$Q_{47}$ = (1 7 10 8 3)(2 5 11 12 6)
$M_{48}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}$	$P_{48}$ = (1 4)(2 5)	$Q_{48}$ = (1 12)(2 9)(3 11)(4 10)(5 6)(7 8)
$M_{49}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{49}$ = (1 5 4 3 2)	$Q_{49}$ = (1 9 3 5 6)(4 11 8 7 12)
$M_{50}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\1&0&0\\0&-1&0\end{bmatrix}}$	$P_{50}$ = (1 5 2)	$Q_{50}$ = (1 8 9)(2 3 6)(4 12 5)(7 10 11)
$M_{51}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{51}$ = (1 5 3 4 2)	$Q_{51}$ = (1 7 11 9 2)(3 4 10 12 6)
$M_{52}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{52}$ = (1 5 3)	$Q_{52}$ = (1 4 3)(2 7 8)(5 10 6)(9 11 12)
$M_{53}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}}$	$P_{53}$ = (1 5 4)	$Q_{53}$ = (1 2 5)(3 9 7)(4 6 11)(8 12 10)
$M_{54}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{54}$ = (1 5)(3 4)	$Q_{54}$ = (1 12)(2 11)(3 10)(4 8)(5 9)(6 7)
$M_{55}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{55}$ = (1 5 4 2 3)	$Q_{55}$ = (1 5 11 10 4)(2 9 12 8 3)
$M_{56}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{56}$ = (1 5)(2 3)	$Q_{56}$ = (1 10)(2 12)(3 11)(4 7)(5 8)(6 9)
$M_{57}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{57}$ = (1 5 2 3 4)	$Q_{57}$ = (1 3 8 10 7)(2 6 12 11 5)
$M_{58}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{58}$ = (1 5 2 4 3)	$Q_{58}$ = (1 6 4 2 8)(5 12 7 9 10)
$M_{59}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{59}$ = (1 5 3 2 4)	$Q_{59}$ = (2 4 5 3 7)(6 10 9 8 11)
$M_{60}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$	$P_{60}$ = (1 5)(2 4)	$Q_{60}$ = (1 11)(2 10)(3 12)(4 9)(5 7)(6 8)

Diese nicht- abelsche einfache Gruppe ist der einzige nicht-triviale Normalteiler der symmetrischen Gruppe über fünf Buchstaben. ^{[ 2 ]} Da die Galoisgruppe der allgemeinen Quintikgleichung isomorph zur symmetrischen Gruppe über fünf Buchstaben ist und dieser Normalteiler einfach und nicht-abelsch ist, besitzt die allgemeine Quintikgleichung keine Lösung in Radikalen. Der Beweis des Satzes von Abel-Ruffini nutzt diese einfache Tatsache. ^{[ 3 ]} Felix Klein verfasste ein Buch, in dem er mithilfe der Theorie der Ikosaedersymmetrien eine analytische Lösung der allgemeinen Quintikgleichung herleitete. ^{[ 4 ]} Eine moderne Darstellung findet sich in Tóth (2002) . ^{[ 5 ]}

Häufig verwechselte Gruppen

Die folgenden Gruppen haben alle die Ordnung 120, sind aber nicht isomorph:

S ₅ , die symmetrische Gruppe auf 5 Elementen
I _h , die vollständige ikosaedrische Gruppe (Gegenstand dieses Artikels, auch bekannt als H ₃ )
2 I , die binäre ikosaedrische Gruppe

Sie entsprechen den folgenden kurzen exakten Sequenzen (von denen die letzte nicht zerfällt) und dem Produkt

1\to A_{5}\to S_{5}\to Z_{2}\to 1

I_{h}=A_{5}\times Z_{2}

1\to Z_{2}\to 2I\to A_{5}\to 1

In Worten,

$A_{5}$ ist eine normale Untergruppe von $S_{5}$
$A_{5}$ ist ein Faktor von , welches ein direktes Produkt ist $I_{h}$
$A_{5}$ ist eine Quotientengruppe von $2I$

Beachten Sie, dass es eine außergewöhnliche irreduzible dreidimensionale Darstellung (als ikosaedrische Rotationsgruppe) gibt, aber keine irreduzible dreidimensionale Darstellung hat, was bedeutet, dass die volle ikosaedrische Gruppe nicht die symmetrische Gruppe ist. $A_{5}$ $S_{5}$

Diese können auch mit linearen Gruppen über dem endlichen Körper mit fünf Elementen in Verbindung gebracht werden, welche die Untergruppen und Überlagerungsgruppen direkt aufweisen; keine davon ist die volle ikosaedrische Gruppe:

$A_{5}\cong \operatorname {PSL} (2,5),$ die projektive spezielle lineare Gruppe , siehe hier für einen Beweis;
$S_{5}\cong \operatorname {PGL} (2,5),$ die projektive allgemeine lineare Gruppe ;
$2I\cong \operatorname {SL} (2,5),$ die spezielle lineare Gruppe .

