C-Symmetrie

In der Physik bezeichnet Ladungskonjugation eine Transformation , die alle Teilchen mit ihren entsprechenden Antiteilchen vertauscht und somit das Vorzeichen aller Ladungen ändert : nicht nur der elektrischen Ladung , sondern auch der Ladungen , die für andere Kräfte relevant sind. Der Begriff C-Symmetrie ist eine Abkürzung für „Ladungskonjugationssymmetrie“ und wird in Diskussionen über die Symmetrie physikalischer Gesetze unter Ladungskonjugation verwendet. Weitere wichtige diskrete Symmetrien sind die P-Symmetrie (Parität) und die T-Symmetrie (Zeitumkehr).

Diese diskreten Symmetrien, C, P und T, sind Symmetrien der Gleichungen, die die bekannten fundamentalen Naturkräfte beschreiben : Elektromagnetismus , Gravitation , die starke und die schwache Wechselwirkung . Um zu überprüfen, ob eine gegebene mathematische Gleichung die Natur korrekt modelliert, muss man nicht nur kontinuierliche Symmetrien wie die Bewegung in der Zeit physikalisch interpretieren , sondern auch ihre diskreten Symmetrien und anschließend feststellen, ob die Natur diesen Symmetrien entspricht. Im Gegensatz zu den kontinuierlichen Symmetrien ist die Interpretation der diskreten Symmetrien intellektuell anspruchsvoller und komplexer. Eine frühe Überraschung gab es in den 1950er Jahren, als Chien Shiung Wu nachwies, dass die schwache Wechselwirkung die P-Symmetrie verletzt. Mehrere Jahrzehnte lang schien die kombinierte CP-Symmetrie erhalten zu sein, bis CP-verletzende Wechselwirkungen entdeckt wurden. Beide Entdeckungen führten zu Nobelpreisen .

Die C-Symmetrie ist physikalisch besonders problematisch, da das Universum primär mit Materie und nicht mit Antimaterie gefüllt ist , während die einfache C-Symmetrie der physikalischen Gesetze nahelegt, dass beide in gleichen Mengen vorhanden sein sollten. Man geht derzeit davon aus, dass die CP-Verletzung im frühen Universum den „Überschuss“ an Materie erklären kann, obwohl diese Debatte noch nicht abgeschlossen ist. Ältere Lehrbücher der Kosmologie , die vor den 1970er Jahren erschienen, schlugen regelmäßig vor, dass ferne Galaxien möglicherweise vollständig aus Antimaterie bestehen und somit eine Nettobilanz von null im Universum aufrechterhalten wird.

Dieser Artikel befasst sich mit der Darstellung und Erläuterung der C-Symmetrie verschiedener wichtiger Gleichungen und theoretischer Systeme, darunter die Dirac-Gleichung und die Struktur der Quantenfeldtheorie . Die verschiedenen fundamentalen Teilchen lassen sich anhand ihres Verhaltens unter Ladungskonjugation klassifizieren; dies wird im Artikel über C-Parität beschrieben .

Ladungskonjugation tritt als Symmetrie in drei verschiedenen, aber eng verwandten Kontexten auf: als Symmetrie der (klassischen, nicht-quantisierten) Lösungen einiger bedeutender Differentialgleichungen, darunter die Klein-Gordon-Gleichung und die Dirac-Gleichung ; als Symmetrie der entsprechenden Quantenfelder; und allgemein als Symmetrie in der (pseudo-) Riemannschen Geometrie . In allen drei Fällen erweist sich die Symmetrie letztlich als Symmetrie unter komplexer Konjugation , wobei die genaue Konjugation je nach Notation, Koordinatenwahl und anderen Faktoren mitunter unklar bleiben kann.

Die Ladungskonjugationssymmetrie wird analog zur Symmetrie der elektrischen Ladung interpretiert , da sich in allen drei Fällen (klassisch, quantenmechanisch und geometrisch) Noetherströme konstruieren lassen, die denen der klassischen Elektrodynamik ähneln . Dies ergibt sich daraus, dass die Elektrodynamik selbst, über die Maxwell-Gleichungen , als Struktur auf einem U(1) -Faserbündel , dem sogenannten Kreisbündel , interpretiert werden kann . Dies liefert eine geometrische Interpretation des Elektromagnetismus: Das elektromagnetische Potential wird als Eichverbindung (die Ehresmann-Verbindung ) auf dem Kreisbündel interpretiert. Diese geometrische Interpretation erlaubt es dann (praktisch) jedem Objekt mit einer komplexwertigen Struktur, an das elektromagnetische Feld zu koppeln, vorausgesetzt, diese Kopplung erfolgt eichinvariant . Eichsymmetrie bedeutet in diesem geometrischen Kontext, dass sich das gekoppelte Objekt bei einer Bewegung auf dem Kreis ebenfalls kreisförmig transformiert und entsprechend folgt. Formaler ausgedrückt: Die Gleichungen müssen unter einem Wechsel des lokalen Koordinatensystems auf dem Kreis eichinvariant sein. Für U(1) ist dies lediglich die Aussage, dass das System invariant unter Multiplikation mit einem Phasenfaktor ist , der von der (Raum-Zeit-)Koordinate abhängt. In diesem geometrischen Kontext kann die Ladungskonjugation als die diskrete Symmetrie verstanden werden , die die komplexe Konjugation durchführt, welche die Richtung entlang des Kreises umkehrt. ${\displaystyle A_{\mu }}$${\displaystyle e^{i\phi (x)}}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle z=(x+iy)\mapsto {\overline {z}}=(x-iy)}$

