Trochoide

In der Geometrie ist eine Trochoide (vom griechischen trochos „ Rad “ ) eine Roulettekurve , die durch einen Kreis entsteht, der entlang einer Geraden abrollt . Sie ist die Kurve , die ein auf einem Kreis fixierter Punkt (der Punkt kann auf, innerhalb oder außerhalb des Kreises liegen) beschreibt, während dieser entlang einer Geraden abrollt. ^{[ 1 ]} Liegt der Punkt auf dem Kreis, spricht man von einer gewöhnlichen Trochoide (auch Zykloide genannt ); liegt der Punkt innerhalb des Kreises, von einer verkürzten Trochoide ; und liegt der Punkt außerhalb des Kreises, von einer verlängerten Trochoide. Der Begriff „Trochoid“ wurde von Gilles de Roberval geprägt und bezeichnete den Spezialfall einer Zykloide. ^{[ 2 ]}

Wenn ein Kreis mit Radius a schlupffrei entlang einer Geraden L rollt , bewegt sich der Mittelpunkt C parallel zu L , und jeder andere Punkt P in der rotierenden Ebene, der fest mit dem Kreis verbunden ist, beschreibt die sogenannte Trochoide. Sei CP = b . Die parametrischen Gleichungen der Trochoide, für die L die x -Achse ist , lauten : ^{[ 3 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\theta -b\sin \theta \\y&=ab\cos \theta \end{aligned}}}$$

Liegt P innerhalb des Kreises ( b < a ), auf seinem Umfang ( b = a ) oder außerhalb ( b > a ), so wird die Trochoid als verkürzt („kontrahiert“), gewöhnlich („gestreckt“) bzw. verlängert („gestreckt“) bezeichnet. ^{[ 4 ]} Eine verkürzte Trochoid beschreibt ein Pedal (relativ zum Boden), wenn ein normal geschaltetes Fahrrad geradlinig gefahren wird. ^{[ 5 ]} Eine verlängerte Trochoid beschreibt die Spitze eines Paddels (relativ zur Wasseroberfläche), wenn ein Boot mit konstanter Geschwindigkeit durch Schaufelräder angetrieben wird; diese Kurve enthält Schleifen. Eine gewöhnliche Trochoid, auch Zykloide genannt , hat Spitzen an den Punkten, an denen P die Gerade L berührt .

Ein allgemeinerer Ansatz würde eine Trochoide als den geometrischen Ort eines Punktes definieren , der sich mit konstanter Geschwindigkeit um eine Achse bei dreht . ${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (x',y')}$

${\displaystyle x=x'+r_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1}),\ y=y'+r_{1}\sin(\omega _{1}t+\phi _{1}),\ r_{1}>0,}$

welche Achse wird in der xy- Ebene mit konstanter Geschwindigkeit geradlinig verschoben ?

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}x'=x_{0}+v_{2x}t,\ y'=y_{0}+v_{2y}t\\\therefore x=x_{0}+r_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1})+v_{2x}t,\ y=y_{0}+r_{1}\sin(\omega _{1}t+\phi _{1})+v_{2y}t,\\\end{array}}}$

oder eine kreisförmige Bahn (eine andere Umlaufbahn) um (den hypotrochoidalen / epitrocoidalen Fall), ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}x'=x_{0}+r_{2}\cos(\omega _{2}t+\phi _{2}),\ y'=y_{0}+r_{2}\sin(\omega _{2}t+\phi _{2}),\ r_{2}\geq 0\\\therefore x=x_{0}+r_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1})+r_{2}\cos(\omega _{2}t+\phi _{2}),\ y=y_{0}+r_{1}\sin(\omega _{1}t+\phi _{1})+r_{2}\sin(\omega _{2}t+\phi _{2}),\\\end{array}}}$

Das Verhältnis der Bewegungsgeschwindigkeiten und die Richtung der Bewegung der Achse (geradlinig oder kreisförmig) bestimmen die Form der Trochoide. Bei einer geradlinigen Bewegung entspricht eine volle Umdrehung einer Periode des periodischen Ortes. Bei einer Kreisbahn der Achse ist der Ort nur dann periodisch, wenn das Verhältnis der Winkelbewegungen eine rationale Zahl ist, etwa , wobei und teilerfremd sind . In diesem Fall besteht eine Periode aus Umlaufbahnen um die bewegte Achse und Umlaufbahnen der bewegten Achse um den Punkt . Die Spezialfälle der Epizykloide und Hypozykloide , die durch die Verfolgung des Ortes eines Punktes auf dem Umfang eines Kreises mit Radius entstehen, während dieser auf dem Umfang eines ruhenden Kreises mit Radius abrollt , haben die folgenden Eigenschaften: ${\displaystyle \omega _{1}/\omega _{2}}$${\displaystyle p/q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\text{epicycloid: }}&\omega _{1}/\omega _{2}&=p/q=r_{2}/r_{1}=R/r_{1}+1,\ |p-q|{\text{ cusps}}\\{\text{hypocycloid: }}&\omega _{1}/\omega _{2}&=p/q=-r_{2}/r_{1}=-(R/r_{1}-1),\ |p-q|=|p|+|q|{\text{ cusps}}\end{array}}}$

Dabei ist der Radius der Bahn der beweglichen Achse. Die oben angegebene Anzahl der Spitzen gilt auch für jedes Epitrochoid und Hypotrochoid, wobei „Spitzen“ durch „radiale Maxima“ oder „radiale Minima“ ersetzt werden. ${\displaystyle r_{2}}$

• Aristoteles' Radparadoxon
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• Zyklogon
• Zykloid
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• Liste periodischer Funktionen
• Roulette (Kurve)
• Spirograph
• Trochoidale Welle
• Zentriertes Trochoid

• Online-Experimente mit dem Trochoid unter Verwendung von JSXGraph