Konjugationsklassen

Die 120 Symmetrien lassen sich in 10 Konjugationsklassen einteilen.

Konjugationsklassen
ICH	zusätzliche Klassen von I _h
Identität, Ordnung 1 12 × Drehung um ±72°, Ordnung 5, um die 6 Achsen durch die Flächenmittelpunkte des Dodekaeders 12 × Drehung um ±144°, Ordnung 5, um die 6 Achsen durch die Flächenmittelpunkte des Dodekaeders 20-fache Drehung um ±120° dritter Ordnung um die 10 Achsen durch die Eckpunkte des Dodekaeders 15-fache Drehung um 180° zweiter Ordnung um die 15 Achsen durch die Mittelpunkte der Kanten des Dodekaeders	Zentrale Inversion, Ordnung 2 12 × Rotationsreflexion um ±36°, Ordnung 10, um die 6 Achsen durch die Flächenmittelpunkte des Dodekaeders 12 × Rotationsreflexion um ±108°, Ordnung 10, um die 6 Achsen durch die Flächenmittelpunkte des Dodekaeders 20 × Rotationsreflexion um ±60°, Ordnung 6, um die 10 Achsen durch die Eckpunkte des Dodekaeders 15 × Spiegelung 2. Ordnung an 15 Ebenen durch Kanten des Dodekaeders

Untergruppen der vollen ikosaedrischen Symmetriegruppe

Jede Zeile in der folgenden Tabelle repräsentiert eine Klasse konjugierter (d. h. geometrisch äquivalenter) Untergruppen. Die Spalte „Mult.“ (Vielfachheit) gibt die Anzahl der verschiedenen Untergruppen in der Konjugationsklasse an.

Erläuterung der Farben: Grün = die Gruppen, die durch Spiegelungen erzeugt werden, Rot = die chiralen (orientierungserhaltenden) Gruppen, die nur Drehungen enthalten.

Die Gruppen werden geometrisch anhand des Dodekaeders beschrieben.

Die Abkürzung „hts(edge)“ bedeutet „Halbdrehung, bei der diese Kante mit ihrer gegenüberliegenden Kante vertauscht wird“, und analog dazu stehen „Fläche“ und „Vertex“.

