Binäre Tetraedergruppe

In der Mathematik ist die binäre Tetraedergruppe 2T, bezeichnet mit 2T oder ⟨2,3,3⟩ , ^{[ 2 ]} eine bestimmte nichtabelsche Gruppe der Ordnung 24. Sie ist eine Erweiterung der Tetraedergruppe T oder (2,3,3) der Ordnung 12 durch eine zyklische Gruppe der Ordnung 2 und das Urbild der Tetraedergruppe unter dem 2:1- Überdeckungshomomorphismus Spin(3) → SO(3) der speziellen orthogonalen Gruppe durch die Spingruppe . Daraus folgt, dass die binäre Tetraedergruppe eine diskrete Untergruppe von Spin(3) der Ordnung 24 ist. Die komplexe Spiegelungsgruppe wurde von G. C. Shephard 3(24)3 oder 3[3]3 genannt.von Coxeter ist isomorph zur binären Tetraedergruppe.

Die binäre Tetraedergruppe lässt sich am einfachsten konkret als diskrete Untergruppe der Einheitsquaternionen beschreiben , unter dem Isomorphismus Spin(3) ≅ Sp(1) , wobei Sp(1) die multiplikative Gruppe der Einheitsquaternionen ist. (Eine Beschreibung dieses Homomorphismus findet sich im Artikel über Quaternionen und räumliche Rotationen .)

Symmetrieprojektionen

8-fach	12-fach
24 Quaternionenelemente: 1 Bestellung-1: 1 1 Ordnung-2: −1 6 Ordnung 4: ±i, ±j, ±k 8. Ordnung 6: (+1±i±j±k)/2 8 Ordnung-3: (−1±i±j±k)/2.

Explizit ist die binäre Tetraedergruppe als die Gruppe der Einheiten im Ring der Hurwitz-Zahlen gegeben . Es gibt 24 solcher Einheiten, die gegeben sind durch

${\displaystyle \{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k,{\tfrac {1}{2}}(\pm 1\pm i\pm j\pm k)\}}$

mit allen möglichen Vorzeichenkombinationen.

Alle 24 Einheiten haben den Absolutwert 1 und liegen daher in der Einheitsquaternionengruppe Sp(1). Die konvexe Hülle dieser 24 Elemente im vierdimensionalen Raum bildet ein konvexes reguläres 4-Polytop, die sogenannte 24-Zelle .

Die binäre Tetraedergruppe, bezeichnet mit 2T, passt in die kurze exakte Sequenz

${\displaystyle 1\to \{\pm 1\}\to 2\mathrm {T} \to \mathrm {T} \to 1.}$

Diese Folge spaltet sich nicht auf , was bedeutet, dass 2T kein semidirektes Produkt von {±1} mit T ist. Tatsächlich gibt es keine Untergruppe von 2T, die zu T isomorph ist.

Die binäre Tetraedergruppe ist die Überlagerungsgruppe der Tetraedergruppe. Betrachtet man die Tetraedergruppe als die alternierende Gruppe über vier Buchstaben, T ≅ A ₄ , so ist die binäre Tetraedergruppe die Überlagerungsgruppe, 2T ≅ .${\displaystyle {\widehat {\mathrm {A} _{4}}}}$

Das Zentrum von 2T ist die Untergruppe {±1}. Die innere Automorphismengruppe ist isomorph zu A₄ _, und die volle Automorphismengruppe ist isomorph zu _S₄ . ^{[ 3 ]}

Die binäre Tetraedergruppe kann als semidirektes Produkt geschrieben werden

${\displaystyle 2\mathrm {T} =\mathrm {Q} \rtimes \mathrm {C} _{3}}$

wobei Q die Quaternionengruppe ist, die aus den 8 Lipschitz-Einheiten besteht , und C ₃ die zyklische Gruppe der Ordnung 3 ist, die von ω = − erzeugt wird .1/2( 1 + i + j + k ) . Die Gruppe Z ₃ operiert auf dem Normalteiler Q durch Konjugation . Die Konjugation durch ω ist der Automorphismus von Q, der i , j und k zyklisch dreht .

