Benannt nach dem britischen Mathematiker Arthur Cayley aus dem 19. Jahrhundert , beschreibt eine Cayley-Tabelle die Struktur einer endlichen Gruppe , indem sie alle möglichen Produkte aller Gruppenelemente in einer quadratischen Tabelle anordnet, die an eine Additions- oder Multiplikationstabelle erinnert . Viele Eigenschaften einer Gruppe – etwa ob sie abelsch ist , welche Elemente zueinander invers sind und welche Größe und welchen Inhalt das Zentrum der Gruppe hat – lassen sich aus ihrer Cayley-Tabelle ableiten.
Ein einfaches Beispiel für eine Cayley-Tabelle ist diejenige für die Gruppe {1, −1} bezüglich der gewöhnlichen Multiplikation :
| × | 1 | -1 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | -1 |
| -1 | -1 | 1 |
Geschichte
Die Cayley-Tabellen wurden erstmals in Cayleys Abhandlung „On The Theory of Groups, as depending on the symbolic equation θ n = 1“ aus dem Jahr 1854 vorgestellt. In dieser Abhandlung wurden sie einfach als Tabellen bezeichnet und dienten lediglich der Veranschaulichung – später wurden sie zu Ehren ihres Schöpfers als Cayley-Tabellen bekannt.
Struktur und Aufbau
Da viele Cayley-Tabellen Gruppen beschreiben, die nicht abelsch sind , ist das Produkt ab bezüglich der binären Operation der Gruppe nicht zwangsläufig gleich dem Produkt ba für alle a und b in der Gruppe. Um Verwechslungen zu vermeiden, gilt die Konvention, dass der Faktor, der die Zeile kennzeichnet ( von Cayley als näherer Faktor bezeichnet ), zuerst steht und der Faktor, der die Spalte kennzeichnet (oder weiterer Faktor ), an zweiter Stelle. Beispielsweise ist der Schnittpunkt von Zeile a und Spalte b gleich ab und nicht gleich ba , wie im folgenden Beispiel:
| * | A | B | C |
|---|---|---|---|
| A | a 2 | ab | Klimaanlage |
| B | ba | b 2 | bc |
| C | ca | cb | c 2 |
Eigenschaften und Verwendung
Kommutativität
Die Cayley-Tabelle gibt Aufschluss darüber, ob eine Gruppe abelsch ist . Da die Gruppenoperation einer abelschen Gruppe kommutativ ist , ist eine Gruppe genau dann abelsch, wenn die Werte ihrer Cayley-Tabelle symmetrisch zur Diagonalen sind. Die oben genannte Gruppe {1, −1} und die zyklische Gruppe der Ordnung 3 bezüglich der gewöhnlichen Multiplikation sind Beispiele für abelsche Gruppen, was sich durch die Symmetrie ihrer Cayley-Tabellen bestätigen lässt. Im Gegensatz dazu besitzt die kleinste nicht-abelsche Gruppe, die Diedergruppe der Ordnung 6 , keine symmetrische Cayley-Tabelle.
Assoziativität
Da Assoziativität bei Gruppen als Axiom gilt, wird sie bei der Arbeit mit Cayley-Tabellen oft als gegeben vorausgesetzt. Cayley-Tabellen können jedoch auch zur Charakterisierung der Operation einer Quasigruppe verwendet werden , die Assoziativität nicht als Axiom voraussetzt (tatsächlich lassen sich Cayley-Tabellen zur Charakterisierung der Operation jedes endlichen Magmas verwenden ). Leider lässt sich die Assoziativität einer Operation im Allgemeinen nicht allein durch einen Blick auf ihre Cayley-Tabelle bestimmen, wie es bei der Kommutativität der Fall ist. Dies liegt daran, dass Assoziativität von einer Gleichung mit drei Termen abhängt, während die Cayley-Tabelle Produkte mit zwei Termen darstellt. Lights Assoziativitätstest kann die Assoziativität jedoch mit weniger Aufwand als durch Ausprobieren ermitteln.
Permutationen
Da die Kürzungseigenschaft für Gruppen (und sogar Quasigruppen) gilt, darf keine Zeile oder Spalte einer Cayley-Tabelle dasselbe Element zweimal enthalten. Jede Zeile und Spalte der Tabelle ist somit eine Permutation aller Elemente der Gruppe. Dies schränkt die Auswahl an Cayley-Tabellen, die eine gültige Gruppenoperation definieren könnten, stark ein.
