Elektromagnetischer Tensor

In der Elektromagnetik ist der elektromagnetische Tensor ( auch Feldstärketensor , Faraday-Tensor oder Maxwell-Bivevektor genannt ) ein Tensor , der das elektromagnetische Feld in der Raumzeit beschreibt . Der elektromagnetische Feldtensor wurde von Arnold Sommerfeld entwickelt, nachdem Hermann Minkowski die vierdimensionale Tensorformulierung der speziellen Relativitätstheorie eingeführt hatte . ^{[ 1 ] :22} Der elektromagnetische Tensor ermöglicht es, zugehörige physikalische Gesetze prägnant zu formulieren und das elektromagnetische Feld mittels einer Lagrange-Formulierung zu quantisieren .

Der elektromagnetische Tensor, üblicherweise mit F bezeichnet , ist definiert als die äußere Ableitung des elektromagnetischen Viererpotentials , A , einer Differentialform 1: ^{[ 2 ] [ 3 ]}

$${\displaystyle F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.}$$

Daher ist F eine Differentialform 2 – ein antisymmetrisches Tensorfeld vom Rang 2 – auf dem Minkowski-Raum. In Komponentenform,

$${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }.}$$

wobei der Vierergradient und das Viererpotential ist . ${\displaystyle \partial }$${\displaystyle A}$

In diesem Artikel werden durchgehend SI-Einheiten für die Maxwell-Gleichungen und die Vorzeichenkonvention der Teilchenphysiker für die Signatur des Minkowski-Raums (+ − − −) verwendet.

Die Faraday- Differentialform 2 ist gegeben durch

$${\displaystyle {\begin{aligned}F={}&(E_{x}/c)\ dx\wedge dt+(E_{y}/c)\ dy\wedge dt+(E_{z}/c)\ dz\wedge dt\\&+B_{x}\ dy\wedge dz+B_{y}\ dz\wedge dx+B_{z}\ dx\wedge dy,\end{aligned}}}$$

Hierbei handelt es sich um das Zeitelement multipliziert mit der Lichtgeschwindigkeit . ${\displaystyle dt}$${\displaystyle c}$

Dies ist die äußere Ableitung ihrer 1-Form-Stammfunktion, der kovarianten Form des Viererpotentials, ist ^{[ 4 ] : 315}

$${\displaystyle A=(\phi /c)\,dt-A_{x}\,dx-A_{y}\,dy-A_{z}\,dz,}$$

wobei ( ein Skalarpotential für das wirbelfreie/konservative Vektorfeld ist ) und ( ein Vektorpotential für das solenoidale Vektorfeld ist ). ${\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle -{\boldsymbol {\nabla }}\phi =\mathbf {E} }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} =\mathbf {B} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$

Die elektrischen und magnetischen Felder lassen sich aus den Komponenten des elektromagnetischen Tensors gewinnen. Die Beziehung ist in kartesischen Koordinaten am einfachsten :

$${\displaystyle E_{i}=cF_{0i},}$$ Hierbei ist c die Lichtgeschwindigkeit und der Levi-Civita-Tensor . Dieser beschreibt die Felder in einem bestimmten Bezugssystem; wird das Bezugssystem geändert, transformieren sich die Komponenten des elektromagnetischen Tensors kovariant , und die Felder im neuen Bezugssystem ergeben sich aus den neuen Komponenten. $${\displaystyle B_{i}=-{\tfrac {1}{2}}\varepsilon _{ijk}F^{jk},}$$${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$

In kontravarianter Matrixform mit metrischer Signatur (+,−,−,−), ^{[ 4 ] : 313} $${\displaystyle F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_ {y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}.}$$

Die kovariante Form ergibt sich durch Indexsenkung ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\mu \nu }&=\eta _{\alpha \nu }F^{\beta \alpha }\eta _{\mu \beta }\\[1ex]&={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\ -E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$Der Hodge-Dual des Faraday-Tensors ist $${\displaystyle {\begin{aligned}G^{\alpha \beta }&={\tfrac {1}{2}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }F_{\gamma \delta }\\[1ex]&={\begin{bmatrix}0&-B_{x}&-B_{y}&-B_{z}\\B_{x}&0&E_{z}/c&-E_{y}/c\\B_{y}&-E_{z}/c&0&E_{x}/c\\B_{z}&E_{y}/c&-E_{x}/c&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

Im Folgenden wird bei der Erwähnung elektrischer oder magnetischer Felder stets ein kartesisches Koordinatensystem vorausgesetzt, und die elektrischen und magnetischen Felder beziehen sich auf das Bezugssystem dieses Koordinatensystems, wie in den obigen Gleichungen.

