Zentriertes Trochoid

In der Geometrie bezeichnet man als zentrierte Trochoide die Bahn , die ein Kreis beschreibt, der auf einem anderen Kreis abrollt. Genauer gesagt, ist es die Bahn, die ein an einem Kreis befestigter Punkt beschreibt, während der Kreis ohne zu gleiten auf einem festen Kreis abrollt. Der Begriff umfasst sowohl Epitrochoide als auch Hypotrochoide . Der Mittelpunkt dieser Kurve ist der Mittelpunkt des festen Kreises.

Alternativ kann eine zentrierte Trochoide als die Bahn definiert werden, die von der Summe zweier Vektoren beschrieben wird, die sich jeweils mit gleichförmiger Geschwindigkeit auf einem Kreis bewegen. Genauer gesagt ist eine zentrierte Trochoide eine Kurve, die in der komplexen Ebene parametrisiert werden kann durch

${\displaystyle z=r_{1}e^{i\omega _{1}t}+r_{2}e^{i\omega _{2}t},\,}$

oder in der kartesischen Ebene durch

${\displaystyle x=r_{1}\cos(\omega _{1}t)+r_{2}\cos(\omega _{2}t),}$

${\displaystyle y=r_{1}\sin(\omega _{1}t)+r_{2}\sin(\omega _{2}t),\,}$

Wo

${\displaystyle r_{1},r_{2},\omega _{1},\omega _{2}\neq 0,\quad \omega _{1}\neq \omega _{2}.\,}$

Ist der Wert rational, so ist die Kurve geschlossen und algebraisch. Andernfalls windet sich die Kurve unendlich oft um den Ursprung und liegt dicht im Kreisring mit äußerem Radius und innerem Radius . ${\displaystyle \omega _{1}/\omega _{2}}$${\displaystyle |r_{1}|+|r_{2}|}$${\displaystyle ||r_{1}|-|r_{2}||}$

Die meisten Autoren verwenden Epitrochoide für eine Kreisbahn, die außen um einen anderen Kreis rollt, Hypotrochoide für eine Kreisbahn, die innen um einen anderen Kreis rollt, und Trochoide für eine Kreisbahn, die entlang einer Geraden rollt. Einige Autoren (z. B. [1] in Anlehnung an F. Morley ) verwenden „Trochoid“ jedoch für eine Kreisbahn, die entlang eines anderen Kreises rollt, obwohl dies nicht der gebräuchlicheren Terminologie entspricht. Der von [2] verwendete Begriff „zentrierte Trochoide “ vereint Epitrochoide und Hypotrochoide zu einem einzigen Konzept, um die mathematische Darstellung zu vereinfachen und mit dem bestehenden Standard übereinzustimmen.

Der Begriff Trochoidenkurve beschreibt Epitrochoiden, Hypotrochoiden und Trochoiden (siehe [3] ). Eine Trochoidenkurve ist die Bahn, die von der Summe zweier Vektoren beschrieben wird, die sich jeweils mit gleichförmiger Geschwindigkeit auf einem Kreis oder geradlinig bewegen (aber nicht beide geradlinig).

In den oben angegebenen parametrischen Gleichungen ist die Kurve eine Epitrochoide, wenn und das gleiche Vorzeichen haben, und eine Hypotrochoide, wenn sie unterschiedliche Vorzeichen haben. ${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$

Ein Kreis mit Radius r rollt auf einem Kreis mit Radius r ab , und ein Punkt r wird dem rollenden Kreis zugeordnet. Die feste Kurve lässt sich parametrisieren als r = r₁ + r₂ + r₃ ...${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f(t)=ae^{it}}$${\displaystyle r(t)=be^{i(a/b)t}}$${\displaystyle r(t)=-be^{-i(a/b)t}}$${\displaystyle r(t)=ce^{i(a/c)t}}$${\displaystyle |c|=b}$${\displaystyle p}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(t)+(dr(t)){f'(t) \over r'(t)}&=ae^{it}+(d-ce^{i(a/c)t}){aie^{it} \over aie^{i(a/c)t}}\\&=(ac)e^{it}+de^{i(1-a/c)t}.\end{aligned}}}$

Dies ist die oben angegebene Parametrisierung mit , , , . ${\displaystyle r_{1}=ac}$${\displaystyle r_{2}=d}$${\displaystyle \omega _{1}=1}$${\displaystyle \omega _{2}=1-a/c}$

Umgekehrt kann die Kurve bei gegebenen Werten für , , , und als umparametrisiert werden, und die Gleichungen , , können nach und aufgelöst werden , um zu erhalten ${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle r_{1}e^{i\omega _{1}t}+r_{2}e^{i\omega _{2}t}}$${\displaystyle r_{1}e^{it}+r_{2}e^{i(\omega _{2}/\omega _{1})t}}$${\displaystyle r_{1}=ac}$${\displaystyle r_{2}=d}$${\displaystyle \omega _{2}/\omega _{1}=1-a/c}$${\displaystyle a}$${\displaystyle c}$${\displaystyle d}$${\displaystyle a=r_{1}(1-\omega _{1}/\omega _{2}),\ c=-r_{1}{\omega _{1}/\omega _{2}},\ d=r_{2}.}$

