Geschlossener Ausdruck

In der Mathematik bezeichnet man als geschlossene Formel einen Ausdruck oder eine Formel , die aus Konstanten , Variablen und einer Menge von Basisfunktionen besteht , die durch arithmetische Operationen ( +, −, ×, / und ganzzahlige Potenzen ) sowie Funktionskomposition miteinander verbunden sind. Üblicherweise sind die Basisfunktionen, die in geschlossener Form dargestellt werden können, die n -te Wurzel , die Exponentialfunktion , der Logarithmus und die trigonometrischen Funktionen . ^{[ a ]} Die Menge der Basisfunktionen hängt jedoch vom Kontext ab. Fügt man beispielsweise Polynomwurzeln zu den Basisfunktionen hinzu, so werden die Funktionen, die eine geschlossene Form besitzen, als elementare Funktionen bezeichnet .

Das Problem der geschlossenen Form entsteht, wenn neue Wege zur Spezifizierung mathematischer Objekte eingeführt werden , wie etwa Grenzwerte , Reihen und Integrale : Wenn ein Objekt mit solchen Werkzeugen spezifiziert ist, besteht ein natürliches Problem darin, wenn möglich, einen geschlossenen Ausdruck für dieses Objekt zu finden ; das heißt, einen Ausdruck für dieses Objekt in Bezug auf frühere Spezifizierungsmethoden.

Die quadratische Formel

$${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$$

ist eine geschlossene Form der Lösungen der allgemeinen quadratischen Gleichung${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}$

Allgemeiner gesagt, im Kontext von Polynomgleichungen , ist eine geschlossene Lösung eine Lösung in Radikalen ; das heißt, ein geschlossener Ausdruck, für den nur n -te Wurzeln und Körperoperationen zulässig sind. Tatsächlich erlaubt die Körpertheorie zu zeigen, dass, wenn eine Lösung einer Polynomgleichung eine geschlossene Form mit Exponentialfunktionen, Logarithmen oder trigonometrischen Funktionen besitzt, sie auch eine geschlossene Form besitzt, die diese Funktionen nicht enthält. ${\displaystyle (+,-,\times ,/).}$

Für alle Lösungen kubischer Gleichungen (Grad 3) und quartischer Gleichungen (Grad 4) existieren Ausdrücke in Radikalen . Die Größe dieser Ausdrücke nimmt mit dem Grad deutlich zu, was ihre Anwendbarkeit einschränkt.

Der Satz von Abel-Ruffini besagt, dass es Gleichungen höherer Grade gibt, deren Lösungen nicht durch Radikale ausgedrückt werden können und die daher keine geschlossene Form besitzen. Ein einfaches Beispiel ist die Gleichung . Die Galoistheorie liefert eine algorithmische Methode , um zu entscheiden, ob eine bestimmte Polynomgleichung durch Radikale gelöst werden kann. ${\displaystyle x^{5}-x-1=0.}$

Die symbolische Integration besteht im Wesentlichen in der Suche nach geschlossenen Ausdrücken für Stammfunktionen von Funktionen, die durch geschlossene Formeln definiert sind. Als Basisfunktionen zur Definition geschlossener Ausdrücke werden üblicherweise Logarithmen , Exponentialfunktionen und Polynomwurzeln verwendet . Funktionen, für die eine geschlossene Formel für diese Basisfunktionen existiert, werden als elementare Funktionen bezeichnet und umfassen trigonometrische Funktionen , inverse trigonometrische Funktionen , hyperbolische Funktionen und inverse hyperbolische Funktionen .

Das grundlegende Problem der symbolischen Integration besteht also darin, zu einer durch einen geschlossenen Ausdruck spezifizierten elementaren Funktion zu entscheiden, ob ihre Stammfunktion eine elementare Funktion ist, und falls ja, einen geschlossenen Ausdruck für diese Stammfunktion zu finden.

Für rationale Funktionen , d. h. für Brüche zweier Polynomfunktionen , sind Stammfunktionen nicht immer rationale Brüche, sondern stets elementare Funktionen, die Logarithmen und Polynomwurzeln enthalten können. Dies wird üblicherweise mittels Partialbruchzerlegung bewiesen . Die Notwendigkeit von Logarithmen und Polynomwurzeln wird durch die Formel veranschaulicht.

$${\displaystyle \int {\frac {f(x)}{g(x)}}\,dx=\sum _{\alpha \in \operatorname {Roots} (g(x))}{\frac {f(\alpha )}{g'(\alpha )}}\ln(x-\alpha ),}$$

Dies ist gültig, wenn und teilerfremde Polynome sind , sodass quadratfrei ist und${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \deg f<\deg g.}$

Die Erweiterung der Basisfunktionen um zusätzliche Funktionen kann die Menge der Gleichungen mit geschlossenen Lösungen verändern. Viele kumulative Verteilungsfunktionen lassen sich nicht in geschlossener Form darstellen, es sei denn, man betrachtet spezielle Funktionen wie die Fehlerfunktion oder die Gammafunktion als Basisfunktionen. Die Gleichung fünften Grades ist zwar lösbar, wenn allgemeine hypergeometrische Funktionen einbezogen werden, die Lösung ist jedoch algebraisch viel zu komplex, um praktisch anwendbar zu sein. Für viele praktische Computeranwendungen ist es durchaus sinnvoll anzunehmen, dass die Gammafunktion und andere spezielle Funktionen Basisfunktionen sind, da numerische Implementierungen weit verbreitet sind.