Um zu verstehen, warum eine Zeile oder Spalte nicht dasselbe Element mehrfach enthalten kann, seien a , x und y Elemente einer Gruppe, wobei x und y verschieden sind. Dann enthält die Spalte, die x in der Zeile des Elements a repräsentiert, das Produkt ax , und analog dazu enthält die Spalte, die y entspricht , das Produkt ay . Wären diese beiden Produkte gleich – enthielte Zeile a also zweimal dasselbe Element (wie angenommen) –, dann wäre ax gleich ay . Da aber das Kürzungsgesetz gilt, folgt daraus, dass aus ax = ay auch x = y folgt , was ein Widerspruch ist . Daher ist unsere Annahme falsch, und eine Zeile kann nicht zweimal dasselbe Element enthalten. Dasselbe Argument genügt, um den Spaltenfall zu beweisen, und so schließen wir, dass jede Zeile und Spalte kein Element mehr als einmal enthält. Da die Gruppe endlich ist, garantiert das Schubfachprinzip , dass jedes Element der Gruppe in jeder Zeile und in jeder Spalte genau einmal vorkommt. Die Cayley-Tabelle einer Gruppe ist somit ein Beispiel für ein lateinisches Quadrat . Ein alternativer und prägnanterer Beweis ergibt sich aus der Kürzungseigenschaft . Diese Eigenschaft impliziert, dass für jedes x in der Gruppe die Funktion yf(x,y) = xy in einer Variablen eine injektive Abbildung sein muss. Das Ergebnis folgt aus der Tatsache, dass injektive Abbildungen auf endlichen Mengen Permutationen sind.
Erzeugung einer Permutationsmatrix
Die Standardform einer Cayley-Tabelle hat die gleiche Reihenfolge der Elemente in den Zeilen wie in den Spalten. Eine andere Form besteht darin, die Elemente der Spalten so anzuordnen, dass die n -te Spalte dem Inversen des Elements in der n -ten Zeile entspricht. In unserem Beispiel von D₃ müssen wir nur die letzten beiden Spalten vertauschen, da f und d die einzigen Elemente sind, die nicht ihr eigenes Inverses, sondern das Inverse des jeweils anderen Elements sind .
| e | A | B | C | f=d −1 | d=f −1 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | A | B | C | F | D |
| A | A | e | D | F | C | B |
| B | B | F | e | D | A | C |
| C | C | D | F | e | B | A |
| D | D | C | A | B | e | F |
| F | F | B | C | A | D | e |
Dieses Beispiel ermöglicht es uns, sechs Permutationsmatrizen zu erstellen (alle Elemente sind entweder 1 oder 0, genau eine 1 in jeder Zeile und Spalte). Die 6x6-Matrix, die ein Element repräsentiert, enthält an jeder Position, die dem Buchstaben des Elements in der Cayley-Tabelle entspricht, eine 1 und an jeder anderen Position eine 0 – die Kronecker-Delta -Funktion für dieses Symbol. (Beachten Sie, dass e an jeder Position der Hauptdiagonalen steht, wodurch wir in diesem Fall die Einheitsmatrix für 6x6-Matrizen erhalten, wie erwartet.) Hier ist beispielsweise die Matrix, die unser Element a repräsentiert.
| e | A | B | C | F | D | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| A | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| B | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| C | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| D | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| F | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Dies zeigt uns direkt, dass jede Gruppe der Ordnung n eine Untergruppe der Permutationsgruppe S n , Ordnung n !, ist.
Verallgemeinerungen
Die oben genannten Eigenschaften hängen von einigen für Gruppen gültigen Axiomen ab. Es liegt nahe, Cayley-Tabellen auch für andere algebraische Strukturen wie Halbgruppen , Quasigruppen und Magmen zu betrachten , doch einige der oben genannten Eigenschaften treffen dort nicht zu.
Siehe auch
Referenzen
- Cayley, Arthur . „Über die Theorie der Gruppen, wie sie von der symbolischen Gleichung θ n = 1 abhängt“, Philosophical Magazine , Bd. 7 (1854), S. 40–47. Online verfügbar bei Google Books als Teil seiner gesammelten Werke.
- Cayley, Arthur . „Über die Theorie der Gruppen“, American Journal of Mathematics , Bd. 11, Nr. 2 (Jan. 1889), S. 139–157. Verfügbar bei JSTOR.
