Casimir-Element

In der Mathematik ist ein Casimir-Element (auch Casimir-Invariante oder Casimir-Operator genannt ) ein ausgezeichnetes Element des Zentrums der universellen einhüllenden Algebra einer Lie-Algebra . Ein prototypisches Beispiel ist der Drehimpulsquadratoperator , der ein Casimir-Element der dreidimensionalen Rotationsgruppe ist .

Allgemeiner kann der Begriff Casimir-Elemente verwendet werden, um jedes Element des Zentrums der universellen einhüllenden Algebra zu bezeichnen. Es ist bekannt, dass die Algebra dieser Elemente durch den Harish-Chandra-Isomorphismus isomorph zu einer Polynomalgebra ist .

Das Casimir-Element ist nach Hendrik Casimir benannt , der es 1931 in seiner Beschreibung der Dynamik starrer Körper identifizierte. ^{[ 1 ]}

Die am häufigsten verwendete Casimir-Invariante ist die quadratische Invariante. Sie ist am einfachsten zu definieren und wird daher zuerst angegeben. Es gibt jedoch auch Casimir-Invarianten höherer Ordnung, die homogenen symmetrischen Polynomen höherer Ordnung entsprechen.

Angenommen, ist eine -dimensionale Lie-Algebra . Sei B eine nicht-ausgeartete Bilinearform auf , die invariant unter der adjungierten Wirkung von auf sich selbst ist, d. h. für alle X , Y , Z in . (Die typischste Wahl von B ist die Killing-Form, falls halbeinfach ist .) Sei ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle B(\operatorname {ad} _{X}Y,Z)+B(Y,\operatorname {ad} _{X}Z)=0}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \{X_{i}\}_{i=1}^{n}}$

sei eine beliebige Grundlage von , und ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \{X^{i}\}_{i=1}^{n}}$

Sei die duale Basis von bezüglich B. Das Casimir-Element für B ist das Element der universellen einhüllenden Algebra, das durch die Formel gegeben ist. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle \Omega =\sum _{i=1}^{n}X_{i}X^{i}.}$

Obwohl die Definition auf der Wahl einer Basis für die Lie-Algebra beruht, lässt sich leicht zeigen, dass Ω unabhängig von dieser Wahl ist. Andererseits hängt Ω von der Bilinearform B ab . Die Invarianz von B impliziert, dass das Casimir-Element mit allen Elementen der Lie-Algebra kommutiert und somit im Zentrum der universellen einhüllenden Algebra liegt . ^{[ 2 ]}${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

Gegeben sei eine Darstellung ρ von auf einem Vektorraum V , der möglicherweise unendlichdimensional ist. Die Casimir-Invariante von ρ ist definiert als ρ (Ω), der lineare Operator auf V, der durch die Formel gegeben ist. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \rho (\Omega )=\sum _{i=1}^{n}\rho (X_{i})\rho (X^{i}).}$

Eine spezielle Form dieser Konstruktion spielt eine wichtige Rolle in der Differentialgeometrie und der globalen Analysis. Angenommen, eine zusammenhängende Lie-Gruppe G mit Lie-Algebra operiert auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M. Betrachten wir die entsprechende Darstellung ρ von G auf dem Raum der glatten Funktionen auf M. Dann werden Elemente von ρ durch Differentialoperatoren erster Ordnung auf M dargestellt. In diesem Fall ist die Casimir-Invariante von ρ der G-invariante Differentialoperator zweiter Ordnung auf M , der durch die obige Formel definiert ist. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Weiter spezialisiert: Wenn M eine Riemannsche Metrik besitzt, auf der G transitiv mittels Isometrien wirkt, und die Stabilisatoruntergruppe G _x eines Punktes irreduzibel auf dem Tangentialraum von M in x wirkt , dann ist die Casimir-Invariante von ρ ein skalares Vielfaches des Laplace-Operators , der aus der Metrik stammt.

Es können auch allgemeinere Casimir-Invarianten definiert werden, die häufig bei der Untersuchung von Pseudodifferentialoperatoren in der Fredholm-Theorie auftreten .