Schön.	Coxeter	Orb.	HM	Struktur	Befehl	Index	Mult.	Beschreibung
ich _h	[5,3]	*532	53 2/m	A ₅ ×Z ₂	120	1	1	vollständige Gruppe
D _2h	[2,2]	*222	mmm	D ₄ × D ₂ = D ₂³	8	15	5	zwei gegenüberliegende Kanten fixieren, gegebenenfalls vertauschen
C _5V	[5]	*55	5 m	D ₁₀	10	12	6	ein Gesicht fixieren
C _3V	[3]	*33	3 m	D ₆ =S ₃	6	20	10	einen Knoten fixieren
C _2v	[2]	*22	2 mm	D ₄ = D ₂²	4	30	15	eine Kante reparieren
C _s	[ ]	*	2 oder m	D ₂	2	60	15	Spiegelung, bei der zwei Endpunkte einer Kante vertauscht werden.
T _h	[3 ⁺ ,4]	3*2	m 3	A ₄ ×Z ₂	24	5	5	Pyritoedrische Gruppe
D _5d	[2 ⁺ ,10]	2*5	10 m2	D ₂₀ =Z ₂ ×D ₁₀	20	6	6	zwei gegenüberliegende Seiten fixieren, möglicherweise vertauschen
D _3d	[2 ⁺ ,6]	2*3	3 m	D ₁₂ =Z ₂ ×D ₆	12	10	10	zwei gegenüberliegende Eckpunkte fixieren, gegebenenfalls vertauschen
D _1d = C _2h	[2 ⁺ ,2]	2*	2/m	D ₄ = Z ₂ ×D ₂	4	30	15	halbe Drehung um den Mittelpunkt der Kante, plus zentrale Inversion
S ₁₀	[2 ⁺ ,10 ⁺ ]	5×	5	Z ₁₀ =Z ₂ ×Z ₅	10	12	6	Drehungen eines Gesichts, plus zentrale Inversion
S ₆	[2 ⁺ ,6 ⁺ ]	3×	3	Z ₆ =Z ₂ ×Z ₃	6	20	10	Drehungen um einen Scheitelpunkt plus zentrale Inversion
S ₂	[2 ⁺ ,2 ⁺ ]	×	1	Z ₂	2	60	1	zentrale Inversion
ICH	[5,3] ⁺	532	532	A ₅	60	2	1	alle Rotationen
T	[3,3] ⁺	332	332	A ₄	12	10	5	Rotationen eines enthaltenen Tetraeders
D ₅	[2,5] ⁺	522	522	D ₁₀	10	12	6	Rotationen um den Mittelpunkt einer Fläche und hts(Fläche)
D ₃	[2,3] ⁺	322	322	D ₆ =S ₃	6	20	10	Rotationen um einen Eckpunkt und hts(Eckpunkt)
D ₂	[2,2] ⁺	222	222	D ₄ =Z ₂²	4	30	5	halbe Drehung um den Mittelpunkt der Kante, und hts(Kante)
C ₅	[5] ⁺	55	5	Z ₅	5	24	6	Rotationen um einen Mittelpunkt
C ₃	[3] ⁺	33	3	Z ₃ =A ₃	3	40	10	Rotationen um einen Scheitelpunkt
C ₂	[2] ⁺	22	2	Z ₂	2	60	15	halbe Drehung um den Mittelpunkt der Kante
C ₁	[ ] ⁺	11	1	Z ₁	1	120	1	triviale Gruppe

Vertex-Stabilisatoren

Die Stabilisatoren eines gegenüberliegenden Paares von Eckpunkten können als Stabilisatoren der von ihnen erzeugten Achse interpretiert werden.

Eckpunktstabilisatoren in I ergeben zyklische Gruppen C ₃
Eckpunktstabilisatoren in I _h ergeben Diedergruppen D ₃
Stabilisatoren eines gegenüberliegenden Paares von Eckpunkten in I ergeben Diedergruppen D ₃
Stabilisatoren eines gegenüberliegenden Paares von Eckpunkten in I _h geben $D_{3}\times \pm 1$

Kantenstabilisatoren

Die Stabilisatoren eines gegenüberliegenden Kantenpaares können als Stabilisatoren des von ihnen erzeugten Rechtecks interpretiert werden.

Kantenstabilisatoren in I ergeben zyklische Gruppen Z ₂
Kantenstabilisatoren in I _h ergeben Kleinsche Vierergruppen $Z_{2}\times Z_{2}$
Stabilisatoren eines Kantenpaares in I geben Kleinsche Vierergruppen an ; es gibt 5 davon, die durch Drehung um 180° um 3 senkrechte Achsen gegeben sind. $Z_{2}\times Z_{2}$
Die Stabilisatoren eines Kantenpaares in I _h ergeben ; davon gibt es 5, die durch Spiegelungen an 3 senkrechten Achsen gegeben sind. $Z_{2}\times Z_{2}\times Z_{2}$

Gesichtsstabilisatoren

Stabilisatoren eines gegenüberliegenden Flächenpaares können als Stabilisatoren des von ihnen erzeugten Antiprismas interpretiert werden.

Flächenstabilisatoren in I ergeben cyclische Gruppen C ₅
Flächenstabilisatoren in I _h ergeben Diedergruppen D ₅
Stabilisatoren eines gegenüberliegenden Flächenpaares in I ergeben Diedergruppen D ₅
Stabilisatoren eines gegenüberliegenden Flächenpaares in I _h geben $D_{5}\times \pm 1$

Polyederstabilisatoren

Für jedes dieser Elemente gibt es 5 konjugierte Kopien, und die Konjugationswirkung ergibt eine Abbildung, genauer gesagt einen Isomorphismus . $I{\stackrel {\sim }{\to }}A_{5}<S_{5}$