Die Matrixform des Feldtensors liefert die folgenden Eigenschaften: ^{[ 2 ]}

1. Antisymmetrie :$${\displaystyle F^{\mu \nu }=-F^{\nu \mu }}$$
2. Sechs unabhängige Komponenten: In kartesischen Koordinaten sind dies einfach die drei räumlichen Komponenten des elektrischen Feldes ( E _x , E _y , E _z ) und des magnetischen Feldes ( B _x , B _y , B _z ).
3. Skalarprodukt: Bildet man ein Skalarprodukt des Feldstärketensors, so erhält man eine Lorentz-Invariante, was bedeutet, dass sich diese Zahl von einem Bezugssystem zum anderen nicht ändert .$${\displaystyle F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }=2\left(B^{2}-{\frac {E^{2}}{c^{2}}}\right)}$$
4. Pseudoskalare Invariante: Das Produkt des Tensorsmit seinem Hodge-Dual ergibt eine Lorentz-Invariante :wobei das Levi-Civita-Symbol vom Rang 4 ist. Das Vorzeichen hängt von der Konvention für das Levi-Civita-Symbol ab. Die hier verwendete Konvention ist. Diese und die vorherige Lorentz-Invariante verschwinden im Fall gekreuzter Körper.${\displaystyle F^{\mu \nu }}$${\displaystyle G^{\mu \nu }}$$${\displaystyle G_{\gamma \delta }F^{\gamma \delta }={\frac {1}{2}}\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }F^{\alpha \beta }F^{\gamma \delta }=-{\frac {4}{c}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {E} \,}$$${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }}$${\displaystyle \varepsilon _{0123}=-1}$
5. Determinante : welche proportional zum Quadrat der obigen Invariante ist.$${\displaystyle \det F={\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {E} \right)^{2}}$$
6. Spur : die gleich Null ist.$${\displaystyle F={{F}^{\mu }}_{\mu }=0}$$

Dieser Tensor vereinfacht und reduziert die Maxwell-Gleichungen von vier Vektorgleichungen auf zwei Tensorfeldgleichungen. In der Elektrostatik und Elektrodynamik lauten das Gaußsche Gesetz bzw. das Ampèresche Gesetz :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}},&\nabla \times \mathbf {B} &={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mu _{0}\mathbf {J} \end{aligned}}}$$

und reduzieren sich auf die inhomogene Maxwell-Gleichung:

$${\displaystyle \partial _{\alpha }F^{\beta \alpha }=-\mu _{0}J^{\beta },}$$ Wo befindet sich der Vierstrom ? ${\displaystyle J^{\alpha }=(c\rho ,\mathbf {J} )}$

In der Magnetostatik und Magnetodynamik lauten das Gaußsche Gesetz für den Magnetismus bzw. die Maxwell-Faraday-Gleichung :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {B} &=0,&\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\end{aligned}}}$$

die sich auf die Bianchi-Identität reduzieren lassen :

$${\displaystyle \partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0}$$

oder unter Verwendung der Indexnotation mit eckigen Klammern ^{[Anmerkung 1]} für den antisymmetrischen Teil des Tensors:

$${\displaystyle \partial _{[\alpha }F_{\beta \gamma ]}=0}$$ Mithilfe des Ausdrucks, der den Faraday-Tensor mit dem Viererpotential verknüpft, lässt sich beweisen, dass die obige antisymmetrische Größe identisch gegen null konvergiert ( ). Diese Tensorgleichung reproduziert die homogenen Maxwell-Gleichungen. ${\displaystyle \equiv 0}$

Der Feldtensor verdankt seinen Namen der Tatsache, dass das elektromagnetische Feld dem Tensortransformationsgesetz gehorcht . Diese allgemeine Eigenschaft physikalischer Gesetze wurde nach dem Aufkommen der speziellen Relativitätstheorie erkannt . Diese Theorie besagte, dass alle physikalischen Gesetze in allen Koordinatensystemen dieselbe Form annehmen sollten – dies führte zur Einführung von Tensoren . Der Tensorformalismus ermöglicht zudem eine mathematisch einfachere Darstellung physikalischer Gesetze.