Der Artikel über universelle einhüllende Algebren liefert eine detaillierte und präzise Definition von Casimir-Operatoren sowie eine Erläuterung einiger ihrer Eigenschaften. Alle Casimir-Operatoren entsprechen symmetrischen homogenen Polynomen in der symmetrischen Algebra der adjungierten Darstellung . ${\displaystyle \operatorname {ad} _{\mathfrak {g}}.}$

${\displaystyle C_{(m)}=\kappa ^{ij\cdots k}X_{i}\otimes X_{j}\otimes \cdots \otimes X_{k}}$

wobei m die Ordnung des symmetrischen Tensors ist und die Vektorraumbasis von ist. Dies entspricht einem symmetrischen homogenen Polynom. ${\displaystyle \kappa ^{ij\cdots k}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$

${\displaystyle c_{(m)}=\kappa ^{ij\cdots k}t_{i}t_{j}\cdots t_{k}}$

in m unbestimmten Variablen in der Polynomalgebra über einem Körper K . Der Grund für die Symmetrie folgt aus dem PBW-Theorem und wird im Artikel über universelle einhüllende Algebren wesentlich ausführlicher diskutiert . ${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle K[t_{i},t_{j},\cdots ,t_{k}]}$

Darüber hinaus muss ein Casimir-Element zum Zentrum der universellen einhüllenden Algebra gehören, d.h. es muss die Bedingung erfüllen

${\displaystyle [C_{(m)},X_{i}]=0}$

Für alle Basiselemente ist diese Bedingung, ausgedrückt in Bezug auf den entsprechenden symmetrischen Tensor , äquivalent dazu, dass der Tensor invariant ist:${\displaystyle X_{i}.}$${\displaystyle \kappa ^{ij\cdots k}}$

${\displaystyle f_{ij}^{\;\;k}\kappa ^{jl\cdots m}+f_{ij}^{\;\;l}\kappa ^{kj\cdots m}+\cdots +f_{ij}^{\;\;m}\kappa ^{kl\cdots j}=0}$

wo sind die Strukturkonstanten der Lie-Algebra, d.h. ? ${\displaystyle f_{ij}^{\;\;k}}$${\displaystyle [X_{i},X_{j}]=f_{ij}^{\;\;k}X_{k}}$

Da in einer einfachen Lie-Algebra jede invariante Bilinearform ein Vielfaches der Killing-Form ist , ist das zugehörige Casimir-Element bis auf eine Konstante eindeutig definiert. In einer allgemeinen halbeinfachen Lie-Algebra besitzt der Raum der invarianten Bilinearformen für jede einfache Komponente genau einen Basisvektor, und somit gilt dasselbe auch für den Raum der zugehörigen Casimir-Operatoren.

Ist eine kompakte Lie-Gruppe mit Lie-Algebra , so entspricht die Wahl einer nicht-ausgearteten invarianten Bilinearform auf der Wahl einer bi-invarianten Riemannschen Metrik auf . Dann bildet das Casimir-Element der Bilinearform auf unter der Identifizierung der universellen einhüllenden Algebra von mit den linksinvarianten Differentialoperatoren auf den Laplace-Operator von (bezüglich der entsprechenden bi-invarianten Metrik) ab. ${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$

Nach dem Satz von Racah ^{[ 3 ]} ist für eine halbeinfache Lie-Algebra die Dimension des Zentrums ihrer universellen einhüllenden Algebra gleich ihrem Rang . Der Casimir-Operator liefert den Begriff des Laplace-Operators auf einer allgemeinen halbeinfachen Lie-Gruppe ; es existiert jedoch kein eindeutiges Analogon des Laplace-Operators für Rang > 1.

Definitionsgemäß kommutiert jedes Element des Zentrums der universellen einhüllenden Algebra mit allen anderen Elementen der Algebra. Nach dem Lemma von Schur ist in jeder irreduziblen Darstellung der Lie-Algebra jedes Casimir-Element proportional zum neutralen Element. Die Eigenwerte aller Casimir-Elemente können zur Klassifizierung der Darstellungen der Lie-Algebra (und somit auch ihrer Lie-Gruppe ) verwendet werden. ^{[ 4 ]}

Physikalische Masse und Spin sind Beispiele für solche Eigenwerte, ebenso wie viele andere Quantenzahlen der Quantenmechanik . Oberflächlich betrachtet bilden topologische Quantenzahlen eine Ausnahme von diesem Muster; tiefergehende Theorien deuten jedoch darauf hin, dass es sich um zwei Aspekte desselben Phänomens handelt.