In der Quantenfeldtheorie kann Ladungskonjugation als Austausch von Teilchen durch Antiteilchen verstanden werden . Um dies zu verstehen, benötigt man ein grundlegendes Verständnis der Quantenfeldtheorie. Vereinfacht ausgedrückt handelt es sich um eine Methode zur Berechnung von Lösungen für Systeme gekoppelter Differentialgleichungen mittels Störungstheorie . Ein Schlüsselelement dieses Prozesses ist das Quantenfeld , jeweils eines für jede der (freien, ungekoppelten) Differentialgleichungen im System. Ein Quantenfeld wird üblicherweise wie folgt geschrieben:

${\displaystyle \psi (x)=\int d^{3}p\sum _{\sigma ,n}e^{-ip\cdot x}a\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)u\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)+e^{ip\cdot x}a^{\dagger }\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)v\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)}$

Hierbei ist der Impuls, ein Spinlabel und ein Hilfslabel für andere Zustände im System. und sind Erzeugungs- bzw. Vernichtungsoperatoren ( Leiteroperatoren ) und Lösungen der betrachteten (freien, nicht wechselwirkenden, entkoppelten) Differentialgleichung. Das Quantenfeld spielt eine zentrale Rolle, da im Allgemeinen nicht bekannt ist, wie man exakte Lösungen für das System gekoppelter Differentialgleichungen erhält. Mithilfe der Störungstheorie lassen sich jedoch Näherungslösungen als Kombinationen der Lösungen des freien Feldes konstruieren. Um dies zu erreichen, muss man in der Lage sein, bei Bedarf jede beliebige Lösung des freien Feldes zu extrahieren und damit zu arbeiten. Das Quantenfeld ermöglicht genau dies: Es enumeriert alle möglichen Lösungen des freien Feldes in einem Vektorraum, sodass jede von ihnen zu jedem Zeitpunkt mithilfe der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren ausgewählt werden kann. ${\displaystyle {\vec {p}}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle n}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a^{\dagger }}$${\displaystyle u,v}$

Die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren gehorchen den kanonischen Kommutierungsrelationen , d. h. der eine Operator macht rückgängig, was der andere erzeugt. Daraus folgt, dass jede gegebene Lösung mit ihrer „Antilösung“ gepaart werden muss, sodass die eine die andere aufhebt. Die Paarung erfolgt unter Erhalt aller Symmetrien. Da man im Allgemeinen an der Lorentz-Invarianz interessiert ist , enthält das Quantenfeld ein Integral über alle möglichen Lorentz-Koordinatensysteme, oben als Integral über alle möglichen Impulse geschrieben (es ist ein Integral über die Faser des Bezugssystembündels ). Die Paarung erfordert, dass jedem gegebenen Impuls ein Impuls mit entgegengesetztem Impuls und entgegengesetzter Energie zugeordnet wird . Das Quantenfeld ist auch eine Summe über alle möglichen Spinzustände; die duale Paarung entspricht wiederum entgegengesetzten Spins. Analog werden alle anderen Quantenzahlen als Gegensätze gepaart. Bei der Durchführung dieser dualen Paarung besteht eine technische Schwierigkeit: Man muss beschreiben, was es bedeutet, dass eine gegebene Lösung zu einer anderen Lösung "dual" ist, und zwar so, dass sie konsistent dual bleibt, wenn man über die Faser des Rahmenbündels integriert, wenn man über die Faser, die den Spin beschreibt, integriert (summiert) und wenn man über alle anderen Fasern, die in der Theorie vorkommen, integriert (summiert). ${\displaystyle u\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)}$${\displaystyle v\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)}$${\displaystyle u\left({\vec {p}}\right)}$${\displaystyle v\left({\vec {p}}\right)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v,}$

Wenn die zu integrierende Faser die U(1)-Faser des Elektromagnetismus ist, kehrt sich die Richtung (Orientierung) auf der Faser durch die duale Paarung um. Ist die zu integrierende Faser die SU(3)-Faser der Farbladung , kehrt sich die Orientierung durch die duale Paarung ebenfalls um. Dies funktioniert für SU(3) problemlos, da es zwei duale fundamentale Darstellungen besitzt , die sich auf natürliche Weise paaren lassen. Diese Vorschrift für ein Quantenfeld lässt sich auf jede Situation verallgemeinern, in der man die kontinuierlichen Symmetrien des Systems aufzählen und Duale kohärent und konsistent definieren kann. Die Paarung verbindet entgegengesetzte Ladungen im abstrakten Sinne. In der Physik ist eine Ladung mit einem Generator einer kontinuierlichen Symmetrie assoziiert. Verschiedene Ladungen sind mit verschiedenen Eigenräumen der Casimir-Invarianten der universellen einhüllenden Algebra für diese Symmetrien assoziiert . Dies gilt sowohl für die Lorentz-Symmetrie der zugrundeliegenden Raumzeit- Mannigfaltigkeit als auch für die Symmetrien beliebiger Fasern im darüber liegenden Faserbündel. Die Dualität ersetzt den Generator der Symmetrie durch dessen negative Größe. Ladungskonjugation ist somit mit der Spiegelung am Linienbündel oder Determinantenbündel des Symmetrieraums verbunden. ${\displaystyle \mathbf {3} }$${\displaystyle {\overline {\mathbf {3} }}}$