Die inhomogene Maxwell-Gleichung führt zur Kontinuitätsgleichung :

$${\displaystyle \partial _{\alpha }J^{\alpha }=J^{\alpha }{}_{,\alpha }=0}$$

Dies impliziert die Erhaltung der Ladung .

Die oben genannten Maxwell-Gesetze lassen sich auf gekrümmte Raumzeiten verallgemeinern, indem man einfach die partiellen Ableitungen durch kovariante Ableitungen ersetzt :

$${\displaystyle F_{[\alpha \beta ;\gamma ]}=0}$$Und ${\displaystyle F^{\alpha \beta }{}_{;\alpha }=\mu _{0}J^{\beta }}$

Hierbei steht das Semikolon für eine kovariante Ableitung, im Gegensatz zu einer partiellen Ableitung. Diese Gleichungen werden manchmal auch als Maxwell-Gleichungen für gekrümmte Räume bezeichnet . Die zweite Gleichung impliziert wiederum die Ladungserhaltung (in gekrümmter Raumzeit):

$${\displaystyle J^{\alpha }{}_{;\alpha }\,=0}$$

Der Spannungs-Energie-Tensor des Elektromagnetismus erfüllt $${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left[F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right]\,,}$$$${\displaystyle {T^{\alpha \beta }}_{,\beta }+F^{\alpha \beta }J_{\beta }=0\,.}$$

Der klassische Elektromagnetismus und die Maxwell-Gleichungen können aus der Wirkung abgeleitet werden : wobei über Raum und Zeit wirkt. $${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \left(-{\begin{matrix}{\frac {1}{4\mu _{0}}}\end{matrix}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }-J^{\mu }A_{\mu }\right)\mathrm {d} ^{4}x\,}$$${\displaystyle \mathrm {d} ^{4}x}$

Das bedeutet, die Lagrange- Dichte ist

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}&=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }-J^{\mu }A_{\mu }\\&=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\right)\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)-J^{\mu }A_{\mu }\\&=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\nu }A^{\mu }+\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)-J^{\mu }A_{\mu }\\\end{aligned}}}$$

Die beiden mittleren Terme in den Klammern sind gleich, ebenso die beiden äußeren Terme, daher ist die Lagrange-Dichte

$${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{2\mu _{0}}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }\right)-J^{\mu }A_{\mu }.}$$

Setzt man dies in die Euler-Lagrange -Bewegungsgleichung für ein Feld ein, so ergibt sich Folgendes:

$${\displaystyle \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }A_{\nu })}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\nu }}}=0}$$

Die Euler-Lagrange-Gleichung lautet also:

$${\displaystyle -\partial _{\mu }{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)+J^{\nu }=0.\,}$$

Die Größe in Klammern oben ist einfach der Feldtensor, daher vereinfacht sich dies schließlich zu

$${\displaystyle \partial _{\mu }F^{\mu \nu }=\mu _{0}J^{\nu }}$$

Diese Gleichung ist eine andere Möglichkeit, die beiden inhomogenen Maxwell-Gleichungen (nämlich das Gaußsche Gesetz und das Ampèresche Gesetz ) unter Verwendung der folgenden Substitutionen zu schreiben:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{c}}E^{i}&=-F^{0i}\\\varepsilon ^{ijk}B_{k}&=-F^{ij}\end{aligned}}}$$

wobei i, j, k die Werte 1, 2 und 3 annehmen.

Die Hamilton- Dichte kann mit der üblichen Beziehung ermittelt werden.

$${\displaystyle {\mathcal {H}}(\phi ^{i},\pi _{i})=\pi _{i}{\dot {\phi }}^{i}(\phi ^{i},\pi _{i})-{\mathcal {L}}\,.}$$

Hier sind die Felder und die Impulsdichte des elektromagnetischen Feldes ist ${\displaystyle \phi ^{i}=A^{i}}$

$${\displaystyle \pi _{i}=T_{0i}={\frac {1}{\mu _{0}}}F_{0}{}^{\alpha }F_{i\alpha }={\frac {1}{\mu _{0}c}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} \,.}$$so dass die mit der Translation gemäß dem Noether-Theorem verbundene Erhaltungsgröße der Gesamtimpuls ist. $${\displaystyle \mathbf {P} =\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\dot {\mathbf {x} }}_{\alpha }+{\frac {1}{\mu _{0}c}}\int _{\mathcal {V}}\mathrm {d} ^{3}x\,\mathbf {E} \times \mathbf {B} \,.}$$

