Tetraedrische Symmetrie

Ausgewählte Punktgruppen in drei Dimensionen

Involutionssymmetrie C s , (*) [ ] =	Zyklische Symmetrie C nv , (*nn) [n] =	Diedersymmetrie D nh , (*n22) [n,2] =
Polyedrische Gruppe , [n,3], (*n32)
Tetraedrische Symmetrie T d , (*332) [3,3] =	Oktaedrische Symmetrie O h , (*432) [4,3] =	Ikosaedrische Symmetrie I h , (*532) [5,3] =

Ein reguläres Tetraeder besitzt 12 Rotationssymmetrien (oder orientierungserhaltende Symmetrien ) und eine Symmetrieordnung von 24, einschließlich Transformationen, die eine Spiegelung und eine Drehung kombinieren.

Die Gruppe aller (nicht notwendigerweise orientierungserhaltenden) Symmetrien ist isomorph zur Gruppe S₄ _, der symmetrischen Gruppe der Permutationen von vier Objekten, da es für jede Permutation der Eckpunkte des Tetraeders genau eine solche Symmetrie gibt. Die Menge der orientierungserhaltenden Symmetrien bildet eine Gruppe _{, die als} alternierende Untergruppe A₄ von S₄ _bezeichnet wird .

Chirale und volle (oder achirale tetraedrische und pyritoedrische ) Symmetrien sind diskrete Punktsymmetrien (oder äquivalent dazu Symmetrien auf der Kugeloberfläche ). Sie gehören zu den kristallographischen Punktgruppen des kubischen Kristallsystems .

Drehachsen

C 3	C 3	C 2
2	2	3

In stereografischer Projektion bilden die Kanten des Tetrakishexaeders sechs Kreise (oder zentral radiale Linien) in der Ebene. Jeder dieser sechs Kreise stellt eine Spiegelachse in tetraedrischer Symmetrie dar. Die Schnittpunkte dieser Kreise sind Gyrationspunkte zweiter und dritter Ordnung.

Senkrecht	Stereografische Projektionen
	4-fach	3-fach	2-fach
Chirale tetraedrische Symmetrie, T, (332), [3,3] + = [1 + ,4,3 + ],=
Pyritoedrische Symmetrie, T h , (3*2), [4,3 + ],
Achirale tetraedrische Symmetrie, T d , (*332), [3,3] = [1 + 4,3],=

Die tetraedrische Rotationsgruppe T mit fundamentaler Domäne ; für das Triakis-Tetraeder siehe unten, letzteres ist eine volle Fläche.

Ein Tetraeder kann allein durch Drehung in 12 verschiedene Positionen gebracht werden . Diese sind oben im Zyklusdiagramm dargestellt, zusammen mit den Drehungen um 180° um die Kante (blaue Pfeile) und 120° um die Ecke (rötliche Pfeile), die das Tetraeder durch diese Positionen permutieren .

Im Tetrakishexaeder ist eine ganze Fläche ein fundamentaler Bereich; andere Körper mit der gleichen Symmetrie können durch Anpassen der Orientierung der Flächen erhalten werden, z. B. durch Abflachen ausgewählter Teilmengen von Flächen, um jede Teilmenge zu einer Fläche zu kombinieren, oder durch Ersetzen jeder Fläche durch mehrere Flächen oder eine gekrümmte Oberfläche.

T , 332 , [3,3] ⁺ oder 23 , der Ordnung 12 – chirale oder rotationstetraedrische Symmetrie . Es gibt drei orthogonale zweizählige Rotationsachsen, wie bei der chiralen _{Diedersymmetrie} D2 oder 222, sowie zusätzlich vier dreizählige Achsen, die zwischen den drei orthogonalen Richtungen zentriert sind _. Diese Gruppe ist isomorph zu A4 , der alternierenden Gruppe über 4 Elementen; tatsächlich ist sie die Gruppe der geraden Permutationen der vier dreizähligen Achsen: e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23).