Man kann zeigen, dass die binäre Tetraedergruppe isomorph zur speziellen linearen Gruppe SL(2,3) ist – der Gruppe aller 2 × 2 Matrizen über dem endlichen Körper F ₃ mit Einheitsdeterminante, wobei dieser Isomorphismus den Isomorphismus der projektiven speziellen linearen Gruppe PSL(2,3) mit der alternierenden Gruppe A ₄ überdeckt .

Die Gruppe 2T hat eine Präsentation, die gehalten wird von

${\displaystyle \langle r,s,t\mid r^{2}=s^{3}=t^{3}=rst\rangle }$

oder gleichbedeutend mit

${\displaystyle \langle s,t\mid (st)^{2}=s^{3}=t^{3}\rangle .}$

Generatoren mit diesen Relationen sind gegeben durch

${\displaystyle r=i\qquad s={\tfrac {1}{2}}(1+i+j+k)\qquad t={\tfrac {1}{2}}(1+i-j+k),}$

mit . ${\displaystyle r^{2}=s^{3}=t^{3}=-1}$

Eine Cayley-Tabelle mit diesen Eigenschaften, deren Elemente nach GAP geordnet sind, ist

 1 2 r 4 -1 6 7 8 9 10 11 12 13 s 15 16 17 t 19 20 21 22 23 24 2 6 7 8 9 1 13 s 15 16 17 Stb 4 -1 20 21 22 23 10 11 12 24 19 r 8 -1 10 11 20 23 9 t 12 1 19 s 21 24 7 16 2 4 15 22 13 17 6 4 16 19 -1 12 13 8 17 23 r 10 1 15 20 21 9 t 7 11 22 6 24 2 s -1 9 11 12 1 15 17 t 2 19 r 4 21 22 6 23 7 8 10 24 13 s 16 20 6 1 13 s 15 2 r 4 -1 20 21 22 7 8 9 10 11 12 24 16 17 t 19 23 7 s 9 16 17 10 24 15 22 t 2 23 4 11 19 13 20 6 8 -1 12 r 21 1 8 20 23 9 trs 21 24 7 16 2 -1 10 11 15 22 13 17 12 1 19 6 4 9 15 17 t 2 -1 21 22 6 23 7 8 11 12 1 24 13 s 16 19 r 4 20 10 10 7 4 11 19 s 9 16 17 -1 12 r 24 15 22 t 2 23 1 13 20 6 8 21 11 t 1 19 r 24 16 2 8 4 -1 10 22 13 20 17 23 9 12 6 s 21 7 15 12 23 10 1 4 21 t 7 16 11 19 -1 6 24 13 2 8 17 rs 15 20 9 22 13 4 15 20 21 16 19 -1 12 22 6 24 8 17 23 r 10 1 s 9 t 7 11 2 s 10 24 15 22 7 4 11 19 13 20 6 9 16 17 -1 12 r 21 t 2 23 1 8 15 -1 21 22 6 9 11 12 1 24 13 s 17 t 2 19 r 4 20 23 7 8 10 16 16 13 8 17 23 4 15 20 21 9 t 7 19 -1 12 22 6 24 2 r 10 1 s 11 17 22 2 23 7 19 20 6 s 8 9 16 12 r 10 21 24 15 t 1 4 11 13 -1 t 24 16 2 8 11 22 13 20 17 23 9 1 19 r 6 s 21 7 4 -1 10 15 12 19 17 12 r 10 22 2 23 7 1 4 11 20 6 s 8 9 16 -1 21 24 15 t 13 20 rs 21 24 8 -1 10 11 15 22 13 23 9 t 12 1 19 6 7 16 2 4 17 21 12 6 24 13 23 10 1 4 s 15 20 t 7 16 11 19 -1 22 2 8 17 r 9 22 19 20 6 s 17 12 r 10 21 24 15 2 23 7 1 4 11 13 8 9 16 -1 t 23 21 t 7 16 12 6 24 13 2 8 17 10 1 4 s 15 20 9 11 19 -1 22 r 24 11 22 13 20 t 1 19 r 6 s 21 16 2 8 4 -1 10 15 17 23 9 12 7 