Sei der endlichdimensionale Modul mit dem höchsten Gewicht . Dann wirkt das quadratische Casimir-Element auf durch die Konstante ${\displaystyle L(\lambda )}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle L(\lambda )}$

${\displaystyle \langle \lambda ,\lambda +2\rho \rangle =\langle \lambda +\rho ,\lambda +\rho \rangle -\langle \rho ,\rho \rangle ,}$

Dabei ist das Gewicht definiert als die Hälfte der Summe der positiven Wurzeln. ^{[ 5 ]} Wenn nichttrivial ist (d. h. wenn ), dann ist diese Konstante ungleich null. Da dominant ist, gilt für und , woraus folgt, dass . Diese Beobachtung spielt eine wichtige Rolle im Beweis des Satzes von Weyl über die vollständige Reduzierbarkeit . Es ist auch möglich, das Nichtverschwinden des Eigenwerts abstrakter zu beweisen – ohne eine explizite Formel für den Eigenwert zu verwenden – mithilfe des Cartan-Kriteriums ; siehe Abschnitte 4.3 und 6.2 in Humphreys' Buch. ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle L(\lambda )}$${\displaystyle \lambda \neq 0}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda \neq 0}$${\displaystyle \langle \lambda ,\lambda \rangle >0}$${\displaystyle \langle \lambda ,\rho \rangle \geq 0}$${\displaystyle \langle \lambda ,\lambda +2\rho \rangle >0}$

Ein Casimir-Element der Ordnung n entspricht einem symmetrischen invarianten Tensor derselben Ordnung über n = n . Die Konstruktion und Verknüpfung von Casimir-Elementen ist äquivalent zur Konstruktion symmetrischer invarianter Tensoren. ${\displaystyle m}$${\displaystyle C_{(m)}=\kappa ^{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{m}}}$

Symmetrische invariante Tensoren können als symmetrisierte Spuren in der definierenden Darstellung konstruiert werden ^{[ 6 ].}

${\displaystyle k_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}^{(m)}={\text{Tr}}\left(X_{(i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{m})}\right)}$

wobei die Indizes durch die Killing-Form erhöht und verringert werden und unter allen Permutationen symmetrisiert werden.

Es ist auch möglich, symmetrische invariante Tensoren aus den antisymmetrischen invarianten Tensoren des Typs zu konstruieren.

${\displaystyle \Omega _{i_{1}i_{2}\cdots i_{2m-1}}^{(2m-1)}=f_{i_{1}[i_{2}}^{j_{1}}\cdots f_{i_{2m-3}i_{2m-2}]}^{j_{m-1}}k_{j_{1}\cdots j_{m-1}i_{2m-1}}^{(m)}}$

Der symmetrische invariante Tensor ^{[ 7 ]}

${\displaystyle t_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}^{(m)}=\Omega _{j_{1}j_{2}\cdots j_{2m-2}i_{m}}^{(2m-1)}f_{i_{1}}^{j_{1}j_{2}}\cdots f_{i_{m-1}}^{j_{2m-2}j_{2m-3}}}$

ist spurlos für . Solche invarianten Tensoren sind orthogonal zueinander in dem Sinne, dass wenn . ${\displaystyle m>2}$${\displaystyle t_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}^{(m)}\left(t^{(n)}\right)^{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}i_{m+1}\cdots i_{n}}=0}$${\displaystyle n>m}$

Im Falle der einfachen Lie-Algebra führen wir den vollständig symmetrischen Tensor der Ordnung drei ein , sodass in der definierenden Darstellung gilt: ${\displaystyle A_{l}={\mathfrak {sl}}_{l+1}}$${\displaystyle d_{ijk}}$

${\displaystyle$

Dann sind die Sudbery-symmetrischen invarianten Tensoren ^{[ 6 ]}

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}}^{(2)}=\delta _{i_{1}i_{2}}}$

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}}^{(3)}=d_{i_{1}i_{2}i_{3}}}$

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}}^{(4)}=d_{(i_{1}i_{2}}{}^{j}d_{i_{3}i_{4})j}}$

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}i_{5}}^{(5)}=d_{(i_{1}i_{2}}{}^{j}d^{j}{}_{i_{3}}{}^{k}d_{i_{4}i_{5})k}}$