Die Konjugationsklassen von T sind:

• Identität
• 4 × Drehung um 120° im Uhrzeigersinn (von einem Scheitelpunkt aus gesehen): (234), (143), (412), (321)
• 4 × Drehung um 120° gegen den Uhrzeigersinn (dito)
• 3 × Drehung um 180°

Die Drehungen um 180° bilden zusammen mit dem neutralen Element einen Normalteiler vom Typ Dih² _mit einer Quotientengruppe vom Typ Z³ _. Die drei Elemente der Quotientengruppe sind das neutrale Element, die Drehung im Uhrzeigersinn und die Drehung gegen den Uhrzeigersinn, die Permutationen der drei orthogonalen zweizähligen Achsen unter Erhaltung der Orientierung entsprechen.

A⁴ ist die kleinste Gruppe, die beweist, dass die Umkehrung des _Satzes von Lagrange im Allgemeinen nicht gilt: Zu einer endlichen Gruppe G und einem Teiler d von | G | existiert nicht notwendigerweise eine Untergruppe von G mit Ordnung d : Die Gruppe G = A⁴ _besitzt keine Untergruppe der Ordnung 6. Obwohl dies eine allgemeine Eigenschaft abstrakter Gruppen ist, wird sie anhand der Isometriegruppe chiraler Tetraedersymmetrie deutlich: Aufgrund der Chiralität müsste die Untergruppe C⁶ oder D³ sein _, was _jedoch nicht zutrifft.

Schoe.	Coxeter		Orb.	HM	Generatoren	Struktur	Cyc	Befehl	Index
T	[3,3] +	=	332	23	2	A 4		12	1
D 2	[2,2] +	=	222	222	3	D 4		4	3
C 3	[3] +		33	3	1	Z 3		3	4
C 2	[2] +		22	2	1	Z 2		2	6
C 1	[ ] +		11	1	1	Z 1		1	12

T _{_d} , *332 , [3,3] oder 4 _3m, von Ordnung 24 – achiral oder volle Tetraedersymmetrie , auch bekannt als die (2,3,3) -Dreiecksgruppe . Diese Gruppe hat dieselben Rotationsachsen wie T, jedoch mit sechs Spiegelebenen, die jeweils durch zwei dreizählige Achsen verlaufen. Die zweizähligen Achsen sind nun S _₄ ( 4 )-Achsen. T _{_d} und O sind als abstrakte Gruppen isomorph: Sie entsprechen beide S _₄ , der symmetrischen Gruppe auf vier Objekten. T_{_d} ist die Vereinigung von T und der Menge, die durch Inversion jedes Elements von O \ T entsteht . Siehe auch die Isometrien des regulären Tetraeders .

Die Konjugationsklassen von T _d sind:

• Identität
• 8 × Drehung um 120° (C ₃ )
• 3 × Drehung um 180° (C ₂ )
• 6 × Spiegelung an einer Ebene durch zwei Drehachsen (C _s )
• 6 × Rotorreflexion um 90° (S ₄ )

Schoe.	Coxeter		Orb.	HM	Generatoren	Struktur	Cyc	Befehl	Index
T d	[3,3]		*332	4,3 m	3	S 4		24	1
C 3V	[3]		*33	3 m	2	D 6 =S 3		6	4
C 2v	[2]		*22	mm²	2	D 4		4	6
C s	[ ]		*	2 oder m	1	Z² = D²​		2	12
D 2d	[2 + ,4]		2*2	4 2m	2	D 8		8	3
S 4	[2 + ,4 + ]		2×	4	1	Z 4		4	6
T	[3,3] +		332	23	2	A 4		12	2
D 2	[2,2] +		222	222	2	D 4		4	6
C 3	[3] +		33	3	1	Z 3 = A 3		3	8
C 2	[2] +		22	2	1	Z 2		2	12
C 1	[ ] +		11	1	1	Z 1		1	24