Die Hamiltonsche Dichte des elektromagnetischen Feldes steht in Zusammenhang mit dem elektromagnetischen Spannungs-Energie-Tensor.$${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left[F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right]\,.}$$

als

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}}=T_{00}&={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{2}\right)\\[1ex]&={\frac {1}{8\pi }}\left(\mathbf {E} ^{2}+\mathbf {B} ^{2}\right)\,.\end{aligned}}}$$

wobei wir die Energiedichte der Materie vernachlässigt und nur das elektromagnetische Feld angenommen haben; die letzte Gleichung setzt das CGS-System voraus. Der Impuls nichtrelativistischer Ladungen, die mit dem elektromagnetischen Feld in der Coulomb-Eichung ( ) wechselwirken, ist ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} =\nabla _{i}A^{i}=0}$

$${\displaystyle \mathbf {p} _{\alpha }=m_{\alpha }{\dot {\mathbf {x} }}_{\alpha }+{\frac {q_{\alpha }}{c}}\mathbf {A} (\mathbf {x} _{\alpha })\,.}$$

Der gesamte Hamiltonoperator des Materie-EM-Feld-Systems lautet

$${\displaystyle H=\int _{\mathcal {V}}d^{3}x\,T_{00}=H_{\text{mat}}+H_{\text{em}}\,.}$$

wobei für nichtrelativistische Punktteilchen in der Coulomb-Eichung

$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\text{mat}}&=\sum _{\alpha }m_{\alpha }\left|{\dot {\mathbf {x} }}_{\alpha }\right|^{2}+\sum _{\alpha <\beta }{\frac {q_{\alpha }q_{\beta }}{\left|\mathbf {x} _{\alpha }-\mathbf {x} _{\beta }\right|}}\\[1ex]&=\sum _{\alpha }{\frac {1}{2m_{\alpha }}}\left[\mathbf {p} _{\alpha }-{\frac {q_{\alpha }}{c}}\mathbf {A} (\mathbf {x} _{\alpha })\right]^{2}+\sum _{\alpha <\beta }{\frac {q_{\alpha }q_{\beta }}{\left|\mathbf {x} _{\alpha }-\mathbf {x} _{\beta }\right|}}\,.\end{aligned}}}$$

wobei der letzte Term identisch ist, wo und ${\textstyle {\frac {1}{8\pi }}\int _{\mathcal {V}}d^{3}x\,\mathbf {E} _{\parallel }^{2}}$${\displaystyle {E}_{\parallel i}={\nabla _{i}}A_{0}}$

$${\displaystyle H_{\text{em}}={\frac {1}{8\pi }}\int _{\mathcal {V}}d^{3}x\left(\mathbf {E} _{\perp }^{2}+\mathbf {B} ^{2}\right)\,.}$$ wo und . ${\textstyle {E}_{\perp i}=-{\frac {1}{c}}\partial _{0}A_{i}}$

Die Lagrange-Funktion der Quantenelektrodynamik geht über die in der Relativitätstheorie etablierte klassische Lagrange-Funktion hinaus und umfasst die Erzeugung und Vernichtung von Photonen (und Elektronen):

$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}\left(i\hbar c\,\gamma ^{\alpha }D_{\alpha }-mc^{2}\right)\psi -{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta },}$$

Der erste Teil auf der rechten Seite, der den Dirac-Spinor enthält , repräsentiert das Dirac-Feld . In der Quantenfeldtheorie dient es als Vorlage für den Eichfeldstärketensor. Durch seine Verwendung zusätzlich zur lokalen Wechselwirkungs-Lagrangefunktion erfüllt es wieder seine übliche Rolle in der QED. ${\displaystyle \psi }$

• Klassifizierung elektromagnetischer Felder
• Kovariante Formulierung des klassischen Elektromagnetismus
• Elektromagnetischer Spannungs-Energie-Tensor
• Gluonenfeldstärketensor
• Ricci-Kalkül
• Riemann-Silberstein-Vektor