Die obige Darstellung skizziert die allgemeine Idee eines Quantenfeldes in der Quantenfeldtheorie. Physikalisch gesehen entsprechen Lösungen Teilchen und Lösungen Antiteilchen, und die Ladungskonjugation ist somit eine Paarung der beiden. Diese Skizze liefert auch genügend Hinweise, um zu verdeutlichen, wie Ladungskonjugation in einem allgemeinen geometrischen Rahmen aussehen könnte. Es besteht keine zwingende Notwendigkeit, Störungstheorie zu verwenden, um Quantenfelder zu konstruieren, die als Vermittler in einer Störungsentwicklung fungieren. Die Ladungskonjugation kann allgemein formuliert werden. ${\displaystyle u\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)}$${\displaystyle v\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)}$

Für allgemeine Riemannsche und pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeiten existieren ein Tangentialbündel , ein Kotangentialbündel und eine Metrik , die beide verbindet. In diesem Kontext eröffnen sich verschiedene interessante Möglichkeiten. Zum einen erlaubt die glatte Struktur das Aufstellen von Differentialgleichungen auf der Mannigfaltigkeit; die Tangential- und Kotangentialräume bieten genügend Struktur, um Analysis auf Mannigfaltigkeiten durchzuführen . Von besonderem Interesse ist der Laplace-Operator und, mit einem konstanten Term, der dem Klein-Gordon-Operator entspricht. Kotangentialbündel sind aufgrund ihrer Konstruktion stets symplektische Mannigfaltigkeiten . Symplektische Mannigfaltigkeiten besitzen kanonische Koordinaten, die als Ort und Impuls interpretiert werden und kanonischen Kommutationsrelationen genügen . Dies bildet die Grundlage, um die Dualität und damit die Ladungskonjugation auf diesen allgemeinen Kontext zu erweitern. ${\displaystyle x,p}$

Eine zweite interessante Möglichkeit besteht darin, eine Spinstruktur zu konstruieren . Das Bemerkenswerteste daran ist wohl, dass es sich um eine sehr gut erkennbare Verallgemeinerung des klassischen physikalischen Konzepts von Spinoren auf einer (1,3)-dimensionalen Minkowski-Raumzeit auf eine -dimensionale pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit handelt . Die Konstruktion führt über eine komplexifizierte Clifford-Algebra , um ein Clifford-Bündel und eine Spin-Mannigfaltigkeit zu erzeugen . Am Ende dieser Konstruktion erhält man ein System, das bemerkenswert vertraut wirkt, wenn man bereits mit Dirac-Spinoren und der Dirac-Gleichung vertraut ist. Mehrere Analogien lassen sich auf diesen allgemeinen Fall übertragen. Erstens handelt es sich bei den Spinoren um Weyl-Spinoren , die paarweise komplex konjugiert auftreten. Sie sind von Natur aus antikommutierend (dies folgt aus der Clifford-Algebra), was genau die Voraussetzung für die Anwendung des Pauli-Prinzips ist . Eine weitere Analogie ist die Existenz eines chiralen Elements , analog zur Gamma-Matrix , die diese Spinoren in links- und rechtshändige Unterräume sortiert. Die Komplexifizierung ist ein Schlüsselelement und liefert in diesem verallgemeinerten Rahmen „Elektromagnetismus“. Das Spinorbündel transformiert sich nicht „nur“ unter der pseudoorthogonalen Gruppe , der Verallgemeinerung der Lorentz-Gruppe , sondern unter einer größeren Gruppe, der komplexifizierten Spingruppe. Diese ist insofern größer, als sie eine doppelte Überdeckung von darstellt.${\displaystyle (p,q)}$${\displaystyle \gamma _{5}}$${\displaystyle SO(p,q)}$${\displaystyle SO(1,3)}$${\displaystyle \mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(p,q).}$${\displaystyle SO(p,q)\times U(1).}$

Dieses Element lässt sich auf verschiedene Weisen mit Elektromagnetismus in Verbindung bringen. Zum einen enthalten die quadrierten Dirac-Operatoren auf der Spin-Mannigfaltigkeit ein Element , das aus dem Teil der Verbindung stammt, der mit diesem Element assoziiert ist. Dies ist völlig analog zu dem, was geschieht, wenn man die gewöhnliche Dirac-Gleichung in der gewöhnlichen Minkowski-Raumzeit quadriert. Ein zweiter Hinweis ist, dass dieses Element mit dem Determinantenbündel der Spin-Struktur assoziiert ist und somit die links- und rechtshändigen Spinoren durch komplexe Konjugation miteinander verbindet. ${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle F=dA}$${\displaystyle A}$${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle U(1)}$