Die Stabilisatoren der eingeschriebenen Tetraeder in I sind eine Kopie von T
Die Stabilisatoren der eingeschriebenen Tetraeder in I _h sind eine Kopie von T
Die Stabilisatoren der einbeschriebenen Würfel (oder des gegenüberliegenden Paares von Tetraedern oder Oktaedern) in I sind eine Kopie von T
Die Stabilisatoren der einbeschriebenen Würfel (oder des gegenüberliegenden Paares von Tetraedern oder Oktaedern) in I _h sind eine Kopie von T _h

Coxeter-Gruppengeneratoren

Die vollständige ikosaedrische Symmetriegruppe [5,3] (Die Gruppe ) der Ordnung 120 hat Generatoren, die durch die unten stehenden Spiegelungsmatrizen R ₀ , R ₁ , R _{2 dargestellt werden, mit den Relationen R}₀² = R ₁² = R ₂² = (R ₀ ×R ₁ ) ⁵ = (R ₁ ×R ₂ ) ³ = (R ₀ ×R ₂ ) ² = Identität. Die Gruppe [5,3] ⁺ (Eine Rotation 60. Ordnung entsteht durch zwei beliebige Rotationen S _{0,1} , S _1,2 , S _{0,2} . Eine Rotorreflexion 10. Ordnung entsteht durch V _{0,1,2} , das Produkt aller drei Spiegelungen. Hierbei bezeichnet λ den Goldenen Schnitt . $\phi ={\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{2}}$

[5,3],
	Reflexionen			Rotationen			Rotoreflection
Name	R ₀	R ₁	R ₂	S _0,1	S _1,2	S _0,2	V _0,1,2
Gruppe
Befehl	2	2	2	5	3	2	10
Matrix	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$
	(1,0,0) _n	$({\begin{smallmatrix}{\frac {\phi }{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {\phi -1}{2}}\end{smallmatrix}})$ _N	(0,1,0) _n	$(0,-1,\phi )$ _Achse	$(1-\phi ,0,\phi )$ _Achse	$(0,0,1)$ _Achse

Fundamentalbereich

Fundamentale Domänen für die ikosaedrische Rotationsgruppe und die vollständige ikosaedrische Gruppe sind gegeben durch:

Ikosaedrische Rotationsgruppe I	Vollständige ikosaedrische Gruppe I _h	Die Flächen des Disdyakis-Triacontaeders sind der fundamentale Bereich

Im Disdyakis-Triakontaeder ist eine ganze Fläche ein Fundamentalbereich; andere Körper mit der gleichen Symmetrie können durch Anpassen der Orientierung der Flächen erhalten werden, z. B. durch Abflachen ausgewählter Teilmengen von Flächen, um jede Teilmenge zu einer Fläche zusammenzufassen, oder durch Ersetzen jeder Fläche durch mehrere Flächen oder eine gekrümmte Oberfläche.

Polyeder mit ikosaedrischer Symmetrie

Beispiele für andere Polyeder mit ikosaedrischer Symmetrie sind das reguläre Dodekaeder (das Dual des Ikosaeders) und das rhombische Triakontaeder .

Chirale Polyeder

Klasse	Symbole	Bild
Archimedisch	sr{5,3}
katalanisch	V3.3.3.3.5

Vollständige ikosaedrische Symmetrie

Platonischer Körper	Kepler-Poinsot-Polyeder		Archimedische Körper
{5,3}	{5/2,5}	{5/2,3}	t{5,3}	t{3,5}	r{3,5}	rr{3,5}	tr{3,5}
Platonischer Körper	Kepler-Poinsot-Polyeder		Katalanische Feststoffe
{3,5}=	{5,5/2}=	{3,5/2}=	V3.10.10	V5.6.6	V3.5.3.5	V3.4.5.4	V4.6.10

Andere Objekte mit ikosaedrischer Symmetrie

Beispiele für ikosaedrische Symmetrie

Circogonia icosahedra , ein Radiolarien

Kapsid eines Adenovirus

Das Dodecaborat- Ion [B ₁₂ H ₁₂ ] ²⁻

Barth-Oberflächen
Virusstruktur und Kapsid
In der Chemie sind das Dodecaborat- Ion ([B ₁₂ H ₁₂ ] ²⁻ ) und das Dodekaedran- Molekül (C ₂₀ H ₂₀ )

Flüssigkristalle mit ikosaedrischer Symmetrie

Für die Zwischenphase der Materialien, die als Flüssigkristalle bezeichnet werden, wurde die Existenz einer ikosaedrischen Symmetrie von H. Kleinert und K. Maki ^{[ 6 ]} vorgeschlagen und ihre Struktur in dieser Arbeit erstmals detailliert analysiert. Siehe den Übersichtsartikel hier . In Aluminium wurde die ikosaedrische Struktur drei Jahre später von Dan Shechtman experimentell nachgewiesen , wofür er 2011 den Nobelpreis erhielt.