Es gibt 1 Element der Ordnung 1 (Element 1), ein Element der Ordnung 2 ( ), 8 Elemente der Ordnung 3, 6 Elemente der Ordnung 4 (einschließlich ), 8 Elemente der Ordnung 6 (einschließlich und ). ${\displaystyle e_{5}=-1}$${\displaystyle e_{3}=r}$${\displaystyle e_{14}=s}$${\displaystyle e_{18}=t}$

Die aus den 8 Lipschitz-Einheiten bestehende Quaternionengruppe bildet eine normale Untergruppe von 2T vom Index 3. Diese Gruppe und das Zentrum {±1} sind die einzigen nichttrivialen normalen Untergruppen.

Alle anderen Untergruppen von 2T sind zyklische Gruppen , die von den verschiedenen Elementen erzeugt werden, mit den Ordnungen 3, 4 und 6. ^{[ 4 ]}

So wie sich die Tetraedergruppe zur Rotationssymmetriegruppe des n - Simplex (als Untergruppe von SO( n )) verallgemeinern lässt, gibt es eine entsprechende höhere binäre Gruppe, die eine zweifache Überlagerung ist und aus der Überlagerung Spin( n ) → SO( n ) stammt.

Die Rotationssymmetriegruppe des n -Simplex kann als alternierende Gruppe auf n  + 1 Punkten, A _{_n+ 1} , betrachtet werden, und die zugehörige binäre Gruppe ist eine zweifache Überlagerungsgruppe . Für alle höheren Dimensionen außer A _₆ und A _₇ (entsprechend den 5- und 6-dimensionalen Simplexen) ist diese binäre Gruppe die Überlagerungsgruppe (maximale Überlagerung) und superperfekt . Für die Dimensionen 5 und 6 existiert jedoch eine zusätzliche, ausnahmsweise dreifache Überlagerung, und die binären Gruppen sind nicht superperfekt.

Die binäre Tetraedergruppe wurde 1956 von Chen Ning Yang und anderen im Kontext der Yang-Mills-Theorie verwendet. ^{[ 5 ]} Sie wurde 1994 von Paul Frampton und Thomas Kephart erstmals im Rahmen der Modellbildung für die Flavorphysik eingesetzt. ^{[ 6 ]} Im Jahr 2012 wurde gezeigt ^{[ 7 ]} , dass eine Beziehung zwischen zwei Neutrinomischungswinkeln, die mithilfe dieser binären Tetraeder-Flavor-Symmetrie abgeleitet wurde ^{[ 8 ]} , mit experimentellen Daten übereinstimmt.

• Binäre Polyedergruppe
• Binäre zyklische Gruppe , ⟨ n ⟩, Ordnung 2 n
• Binäre Diedergruppe , ⟨2,2, n ⟩, ^{[ 2 ]} Ordnung 4 n
• Binäre Oktaedergruppe , 2O = ⟨2,3,4⟩, ^{[ 2 ]} Ordnung 48
• Binäre ikosaedrische Gruppe , 2I = ⟨2,3,5⟩, ^{[ 2 ]} Ordnung 120

• Conway, John H.; Smith, Derek A. (2003). Über Quaternionen und Oktonionen . Natick, Massachusetts: AK Peters, Ltd. ISBN 1-56881-134-9Die
• Coxeter, HSM & Moser, WOJ (1980). Generatoren und Relationen diskreter Gruppen, 4. Auflage . New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9Die6.5 Die binären Polyedergruppen, S. 68
• "Spezielle lineare Gruppe SL(2,3)" .