Es bleibt, die diskreten Symmetrien der obigen Konstruktion zu untersuchen. Einige scheinen die P-Symmetrie und die T-Symmetrie zu verallgemeinern . Identifiziert man die Dimensionen mit der Zeit und die Dimensionen mit dem Raum, so erhält man durch Umkehrung der Tangentenvektoren im dimensionalen Unterraum eine Zeitumkehr, und die Umkehrung der Dimensionsrichtung entspricht der Parität. Die C-Symmetrie lässt sich mit der Spiegelung am Geradenbündel identifizieren. Um all dies miteinander zu verknüpfen, dient schließlich das Konzept der Transposition : Elemente der Clifford-Algebra können in umgekehrter (transponierter) Reihenfolge geschrieben werden. Das Endergebnis ist, dass nicht nur die konventionellen physikalischen Vorstellungen von Feldern auf den allgemeinen Riemannschen Rahmen übertragbar sind, sondern auch die Ideen der diskreten Symmetrien. ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

Es gibt zwei Möglichkeiten, darauf zu reagieren. Zum einen kann man es als interessante Kuriosität betrachten. Zum anderen kann man erkennen, dass in niedrigen Dimensionen (in niedrigdimensionaler Raumzeit) viele „zufällige“ Isomorphismen zwischen verschiedenen Lie-Gruppen und anderen Strukturen existieren. Die Untersuchung dieser Isomorphismen in einem allgemeinen Kontext entwirrt diese Beziehungen und legt deutlicher offen, „woher die Dinge kommen“.

Die Gesetze des Elektromagnetismus (sowohl die klassischen als auch die quantenmechanischen ) sind invariant beim Austausch elektrischer Ladungen mit ihren Negativen. Im Fall von Elektronen und Quarks , die beide fundamentale Fermionenfelder sind , werden die Einteilchen-Feldanregungen durch die Dirac-Gleichung beschrieben.

${\displaystyle (i{\partial \!\!\!{\big /}}-q{A\!\!\!{\big /}}-m)\psi =0}$

Man möchte eine ladungskonjugierte Lösung finden

${\displaystyle (i{\partial \!\!\!{\big /}}+q{A\!\!\!{\big /}}-m)\psi ^{c}=0}$

Einige wenige algebraische Umformungen genügen, um die zweite aus der ersten zu erhalten. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Standarddarstellungen der Dirac-Gleichung zeigen ein konjugiertes Feld, das als Antiteilchenfeld interpretiert wird und die komplex-transponierte Dirac-Gleichung erfüllt. ${\displaystyle {\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0},}$

${\displaystyle {\overline {\psi }}(-i{\partial \!\!\!{\big /}}-q{A\!\!\!{\big /}}-m)=0}$

Beachten Sie, dass sich einige, aber nicht alle Vorzeichen umgekehrt haben. Durch erneutes Transponieren erhält man fast die gewünschte Form, vorausgesetzt, man findet eine 4×4-Matrix, die die Gamma-Matrizen transponiert, um den erforderlichen Vorzeichenwechsel einzufügen: ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C^{-1}\gamma _{\mu }C=-\gamma _{\mu }^{\textsf {T}}}$

Die Lösung mit konjugierter Ladung ergibt sich dann aus der Involution.

${\displaystyle \psi \mapsto \psi ^{c}=\eta _{c}\,C{\overline {\psi }}^{\textsf {T}}}$

Die als Ladungskonjugationsmatrix bezeichnete 4×4-Matrix hat eine explizite Form, die im Artikel über Gamma-Matrizen angegeben ist . Interessanterweise ist diese Form nicht darstellungsunabhängig, sondern hängt von der spezifischen Matrixdarstellung ab, die für die Gamma-Gruppe (die Untergruppe der Clifford-Algebra, die die algebraischen Eigenschaften der Gamma-Matrizen beschreibt ) gewählt wird. Diese Darstellungsabhängigkeit der Matrix beruht auf einem subtilen Zusammenspiel mit der Komplexifizierung der Spingruppe, die die Lorentz-Kovarianz geladener Teilchen beschreibt. Die komplexe Zahl ist ein beliebiger Phasenfaktor, der im Allgemeinen als angenommen wird.${\displaystyle C,}$${\displaystyle \eta _{c}}$${\displaystyle |\eta _{c}|=1,}$${\displaystyle \eta _{c}=1.}$

Das Zusammenspiel von Chiralität und Ladungskonjugation ist etwas komplex und bedarf einer genaueren Erläuterung. Oft wird behauptet, die Ladungskonjugation verändere die Chiralität von Teilchen nicht. Dies trifft jedoch nicht auf Felder zu . Der Unterschied ergibt sich aus der Interpretation der Teilchentheorie mittels der „Lochtheorie“, in der ein Antiteilchen als Abwesenheit eines Teilchens interpretiert wird. Dies wird im Folgenden näher erläutert.