Für eine einfache Lie-Algebra vom Rang n existieren algebraisch unabhängige , symmetrische invariante Tensoren. Daher lässt sich jeder solche Tensor durch gegebene Tensoren ausdrücken. Es gibt eine systematische Methode zur Herleitung vollständiger Mengen von Identitäten zwischen symmetrischen invarianten Tensoren. ^{[ 6 ]}${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$

Im Fall der Lie-Algebra erfüllen die symmetrischen invarianten Tensoren die Bedingung ^{[ 7 ]} . Die Umformulierung dieser Tensoren mithilfe anderer Familien wie z. B. oder führt zu nichttrivialen Relationen innerhalb dieser anderen Familien. Beispielsweise lassen sich die Sudbery-Tensoren mithilfe von ausdrücken , wobei Relationen vom Typ ^{[ 7 ] existieren.}${\displaystyle A_{l}}$${\displaystyle t^{(m)}}$${\displaystyle t^{(m>l+1)}=0}$${\displaystyle d^{(m)}}$${\displaystyle k^{(m)}}$${\displaystyle d^{(m>l+1)}}$${\displaystyle d^{(2)},\cdots ,d^{(l+1)}}$

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}}^{(4)}\ {\underset {l=2}{=}}\ {\frac {1}{3}}\delta _{(i_{1}i_{2}}\delta _{i_{3}i_{4})}}$

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}i_{5}}^{(5)}\ {\underset {l=2}{=}}\ {\frac {1}{3}}d_{(i_{1}i_{2}i_{3}}\delta _{i_{4}i_{5})}}$

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}i_{5}}^{(5)}\ {\underset {l=3}{=}}\ {\frac {2}{3}}d_{(i_{1}i_{2}i_{3}}\delta _{i_{4}i_{5})}}$

Strukturkonstanten gehorchen auch Identitäten, die nicht direkt mit symmetrischen invarianten Tensoren in Zusammenhang stehen, zum Beispiel ^{[ 8 ].}

${\displaystyle 3d_{ab}{}^{e}d_{cde}-f_{ac}{}^{e}f_{bde}-f_{ad}{}^{e}f_{bce}\ {\underset {l=2}{=}}\ \delta _{ac}\delta _{bd}+\delta _{ad}\delta _{bc}-\delta _{ab}\delta _{cd}}$

Die Lie-Algebra besteht aus 2×2-Matrizen mit komplexer Struktur und Spur Null. Es gibt drei Standardbasiselemente , , , und , mit ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle e}$${\displaystyle f}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\begin{aligned}e&={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},&f&={\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}},&h&={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

Die Kommutatoren sind

${\displaystyle {\begin{aligned}[][e,f]&=h,&[h,f]&=-2f,&[h,e]&=2e.\end{aligned}}}$

Man kann zeigen, dass das Casimir-Element

$${\displaystyle \Omega =ef+fe+{\frac {1}{2}}h^{2}={\frac {1}{2}}h^{2}+h+2fe.}$$

Dieser Ausdruck gehört zur universellen einhüllenden Algebra , nicht zur Algebra der Matrizen. Daher sollte man darauf achten, die obigen Matrizen nicht in diese Formel einzusetzen und stattdessen die Matrizenmultiplikation zur Vereinfachung zu verwenden. ${\displaystyle U({\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} ))}$${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle 2\times 2}$

Um zu veranschaulichen, wie das Casimir-Element auf eine Darstellung wirkt, betrachten wir die adjungierte Darstellung von auf sich selbst. Mithilfe der geordneten Basis von können wir die adjungierte Wirkung eines beliebigen Elements als Matrix ausdrücken. Insbesondere: ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle (e,h,f)}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle 3\times 3}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {Ad}}_{e}&={\begin{bmatrix}0&-2&0\\0&0&1\\0&0&0\\\end{bmatrix}},&{\mathsf {Ad}}_{f}&={\begin{bmatrix}0&0&0\\-1&0&0\\0&2&0\\\end{bmatrix}},&{\mathsf {Ad}}_{h}&={\begin{bmatrix}2&0&0\\0&0&0\\0&0&-2\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

