Ladung (Physik)

In der Physik bezeichnet der Begriff Ladung verschiedene Größen, wie beispielsweise die elektrische Ladung im Elektromagnetismus oder die Farbladung in der Quantenchromodynamik . Ladungen entsprechen den zeitinvarianten Generatoren einer Symmetriegruppe , genauer gesagt den Generatoren, die mit dem Hamiltonoperator kommutieren . Ladungen werden oft mit bezeichnet , und${\displaystyle Q}$ die Invarianz der Ladung entspricht dem verschwindenden Kommutator ,${\displaystyle [Q,H]=0}$ wobei der Hamiltonoperator ist. Somit sind Ladungen mit erhaltenen Quantenzahlen verknüpft ; diese sind die Eigenwerte des Generators . Der Begriff „Ladung“ kann sich auch auf ein punktförmiges Objekt mit elektrischer Ladung und Position beziehen, wie beispielsweise bei der Methode der Bildladungen . ${\displaystyle H}$${\displaystyle Q}$

Abstrakt betrachtet ist eine Ladung jeder Generator einer kontinuierlichen Symmetrie des untersuchten physikalischen Systems . Besitzt ein physikalisches System eine Symmetrie, so impliziert das Noether-Theorem die Existenz eines Erhaltungsstroms . Die Größe, die in diesem Strom „fließt“, ist die „Ladung“; die Ladung ist der Generator der (lokalen) Symmetriegruppe . Diese Ladung wird auch als Noether-Ladung bezeichnet .

So ist beispielsweise die elektrische Ladung der Generator der U(1) -Symmetrie des Elektromagnetismus . Der erhaltene Strom ist der elektrische Strom .

Bei lokalen, dynamischen Symmetrien ist jeder Ladung ein Eichfeld zugeordnet ; im quantisierten Zustand wird dieses Eichfeld zu einem Eichboson . Die Ladungen der Theorie „strahlen“ das Eichfeld aus. So ist beispielsweise das Eichfeld des Elektromagnetismus das elektromagnetische Feld ; und das zugehörige Eichboson ist das Photon .

Der Begriff „Ladung“ wird oft synonym sowohl für den Generator einer Symmetrie als auch für die zugehörige Erhaltungsquantenzahl (Eigenwert) verwendet. Bezeichnet man den Generator mit einem Großbuchstaben, so kommutiert dieser mit dem Hamiltonoperator. Die Kommutierung impliziert , dass die Eigenwerte (Kleinbuchstaben) zeitinvariant sind .${\displaystyle Q}$${\displaystyle {1}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}=0}$

Wenn die Symmetriegruppe beispielsweise eine Lie-Gruppe ist , entsprechen die Ladungsoperatoren den einfachen Wurzeln des Wurzelsystems der Lie-Algebra ; die Diskretität des Wurzelsystems erklärt die Quantisierung der Ladung. Es werden die einfachen Wurzeln verwendet, da alle anderen Wurzeln als Linearkombinationen dieser Wurzeln gewonnen werden können. Die allgemeinen Wurzeln werden oft als Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren oder Leiteroperatoren bezeichnet .

Die Ladungsquantenzahlen entsprechen dann den Gewichten der höchsten Moduln einer gegebenen Darstellung der Lie-Algebra. Gehört beispielsweise ein Teilchen in einer Quantenfeldtheorie zu einer Symmetrie, so transformiert es sich gemäß einer bestimmten Darstellung dieser Symmetrie; die Ladungsquantenzahl ist dann das Gewicht der Darstellung.

Verschiedene Ladungsquantenzahlen wurden in Theorien der Teilchenphysik eingeführt . Dazu gehören die Ladungen des Standardmodells :

• Die Farbladung der Quarks . Die Farbladung erzeugt die SU(3) -Farbsymmetrie der Quantenchromodynamik .
• Die schwachen Isospin -Quantenzahlen der elektroschwachen Wechselwirkung erzeugen den SU(2) -Anteil der elektroschwachen SU(2) × U(1)-Symmetrie. Schwacher Isospin ist eine lokale Symmetrie, deren Eichbosonen die W- und Z-Bosonen sind .
• Die elektrische Ladung für elektromagnetische Wechselwirkungen. In mathematischen Texten wird dies manchmal als die -Ladung eines Lie-Algebra- Moduls bezeichnet .${\displaystyle u_{1}}$

Beachten Sie, dass diese Ladungsquantenzahlen in der Lagrange-Funktion über die Eichkovariante Ableitung#Standard_Modell auftreten .