Üblicherweise wird als Chiralitätsoperator verwendet. Unter Ladungskonjugation transformiert er sich zu ${\displaystyle \gamma _{5}}$

${\displaystyle C\gamma _{5}C^{-1}=\gamma _{5}^{\textsf {T}}}$

Ob gleich ist oder nicht , hängt von der gewählten Darstellung der Gammamatrizen ab. In der Dirac- und der chiralen Basis gilt , während in der Majorana-Basis gilt. Ein Rechenbeispiel folgt. ${\displaystyle \gamma _{5}^{\textsf {T}}}$${\displaystyle \gamma _{5}}$${\displaystyle \gamma _{5}^{\textsf {T}}=\gamma _{5}}$${\displaystyle \gamma _{5}^{\textsf {T}}=-\gamma _{5}}$

Im Fall masseloser Dirac-Spinorfelder ist die Chiralität für Lösungen mit positiver Energie gleich der Helizität (und für Lösungen mit negativer Energie minus der Helizität). ^{[ 2 ] : § 2-4-3, Seite 87 ff.} Dies erhält man, indem man die masselose Dirac-Gleichung wie folgt schreibt:

${\displaystyle i\partial \!\!\!{\big /}\psi =0}$

Multiplikation mit eins ergibt ${\displaystyle \gamma ^{5}\gamma ^{0}=-i\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}}$

${\displaystyle {\epsilon _{ij}}^{m}\sigma ^{ij}\partial _{m}\psi =\gamma _{5}\partial _{t}\psi }$

Hierbei ist der Drehimpulsoperator und der total antisymmetrische Tensor . Dies lässt sich in eine etwas verständlichere Form bringen, indem man den 3D-Spinoperator als ebene Wellen definiert , die On-Shell-Bedingung anwendet, dass , und den Impuls auf einen 3D-Einheitsvektor normiert : ${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }=i\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right]/2}$${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$${\displaystyle \Sigma ^{m}\equiv {\epsilon _{ij}}^{m}\sigma ^{ij},}$${\displaystyle \psi (x)=e^{-ik\cdot x}\psi (k)}$${\displaystyle k\cdot k=0}$${\displaystyle {\hat {k}}_{i}=k_{i}/k_{0}}$

${\displaystyle \left(\Sigma \cdot {\hat {k}}\right)\psi =\gamma _{5}\psi ~.}$

Untersucht man das Obige, so schließt man, dass die Drehimpuls-Eigenzustände ( Helizitäts- Eigenzustände) den Eigenzuständen des chiralen Operators entsprechen. Dies ermöglicht es, das masselose Dirac-Feld sauber in ein Paar von Weyl-Spinoren aufzuspalten , die jeweils einzeln die Weyl-Gleichung erfüllen , jedoch mit entgegengesetzter Energie: ${\displaystyle \psi _{\text{L}}}$${\displaystyle \psi _{\text{R}},}$

${\displaystyle \left(-p_{0}+\sigma \cdot {\vec {p}}\right)\psi _{\text{R}}=0}$

Und

${\displaystyle \left(p_{0}+\sigma \cdot {\vec {p}}\right)\psi _{\text{L}}=0}$

Man beachte die Freiheit, negative Helizität mit negativer Energie gleichzusetzen und somit das Antiteilchen mit dem Teilchen entgegengesetzter Helizität. Zur Verdeutlichung: Hierbei handelt es sich um die Pauli-Matrizen , und ist der Impulsoperator. ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle p_{\mu }=i\partial _{\mu }}$

Unter Verwendung der Weyl-Darstellung der Gamma-Matrizen kann man einen (nun als massiv angenommenen) Dirac-Spinor wie folgt schreiben:

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}\\\psi _{\text{R}}\end{pmatrix}}}$

Das entsprechende duale (Antiteilchen-)Feld ist

${\displaystyle {\overline {\psi }}^{\textsf {T}}=\left(\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}\right)^{\textsf {T}}={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}^{*}\\\psi _{\text{R}}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\psi _{\text{R}}^{*}\\\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}}$

Die ladungskonjugierten Spinoren sind

${\displaystyle \psi ^{c}={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}^{c}\\\psi _{\text{R}}^{c}\end{pmatrix}}=\eta _{c}C{\overline {\psi }}^{\textsf {T}}=\eta _{c}{\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}&0\\0&i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{\text{R}}^{*}\\\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}=\eta _{c}{\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}\psi _{\text{R}}^{*}\\i\sigma ^{2}\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}}$

wobei wie zuvor ein Phasenfaktor ist, der als angenommen werden kann. Beachten Sie, dass die linken und rechten Zustände vertauscht sind. Dies kann durch eine Paritätstransformation wiederhergestellt werden. Unter Parität transformiert sich der Dirac-Spinor wie folgt: ${\displaystyle \eta _{c}}$${\displaystyle \eta _{c}=1.}$

${\displaystyle \psi \left(t,{\vec {x}}\right)\mapsto \psi ^{p}\left(t,{\vec {x}}\right)=\gamma ^{0}\psi \left(t,-{\vec {x}}\right)}$

Unter kombinierter Ladung und Parität gilt dann:

${\displaystyle \psi \left(t,{\vec {x}}\right)\mapsto \psi ^{cp}\left(t,{\vec {x}}\right)={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}^{cp}\left(t,{\vec {x}}\right)\\\psi _{\text{R}}^{cp}\left(t,{\vec {x}}\right)\end{pmatrix}}=\eta _{c}{\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}\psi _{\text{L}}^{*}\left(t,-{\vec {x}}\right)\\i\sigma ^{2}\psi _{\text{R}}^{*}\left(t,-{\vec {x}}\right)\end{pmatrix}}}$

Üblicherweise betrachtet man dies global. Siehe jedoch den folgenden Hinweis. ${\displaystyle \eta _{c}=1}$

Die Majorana-Bedingung legt eine Einschränkung zwischen dem Feld und seiner Ladungskonjugierten fest, nämlich dass sie gleich sein müssen: Dies lässt sich vielleicht am besten als die Forderung formulieren, dass der Majorana-Spinor ein Eigenzustand der Ladungskonjugationsinvolution sein muss. ${\displaystyle \psi =\psi ^{c}.}$

Dies erfordert etwas Sorgfalt bei der Notation. In vielen Texten zur Ladungskonjugation wird der Involution kein expliziter symbolischer Name gegeben, wenn sie auf Einteilchenlösungen der Dirac-Gleichung angewendet wird. Dies steht im Gegensatz zur Diskussion des quantisierten Feldes , wo ein unitärer Operator definiert wird (wie in einem späteren Abschnitt gezeigt). Für den vorliegenden Abschnitt nennen wir die Involution so, dass . Betrachtet man dies als linearen Operator, kann man seine Eigenzustände untersuchen. Die Majorana-Bedingung wählt einen solchen aus: Es gibt jedoch zwei solche Eigenzustände: . Setzt man dies in der Weyl-Basis fort, so sind diese Eigenzustände: ${\displaystyle \psi \mapsto \psi ^{c}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathsf {C}}:\psi \mapsto \psi ^{c}}$${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi =\psi ^{c}.}$${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi =\psi .}$${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi ^{(\pm )}=\pm \psi ^{(\pm )}.}$

${\displaystyle \psi ^{(+)}={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}\\i\sigma ^{2}\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}}$

Und

${\displaystyle \psi ^{(-)}={\begin{pmatrix}i\sigma ^{2}\psi _{\text{R}}^{*}\\\psi _{\text{R}}\end{pmatrix}}}$

Der Majorana-Spinor wird üblicherweise als der positive Eigenzustand betrachtet, nämlich . Der chirale Operator vertauscht diese beiden, sodass ${\displaystyle \psi ^{(+)}.}$${\displaystyle \gamma _{5}}$

${\displaystyle \gamma _{5}{\mathsf {C}}=-{\mathsf {C}}\gamma _{5}}$

Dies lässt sich leicht durch direkte Substitution überprüfen. Beachten Sie, dass es keine 4×4-Matrixdarstellung gibt ! Genauer gesagt existiert keine komplexe 4×4-Matrix, die eine komplexe Zahl auf ihre komplex Konjugierte abbilden kann; diese Inversion würde eine reelle 8×8-Matrix erfordern. Die physikalische Interpretation der komplexen Konjugation als Ladungskonjugation wird deutlich, wenn man die komplexe Konjugation von Skalarfeldern betrachtet, die in einem späteren Abschnitt beschrieben wird. ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$

Die Projektoren auf die chiralen Eigenzustände lassen sich als und schreiben, und somit lässt sich das Obige übersetzen zu ${\displaystyle P_{\text{L}}=\left(1-\gamma _{5}\right)/2}$${\displaystyle P_{\text{R}}=\left(1+\gamma _{5}\right)/2,}$

${\displaystyle P_{\text{L}}{\mathsf {C}}={\mathsf {C}}P_{\text{R}}~.}$

Dies beweist unmittelbar, dass die Ladungskonjugation, angewendet auf komplexwertige Einteilchenlösungen der Dirac-Gleichung, die Chiralität der Lösung umkehrt. Die Projektoren auf die Eigenräume der Ladungskonjugation sind und${\displaystyle P^{(+)}=(1+{\mathsf {C}})P_{\text{L}}}$${\displaystyle P^{(-)}=(1-{\mathsf {C}})P_{\text{R}}.}$

Der Phasenfaktor lässt sich geometrisch interpretieren. Es wurde festgestellt, dass der „beliebige“ Phasenfaktor massiver Dirac-Spinoren sowohl vom Impuls als auch von der Helizität (jedoch nicht von der Chiralität) abhängen kann. ^{[ 4 ]} Dies kann so interpretiert werden, dass diese Phase entlang der Faser des Spinorbündels variieren kann , abhängig von der lokalen Wahl eines Koordinatensystems. Anders ausgedrückt: Ein Spinorfeld ist ein lokaler Schnitt des Spinorbündels, und Lorentz-Transformationen und -Rotationen entsprechen Bewegungen entlang der Fasern des entsprechenden Bezugssystembündels (wiederum lediglich eine Frage der Wahl des lokalen Koordinatensystems). Betrachtet man es so, kann diese zusätzliche Phasenfreiheit als die vom elektromagnetischen Feld hervorgerufene Phase interpretiert werden. Für Majorana-Spinoren wäre die Phase unter Transformationen und Rotationen unveränderlich. ${\displaystyle \ \eta _{c}\ }$${\displaystyle \ \eta _{c}\ }$