Dieser Begriff wird manchmal als Synonym für geschlossene Form verstanden (siehe „Wolfram Mathworld“) .) Diese Verwendung ist jedoch umstritten (siehe "Math Stackexchange") .Es ist unklar, inwieweit dieser Begriff tatsächlich noch verwendet wird oder ob er auf nicht näher belegte frühere Versionen dieser Seite zurückzuführen ist.

Die geschlossenen Ausdrücke umfassen weder unendliche Reihen noch Kettenbrüche ; auch Integrale und Grenzwerte sind nicht enthalten . Nach dem Satz von Stone-Weierstrass lässt sich jede stetige Funktion auf dem Einheitsintervall als Grenzwert von Polynomen darstellen, sodass jede Klasse von Funktionen, die Polynome enthält und unter Grenzwerten abgeschlossen ist, notwendigerweise alle stetigen Funktionen umfasst.

Analog dazu besitzt eine Gleichung oder ein Gleichungssystem genau dann eine geschlossene Lösung, wenn sich mindestens eine Lösung als geschlossener Ausdruck darstellen lässt; und genau dann besitzt es eine analytische Lösung, wenn sich mindestens eine Lösung als analytischer Ausdruck darstellen lässt. In der Diskussion um eine „geschlossene Lösung“ (siehe Chow 1999 und unten ) wird ein feiner Unterschied zwischen einer „geschlossenen Funktion “ und einer „ geschlossenen Zahl “ unterschieden . Eine geschlossene oder analytische Lösung wird mitunter auch als explizite Lösung bezeichnet (im Gegensatz zu impliziten Gleichungen ).

The expression: $${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x}{2^{n}}}}$$ is not in closed form because the summation entails an infinite number of elementary operations. However, by summing a geometric series this expression can be expressed in the closed form:^[1]$${\displaystyle f(x)=2x.}$$

The integral of a closed-form expression may or may not itself be expressible as a closed-form expression. This study is referred to as differential Galois theory, by analogy with algebraic Galois theory.

The basic theorem of differential Galois theory is due to Joseph Liouville in the 1830s and 1840s and hence referred to as Liouville's theorem.

A standard example of an elementary function whose antiderivative does not have a closed-form expression is: $${\displaystyle e^{-x^{2}},}$$ whose one antiderivative is (up to a multiplicative constant) the error function: $${\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt.}$$

Equations or systems too complex for closed-form or analytic solutions can often be analysed by mathematical modelling and computer simulation (for an example in physics, see^[2]).

Three subfields of the complex numbersC have been suggested as encoding the notion of a "closed-form number"; in increasing order of generality, these are the Liouvillian numbers (not to be confused with Liouville numbers in the sense of rational approximation), EL numbers and elementary numbers. The Liouvillian numbers, denoted L, form the smallest algebraically closed subfield of C closed under exponentiation and logarithm (formally, intersection of all such subfields)—that is, numbers which involve explicit exponentiation and logarithms, but allow explicit and implicit polynomials (roots of polynomials); this is defined in (Ritt 1948, p. 60). L was originally referred to as elementary numbers, but this term is now used more broadly to refer to numbers defined explicitly or implicitly in terms of algebraic operations, exponentials, and logarithms. A narrower definition proposed in (Chow 1999, pp. 441–442), denoted E, and referred to as EL numbers, is the smallest subfield of C closed under exponentiation and logarithm—this need not be algebraically closed, and corresponds to explicit algebraic, exponential, and logarithmic operations. "EL" stands both for "exponential–logarithmic" and as an abbreviation for "elementary".

Whether a number is a closed-form number is related to whether a number is transcendental. Formally, Liouvillian numbers and elementary numbers contain the algebraic numbers, and they include some but not all transcendental numbers. In contrast, EL numbers do not contain all algebraic numbers, but do include some transcendental numbers. Closed-form numbers can be studied via transcendental number theory, in which a major result is the Gelfond–Schneider theorem, and a major open question is Schanuel's conjecture.

For purposes of numeric computations, being in closed form is not in general necessary, as many limits and integrals can be efficiently computed. Some equations have no closed form solution, such as those that represent the Three-body problem or the Hodgkin–Huxley model. Therefore, the future states of these systems must be computed numerically.

Es gibt Software, die versucht, geschlossene Ausdrücke für numerische Werte zu finden, darunter RIES, ^{[ 3 ]} identify in Maple ^{[ 4 ]} und SymPy , ^{[ 5 ]} Plouffes Inverter, ^{[ 6 ]} und der Inverse Symbolic Calculator . ^{[ 7 ]}

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• Ritt, JF (1948), Integration in endlichen Termen
• Chow, Timothy Y. (Mai 1999), „Was ist eine geschlossene Zahl?“, American Mathematical Monthly , 106 (5): 440–448 , arXiv : math/9805045 , doi : 10.2307/2589148 , JSTOR  2589148
• Jonathan M. Borwein und Richard E. Crandall (Januar 2013), „Geschlossene Formen: Was sie sind und warum sie uns wichtig sind“, Notices of the American Mathematical Society , 60 (1): 50–65 , doi : 10.1090/noti936

• Weisstein, Eric W. „Geschlossene Lösung“ . MathWorld .
• Kontinuierliche neuronale Netze in geschlossener Form