Das Casimir-Element wirkt dann auf diese Darstellung mittels der Matrix.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {Ad}}_{\Omega }&={\mathsf {Ad}}_{e}{\mathsf {Ad}}_{f}+{\mathsf {Ad}}_{f}{\mathsf {Ad}}_{e}+{\frac {1}{2}}{\mathsf {Ad}}_{h}^{2}\\&={\begin{bmatrix}0&-2&0\\0&0&1\\0&0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0&0\\-1&0&0\\0&2&0\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&0\\-1&0&0\\0&2&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&-2&0\\0&0&1\\0&0&0\\\end{bmatrix}}+{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}2&0&0\\0&0&0\\0&0&-2\\\end{bmatrix}}^{2}\\&={\begin{bmatrix}4&0&0\\0&4&0\\0&0&4\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

Die Lie-Algebra ist die Lie-Algebra von SO(3) , der Rotationsgruppe des dreidimensionalen euklidischen Raums . Sie ist einfach vom Rang 1 und besitzt daher genau eine unabhängige Casimir-Algebra. Die Killing-Form der Rotationsgruppe ist das Kronecker-Delta , und somit ist die Casimir-Invariante einfach die Summe der Quadrate der Erzeuger der Algebra. Das heißt, die Casimir-Invariante ist gegeben durch ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$${\displaystyle L_{x},\,L_{y},\,L_{z}}$

${\displaystyle L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}.}$

Betrachten wir die irreduzible Darstellung von , in der der größte Eigenwert von ist , wobei die möglichen Werte von sind . Die Invarianz des Casimir-Operators impliziert, dass er ein Vielfaches des Identitätsoperators ist . Diese Konstante kann explizit berechnet werden, was zu folgendem Ergebnis führt ^{[ 9 ].}${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$${\displaystyle L_{z}}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \ell }$${\textstyle 0,\,{\frac {1}{2}},\,1,\,{\frac {3}{2}},\,\ldots }$${\displaystyle I}$

${\displaystyle L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=\ell (\ell +1)I.}$

In der Quantenmechanik wird der Skalarwert als Gesamtdrehimpuls bezeichnet . Für endlichdimensionale matrixwertige Darstellungen der Rotationsgruppe nimmt er immer ganzzahlige Werte (für bosonische Darstellungen ) oder halbzahlige Werte (für fermionische Darstellungen ) an. ${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \ell }$

Für einen gegebenen Wert von ist die Matrixdarstellung -dimensional. So entspricht beispielsweise die dreidimensionale Darstellung für der Matrix und wird durch die Generatoren gegeben. ${\displaystyle \ell }$${\displaystyle (2\ell +1)}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$${\displaystyle \ell =1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{x}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}};&L_{y}&=i{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}};&L_{z}&=i{\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

wobei die Faktoren benötigt werden, um mit der (hier verwendeten) physikalischen Konvention übereinzustimmen, dass die Generatoren schiefselbstadjungierte Operatoren sein sollten. ^{[ 10 ]}${\displaystyle i}$

Die quadratische Casimir-Invariante lässt sich dann leicht von Hand berechnen, mit dem Ergebnis, dass

${\displaystyle L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=2{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

wie wenn . ${\displaystyle \ell (\ell +1)=2}$${\displaystyle \ell =1}$

This is what is meant when we say that the eigenvalues of the Casimir operator are used to classify the irreducible representations of a Lie algebra (and of an associated Lie group): two irreducible representations of a Lie Algebra are equivalent if and only if their Casimir element have the same eigenvalue. In this case, the irreps of ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ are completely determined by the value of ${\displaystyle \ell }$, or equivalently, by the value of ${\displaystyle \ell (\ell +1)}$. Similarly, the two dimensional representation has a basis given by the Pauli matrices, which correspond to spin1⁄2, and one can again check the formula for the Casimir by direct computation.

• Harish-Chandra isomorphism
• Pauli–Lubanski pseudovector
• Clebsch–Gordan coefficients

• Humphreys, James E. (1978). Einführung in Lie-Algebren und Darstellungstheorie . Graduate Texts in Mathematics. Band 9 (2. Auflage, überarbeitete Ausgabe). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90053-5Die
• Jacobson, Nathan (1979). Lie-Algebren . Dover Publications. S.  243–249 . ISBN 0-486-63832-4Die
• https://mathoverflow.net/questions/74689/motivating-the-casimir-element