Ikosaedrische Nanopartikel

Bei kleinen Größen bilden viele Elemente ikosaedrische Nanopartikel , die oft eine niedrigere Energie als Einkristalle aufweisen . ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}

Siehe auch

Referenzen

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Die Symmetrien der Dinge 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, ISBN 978-1-56881-220-5
Kaleidoskope: Ausgewählte Schriften von H. S. M. Coxeter , herausgegeben von F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson und Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6[1] Archiviert am 11.07.2016 im Internet Archive (Wayback Machine) .
NW Johnson : Geometrien und Transformationen , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5Kapitel 11: Endliche Symmetriegruppen , 11.5 Sphärische Coxeter-Gruppen

Externe Links

Weisstein, Eric W. „Ikosaedrische Gruppe“ . MathWorld .
Die Untergruppen von W(H3) (Archiviert am 30.08.2021 in der Wayback Machine) ( Untergruppen anderer Coxeter-Gruppen (Archiviert am 02.08.2020 in der Wayback Machine ) Götz Pfeiffer

[1] Sir William Rowan Hamilton (1856), „Memorandum respecting a new System of Roots of Unity“ (PDF) , Philosophical Magazine , 12 : 446

[2] Gray, Hermann (2018), A History of Abstract Algebra: From Algebraic Equations to Modern Algebra , Springer, S. 371, doi : 10.1007/978-3-319-94772-3 (inaktiv ab 1. Juli 2025), ISBN 978-3-319-94772-3{{citation}}: CS1 maint: DOI inactive as of July 2025 (link)

[FOOTNOTERotman1998[httpsbooksgooglecombooksid0kHhBwAAQBAJpgPA75_74–75]-3] Rotman 1998 , S. 74–75 .

[4] Klein, Felix (1888), Vorlesungen über das Ikosaeder und die Lösung von Gleichungen fünften Grades , Courier Corporation, ISBN 978-0-486-49528-6,{{citation}}: ISBN / Date incompatibility (help)Dover-Ausgabe, übersetzt aus Klein, Felix (1884), Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade , Teubner

[5] Toth, Gabor (2002), „Abschnitt 1.6, Zusätzliches Thema“, Kleins Theorie des Ikosaeders , Springer, S. 66

[6] Kleinert, H. & Maki, K. (1981). „Gittertexturen in cholesterischen Flüssigkristallen“ (PDF) . Fortschritte der Physik . 29 (5): 219–259 . Bibcode : 1981ForPh..29..219K . doi : 10.1002/prop.19810290503 . Archiviert vom Original (PDF) am 26.04.2020 . Abgerufen am 06.10.2011 .

[7] Ino, Shozo (15.10.1969). „Stabilität mehrfach verzwillingter Teilchen“ . Journal of the Physical Society of Japan . 27 (4): 941–953 . Bibcode : 1969JPSJ...27..941I . doi : 10.1143/JPSJ.27.941 . ISSN 0031-9015 .

[8] Marks , L. D.; Peng, L. (21.01.2016). „Nanopartikelform, Thermodynamik und Kinetik“ . Journal of Physics: Condensed Matter . 28 (5) 053001. Bibcode : 2016JPCM...28e3001M . doi : 10.1088/0953-8984/28/5/053001 . ISSN 0953-8984 . PMID 26792459 .

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Ikosaedrische Symmetrie

Als Punktgruppe

Visualisierungen

Gruppenstruktur

Isomorphie von I mit A ₅

Häufig verwechselte Gruppen

Konjugationsklassen

Untergruppen der vollen ikosaedrischen Symmetriegruppe

Vertex-Stabilisatoren

Kantenstabilisatoren

Gesichtsstabilisatoren

Polyederstabilisatoren

Coxeter-Gruppengeneratoren

Fundamentalbereich

Polyeder mit ikosaedrischer Symmetrie

Chirale Polyeder

Vollständige ikosaedrische Symmetrie

Andere Objekte mit ikosaedrischer Symmetrie

Flüssigkristalle mit ikosaedrischer Symmetrie

Ikosaedrische Nanopartikel

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Isomorphie von I mit A ₅