Kreispackung

In der Geometrie bezeichnet man als Kreispackung die Anordnung von Kreisen (gleicher oder unterschiedlicher Größe) auf einer gegebenen Fläche , sodass keine Überlappungen auftreten und kein Kreis vergrößert werden kann, ohne eine Überlappung zu erzeugen. Die zugehörige Packungsdichte η einer Anordnung ist der Anteil der Fläche, der von den Kreisen bedeckt wird. Verallgemeinerungen lassen sich auf höhere Dimensionen vornehmen – dies wird als Kugelpackung bezeichnet und befasst sich üblicherweise nur mit identischen Kugeln.

Der Zweig der Mathematik, der allgemein als „Kreispackung“ bekannt ist, befasst sich mit der Geometrie und Kombinatorik von Packungen von Kreisen beliebiger Größe: Diese führen zu diskreten Analoga von konformen Abbildungen , Riemannschen Flächen und dergleichen.

In der zweidimensionalen euklidischen Ebene bewies Joseph Louis Lagrange 1773, dass die hexagonale Packung die höchste Packungsdichte von Kreisen aufweist ^{[ 1 ].} Dabei sind die Mittelpunkte der Kreise in einem hexagonalen Gitter angeordnet (versetzte Reihen, ähnlich einer Honigwabe ), und jeder Kreis ist von sechs weiteren Kreisen umgeben. Für Kreise mit Durchmesser D und Sechsecke mit Seitenlänge D ergeben sich die Flächen der Sechsecke und der Kreise wie folgt:

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\mathrm {H} }&={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}D^{2}\\[4pt]A_{\mathrm {C} }&={\frac {\pi }{4}}D^{2}\end{aligned}}}$

Die Fläche, die innerhalb jedes Sechsecks von Kreisen bedeckt wird, beträgt:

${\displaystyle A_{\mathrm {HC} }=3A_{\mathrm {C} }={\frac {3\pi }{4}}D^{2}}$

Die Packungsdichte beträgt schließlich:

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta ={\frac {A_{\mathrm {HC} }}{A_{\mathrm {H} }}}&={\frac {{\frac {3\pi }{4}}D^{2}}{{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}D^{2}}}\\[4pt]&={\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}\approx 0.9069\end{aligned}}}$

1890 veröffentlichte Axel Thue einen Beweis dafür, dass diese Dichte für alle Packungen optimal ist, nicht nur für Gitterpackungen. Sein Beweis wurde jedoch von einigen als unvollständig angesehen. Der erste strenge Beweis wird László Fejes Tóth im Jahr 1942 zugeschrieben. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Obwohl der Kreis eine relativ geringe maximale Packungsdichte aufweist, ist sie selbst unter zentralsymmetrischen konvexen Formen nicht die niedrigste : Das geglättete Achteck besitzt eine Packungsdichte von etwa 0,902414, die niedrigste bekannte für zentralsymmetrische konvexe Formen und vermutlich die niedrigstmögliche. ^{[ 3 ]} (Die Packungsdichten konkaver Formen wie Sternpolygone können beliebig klein sein.) ^{[ 4 ]}

Am anderen Ende des Spektrums zeigte Böröczky, dass Anordnungen starr gepackter Kreise mit beliebig geringer Dichte existieren. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

Es gibt elf Kreispackungen, die auf den elf gleichmäßigen Parkettierungen der Ebene basieren. ^{[ 7 ]} In diesen Packungen lässt sich jeder Kreis durch Spiegelung und Drehung auf jeden anderen Kreis abbilden. Die hexagonalen Lücken können mit einem Kreis und die dodekagonalen Lücken mit sieben Kreisen gefüllt werden, wodurch 3-gleichmäßige Packungen entstehen. Die abgeschnittene trihexagonale Parkettierung mit beiden Lückentypen kann als 4-gleichmäßige Packung gefüllt werden. Die abgestumpfte hexagonale Parkettierung hat zwei spiegelbildliche Formen.