T _{_h} , 3*2 , [4,3+ ^] oder m ₃ , von Ordnung 24 – pyritoedrische Symmetrie . ^{[ 1 ]} Diese Gruppe hat dieselben Rotationsachsen wie T, mit Spiegelebenen durch zwei der orthogonalen Richtungen. Die dreizähligen Achsen sind nun S _₆ ( 3 )-Achsen, und es existiert eine zentrale Inversionssymmetrie. T_{_h} ist isomorph zu T × Z _₂ : Jedes Element von T _{_h} ist entweder ein Element von T oder ein Element kombiniert mit Inversion. Neben diesen beiden Normalteilern existiert auch ein Normalteiler D _{_2h} (der eines Quaders ) vom Typ D_{_2h} × Z _₂ = Z _₂ × Z_₂ × Z_₂ . Er ist das direkte Produkt des Normalteilers von T (siehe oben) mit C_{_i} . Die Faktorgruppe ist dieselbe wie oben: vom Typ Z_₃ . Die drei Elemente des letzteren sind die Identität, die „Drehung im Uhrzeigersinn“ und die „Drehung gegen den Uhrzeigersinn“, die Permutationen der drei orthogonalen zweizähligen Achsen entsprechen, wobei die Orientierung erhalten bleibt.

Es handelt sich um die Symmetrie eines Würfels, dessen Flächen durch eine Linie in zwei gleich große Rechtecke geteilt werden, sodass sich die Linien benachbarter Flächen an der Kante nicht schneiden. Die Symmetrien entsprechen den geraden Permutationen der Raumdiagonalen und deren Kombination mit Inversion. Es ist auch die Symmetrie eines Pyritoeders , der dem beschriebenen Würfel sehr ähnlich ist, wobei jedes Rechteck durch ein Fünfeck mit einer Symmetrieachse, vier gleich langen und einer abweichenden Seite (derjenigen, die der die Würfelfläche teilenden Linie entspricht) ersetzt wird; d. h., die Würfelflächen wölben sich an der Teilungslinie nach außen und verjüngen sich dort. Es ist eine Untergruppe der vollen ikosaedrischen Symmetriegruppe (als Isometriegruppe, nicht nur als abstrakte Gruppe) mit vier der zehn dreizähligen Achsen.

Die Konjugationsklassen von T _h umfassen diejenigen von T, wobei die beiden Klassen von 4 kombiniert und jeweils eine Inversion enthalten ist:

• Identität
• 8 × Drehung um 120° (C ₃ )
• 3 × Drehung um 180° (C ₂ )
• Inversion (S ₂ )
• 8 × Rotorreflexion um 60° (S ₆ )
• 3 × Spiegelung an einer Ebene (C _s )

Schoe.	Coxeter		Orb.	HM	Generatoren	Struktur	Cyc	Befehl	Index
T h	[3 + ,4]		3*2	m 3	2	A 4 ×Z 2		24	1
D 2h	[2,2]		*222	mmm	3	D 4 ×D 2		8	3
C 2v	[2]		*22	mm²	2	D 4		4	6
C s	[ ]		*	2 oder m	1	D 2		2	12
C 2h	[2 + ,2]		2*	2/m	2	Z 2 ×D 2		4	6
S 2	[2 + ,2 + ]		×	1	1	Z 2		2	12
T	[3,3] +		332	23	2	A 4		12	2
D 3	[2,3] +		322	3	2	D 6		6	4
D 2	[2,2] +		222	222	3	D 8		4	6
C 3	[3] +		33	3	1	Z 3		3	8
C 2	[2] +		22	2	1	Z 2		2	12
C 1	[ ] +		11	1	1	Z 1		1	24

Das als abgestumpftes Tetraeder gefärbte Ikosaeder besitzt chirale Symmetrie.

Klasse	Name	Bild	Gesichter	Kanten	Eckpunkte
Platonischer Körper	Tetraeder		4	6	4
Archimedischer Körper	abgestumpftes Tetraeder		8	18	12
Katalanischer Feststoff	Triakis-Tetraeder		12	18	8
Beinahe-Treffer von Johnson solide	Abgeschnittenes Triakis-Tetraeder		16	42	28
	Tetrated Dodekaeder		28	54	28
Einheitliches Sternpolyeder	Tetrahemihexaeder		7	12	6

• Oktaedrische Symmetrie
• Ikosaedrische Symmetrie
• Binäre Tetraedergruppe

• Weisstein, Eric W. „Tetraedrische Gruppe“ . MathWorld .
• Lernmaterialien zur symmetrischen Gruppe S4 auf Wikiversity