Die obige Beschreibung bezieht sich ausschließlich auf die Ladungskonjugation für Einteilchenlösungen. Wird das Dirac-Feld , wie in der Quantenfeldtheorie , zweitquantisiert , werden Spinor- und elektromagnetische Felder durch Operatoren beschrieben. Die Ladungskonjugationsinvolution manifestiert sich dann als unitärer Operator (in kalligrafischer Schrift), der auf die Teilchenfelder wirkt und wie folgt ausgedrückt wird ^{[ 5 ] [ 6 ].}${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

1. ${\displaystyle \psi \mapsto \psi ^{c}={\mathcal {C}}\ \psi \ {\mathcal {C}}^{\dagger }=\eta _{c}\ C\ {\overline {\psi }}^{\textsf {T}}}$
2. ${\displaystyle {\overline {\psi }}\mapsto {\overline {\psi }}^{c}={\mathcal {C}}\ {\overline {\psi }}\ {\mathcal {C}}^{\dagger }=\eta _{c}^{*}\ \psi ^{\textsf {T}}\ C^{-1}}$
3. ${\displaystyle A_{\mu }\mapsto A_{\mu }^{c}={\mathcal {C}}\ A_{\mu }\ {\mathcal {C}}^{\dagger }=-A_{\mu }\ }$

wobei die nicht-kalligraphische Matrix die gleiche 4×4-Matrix wie zuvor ist. ${\displaystyle \ C\ }$

Die Ladungskonjugation ändert die Chiralität von Teilchen nicht. Ein linkshändiges Neutrino würde durch Ladungskonjugation in ein linkshändiges Antineutrino umgewandelt , welches im Standardmodell nicht wechselwirkt. Diese Eigenschaft ist das, was man als „maximale Verletzung“ der C-Symmetrie in der schwachen Wechselwirkung bezeichnet.

Einige postulierte Erweiterungen des Standardmodells , wie etwa Links-Rechts-Modelle , stellen diese C-Symmetrie wieder her.

Das Dirac-Feld besitzt eine „versteckte“ Eichfreiheit, die es ihm ermöglicht, direkt an das elektromagnetische Feld zu koppeln, ohne dass weitere Modifikationen an der Dirac-Gleichung oder dem Feld selbst erforderlich sind. ^{[ a ]} ​​Dies gilt nicht für Skalarfelder , die explizit „komplexifiziert“ werden müssen, um an den Elektromagnetismus zu koppeln. Dies geschieht durch Einführen eines zusätzlichen Faktors der komplexen Ebene in das Feld oder durch Bildung eines kartesischen Produkts mit . ${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle U(1)}$

Eine sehr gängige Methode besteht darin, mit zwei reellen Skalarfeldern zu beginnen und eine Linearkombination zu bilden. ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \psi \mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} {\phi +i\chi \over {\sqrt {2}}}}$

Die Ladungskonjugationsinvolution ist dann die Abbildung, da dies ausreicht, um das Vorzeichen des elektromagnetischen Potentials umzukehren (da diese komplexe Zahl zur Kopplung verwendet wird). Für reelle Skalarfelder ist die Ladungskonjugation einfach die Identitätsabbildung: und somit ist die Ladungskonjugation für das komplexifizierte Feld einfach . Der „mapsto“-Pfeil ist praktisch, um zu verfolgen, „was wohin gehört“; die entsprechende ältere Notation ist einfach und .${\displaystyle {\mathsf {C}}:i\mapsto -i}$${\displaystyle {\mathsf {C}}:\phi \mapsto \phi }$${\displaystyle {\mathsf {C}}:\chi \mapsto \chi }$${\displaystyle {\mathsf {C}}:\psi \mapsto \psi ^{*}.}$${\displaystyle \mapsto }$${\displaystyle {\mathsf {C}}\phi =\phi }$${\displaystyle {\mathsf {C}}\chi =\chi }$${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi =\psi ^{*}.}$

Die obige Beschreibung erläutert die konventionelle Konstruktion eines geladenen Skalarfelds. Es ist auch möglich, Felder auf andere Weise mit zusätzlichen algebraischen Strukturen zu versehen. Insbesondere kann man ein „reelles“ Feld definieren, das sich wie verhält . Da es reell ist, kann es nicht von sich aus an den Elektromagnetismus koppeln, aber nach Komplexifizierung ergibt sich ein geladenes Feld, das sich wie transformiert. Da die C-Symmetrie eine diskrete Symmetrie ist , besteht gewisser Spielraum für solche algebraischen Konstruktionen, um eine Theorie zu finden, die eine gegebene physikalische Realität korrekt modelliert. ${\displaystyle {\mathsf {C}}:\phi \mapsto -\phi }$${\displaystyle {\mathsf {C}}:\psi \mapsto -\psi ^{*}.}$