Die Kurve bleibt unverändert, wenn die Indizes 1 und 2 vertauscht werden, die resultierenden Werte von , und ändern sich jedoch im Allgemeinen. Daraus ergibt sich der Duale Erzeugungssatz, der besagt, dass – mit Ausnahme des unten diskutierten Spezialfalls – jede zentrierte Trochoide auf zwei grundlegend verschiedene Arten erzeugt werden kann, indem ein Kreis auf einem anderen Kreis rollt. ${\displaystyle r_{1}e^{i\omega _{1}t}+r_{2}e^{i\omega _{2}t}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle c}$${\displaystyle d}$

Die Kardioide wird durch parametrisiert . Setzt man , erhält man . Beide Kreise haben Radius 1, und da c < 0, rollt der rollende Kreis außerhalb des festen Kreises. Der Punkt p ist 1 Einheit vom Mittelpunkt des rollenden Kreises entfernt und liegt somit auf dessen Umfang. Dies ist die übliche Definition der Kardioide. Wir können die Kurve auch als parametrisieren , sodass wir auch setzen können, um zu erhalten. In diesem Fall hat der feste Kreis Radius 1, der rollende Kreis Radius 2, und da c > 0, rotiert der rollende Kreis wie ein Hula-Hoop- Reifen um den festen Kreis . Dies führt zu einer grundlegend anderen Definition derselben Kurve. ${\displaystyle 2e^{it}-e^{2it}}$${\displaystyle r_{1}=2,r_{2}=-1,\omega _{1}=1,\omega _{2}=2}$${\displaystyle a=2(1-1/2)=1,c=-2(1/2)=-1,d=-1}$${\displaystyle -e^{2it}+2e^{it}}$${\displaystyle r_{1}=-1,r_{2}=2,\omega _{1}=2,\omega _{2}=1}$${\displaystyle a=-1(1-2)=1,b=-(-1)(2)=2,d=2.}$

Dann erhalten wir die parametrische Kurve , oder . Wenn , dann ist dies die Gleichung einer Ellipse mit den Achsen und . Durch Auswertung von , , und wie zuvor erhält man entweder oder . Dies liefert zwei verschiedene Möglichkeiten zur Erzeugung einer Ellipse, bei denen jeweils ein Kreis innerhalb eines Kreises mit doppeltem Durchmesser abrollt. ${\displaystyle \omega _{1}=-\omega _{2}}$${\displaystyle r_{1}e^{it}+r_{2}e^{-it}}$${\displaystyle x=(r_{1}+r_{2})\cos t,y=(r_{1}-r_{2})\sin t\,\!}$${\displaystyle |r_{1}|\neq |r_{2}|}$${\displaystyle 2|r_{1}+r_{2}|}$${\displaystyle 2|r_{1}-r_{2}|}$${\displaystyle a}$${\displaystyle c}$${\displaystyle d}$${\displaystyle a=2r_{1},c=r_{1},d=r_{2}\,\!}$${\displaystyle a=2r_{2},c=r_{2},d=r_{1}\,\!}$

Wenn zusätzlich neben , , gilt , dann sind in beiden Fällen und bei beiden Möglichkeiten zur Kurvenerzeugung dieselben. In diesem Fall ist die Kurve einfach oder ein Segment der x-Achse. ${\displaystyle \omega _{1}=-\omega _{2}}$${\displaystyle r_{1}=r_{2}=r}$${\displaystyle a=2r,b=r,c=r\,\!}$${\displaystyle x=2r\cos t,y=0\,\!}$

Ebenso gilt: Wenn , dann ist oder . Der Kreis ist symmetrisch zum Ursprung, daher liefern beide Fälle dasselbe Kreispaar. In diesem Fall ist die Kurve einfach : ein Segment der y-Achse. ${\displaystyle r_{1}=r,r_{2}=-r\,\!}$${\displaystyle a=2r,c=r,d=-r\,\!}$${\displaystyle a=-2r,c=-r,d=r\,\!}$${\displaystyle x=0,y=2r\sin t\,\!}$

Dieser Fall stellt also eine Ausnahme (tatsächlich die einzige Ausnahme) vom oben genannten dualen Erzeugungssatz dar. Dieser entartete Fall, in dem die Kurve ein gerades Liniensegment ist, ist die Grundlage des Tusi-Paares . ${\displaystyle \omega _{1}=-\omega _{2},\ |r_{1}|=|r_{2}|}$

• „Zentrierte Trochoide“ auf mathcurve.com
• "Epitrochoid" auf mathcurve.com
• "Hypotrochoide" auf mathcurve.com
• „Peritrochoid“ auf mathcurve.com
• Yates, RC: Ein Handbuch über Kurven und ihre Eigenschaften , JW Edwards (1952), "Trochoiden"
• Trochoiden: Kurven, die durch einen rollenden Kreis erzeugt werden

• Epitrochoiden bei Mathworld
• Hypotrochoide bei Mathworld
• Visuelles Wörterbuch spezieller ebener Kurven
• Visuelles Wörterbuch spezieller ebener Kurven
• „Trochoid“ in der Springer Online Encyclopaedia of Mathematics