Ein verwandtes Problem besteht darin, die energieärmste Anordnung identisch wechselwirkender Punkte auf einer vorgegebenen Oberfläche zu bestimmen. Das Thomson-Problem befasst sich mit der energieärmsten Verteilung identischer elektrischer Ladungen auf der Oberfläche einer Kugel. Das Tammes- Problem ist eine Verallgemeinerung davon und befasst sich mit der Maximierung des minimalen Abstands zwischen Kreisen auf einer Kugel. Dies ist analog zur Verteilung von nicht-punktförmigen Ladungen auf einer Kugel.

Das Packen von Kreisen in einfachen, begrenzten Formen ist ein häufiges Problem in der Unterhaltungsmathematik . Der Einfluss der Behälterwände ist wichtig, und eine hexagonale Packung ist im Allgemeinen nicht optimal für kleine Anzahlen von Kreisen. Zu den spezifischen Problemen dieser Art, die untersucht wurden, gehören:

• Kreispackung in einem Kreis
• Kreise in einem Quadrat
• Kreise in einem Rechteck packen
• Kreise in einem gleichseitigen Dreieck
• Kreispackung in einem gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck

Für weitere Details siehe die verlinkten Artikel.

Es gibt auch eine Reihe von Problemen, bei denen die Kreisgrößen ungleichmäßig sein dürfen. Eine solche Erweiterung besteht darin, die maximal mögliche Dichte eines Systems mit zwei spezifischen Kreisgrößen (einem binären System) zu bestimmen. Nur neun bestimmte Radienverhältnisse erlauben eine dichte Packung , d. h. jedes Paar sich berührender Kreise berührt auch zwei weitere Kreise (die Liniensegmente zwischen den Mittelpunkten sich berührender Kreise bilden eine Dreiecksfläche). ^{[ 8 ]} Für alle diese Radienverhältnisse ist eine dichte Packung bekannt, die die maximal mögliche Packungsdichte (über der von gleichgroßen Kreisen) für Mischungen von Kreisen mit diesem Radienverhältnis erreicht. ^{[ 10 ]} Alle neun Radienverhältnisse haben verhältnisspezifische Packungen, die dichter sind als die gleichmäßige hexagonale Packung, ebenso wie einige Radienverhältnisse ohne dichte Packungen. ^{[ 11 ]}

Es ist außerdem bekannt, dass sich binäre Gemische bei einem Radienverhältnis über 0,742 nicht besser packen lassen als gleichmäßig große Scheiben. ^{[ 9 ]} Obergrenzen für die Dichte, die in solchen binären Packungen bei kleineren Verhältnissen erreicht werden kann, wurden ebenfalls ermittelt. ^{[ 12 ]}

Die Quadraturamplitudenmodulation (QAM) basiert auf der Anordnung von Kreisen in einem Phasen-Amplituden-Raum . Ein Modem überträgt Daten als eine Reihe von Punkten in einer zweidimensionalen Phasen-Amplituden-Ebene. Der Abstand zwischen den Punkten bestimmt die Störfestigkeit der Übertragung, während der Durchmesser des Umkreises die benötigte Sendeleistung festlegt. Die Leistung ist optimal, wenn sich die Codepunkte im Zentrum einer effizienten Kreisanordnung befinden. In der Praxis werden häufig suboptimale rechteckige Anordnungen verwendet, um die Dekodierung zu vereinfachen.

Kreispackung ist zu einem unverzichtbaren Werkzeug im Origami- Design geworden, da jedes Glied einer Origami-Figur einen Papierkreis benötigt. ^{[ 13 ]} Robert J. Lang hat die Mathematik der Kreispackung genutzt, um Computerprogramme zu entwickeln, die beim Entwurf komplexer Origami-Figuren helfen.

• Apollonische Dichtung
• Kreise in einem Rechteck packen
• Kreise in einem Quadrat
• Kreispackung in einem Kreis
• Inversive Distanz
• Kepler-Vermutung
• Malfatti-Kreise
• Verpackungsproblem

• Wells D (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry . New York: Penguin Books. S.  30–31, 167. ISBN 0-14-011813-6Die
• Stephenson, Kenneth (Dezember 2003). „Circle Packing: A Mathematical Tale“ (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 50 (11).