Ladungen von approximativen Symmetrien:

• Die starken Isospin- Ladungen. Die Symmetriegruppe ist die SU(2) -Flavour- Symmetrie; die Eichbosonen sind die Pionen . Die Pionen sind keine Elementarteilchen , und die Symmetrie ist nur näherungsweise gegeben. Es handelt sich um einen Spezialfall der Flavour-Symmetrie.
• Weitere Quark -Flavour-Ladungen, wie Strangeness oder Charm , erzeugen zusammen mit dem oben erwähnten u - d- Isospin die globale SU(6) -Flavour-Symmetrie der fundamentalen Teilchen. Diese Symmetrie wird durch die Massen der schweren Quarks stark gebrochen . Zu den Ladungen gehören die Hyperladung , die X-Ladung und die schwache Hyperladung .

Hypothetische Ladungen von Erweiterungen des Standardmodells:

• Die hypothetische magnetische Ladung ist eine weitere Ladung in der Theorie des Elektromagnetismus. Magnetische Ladungen lassen sich in Laborexperimenten nicht beobachten, wären aber in Theorien, die magnetische Monopole berücksichtigen, vorhanden .

In Supersymmetrie :

• Die Superladung bezieht sich auf den Generator, der in der Supersymmetrie Fermionen in Bosonen umwandelt und umgekehrt.

In der konformen Feldtheorie :

• Die zentrale Ladung der Virasoro-Algebra , auch konforme zentrale Ladung oder konforme Anomalie genannt , ist ein Operator, der mit allen anderen Operatoren der Algebra kommutiert. Der Begriff „zentral“ ist hier im Sinne des Zentrums in der Gruppentheorie zu verstehen . Die zentrale Ladung ist der Eigenwert des zentralen Generators der Algebra; hier ist sie der Energie-Impuls-Tensor der zweidimensionalen konformen Feldtheorie . ^{[ 1 ]}

In der Gravitation :

• Die Eigenwerte des Spannungs-Energie-Tensors entsprechen der physikalischen Masse .

In der Teilchentheorie lassen sich ladungsartige Quantenzahlen mitunter mithilfe eines Ladungskonjugationsoperators namens C invertieren. Ladungskonjugation bedeutet, dass eine gegebene Symmetriegruppe in zwei nicht äquivalenten (aber dennoch isomorphen ) Gruppendarstellungen auftritt . Üblicherweise handelt es sich bei den beiden ladungskonjugierten Darstellungen um komplex konjugierte Fundamentaldarstellungen der Lie-Gruppe. Ihr Produkt bildet dann die adjungierte Darstellung der Gruppe.

Ein gängiges Beispiel ist, dass das Produkt zweier ladungskonjugierter fundamentaler Darstellungen von SL(2, C ) (der Spinoren ) die adjungierte Darstellung der Lorentzgruppe SO(3,1) bildet; abstrakt schreibt man:

${\displaystyle 2\otimes {\overline {2}}=3\oplus 1.}$

Das Produkt zweier (Lorentz-)Spinoren ist also ein (Lorentz-)Vektor und ein (Lorentz-)Skalar. Die komplexe Lie-Algebra sl(2, C ) besitzt eine kompakte reelle Form su(2) (tatsächlich besitzen alle Lie-Algebren eine eindeutige kompakte reelle Form). Dieselbe Zerlegung gilt auch für die kompakte Form: Das Produkt zweier Spinoren in su(2) ist ein Vektor in der Rotationsgruppe O(3) und ein Singulett. Die Zerlegung wird durch die Clebsch-Gordan-Koeffizienten gegeben .

Ein ähnliches Phänomen tritt in der kompakten Gruppe SU(3) auf , wo es zwei ladungskonjugierte, aber nicht äquivalente fundamentale Darstellungen gibt, die mit und bezeichnet werden , wobei die Zahl 3 die Dimension der Darstellung angibt und die Quarks sich unter und die Antiquarks sich unter transformieren . Das Kronecker-Produkt der beiden ergibt ${\displaystyle 3}$${\displaystyle {\overline {3}}}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle {\overline {3}}}$

${\displaystyle 3\otimes {\overline {3}}=8\oplus 1.}$

Das heißt, eine achtdimensionale Darstellung, das Oktett des achtfachen Weges und ein Singulett . Die Zerlegung solcher Produkte von Darstellungen in direkte Summen irreduzibler Darstellungen lässt sich allgemein wie folgt schreiben:

${\displaystyle \Lambda \otimes \Lambda '=\bigoplus _{i}{\mathcal {L}}_{i}\Lambda _{i}}$

für Darstellungen . Die Dimensionen der Darstellungen gehorchen der "Dimensionssummenregel". ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle d_{\Lambda }\cdot d_{\Lambda '}=\sum _{i}{\mathcal {L}}_{i}d_{\Lambda _{i}}.}$

Hierbei ist die Dimension der Darstellung ⁠ ⁠ , und die ganzen Zahlen sind die Littlewood-Richardson-Koeffizienten . Die Zerlegung der Darstellungen wird wiederum durch die Clebsch-Gordan-Koeffizienten gegeben, diesmal im allgemeinen Lie-Algebra-Kontext. ${\displaystyle d_{\Lambda }}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

• Casimir-Betreiber