In der Physikliteratur wird eine Transformation wie diese oft ohne weitere Erklärung geschrieben. Die formale mathematische Interpretation lautet, dass das Feld ein Element von ist , wobei . Korrekterweise müsste das Feld also als geschrieben werden, welches sich unter Ladungskonjugation wie verhält. Es ist zwar verlockend, aber formal nicht ganz korrekt, diese Ausdrücke einfach auszumultiplizieren und die Position des Minuszeichens zu verändern; das funktioniert zwar meistens, führt aber bei unsachgemäßer Anwendung zu Verwirrung. ${\displaystyle {\mathsf {C}}:\phi \mapsto \phi ^{c}=-\phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\{+1,-1\}.}$${\displaystyle \phi =(r,c)}$${\displaystyle {\mathsf {C}}:(r,c)\mapsto (r,-c).}$

Man ging lange davon aus, dass sich die C-Symmetrie mit der Paritätsumkehrtransformation (siehe P-Symmetrie) kombinieren ließe, um eine kombinierte CP -Symmetrie zu erhalten . Allerdings wurden Verletzungen dieser Symmetrie in den schwachen Wechselwirkungen (insbesondere bei den Kaonen und B- Mesonen ) festgestellt. Im Standardmodell beruht diese CP-Verletzung auf einer einzelnen Phase in der CKM-Matrix . Kombiniert man die CP-Symmetrie mit der Zeitumkehr ( T-Symmetrie ), so lässt sich die resultierende CPT-Symmetrie allein mithilfe der Wightman-Axiome als universell gültig nachweisen.

Das Analogon zur Ladungskonjugation lässt sich für höherdimensionale Gamma-Matrizen definieren ; eine explizite Konstruktion für Weyl-Spinoren findet sich im Artikel über Weyl-Brauer-Matrizen . Es ist jedoch zu beachten, dass Spinoren, wie sie abstrakt in der Darstellungstheorie von Clifford-Algebren definiert sind , keine Körper darstellen; vielmehr existieren sie auf einer nulldimensionalen Raumzeit.

Das Analogon zur T-Symmetrie ergibt sich aus dem T-Konjugationsoperator für Dirac-Spinoren. Spinoren besitzen zudem eine inhärente P-Symmetrie , die durch Umkehrung der Richtung aller Basisvektoren der Clifford-Algebra , aus der die Spinoren konstruiert werden, entsteht. Der Zusammenhang mit den P- und T-Symmetrien eines Fermionenfeldes auf einer Raumzeitmannigfaltigkeit ist etwas subtil, lässt sich aber grob wie folgt charakterisieren: Die Konstruktion eines Spinors mittels einer Clifford-Algebra erfordert einen Vektorraum als Grundlage. Konventionsgemäß ist dieser Vektorraum der Tangentialraum der Raumzeitmannigfaltigkeit an einem gegebenen, festen Raumzeitpunkt (eine einzelne Faser der Tangentialmannigfaltigkeit ). P- und T-Operationen, angewendet auf die Raumzeitmannigfaltigkeit, bewirken somit auch eine Umkehrung der Koordinaten des Tangentialraums; die beiden sind daher miteinander verbunden. Eine Umkehrung der Parität oder der Zeitrichtung im einen Raumraum bewirkt auch eine Umkehrung im anderen. Dies ist eine Konvention. Die Verbindung kann sich lösen, wenn diese Propagation nicht beachtet wird. ${\displaystyle \gamma ^{1}\gamma ^{3}}$

Dies geschieht, indem man den Tangentialraum als Vektorraum betrachtet , ihn zu einer Tensoralgebra erweitert und anschließend mithilfe eines Skalarprodukts auf dem Vektorraum eine Clifford-Algebra definiert . Betrachtet man jede solche Algebra als Faser, erhält man ein Faserbündel, das Clifford-Bündel genannt wird . Bei einem Basiswechsel des Tangentialraums transformieren sich die Elemente der Clifford-Algebra gemäß der Spingruppe . Die Konstruktion eines Hauptfaserbündels mit der Spingruppe als Faser ergibt eine Spinstruktur .

In den obigen Abschnitten fehlen lediglich die Spinoren selbst. Diese erfordern die „Komplexifizierung“ der Tangentialmannigfaltigkeit: die Tensorisierung mit der komplexen Ebene. Sobald dies geschehen ist, lassen sich die Weyl-Spinoren konstruieren. Diese haben die Form

${\displaystyle w_{j}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(e_{2j}-ie_{2j+1}\right)}$

wobei die Basisvektoren des Vektorraums sind , des Tangentialraums im Punkt in der Raumzeitmannigfaltigkeit. Die Weyl-Spinoren spannen zusammen mit ihren komplex Konjugierten den Tangentialraum in dem Sinne auf, dass ${\displaystyle e_{j}}$${\displaystyle V=T_{p}M}$${\displaystyle p\in M}$${\displaystyle M.}$

${\displaystyle V\otimes \mathbb {C} =W\oplus {\overline {W}}}$

Die alternierende Algebra wird Spinorraum genannt ; dort befinden sich die Spinoren sowie Produkte von Spinoren (also Objekte mit höheren Spinwerten, einschließlich Vektoren und Tensoren). ${\displaystyle \wedge W}$

• C-Parität
• G-Parität
• Antipartikel
• Antimaterie
• Ein wirklich neutrales Teilchen